Свободные колебания упругой многослойной цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 539.3

И.И. Петрушева СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ МНОГОСЛОЙНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Рассмотрим круговую замкнутую цилиндрическую оболочку радиуса Я, длины I и толщины к, собранную из т упругих армированных слоев постоянной толщины. В качестве отсчетной поверхности выберем внутреннюю лицевую поверхность цилиндра. Введём цилиндрическую систему координат х, ф, г, где х - расстояние, отсчитываемое вдоль образующей от края оболочки, ф - угловая, г - поперечная координата. В этой системе уравнения поверхностей раздела к-го и (к + 1)-го слоев, где к = 1, ..., т - 1, запишутся в виде :

Z=кk, 0=к0<к1<...<кт=к .

При исследовании колебаний многослойной оболочки используем неклассическую модель[1], учитывающую поперечные сдвиговые деформации.

Линейные уравнения динамики оболочки составим, считая, что её слои армированы либо вдоль образующей (меридионально), либо по окружностям, параллельным торцевым плоскостям оболочки. Примем, что интенсивность армирования не зависит от угловой координаты ф, однако может изменяться вдоль образующей. Также оболочку считаем достаточно тонкой, поэтому во всех уравнениях можно пренебречь величинами порядка к/Я по сравнению с 1. Замкнутая система уравнений динамики цилиндрической оболочки включает в себя следующие группы зависимостей [1] (здесь и ниже к = 1, ..., т - номер слоя):

- соотношения упругости:

(к) _ (к) (к) + (к) (к)

а

хх

_ аЦ £'хх' + 6фф

(1)

а(к) _ (к) (к) + а(к)(к)

° фф ~ и12 ьхх ^~и22 фф ’

а(к) _а(к) _ (к) (к)

°хф -°фк. ~азз ьхф ’

1к) _ с(к)(к) фк) _ с(к)(к);

1хг ]3 г хг > фг ~К-Г23 фг ’

- закон распределения физических составляющих вектора перемещения по толщине пакета слоёв:

дн (к)

— и х — г------------------+ л Л 1'

дх 11

(к) _

/к).

ф _ иф Я дф + Л22 Я(Р’

(к)

V / — -и? •

(2)

- соотношения деформации - перемещения:

(к) _ I’(г) •Жх (к) _ 1 ’(г) -*ф (к) _

У хг _"

с

(к)

13

,У фг

с

(к)

(к)

23

_ 0,

(к) _дих д н | длц

'хх

дх

- — г

дх

2 дх

Жх + л11

(к) джх

дх

фф

Я

ди

ф д2н (к) джф ^ — г-------— + Л 22 —------V н

дф дф2

дф

у

(к) диф г д2н дЛ22

2&хф _-----------2------------1--------Жф +

Х(Г Я,, Е> Я^-Я™ Я-*- V

дх Я дхдф

+ ..(к) дЖф +11

Л22 дх Я

дил

■ + л

дх

(к) джх Л

(3)

дф ' 22 дф

- выражение физических составляющих обобщённых усилий и моментов оболочки через составляющие напряжений в её слоях:

кк

т

[Тхх,Мхх,$хх]_ Е 1

/к)

'хх

к _1к

1МУ

Сг,

к—1 т кк

(к)

хф

11 т ‘ к

Тхф’ Мхф^хф^ Е 1

к_1кк—1

У ы ? ]_ Е кк (к)

у-фф,Мфф, Е 1 афф

Сг,

Тхг, Та.

к_1кк—1 1 кк

Сг,

кк

_ Е 1

к_1кк—1

(

(к) (к)

■хг

Сг, (4)

Ох _ Е | к _1кк—1

т кк

_ Е 1

а

(к) дл

(к) ф(к) г’

11

хх

дх

- +

хг

I ’(г)

с

(к)

13

к _1к

к—1

а(к) дЛ(22 ’(г) '

ахф дх + с(к)

Сг,

Сг;

V 23 у

- дифференциальные уравнения динамики оболочки:

дТ

дх

хх +1 — Хх + дх _ 0,

Я дф

дх

Я дф

(5)

