Определение областей динамической неустойчивости слоистой упругой цилиндрической оболочки при осевом нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 539.3

И. И. Петрушева

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИИАМИЧЕСКОИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СЛОИСТОЙ УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ОСЕВОМ НАГРУЖЕНИИ

Рассматривается задача о динамической устойчивости многослойной цилиндрической оболочки, собранной из нескольких упругих армированных слоёв постоянной толщины. Оболочка нагружена на торцах равномерно распределенным осевым усилием, интенсивность которого следует периодическому закону:

Т55І5—0/ = _(Р0 + Р1 С08^). (1)

Здесь 5, ф, г - цилиндрические координаты, где 5 - длина образующей (0 < 5 < /), ф - угловая координата (0 < ф < 2п), г - поперечная координата, отсчитываемая от внутренней поверхности. Оболочку считаем ортотропной, причем оси орто-тропии (армирования) направлены вдоль координатных линий.

Возникающие под действием нагружения (1) вынужденные осесимметричные колебания при определенных сочетаниях параметров Р0, Р1, 0 могут оказаться неустойчивыми в смысле Ляпунова [3-8]. Ниже строятся области динамической неустойчивости и исследуются их характеристики.

Решение поставленной задачи проводится на основе линеаризованной системы уравнений динамической устойчивости неклассической теории оболочек [1] в предположении, что докритиче-скими деформациями допустимо пренебречь. Эту систему составляют следующие группы зависимостей [1, 2] (к = 1,..., т - порядковый номер слоя):

- соотношения упругости:

-(к) = п (к Ык) , п (к )(к)

^55 _ и11 й55 _Г и12 йфф ’ (2)

(2)

а{к ) = (к )£(к ) + п (к )£(к) фф 12 55 ^ и22 ФФ ’

гг(к) = гт(к) = п (к )г(к)

и 5ф и ф5 Ы33 5ф ■>

Тк) _ а(к)^(к) т(к) _ Гт(к)„(к).

л: ^13 /Ж 1 - ^23 / щ 5

- закон распределения вариаций физических составляющих вектора перемещения по толщине

пакета слоёв:

,(к) = .

5 “5

(к)

и 5 — и 5 _ г--------+ Мм п 5

дя

(3)

иф' — иф-+ иХ2пф, иг ' — м

Я дф 22 ф г

- соотношения деформации-перемещения:

єік) — 0,

(к) — /'(г) Лк) — /'(г) • пф с(к) —

• 5г _(к) ’ / ф

а(к)

°13

а(к)

°23

Є55

д5

(4)

Р(к) — 1 фф я

Гдиф д2м (к) дпф

--------г------— + (22-----------+ м

дф дф2 22 дф

ч2.

л

2_(к) — 2 г +

Хф д5 Я д5дф

(к) дПф , 1 Г ди5 , (к) дП5 ^

дф (22 дф

+ :—I—

22 д5 Я

- выражение вариаций физических составляющих обобщённых усилий и моментов оболочки через вариации компонент тензора напряжений в её слоях:

Г , т пк

[ав, Мар, $ар\—] {

(к) ав

[, ф]£/[ [ф1 ], (5)

к —1Н

"У-1

Н

т пк

[,2ф\ — £ | /'(г)

к —1 Нк—1

- вариации даламберовых сил инерции:

•г (к) ф

Тхг фг

а(к) 5 ^(к)

^13 23

^г.

т Нк

[^^а, 4, \ £ \ Рк

;;(к)

^ 2 (<:к)

аа

\/г,

к—1Н,

Н

т к

(6)

— £ |рк1&)^г;

- уравнения движения элемента оболочки:

дТ„

- + -

1 дТй

ф5

д5 Я дф

(7)

дТ5

5ф

+ -

1 дТй

фф

т Г

т>

д5 Я дф Яг

Тф д 2Ы5 2 д 2М

Я

иф _

Яф

^ — X,.

дф

1 д 2М,

фф

д52 Я дэдф Я2 дф2

Т

55 д52

Я 2 дф

иф _

дм

дф

+

+I +

дъ +1 дф—0

д5 Я дф

дБ

1 дБГф

55 . 1 ф

д5

• + ■

дБ.

