Об одной модификации модели Стритера Фелпса и ее численной реализации с помощью многопроцессорных вычислительных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010

Математика и механика

№ 1(9)

УДК 519.6

М.Д. Михайлов

ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ МОДЕЛИ СТРИТЕРА - ФЕЛПСА И ЕЕ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ С ПОМОЩЬЮ МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

В классической модели Стритера - Фелпса рассматривается система, состоящая из воды и растворенного в ней кислорода и органических веществ. Математически она описывается системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с соответствующими начальными условиями.

В работе применяется модель, представляющая собой модификацию классической модели Стритера - Фелпса, построенную посредством введения в нее биофильтра и добавления конвективных и диффузионных членов. Параллельная реализация алгоритма численного расчета модели производится с использованием явной разностной схемы на кластере ТГУ.

Ключевые слова: самоочищение, биофильтр, численный метод, разностная схема.

1. Построение модифицированной модели Стритера -Фелпса

Важнейшей характеристикой качества воды является концентрация растворенного в ней кислорода, необходимого элемента жизнедеятельности водорослей и растений. Эта величина носит название биохимической потребности в кислороде (БПК) и численно выражается количеством кислорода в мл/л или г/м3. В модели Стритера - Фелпса концентрация растворенного кислорода и органических отходов взаимосвязаны [1]. Разложение отходов происходит под воздействием бактерий, вызывающих химическую реакцию с использованием растворенного в воде кислорода.

Скорость разложения органического вещества описывается уравнением

где Ь(/) - концентрация органического вещества, / - время, к1 - коэффициент разложения органического вещества, 1/сут.

Обозначим Б - дефицит кислорода, т.е. Б = q - q0, где q - реальная концентрация кислорода в воде, q0 - равновесная концентрация кислорода, которая имеет место при отсутствии загрязнения.

Динамика дефицита кислорода описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где к2 - коэффициент аэрации, 1/сут.

В процесс самоочищения, описываемый с помощью уравнений (1) и (2), включается очистка с помощью биофильтра путем добавления слагаемого -кЬ в (1):

&

(1)

— = к,Ь - к2 Б, Ж 1 2

(2)

dL

dt

— -кгЬ - kL,

(3)

где к - константа скорости изъятия органических загрязнений, 1/сут, вычисляемая по формуле

" “ (4)

к — к20 -1,0471

Здесь к20 -константа скорости биохимических процессов в сточной воде при температуре 20 °С, Т - температура сточной воды, °С. Для определения коэффициента к1 используются формулы

к1 = 10 а ^2 +р, (5)

HXByyd кС

qz

(6)

где а, в - постоянные коэффициенты, определяемые из табл. 25 [2, с. 80]. Таким образом, модификация модели самоочищения Стритера-Фелпса с добавлением биофильтра, описывается системой ОДУ (3), (2) с соответствующими начальными условиями:

dЬ

■ — —k1L - kL, dt 1

— = к L - к2 D, dt 1 2

L(0) = L0, D(0) = D0.

(7)

(8)

Модификация построенной модели (7), (8) на двумерный случай заключается в

(д2 д2 1

добавлении в систему (7) оператора диффузии Д = XI —- +---------— I и конвективного

1дг2 дУ2 J

члена | U — + V — |, в результате чего модель принимает вид системы диффе-

I дх ду J

ренциальных уравнений в частных производных

дL дL дL „ ^ ^

------+ (U--------+ V —) — X т (---------------\---) — кі L — kL,

дt У дх ду’ ах2 дУ

Д2 П Л2 і

дD

^D _дDч

+ (U------------------------------------------+ V-) — X D (■ o

дt дх ду дх

д 2 D д2D

ду

) + к L — к2 D

с соответствующими начальными

L(x,у, 0) — L (x, y), D(x, y, 0) — Dн (x, y) и граничными условиями

дL дL

3x x—0 дx x— Lx

дD — дD

3x x—0 9x x—Lx

— 0,

— 0.

L

~д.У

дВ

ду

у—0

у—0

3L

~ду

— 0,

у—1у

3D_

~ду

— 0,

(9)

(10)

(11)

(12)

у—Ьу

где и > 0, V = 0 - компоненты вектора скорости течения реки, км/сут; X Ь , X Б коэффициенты диффузии. Решение задачи (9) - (12) ищется в области ё = ох [0,Т], О = {(х,у)|0 < х < Ьх,0 < у < Ьу }.