Tpкp д2Мхх 2 д Мхф

Я дх2 Я дхдф

дх

1 д 2М,

2

фф + 1+д_Тх +

1 д У

ф

Я дф ’хх

2

+ дп _ 0,

дБ хх 1 дБфх

дх

+ ■

дБ

Я дф фф

дх Я дф

— Ох — Zx + дх _ 0,

1 дБ,

Чхт+°ф — ф+ф0

В уравнениях (1) - (5) приняты следующие обозначения:

(к) _ 1(г) — 1(кк—1) +

лаа _'

к—1 к1 + Е 1 1_1к,—1

Хх,Ух^х

с

(к)

а3

\

1(ку) — Щ- — 1)

с(1)

V са3 у

т кк ..(к)

_ Е 1 Pkvx к_1кк—1

Сг, а _ 1,2

1, г,

Сг,

*х,Ух^х,1

т кк

Е 1 Рк

к _1к

к—1

(к) (к)

.. - (к)" " Уф,гУф ,Л22Уф ,н

Сг.

Везде выше, Чх,Чф,Чп,д’х,дф - составляющие

внешних поверхностных нагрузок, явное выражение перечисленных величин представлено в [1]. Функциональный параметр распределения поперечных сдвиговых напряжений по толщине оболочки, принят в виде1 г) = г3 - 1,5 кг2.

Итак, (1) - (5) - замкнутая система, описывающая в линейном приближении колебания цилиндрической оболочки, - система пяти дифференциальных уравнений относительно функций их, иф, н, Жр жх, которая должна интегрироваться при краевых условиях, полная система которых приведена в [1]. Здесь ограничимся рассмотрением оболочки с жестко защемленными краями х = 0, х = I. Соответствующие краевые условия: дн

н _~дх ~ их _ иф_жх _жф_ 0, (6)

кроме того, в силу замкнутости контура оболочки, должно выполняться условие 2 ж-периодичности по угловой координате ф.

Следуя методике вывода [1 - 3], из системы (1) - (5) получим дифференциальные уравнения задачи о собственных колебаниях оболочки. Примем равными нулю составляющие внешних поверхностных и контурных нагрузок. Кроме того, в полученных уравнениях выполним преобразование д/д — -Ф2 (Ф - частота собственных колебаний). В результате, уравнения (5) переходят в уравнения установившихся свободных колебаний оболочки:

дТ

хх

+ -

1 дТ(

дх Я дф

ф +ф2Хх _ 0,

(7)

дТ

хф

дх

+ -

1 дТ

Я дф

фф +Ф2Х _ 0

+ Ф X ф _ 0,

д 2М

хх

+ -

2 д 2М

хф 1

д 2М

+ -

фф

дх

2 Я дхдф п2

дф 2

Т

фф

Я

+ ф

I+■

дУх

■ + -

1 дф

дх Я дф

_ 0,

дБ

хх

дх

дБ

+ -

1 дБ,

фх

хф

Я дф

1 дБ,

— Ях

Zx _ 0,

+ -

фф

Zр _ 0-

дх Я дф

Таким образом, задача о свободных колебаниях цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения [4] для системы дифференциальных уравнений с частными производными (1) - (4), (6), (7).

Сформулированная модель допускает предельный переход к уравнениям классической теории [2, 5], основанной на постулате о недеформи-рованных нормалях. Считая поперечные сдвиговые жесткости стремящимися к бесконечности, т. е. са3 — ю (а= 1, 2), замечаем, что в системе (7) исчезают (тождественно удовлетворяются) уравнения, связанные с учётом поперечных сдвиговых деформаций. Таким образом, все перечисленные соотношения (1) - (7) переходят в соответствующие соотношения классической теории, которые использованы ниже для оценки полученных результатов.