5ф

+

Я дф

1 дБфф

_ 25 — ^ 5 , _ 2ф — Ёф.

дх Я дф

Функциональные параметры /(г) и (аа приняты в виде [1, 2]. Система (2)-(7), записанная в вариациях обобщенных перемещений м, и5, иф, п5, пф, - система 12-го порядка, состоящая из пяти дифференциальных уравнений. Она замыкается соответствующим числом краевых условий [1]. В рассматриваемом здесь случае свободного опира-ния краев цилиндрической оболочки эти условия при 5 = 0, 5 = / записываем в виде:

иф Пф Т55 М 55 Б 55 0. (8)

Х = Рк — Я Рк / Е1 ,

Тхх — НЕ1 ґхх,Тфф — НЕ1 ґфф .

(9)

Здесь ЕС - модуль Юнга материала связующего первого слоя оболочки; Т^, Тщ - размерные, а 1хх, tч,ч, - безразмерные обобщенные усилия основного состояния. В безразмерных переменных (9) краевая задача (2)-(8) принимает вид:

д2-. ^ в{р,, р,)+ I

( Тт _ о,

+ С{Р х, Рф, txx, ^фф))

Апх, Яф)

дУ ) 2

д 2 у1

У. (0, ф, ґ) — у. (1, ф, 0 — 0;------------— — 0;

дх2 (10)

дх

— 0; і — 1,3, 5; і — 2, 4.

Также, в силу замкнутости контура оболочки, требуем выполнения условия 2п-периодичности по угловой координате ф.

Запишем систему в векторно-матричной форме. Для этого введем безразмерные переменные (/ - длина, к - толщина, Я - радиус оболочки):

У _ (yl, У 2, Уз, У4, У5 )Т _

_ (/к, и$/Я, иф Я, п$к 3/ ЕС Я, Пфк 3 / ЕС Я )Т,

Здесь А, В, С - матрицы 5x5, элементы которых - полиномы от дифференциальных операто -ров Рх = д/дх и Рф = д/дф с постоянными коэффициентами. Приведем выражения для элементов перечисленных матриц, введя безразмерные параметры и принимая следующие обозначения (: = к/ - уравнение поверхности раздела (/ - 1)-го и /-го слоев):

5 = 1/Я, у = Я/к, р/ = к/к, / = 0, ..., т,

$ _ ес / ЕС п(к) _ ЕСЬ(к) П(к) _ ЕСИ(к) $к _ Ек / Е1 , пу _ ЕкЬу , П/3 _ Ека/1 ,

ґік —'

\ к+1 — Лік +

-"т (в+1 _ві_1) Л,-о , і +1

+

(в _ 1.5РЇ )[(5к^(к*)_‘ _(+1<*1))_‘

'арк

ґ6к _ 3ґ5к + 2,25ґ

5 2 И (к) И (к) Лк“а1 ИР1

4к

+

Ґ

+ (ґ3к _ 1,5ґ2к )

Л

Л

рк

5кИр1 5кИа1

+ ЛакЛркҐ0к,

гф — (ґ3+ у,к _ 1,5ґ2 + і,к

+ Лакґі к.

Выражения для ненулевых элементов ау, Ьу, Су матриц А, 5, С таковы:

д

п

11

— ^ £ ркґ1к дХ’ П12 —_$£ркґ0к,

к—1 ^ к—1

т __ _

п14 — _^£Ркг10к,

к—1

п

дф

21 — У2 £ркґ1к

п32 — -

(з/у2 )all,

к—1

п

т — - д 2

35 — _^2 £ркГ21к~д~'-' п33 —~(PІУ)п21, к—1 дф

п33 — —(Р1у)^ n21,

п31 — £рк

к—1

У212к

Г а2

д2 с. д + 8

2 Л

дфг

— 8 г,

0к

д

п

34 ——8£ркг 11к , а23 — п12,

к—1 дх

а25 =-3^тРкг20*, а41 = —(/3)а к=1

а.