2. Выбор явного численного метода.

Вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости

Покроем область ё равномерной сеткой юйт = юК хют, где

(х], Ук ^ х, = 1 • К, Ук = к • ку, i, к = 0 ^+1;

ьх

Кх =-

к. =. Ьу

N + Г у N +1'

и запишем разностную аппроксимацию дифференциальной задачи (9) - (12):

где

ЛКЖ(К) = ^(К),

+и

Кх

-х,;

Г 1к - 2Ж"к + 1к кХ

Ку _

ЖП к+1 - 2Ж” к + Г” к-1А

1, к = 1, N; И = 0, М -1; Ж0к, ], к = 0, N +1,

Кк - ^0Ик

_ К

К+1,к - ЖИ,к

К_

ж", - г ./>1

к = 0, N +1; и = 1, М;

1,0

_КУ _

Жп N+1 - ж,!; N

] = 0, N +1, п = 1, М;

(13)

(14)

/^'Тк, 1, к = 1, N; п = 0, М;

,, 1, к = 0, N +1;

0,

0,

0,

0,

/1пк = (-Щк - кьп1к; кЬ,к - кхБ’Пк )Т ,, = (Ь к, Б;,к )Т, ьн к = {Ь',к, 1 к = 0,2; Б^,к = 0,1,к = 0,N +1.

"1,к

0,1, к = 3, N +1;

х

К

Нетрудно показать, что погрешность аппроксимации разностной задачи с учетом начальных и граничных условий имеет порядок 0(т + Их + Иу).

С учетом условия монотонности разностной схемы (13)

И\ и?,

т<-------22-----------------------г, (16)

ии# + Укук2х + 2 + Г^И2Х)

с помощью принципа максимума легко доказывается устойчивость разностной схемы (13) по начальным данным. Тогда по теореме Лакса [3] имеет место сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.

3. О результатах реализации параллельного алгоритма

Реализация модифицированной модели (13) - (15) проводится на равномерной сетке размерности 202 х 202 при Их = 0,49751 км, Иу = 0,00995 км на кластере

ТГУ. Шаг по времени выбирается из условия устойчивости (16) и равен т = 7,74846-Ш-6 сут. В табл. 1 приводится время работы параллельной программы на одном и на р процессорах, а также величина достигнутого ускорения алгоритма и его эффективность [4].

Т аблица 1

Количество процессоров р Т - время работы параллельной программы на одном процессоре Тр - время работы параллельной программы на р процессорах Ускорение 5 = Т- р т р Эффективность *р=^ р

1 485,78874

2 347,05410 1,39975 0,69987

3 252,09258 1,92703 0,48176

4 211,21259 2,29999 0,45999

5 159,34102 3.04874 0,38109

6 152,40118 3,18757 0,31876

Анализ результатов, приведенных в табл. 1, показывает, что параллельный алгоритм демонстрирует удовлетворительные результаты для ускорения Бр при

увеличении числа задействованных процессоров р. Спад эффективности объясняется увеличением числа межпроцессорных обменов с ростом р.

4. Обсуждение результатов численных расчетов

Численные расчеты процесса самоочищения проводятся на загрязненном участке реки Томь длиной 100 км и шириной 2 км. В качестве загрязняющего вещества берется фенол, причем загрязнение в начальный момент времени на участке длиной 30 км и шириной 600 м равно 7,4 мг/л, а в остальных местах рассматриваемого участка Ь = 0 мг/л, дефицит кислорода при t = 0 равен нулю на всем рассматриваемом участке реки.

Анализ результатов численного расчета точечной модели Стритера - Фелпса с учетом трех типов биофильтров: а) с плоскостной загрузкой; б) капельного; в) вы-соконагружаемого, показывает, что применение биофильтра а) позволяет снизить концентрацию органического вещества до допустимого уровня за время t = 0,7 сут.

Использование капельного биофильтра при тех же начальных условиях приводит к ПДК за t = 0,5 сут. Наиболее эффективно работает высоконагружаемый биофильтр: достижение допустимой концентрации органического вещества занимает t = 0,1 сут.