Решение поставленной задачи строим, следуя методу, изложенному в [1]. Представим систему (1) - (4), (6), (7) в матричной форме, вводя равенствами (8) безразмерную независимую переменную £, и вектор-столбец у = [уь ..,У12]Т безразмерных кинематических и силовых характеристик напряжённо-деформированного состояния оболочки:

х _1 •^ Рк _1 Рк/Ер (8)

н _ к• У1,У2 _д~, их _1 • У3,

дх

еС1

еС1

иф _ 1 • У4, жх _-1JУ5,Жр_-1JУ6,

к'

к

дМ гг 2 дМх

хх +±~ ~хф +ф2ух _ к^Е^Уу,

дх Я дф

2 т?с

ЯМхх _ к Е\1 • У8, ЯТхх _ кЕ11 • У9

ЯТфх _ кЕ11 • У10,

Ат?с

ЯБхх _ к Е11 • У11,ЕБхф_ к Е11 • У12.

с

Здесь Е1 - модуль Юнга [5] материала связующего первого (внутреннего) слоя оболочки. В этих переменных, задача приняла вид:

А^Оф)^ _ в(,Оф)у + т2с(,Вф)у, (9)

|Еб,°б\\У(0,ф) _ 0, \\Еб,Об\\У(1,ф) _ 0.

Здесь А, В, С - матрицы 12x12, элементы которых - полиномы от дифференциального оператора = д/дф с коэффициентами, зависящими от В Е6, О6 - матрицы 6x6, единичная и нулевая соответственно. Приведем выражения для элементов перечисленных матриц. С этой целью введем безразмерные параметры

рг _ кг/к (г _ 0, •••,m), 5к _ Ес/ЕГ

У_ к/Я, 3_ 1/Я, где Екс - модуль Юнга связующего к-го слоя, безразмерные тангенциальные и поперечные жесткости слоев

а<к> _ Ep(^‘), с(3к) _ ЕСС<к),

С2 _ 4к> (4к>—дс(if>/дв)

и примем обозначения:

Чк _ .

рк рк—1

г +1

Лц _ 0, Аг,к+1 _ Лгк + [ рк 1,5 Рк

*кС1к 5к+1С(к+1

г1

41 _ 0, у1,к+1 _ угк + \рк —1,5рк

х

С(к+‘)

г2

С(к) Л

г

*к+1С<(к+^С<(1к+1 8к4к4к

V .. .. 41 "11 *к"ц "11 у

аР _ 6 а5* 4к + (к — 152кУх

52С(к/С(к/

к а1 Р1

(

\

Лак

чСр} ЧС,

- + -

Лрк

(к)

а1

+

ЛакЛр10к;

- С^ос2 (3+],к 1512+],к)

Ча]к_ (к ) (к ) + Уак11к;

Чарк-~

С0 2 ( к — 315 к + 2,2514ку

*2/к)/к)С(к) 5 к Са1 Са1 Ср1

(к —1,512к )х

уак

Ра

13+],к —1,512+],к

+

уакЛрк10к;

'а]к _

^оо/

+

Лак1 ]к;

Лгк _

С

(к)

12

2

5кС(к)С(к)

(к — 315к + 2,2514к ) —

С(к)

\ угкС\2 2

-2(к -1512к )-ук^) ^

Выражения для ненулевых элементов агр Ьг]- матриц А , в:

у2 т (к) а11 _ I а22 _-------3 Е skb1]12k,

53 к_1

1

т

а23 _^Е 5кь1/11к

к_1

1

т

(к)-

а25 _- Е 5кь1/г11к

3

к _1

2

у 1т ь(к) 1

а32 _------2a23, а33 _^Е 5кЬП ^,

з2 3 к_1 11

X

X

X

1

X

1

1

а

о,

II

I

к-а

а

X

*г

ms

^ ms

Ьп

<>

Oj \ Oj ?*-

^ I

о

*г

Qj

-s I

о.

Qj

>5

о

^ rV4 ^ I

о

о

о,

a a

u> Kj

II II

1 ^ 1^

*г

Оо |

М3 н М3

>5

О

^ Г^4

^ I ?Г

ms

Kj

>5 <> Kj ;v ^ і

о

*г

Qj

~§ I

а

о

о

о

Oj

*г

CD

MS

Ьп

<>

Kj ;v

о

*r

Oj

■s

Oj

a

о

Kj

II

I

;v

Oj

-S

Oj

a

Oo

ON

*r

Kj

Ъ) 1^ Kj I Kj

lT MS

bn

<>

^"•«■4 '■""*\

Kj ;v

CD

-S

Oj

a

Oo

-iv

*r

ms

bn <> Oj^N Oj ?*-

>S

Kj

^"•«■4

;v

a

Oo

Oo

a

ої

Kj

MS

bn

<>

Oj \ Oj ?*-

?h

*r

I Ъ)