т _

а42 = а14’ а44 =-&^Ркг11к , к =1

а53 = а25^ а51 =-(Х/^)2а355 т _____________

а55 =-8^Ркг22к; к=1

Ъ51 =~{у2 /^)ь355 Ъ52 = Ь155 Ъ53 = Ъ2

у2 т

Ь11 = 3 X ^ ^ к=1

35 52 15 53 25

^2 Ъ(к)' '

-----Ъп 10к — к X

г

г

12 0к 1к

#>.52 ■ 3

11 дх2

+ 3 х

х() + 2Ъ33)}

д2

V

V2 т

Ь13 = 3 3 к=1

1 т

Ъ12 = 3 X •к'ок 3 к=1

X 5к'ок

ъ(к) + ь(к)

у12 + °33

дф д 2

_д_

дх ’

дхдф

Ь(к) А- + 32Ъ(к)

11 дх2

33 дф

Ь14 =-3 X 5кг10к

к=1

д2 я2

Ь1(1) -А + 32ЪЙ) д

Ъ15 = X 5кг20к

дх 2

Ъ(к) + ь(к) Ъ12 + Ъ33

33 дф2

к=1

дхдф

Ъ21 = 3X •к

2 т

3

к=1

3 Ъ (к)/

------Ълл 'П7^ _

Г

22 % — '1к х

(Ъй') + 2Ъ33))

д

2 Л

дх2

+ 32Ъ(к )-д

22 2 V дф ,

Ъ22 = Ъ13, Ъ54 = Ъ455 Ъ42 = Ъ14, Ъ43 = Ъ245

А

дф

Ъ24 = X 5кг10к

Ъ(к) + Ъ(к) Ъ12 + Ъ33

к=1 1 т

дхдф

Ъ23 =3X •к'ок

к=1 т

Ъ25 =3X 5кг 20к

3

к=1

^2+32Ъ<^>-д-Т

33 5х2 дф2

22 Ъ33) \ + 32Ъ^к) д 33 дх2

22 дф2

Ъ45 = X •кг12к

Ъ(к) + ъ(к)

12 33

к=1

дхдф

Ъ = 3 Ъ Ъ = 3 Ъ

Ъ32 = 2 Ъ1Ъ Ъ33 = 2 Ъ2Ъ

Г Г

( Л

Ъ31 =X 5к

к=1

3

2 '2к

С дхг+3(^ )х

дх

д4 , 34Ъ(к) д4

Х----2 + 3 Ъ22)--

дх 2 дф

дф

— 32ъ<п/0к + 2Т/1к х

( д2 Л

Ъ(к) ^ + 32Ъ(к) А_ Ъ12 -,2 22 ~ 2

дх дф

Ъ34 =

о т

=-е**

г к=1

Ъ35 = —X 5к к=1

г. (к)

Ъ,у г 10к-----------г г 11к х

1

12

33

Ъп’ ТГ + 32 () + 2ъ35>)

^2 Л

дх

32 Ъ(к)_ _

----Ъ22 Г 20к — г 21к х

7

(Ь(2к) + 2Ъ3(3) )2

<ф2

V

дх

я2 Л

+ 32Ъ (к ) А_

2 +3 22 ~ 2

дф2

А

дф’

Ъ44 =33 X •к г11к

к=1

Ъ(к) —________+ 32 Ъ(к)

°11 2 33

2

д

2

2

3(а +1)2 X/

дх дф

2а,к — 2/2а—1,к + / 2а—2,к

Г к=1

1 т

Ъ55 =3 X ^ кг22к

к=1

-X-

•^п) ’

д2 дх 2 +32 ъ22) 1 1 ^ ГО -

2а,к — 2 '2а—1,к а 2 + 1 к

г2 к=1

5

С21 = 3У/Яф~дф’ С23 = —3/фр,

*к^ 21

= 52 32 52 = 32 5

С31 =сх2+3 '”’~дф2’С33

Отметим, что уравнения классической теории могут быть получены из системы (10) вычёркиванием из матриц А, В, С строк и столбцов с номерами 4, 5 [1, 2]. Таким образом, классическая система динамической устойчивости цилиндрической оболочки - это система трех уравнений 8 порядка.

