ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010
Математика и механика
№ 1(9)
УДК 519.6
М.Д. Михайлов
ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ МОДЕЛИ СТРИТЕРА - ФЕЛПСА И ЕЕ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ С ПОМОЩЬЮ МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
В классической модели Стритера - Фелпса рассматривается система, состоящая из воды и растворенного в ней кислорода и органических веществ. Математически она описывается системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с соответствующими начальными условиями.
В работе применяется модель, представляющая собой модификацию классической модели Стритера - Фелпса, построенную посредством введения в нее биофильтра и добавления конвективных и диффузионных членов. Параллельная реализация алгоритма численного расчета модели производится с использованием явной разностной схемы на кластере ТГУ.
Ключевые слова: самоочищение, биофильтр, численный метод, разностная схема.
1. Построение модифицированной модели Стритера -Фелпса
Важнейшей характеристикой качества воды является концентрация растворенного в ней кислорода, необходимого элемента жизнедеятельности водорослей и растений. Эта величина носит название биохимической потребности в кислороде (БПК) и численно выражается количеством кислорода в мл/л или г/м3. В модели Стритера - Фелпса концентрация растворенного кислорода и органических отходов взаимосвязаны [1]. Разложение отходов происходит под воздействием бактерий, вызывающих химическую реакцию с использованием растворенного в воде кислорода.
Скорость разложения органического вещества описывается уравнением
где Ь(/) - концентрация органического вещества, / - время, к1 - коэффициент разложения органического вещества, 1/сут.
Обозначим Б - дефицит кислорода, т.е. Б = q - q0, где q - реальная концентрация кислорода в воде, q0 - равновесная концентрация кислорода, которая имеет место при отсутствии загрязнения.
Динамика дефицита кислорода описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида
где к2 - коэффициент аэрации, 1/сут.
В процесс самоочищения, описываемый с помощью уравнений (1) и (2), включается очистка с помощью биофильтра путем добавления слагаемого -кЬ в (1):
&
(1)
— = к,Ь - к2 Б, Ж 1 2
(2)
dL
dt
— -кгЬ - kL,
(3)
где к - константа скорости изъятия органических загрязнений, 1/сут, вычисляемая по формуле
" “ (4)
к — к20 -1,0471
Здесь к20 -константа скорости биохимических процессов в сточной воде при температуре 20 °С, Т - температура сточной воды, °С. Для определения коэффициента к1 используются формулы
к1 = 10 а ^2 +р, (5)
HXByyd кС
qz
(6)
где а, в - постоянные коэффициенты, определяемые из табл. 25 [2, с. 80]. Таким образом, модификация модели самоочищения Стритера-Фелпса с добавлением биофильтра, описывается системой ОДУ (3), (2) с соответствующими начальными условиями:
dЬ
■ — —k1L - kL, dt 1
— = к L - к2 D, dt 1 2
L(0) = L0, D(0) = D0.
(7)
(8)
Модификация построенной модели (7), (8) на двумерный случай заключается в
(д2 д2 1
добавлении в систему (7) оператора диффузии Д = XI —- +---------— I и конвективного
1дг2 дУ2 J
члена | U — + V — |, в результате чего модель принимает вид системы диффе-
I дх ду J
ренциальных уравнений в частных производных
дL дL дL „ ^ ^
------+ (U--------+ V —) — X т (---------------\---) — кі L — kL,
дt У дх ду’ ах2 дУ
Д2 П Л2 і
дD
^D _дDч
+ (U------------------------------------------+ V-) — X D (■ o
дt дх ду дх
д 2 D д2D
ду
) + к L — к2 D
с соответствующими начальными
L(x,у, 0) — L (x, y), D(x, y, 0) — Dн (x, y) и граничными условиями
дL дL
3x x—0 дx x— Lx
дD — дD
3x x—0 9x x—Lx
— 0,
— 0.
L
~д.У
дВ
ду
у—0
у—0
3L
~ду
— 0,
у—1у
3D_
~ду
— 0,
(9)
(10)
(11)
(12)
у—Ьу
где и > 0, V = 0 - компоненты вектора скорости течения реки, км/сут; X Ь , X Б коэффициенты диффузии. Решение задачи (9) - (12) ищется в области ё = ох [0,Т], О = {(х,у)|0 < х < Ьх,0 < у < Ьу }.