^ms

bn

<>

^"“«■4 '■""*\

Kj ;v

^ I

^"“«■4

О

*r

I

■Ч I

*r

Oj

-s

Kj

Oj

Kj

a

Oj

N

I

I o, М3

>5

O

>~~~4 '~-,V4

Kj ?r

--------------,

'-K

Q>

I

X

>~~~4

Oj

"в

Kj

Oj

Kj

Й

a

Kj

O,

N

М3

>5

O

>~~~4

Kj ^

I

X

Kj

Oj

"в

Kj

a

2>

On

o,

Oj

Kj

М3

>5

о

U>—\ Oj ?r

Kj

Kj

a

-t^

-t^

Oo

a

Oj

o,

^MS

>!

Oj—X Oj ?7-

М3

>5

>~~~4 '—V4

■4 I

>~~~4

Oo

bo

?!?-

4^

•N

bo

MS

>!

Sr*

U)-N

Oo

bo

?!?-

CD

bo

^1

On

?!?-

I ^

Kj

CD

bo

MS

>!

?!?-

bo-4 bo Sr*

>s I bo ?!?-^ I Г>л

-s ^

\1

4^

Kj

^ М3

>5

o

Kj—n Kj ?V

C5

CD

~S

Q)

>s 1 Kj ^«4

?!?-

CD U> CD U> Q) -s Oo O) Oo

4_ У У

'vl

5V

>!

Sr*

bo-4 bo ?!?-

?!?-

I

bo

X

О

P'

M з і

?!?-

CD

*8

bo

Oj>

bo

+

bo

bo

?!?-

CD

CD

4^

<>

ON

Kj

1^ Kj I Kj &

Oo

Os

О

On

On

<>

Os

Oj

О

p\

ms

bn

<>

Oj \ Oj ^r-

^ I

Kj

Q}

Cl)

0

о,

°ll

1

о

о,

On

I

£

О

о,

I

Si

^*«4

ъ,

о

4^

U>

О

4^

4^

CD I

-s I

CD

Оз h< Kj I Kj Si

4i^

О

-к

I

£

о

-к

On

О

t\j

Oo

Uj

О

Oo

On

І

О

Oo

'О

о

4i^

Kj

О) h<

Kj I Kj Si

00

4i^

О

і

Kj

Oi

I

Kj| Kj

u!

Kj I Kj

Cj

Kj

Kj

Os

Kj ічо

a

Kj

Kj

Kj

Kj

I

a

Kj

Kj

-IV

Kj

On

I t4J

a

Kj

>5

O Oo-^s U> ?T-

Kj

Kj

>~~~4

Kj

>~~~4

Kj

a

>~~~4

Kj

O,

М3 ?r

М3

>5

>~~~4 '—V4

Kj

Kj

Oj

■s I

Kj

?Г

Oj

Kj

Oj

MS

bn

?r

o

Oj-^4

Oj ?r

^ I

Kj

C>

?r

;ма

bn

*r

^**4 ""^s Kj ;v

^ I Kj C> ?r

Oj

Kj

Kj

II

I

Kj

Kj

iT ms

bn

*r

<>

Kj ;v

Oj

Kj

Oj I

-S I

Qj

Os

_MS

bn

?r

o

Oj-^4

Oj ?r

*3~

?r Oj I

Oj

т

ъ83 = -25 Е Экь3кз^1к -^2’ к=1 др2

т „ )_ д2

ъ85 =-25 Е Чъ(3 г11к----------2

к=1 33 др2

ъ 2 т ъ(к)~ д

ъ86 =-2 Е зкъ33 Ч21кТ~’ к=1 33 дР

ъ87 = 1’ ъ9,10 =-<5дГ’ др

т

ъ10 ,1 = -- Е ЧЪ22 к=1

д д *0к~------*1к

3 Л

др

т сз\ д 2

ъ10,4 = -5Е икъ22 *0к-^~2’