Элементы параметрической матрицы С зависят от безразмерных усилий основного (невозму-

2

д

2

7

х

2

д

2

д

2

щенного) состояния 1ХХ, tvv. Определение этих величин требует решения задачи осесимметричных колебаний. Следуя работе [3], невозмущенное состояние определяем из системы безмоментных динамических уравнений. Соответствующие уравнения можно получить из системы динамических уравнений классической [3], либо неклассической [1] теории в предположении, что моментностью состояния можно пренебречь, и имеют вид:

дт» = ^, ^ +1 = 0,

ds

R

m hk

lXs, 1 ]_IjPk [us, w]dz. (CC)

k _Ch -

Используя переменные (9), а также вводя новые обозначения

^ У; (12)

т(x, l ) _ (4h, uxlRf;

л2 _Q

F, _ hEl Л,, i _ 0,1

о2a(ъ2 - aQ2)

Ъ { - Q}-ъ2;F

mm

Ъ _ I Чъп)t0k, Ъ1 _ I ^Ъп )t0k,

k_1

m

k_1

m

Ъ2 _I skЪ2 2)l 0k, a _IPkt0k k _1 k_1

систему (CC) записываем в виде:

д2У

dt2

+ B(Dx )T _ 0,

(13)

'xx|x_n _ txx|x_1 _ -(Л0 + Л1 cosQ)

JT 1 cT2

'xx _ГъУс +оъ1^~.

о dx

Здесь A, B - матрицы 2x2 соответственно. Ненулевые элементы матриц:

a12 _ -Оa,a21 _ -■Yal2,

ъ ъ Ъс 5 2 ъ ъъ Ъ д

Ъ11 _ ^ЪТ“,Ъ12 ^“^ТГ,Ъ21 _ ^Ъ2,Ъ22 _Т1Г. dx о 5x 2 о dx

Решение задачи (13) ищем в форме (1):

3? (x, t) _ U (x) + V (x)cosQ. (C4)

Подстановкой (14) в (13) и интегрированием системы, распавшейся относительно вектор-функций U(x) и V(x), определяем характеристики основного состояния: т Ъ • Л0 Ъ • Лс cosQt

T1 X,L _ ;/(/>( -Ъ2)^ г(Ъх(2 -aQ2)-Ъ2)x

'l - cos x .

x і —:------sin Xx + cos Xx

sin Л

T2 (x l )_-

Ъ2 (c - x)A) ^2 - aQ2 •Xi cosQt

(Ъ1Ъ2 - Ъ 2 ) qJ(-Q)

f 1 - cosX .

x|-cosXx - sin Xx

sin Л

'xx (x, L) _ TxJhEC _-X

1 - cosX

—:-sin Xx + cos Xx I • Ac cos Qt,

sin X

Ъдв2 Ъс (ъ2 - aQ2)-Ъ2

1 - cosX .

sin X

sin Xx + cos Xx I • Ac cos Qt.

Полученное решение согласуется с результатом, приведенным в [3]. Во многих случаях (в диапазоне частот 02 << Ъ2/а ~ 106) (см. [3, 4]), можно пренебречь неоднородностью основного состояния по пространственной переменной х и привести безразмерные усилия к виду:

'хх (х,') = — Л0 — Л1 СОБ 0/,

'рр( x') =

ЪaQ2 Ъс (ъ2 - aQ2)- )

•XicosQt

<< Хх cos 6t.

В силу этой оценки, амплитуда окружного усилия tpp много меньше амплитуды продольного усилия txx, что позволяет, в дальнейшем, пренебречь этой величиной.

Возвращаемся к системе (10) и строим ее решение в виде рядов Фурье (i = 2, 4): да

У1 (( ^t) = Z ylmn (t) sin(nmx) cos(npX

m,n=1

да

У, (X ^, t) = Z y'mn (t) cos(nmx) cos(npX

m,n=1

да

У,+1 (x,P, t )= Z y'mln(t )sm(mix)sm(np). (15)

m,n=1 (15)

Представления (15) позволяют отделить пространственные переменные x, р в задаче (10) и удовлетворить ее краевым условиям. В результате получаем последовательность систем обыкновенных дифференциальных уравнений, распадающихся по индексам m и n: d 2 у

Amn , 2mn + (mn - ( + 41 cos dt)Cmn )ym = ° dt2

(16)

где Amn, Bmn, Cmn - матрицы 5x5, с постоянными коэффициентами, элементы которых несложно получить из соответствующих элементов матриц

x

А, В, С. Отметим некоторые предельные формы системы (16).