2. Выбор явного численного метода.
Вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости
Покроем область ё равномерной сеткой юйт = юК хют, где
(х], Ук ^ х, = 1 • К, Ук = к • ку, i, к = 0 ^+1;
ьх
Кх =-
к. =. Ьу
N + Г у N +1'
и запишем разностную аппроксимацию дифференциальной задачи (9) - (12):
где
ЛКЖ(К) = ^(К),
+и
Кх
-х,;
Г 1к - 2Ж"к + 1к кХ
Ку _
ЖП к+1 - 2Ж” к + Г” к-1А
1, к = 1, N; И = 0, М -1; Ж0к, ], к = 0, N +1,
Кк - ^0Ик
_ К
К+1,к - ЖИ,к
К_
ж", - г ./>1
к = 0, N +1; и = 1, М;
1,0
_КУ _
Жп N+1 - ж,!; N
] = 0, N +1, п = 1, М;
(13)
(14)
/^'Тк, 1, к = 1, N; п = 0, М;
,, 1, к = 0, N +1;
0,
0,
0,
0,
/1пк = (-Щк - кьп1к; кЬ,к - кхБ’Пк )Т ,, = (Ь к, Б;,к )Т, ьн к = {Ь',к, 1 к = 0,2; Б^,к = 0,1,к = 0,N +1.
"1,к
0,1, к = 3, N +1;
х
К
Нетрудно показать, что погрешность аппроксимации разностной задачи с учетом начальных и граничных условий имеет порядок 0(т + Их + Иу).
С учетом условия монотонности разностной схемы (13)
И\ и?,
т<-------22-----------------------г, (16)
ии# + Укук2х + 2 + Г^И2Х)
с помощью принципа максимума легко доказывается устойчивость разностной схемы (13) по начальным данным. Тогда по теореме Лакса [3] имеет место сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.
3. О результатах реализации параллельного алгоритма
Реализация модифицированной модели (13) - (15) проводится на равномерной сетке размерности 202 х 202 при Их = 0,49751 км, Иу = 0,00995 км на кластере
ТГУ. Шаг по времени выбирается из условия устойчивости (16) и равен т = 7,74846-Ш-6 сут. В табл. 1 приводится время работы параллельной программы на одном и на р процессорах, а также величина достигнутого ускорения алгоритма и его эффективность [4].
Т аблица 1
Количество процессоров р Т - время работы параллельной программы на одном процессоре Тр - время работы параллельной программы на р процессорах Ускорение 5 = Т- р т р Эффективность *р=^ р
1 485,78874
2 347,05410 1,39975 0,69987
3 252,09258 1,92703 0,48176
4 211,21259 2,29999 0,45999
5 159,34102 3.04874 0,38109
6 152,40118 3,18757 0,31876
Анализ результатов, приведенных в табл. 1, показывает, что параллельный алгоритм демонстрирует удовлетворительные результаты для ускорения Бр при
увеличении числа задействованных процессоров р. Спад эффективности объясняется увеличением числа межпроцессорных обменов с ростом р.
4. Обсуждение результатов численных расчетов
Численные расчеты процесса самоочищения проводятся на загрязненном участке реки Томь длиной 100 км и шириной 2 км. В качестве загрязняющего вещества берется фенол, причем загрязнение в начальный момент времени на участке длиной 30 км и шириной 600 м равно 7,4 мг/л, а в остальных местах рассматриваемого участка Ь = 0 мг/л, дефицит кислорода при t = 0 равен нулю на всем рассматриваемом участке реки.
Анализ результатов численного расчета точечной модели Стритера - Фелпса с учетом трех типов биофильтров: а) с плоскостной загрузкой; б) капельного; в) вы-соконагружаемого, показывает, что применение биофильтра а) позволяет снизить концентрацию органического вещества до допустимого уровня за время t = 0,7 сут.
Использование капельного биофильтра при тех же начальных условиях приводит к ПДК за t = 0,5 сут. Наиболее эффективно работает высоконагружаемый биофильтр: достижение допустимой концентрации органического вещества занимает t = 0,1 сут.