На рис. 1 - 4 представлены графики Ь и Б , построенные по результатам реализации одномерной пространственной модели без использования биофильтра и с использованием высоконагружаемого биофильтра. Из рисунков видно, что процесс самоочищения во втором случае существенно упрощается и через t = 1,5 сут Ь падает до безопасной величины 0,001 мг/л.

Ь, мг/л "

7 -

6 -

5 -4 -3 -

2 -1 -0 -

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Длина участка реки, км

Рис. 1. Одномерная пространственная модель Стритера - Фелпса. Изменение концентрации органического вещества без использования биофильтра в различные временные промежутки. Начальная концентрация Ь0 = 7,4 мг/л

Ь, мг/л"

0,20,16 -

0,12 -0,080,040 -

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Длина участка реки, км

Рис. 2 Одномерная пространственная модель Стритера - Фелпса. Изменение концентрации органического вещества с использованием биофильтра в различные временные промежутки. Ь0 = 7,4 мг/л

■■—0,5 суток -А— 1 сутки ■X—1,5 суток ■Ж—2 суток -•—2,5 суток Н— 3 суток ——3,5 суток —4 суток -♦—4,5 суток ■П— 5 суток

га-! В|В|В|В|П|В|В|В

Б, мг/л'

0,4 -

0,350,3 -0,250,2 -0,150,1 -

0,05 0 -

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Длина участка реки, км

Рис. 3. Одномерная пространственная модель Стритера - Фелпса. Изменение дефицита кислорода без использования биофильтра в различные временные промежутки. Начальная концентрация Ь0 = 7,4 мг/л, Б0 = 0 мг/л

Б, мг/л 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Длина участка реки, км

Рис. 4 Одномерная пространственная модель Стритера - Фелпса. Изменение дефицита кислорода с использованием биофильтра в различные временные промежутки. Ь0 = 7,4 мг/л, Б0 = 0 мг/л

Из анализа графиков 5 и 6 (двумерный случай) также следует, что использование биофильтра существенно ускоряет процесс самоочищения загрязненного участка реки и за время ґ = 0,5 сут концентрация органического вещества Ь, полученная после численной реализации модифицированной модели Стритера - Фелпса, равна 0,14298 мг/л, а дефицит кислорода Б = 4,44611 мг/л .

Процесс самоочищения без использования биофильтра занимает около 70 суток. По истечении этого периода времени концентрация загрязняющего вещества (фенола) падает до Ь = 0, 001 мг/л.

Рис. 5. Модификация двумерной модели Стритера - Фелпса с учетом биофильтра. Ь0 = 7,4 мг/л, t = 0,5 сут, х - длина участка реки, км, у - ширина участка реки, км

л»

Рис. 6. Модификация двумерной модели Стритера - Фелпса с учетом биофильтра. Б0 = 0 мг/л, t = 0,5 суток, х - длина участка реки, км; у - ширина участка реки, км

Для проверки достоверности полученных в работе результатов проведены расчеты с использованием двумерной модифицированной модели и исходных данных, взятых из [5]. По результатам вычислений концентрация органического вещества L падает до 3,7 мг/л. Это хорошо согласуется с результатами, приведенными в [5].

Из приведенного анализа следует, что модель Стритера - Фелпса, в которой учитываются конвективный и диффузионный члены, а также биофильтр, достоверно описывает механизм процесса самоочищения загрязненного участка реки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вавилин В.А. Нелинейные модели биологической очистки и процессов самоочищения в реках. М.: Наука, 1981. 160 с.

2. Яковлев С.В., ВороновЮ.П. Биологические фильтры. М.: Стройиздат, 1982. 120 с.

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.

4. Старченко А.В., Есаулов А. О. Параллельные вычисления на многопроцессорных вычислительных системах. Томск: Изд-во ТГУ, 2002. 56 с.

5. Очистка бытовых сточных вод на установках серии «Капля» // Экология и промышленность России. - 2006. - Октябрь.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

МИХАЙЛОВ Михаил Дмитриевич - старший преподаватель кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: michel@math.tsu.ru

Статья принята в печать 13.02.2010 г.