1. Полагая — = — = 0 и выполняя переход д2/д.2 ^ -ю2, получаем систему

(Втп ю Атп)'Утп 0,

решения которой определяют спектр собственных частот ю и форм собственных колебаний оболочки. Эффективный метод решения этой задачи приведен в [1] и реализован автором в [2, 10].

2. Полагая —1 = 0 и принимая д2/д.2 = 0, получаем систему

(Втп Л Стп)’утп °

решения которой формируют спектр статических критических усилий Л и форм потери устойчивости [1, 4].

Возвращаясь к (16), видим, что задача динамической неустойчивости состояния (14) сведена к исследованию устойчивости тривиального решения матричного уравнения Матье (16). Следуя методике, изложенной в [4, 5], ищем решения периодов Т и 2Т, где Т = 2п/0 - период возмущающей нагрузки. Такие решения представляем в виде тригонометрического ряда Фурье с векторными коэффициентами:

0к$ 1 тп ■ 0к. ,

_+Ьтп мп —. (17)

Утп ()= £1 аГ СОЭ-

к=0'

Подставляя (17) в (16) и приравнивая к нулю общие члены каждого из четырех полученных рядов Фурье, приходим к четырем бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Условие существования нетривиального решения этих систем заключается в равенстве нулю определителей, составленных из их коэффициентов. Так получаем бесконечные определители Хилла [4, 5]:

ёй(лтп -02О.тп)= 0,1 = 1,...,4 , (18)

где 1 = 1, 2 соответствуют нечетным к (решения периода 2Т ); 1 = 3, 4 - четным к (решения периода Т ); матрицы Л, О имеют блочную трехдиагональную структуру, элементами которой служат 5x5 матрицы:

лтп =

Втп —Стп + ‘

——С

2 тп

-—С

2 тп Втп — —Ст

- — С

2 тп

0

- — С

2 тп

ОГ'2' = -1)2 А

4

п

*3,4

от4 =

Втп '

\ да

А тп 5 1 =1

^да

1=1,

(19)

птп_____и Л

п12 = ±“

птп _

,

—-С х>3

2 тп 3

— — С (В — — С )—1 — С птп = 0

2 тпх тп Л0^ тп) 2 тп ,**4 _ 0

Анализ уравнения (18), с учетом (19), показывает, что задача определения границ областей динамической неустойчивости системы (16) в пространстве параметров (0, —0, —1) сводится к решению обобщенной проблемы собственных значений. Численное исследование этой задачи осуществлялось методом редукции [9]. Согласно этому методу решение строится как предел последовательности конечномерных задач порядка 5N, при N ^ да. Критерием завершения процесса служит стабилизация расчетных значений исследуемого участка спектра. Вычисления показали, что для определения первых четырех областей достаточно положить N = 6.

Следует отметить, что, пренебрегая в системе (16) инерцией вращения и инерцией поперечных сдвигов, получаем одно дифференциальное уравнение Матье вида:

А2 у 1

А а

+ —{ь — (—0 + —1 соб0 ) )у = 0,

(20)

а, Ь, с = const > 0,

ю2 = Ь / а, = Ь / с. (21)

Вводя параметры (— , —! ) = (Л^/Л , —1/— ), 0 < —о , —1 < 1, и учитывая (21), уравнение (20) переписываем в форме:

2

А-У + ю2 (1 — (—0 + Л— СОБ 0 ))у = 0. (22)

А.