На рис. 1 - 4 представлены графики Ь и Б , построенные по результатам реализации одномерной пространственной модели без использования биофильтра и с использованием высоконагружаемого биофильтра. Из рисунков видно, что процесс самоочищения во втором случае существенно упрощается и через t = 1,5 сут Ь падает до безопасной величины 0,001 мг/л.
Ь, мг/л "
7 -
6 -
5 -4 -3 -
2 -1 -0 -
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Длина участка реки, км
Рис. 1. Одномерная пространственная модель Стритера - Фелпса. Изменение концентрации органического вещества без использования биофильтра в различные временные промежутки. Начальная концентрация Ь0 = 7,4 мг/л
Ь, мг/л"
0,20,16 -
0,12 -0,080,040 -
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Длина участка реки, км
Рис. 2 Одномерная пространственная модель Стритера - Фелпса. Изменение концентрации органического вещества с использованием биофильтра в различные временные промежутки. Ь0 = 7,4 мг/л
■■—0,5 суток -А— 1 сутки ■X—1,5 суток ■Ж—2 суток -•—2,5 суток Н— 3 суток ——3,5 суток —4 суток -♦—4,5 суток ■П— 5 суток
га-! В|В|В|В|П|В|В|В
Б, мг/л'
0,4 -
0,350,3 -0,250,2 -0,150,1 -
0,05 0 -
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Длина участка реки, км
Рис. 3. Одномерная пространственная модель Стритера - Фелпса. Изменение дефицита кислорода без использования биофильтра в различные временные промежутки. Начальная концентрация Ь0 = 7,4 мг/л, Б0 = 0 мг/л
Б, мг/л 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Длина участка реки, км
Рис. 4 Одномерная пространственная модель Стритера - Фелпса. Изменение дефицита кислорода с использованием биофильтра в различные временные промежутки. Ь0 = 7,4 мг/л, Б0 = 0 мг/л
Из анализа графиков 5 и 6 (двумерный случай) также следует, что использование биофильтра существенно ускоряет процесс самоочищения загрязненного участка реки и за время ґ = 0,5 сут концентрация органического вещества Ь, полученная после численной реализации модифицированной модели Стритера - Фелпса, равна 0,14298 мг/л, а дефицит кислорода Б = 4,44611 мг/л .
Процесс самоочищения без использования биофильтра занимает около 70 суток. По истечении этого периода времени концентрация загрязняющего вещества (фенола) падает до Ь = 0, 001 мг/л.
Рис. 5. Модификация двумерной модели Стритера - Фелпса с учетом биофильтра. Ь0 = 7,4 мг/л, t = 0,5 сут, х - длина участка реки, км, у - ширина участка реки, км
л»
Рис. 6. Модификация двумерной модели Стритера - Фелпса с учетом биофильтра. Б0 = 0 мг/л, t = 0,5 суток, х - длина участка реки, км; у - ширина участка реки, км
Для проверки достоверности полученных в работе результатов проведены расчеты с использованием двумерной модифицированной модели и исходных данных, взятых из [5]. По результатам вычислений концентрация органического вещества L падает до 3,7 мг/л. Это хорошо согласуется с результатами, приведенными в [5].
Из приведенного анализа следует, что модель Стритера - Фелпса, в которой учитываются конвективный и диффузионный члены, а также биофильтр, достоверно описывает механизм процесса самоочищения загрязненного участка реки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вавилин В.А. Нелинейные модели биологической очистки и процессов самоочищения в реках. М.: Наука, 1981. 160 с.
2. Яковлев С.В., ВороновЮ.П. Биологические фильтры. М.: Стройиздат, 1982. 120 с.
3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.
4. Старченко А.В., Есаулов А. О. Параллельные вычисления на многопроцессорных вычислительных системах. Томск: Изд-во ТГУ, 2002. 56 с.
5. Очистка бытовых сточных вод на установках серии «Капля» // Экология и промышленность России. - 2006. - Октябрь.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
МИХАЙЛОВ Михаил Дмитриевич - старший преподаватель кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: michel@math.tsu.ru
Статья принята в печать 13.02.2010 г.