Для сравнения полученных в работе результатов с уже известными [3, 4], приведем приближенные формулы Болотина [3, 4] для уравнения Матье (22), установленные им в рамках классической теории:

главная область:

2^1 — —0 — 0.5— <0< 2^1 ——0 + 0.5—; (23.1)

вторая область:

1—— — -(—) <Ю<^1——+; (23.2)

третья область:

32(1——0)—18—

<

<*< — — — 32(1—Л0>+18—* •

(23.3)

где

Ниже представлены некоторые результаты численных расчетов, проведенных в следующих случаях:

(а) в рамках неклассической теории с учетом всех инерционных слагаемых по формулам (18) для системы (16);

2

0

тп

тп

(б) в рамках классической теории с учетом всех инерционных слагаемых по формулам (18) для системы (16);

(в) в рамках неклассической теории с учетом лишь инерции прогиба по формулам (18) для уравнения (22);

(г) с использованием формул (23).

Области неустойчивости построены на плоскости параметров (А,ь 0) при фиксированном А,0. Рассчитывалось отношение площадей: площади, занимаемой областью неустойчивости, к площади прямоугольника, определяемого координатными осями и правой верхней граничной точкой главной области неустойчивости. Расчеты проводились для трехслойной композитной оболочки, первый и третий слои которой армированы либо в окружном направлении (1а), либо в меридиональном (2а), а второй - изотропный. Использовалась структурная модель армированного слоя [1-2]. Принимались следующие параметры геометрические:

I = 1т, Я/к = 20, 1/Я = 2, кх - к0 = к3 - к2 = 0.3к, к2 - к = 0.4к ; (24)

механические (к = 1, 3):

Е% = Е2 = 3000МПа, Ек = 250ГПа, у2 =ук = ук = 03;

Рк = Р2 = 1250кг/ж3, р| = 1710кг/м3.

структурные:

w1 = ^3 = wz1 = ^3 = 0.5.

Первая группа результатов отражает исследование погрешности, вносимой неучетом поперечных сдвиговых деформаций при построении первых трех областей динамической неустойчивости (расчет по типу (а) и (б)). Варьировались параметры Я/к, 1/Я, кк/к, а также тип армирования. Можно утверждать, что для оболочек с характеристиками Я/к > 10, 1/Я > 2 в подавляющем больтттин-стве случаев погрешность составляет менее 1-2%. Несмотря на это, расположение областей, вычисленных с учетом и без учета сдвига, отличается на процент, определяемый погрешностью вычисления низшей собственной частоты (соответствующие результаты [2, 10]). На рис. 1 изображены

Рис. 2 Главная область для оболочки армированной по типу (1а)

первые три области на плоскости (А,0 = 0, А,ь 0). Слои армированы по типу (1а). Погрешность при расчете низшей собственной частоты составила 40%, погрешность при вычислении площади области неустойчивости составила менее 1%. Коэф-

Рис.3 Главная область для оболочки армированной по типу (2а)

фициенты волнообразования, определяющие интенсивность критической статической нагрузки X , для классической модели составили п = 3, т = 3, для неклассической - п = 4, т = 5.

При изменении типа армирования наблюдается уменьшение площади, занимаемой областями. Причем эта разница сохраняется на всех плоскостях Х0. На рис. 2, 3 представлены главные области неустойчивости, выстроенные на плоскости Х0 = 0.8X для оболочки с характеристиками (24) при армировании по типу (1а) и (2а) соответственно. Занимаемая площадь в первом случае составляет 27%, во втором - 44%; погрешность при вычислении низшей собственной частоты 40% (1а) и 0.4% ((2а), области совпали).

[| | [] - по типу (в) - по типу (а)

Рис. 4. Главная область, выстроенная при К/И = 10, 1/Я = 1, толщины (24)

Рис. З. Главная область, выстроенная при R/h = 10, l/R = 15

Рис. 6. Главная область, выстроенная при R/h = 100, l/R =1

Рис. 7. Главная область, выстроенная при Я/к = 10, 1/Я = 1, толщины (25)

Вторая группа результатов представлена на рис. 4-7. Здесь исследовалась погрешность, вносимая неучетом части инерционных слагаемых (расчеты по типу (а) и (в)).

Результаты показали, что погрешность расчета

площадей возрастает при уменьшении параметров Я/к и 1/Я, достигая 50%. На рис. 4-6 представлена главная область на плоскости Х0 = 0.4Х .

Соответствующие погрешности 40% при Я/к = 10, 1/Я = 1;

20% при Я/к = 10, 1/Я = 15; менее 1% при Я/к = 100, 1/Я =

1 (области совпали).

Возрастание погрешности выявлено также при варьировании толщин слоев оболочки. Так, например, при характеристиках Я/к = 10, 1/Я = 1 переход от (24) к

к\ - к0 = к3 - к2 = 0.1к, к2 - к\ = 0.8к (25) дает уменьшение погрешности с 40% до 5%. (рис. 4, 7).

Третья группа результатов содержит выводы, сделанные при сравнении областей, выстроенных

для уравнения Матье (расчет по типу (в) и (г)). Отметим общие тенденции

Рис. 1 Области, выстроенные с учетом (а) и без учета сдвигов (б)

1. На плоскости Х0 = 0 погрешности при определении площадей первых трех областей - около 5, 30 и 50% соответственно (±2-3%).

2. С ростом амплитуды статической нагрузки погрешность расчета главной области уменьшается до 1-3%, для второй области сохраняется на уровне 25-35%, для третьей растет до 70-100%.

3. Погрешность при вычислении площади всей области неустойчивости на плоскостях X = const изменяется в пределах ±1-2%.

На рис. 8, 9 изображены границы первых трех областей на плоскостях Х0 = 0 и Х0 = 0.8X* соответственно. Характеристики оболочки (24). Погрешности составляют в первом случае 5%, 28%, 50% (суммарная 10%), во втором случае - 3.5%, 35%, 70% (суммарная 11%).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания //Новосибирск: Наука, 2001. 288 с.

2. Петрушева И. И. Свободные колебания упругой многослойной цилиндрической оболочки //Вестн.КузГТУ, 2003. №3. С. 8-17.

3. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики

)(%&)+('%*+&&$%

14

Н. В. Черданцев, В.Ю. Изаксон

цилиндрических композитных оболочек //Рига: Зинатне, 1987. 295 с.

4. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем //М: Гостехиздат, 1956

5. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения //М: Наука, 1987. 304 с.

6. Шмидт Г. Параметрические колебания // Под ред. М. З. Литвина-Седого. М: Мир, 1978. 336 с.

7. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах // М: Наука, 1987. 328 с.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости //Изд-во МГУ, 1998. 480 с.

9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ // М: Наука, 1984. 750 с.

10. Петрушева И.И. Свободные колебания слоистой упругой цилиндрической оболочки. //Труды XVIII Межресп. конф. Кемерово, 1-3 июля 2003 / Под ред. В. М. Фомина. Новосибирск, 2003. С. 140-145.

□Автор статьи:

Петрушева Ирина Ивановна - старший преподаватель каф. прикладной математики

УДК 622.241.54 Н. В. Черданцев, В.Ю. Изаксон УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫРАБОТКИ КВАДРАТНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ, ПРОЙДЕННОЙ В МАССИВЕ ОСАДОЧНЫХ ГОРНЫХ ПОРОД В ПОЛЕ ТЕКТОНИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ

Задача об устойчивости породных обнажений в окрестности горной выработки, а также задача об устойчивости самой выработки являются основными при её проектировании и сооружении. Выработка считается устойчивой, если за ее контуром не образуются зоны нарушения сплошности окружающего массива. Зоны нарушения сплошности - области, в которых при упругом распределении напряжений, происходят разрушения сдвигом или отрывом по наименее прочным направлениям породного массива, называемых поверхностями ослабления, наличие которых в массиве осадочных горных пород связано с его генезисом. Обычно расчеты напряженного состояния массива горных пород производятся при вертикальных и горизонтальных напряжениях на бесконечности. Если выработка проходится в зоне

влияния тектонических воздействий, то следует рассчитывать напряжения и деформации при произвольном направлении главных напряжениях на бесконечности и величинах не равных уН.

Следовательно, для оценки устойчивости горной выработки необходимо знать напряжённое состояние в ее окрестности. Поскольку породный массив в окрестностях протяженных горных выработок находится в состоянии плоской деформации, то задача о напряженном состоянии в их окрестности формулируется следующим образом [1]: в бесконечной невесомой прямоугольной пластине, стороны которой нагружены напряжениями

оЦ = ПУН , 022 = ЛцуН, ст33 = ЛцуН