др3

к=1

т

(к)~_

ъ10 ,5 = - Е 5къ12^10к

к=1

др

д_

др

т (к )- д2

ъ10,6 = -5 Е $къ22 г20к—^

к=1

ъ11,1 = уЕ 4^2

др

5

к=1

д

2 Л

чюк -Г411к—г др2

,2

у2 т (к)- д2

ъ11,2 = 2-5 Е ^къ33г11к-------2’

5 к=1 33 др2

т

ъ11,3 =-5 Е як^ЛКюк -^2’ ъ11’4 = -Ъ10 ,5’ к=1 33 др2

т

ъ11 , 5 = Е sk к=1

1ъ(кЛ

/кЛ

д

2 Л

5ъ11 ч1к -5ъ33 г11к 5 др

2

+

95 Е *4,к - 2{3, к +12’к + у2 Г1 Лк) '

- к=1 зкСц

т

(к).

(к).

Л д

ъ11,6 = Е 5к[ъ12 Я12к -ъзз Я21кУр

-2 --

ъ12,1 =---2ъ76’ ъ12,2 = 2ъ86 ’

52 52

ъ Е ъ(к)~ д

ъ12,3 = Е Чъ33Ч20к д-’ к=1 33 др

т (к)~ д2 ъ12,4 =-5 Е ь'къ22 г20к —у’ ъ12,5 = -ъ11 ,6’

к=1

др

т

ъ12’6 = Е *к к=1

( 2 Л

55ъ33^2к -5ъ2к2)г22к 9

др

2

95 Е *4’ к - 2*3’ к + *2’ к

+ 2 ' у2 к=1

Выражения для ненулевых элементов Су матрицы параметрических членов С:

1 т _ С71 =-5Е Рк 5 к=1

(

2 д

*0к - - *2к-------;

др

2 Л

т - д С74 = -Е Рк*1к—’ к=1

др

т

2

т.

С76 =-Е Ркг21кд-’ С82 = — ЕРк*2к’ к=1 др 53 к=1

1 т_ 1 т_ _

С83 = -5 ЕРк*1к’ С85 = -5 ЕРкг11к’ 5 к=1 5 к=1

С92 =■

5

,2

~2

С83

1 т_ 1 т_ _

С93 = -5 ЕРк*0к’С95 = -5 ЕРкг10к’ 5 к=1 5 к=1

2

-

С10,1 =-2с74’ С10 ’ 3 = С93’

52

2 ~2

1 т----- у

С10,6 =-~ ЕРкг20к’ сЦ2 =-------тС85’

5

к=1

т

5

СЦ 3 = С95’

2

С11’5 =-5 ЕР^Пк’ С12’1 =-У2С76’

к=1

2

1 т_

С12’4 = С10,6’ С12’6 =-5 ЕРкг22к.

5 к=1

Отметим, что уравнения классической теории могут быть получены из уравнений (9) вычёркиванием из матриц А, В, С строк и столбцов с номерами 5, 6, 11, 12. Описанный выше предельный переход гарантирует, что элементы соответствующих строк и столбцов обращаются в нуль. Таким образом, коэффициенты классической системы дифференциальных уравнений свободных колебаний цилиндрической оболочки составляют матрицы размера 8x8.

Решение задачи (9) строим в виде тригонометрического ряда Фурье [6] с векторными коэффициентами уп(£):

у = Е Уп(£) • епр.

п=0

(10)

+

Очевидно, что представление решения в форме (10) позволяет удовлетворить условию периодичности по угловой координате. Подставляя это решение в краевую задачу (9) и отделяя угловую переменную, приходим к распадающимся по индексу п линейным краевым задачам на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений:

(11)

у'п(4) = Ап1(^)Вп(^)уп(^) +

+ а Ап (4 )Сп(4 )уп(4 ), \\Еб,О6\\у(0) = 0, \\Е6,06\\у(1) = 0.

Элементы матриц Ап, Вп, Сп легко получить из элементов матриц А, В, С, выполнив преобразование Оф ^ іп. При анализе системы (9) видно, что во всех уравнениях степени оператора Оф, действующего на 4, 6, 10, 12 компоненты вектора у, и степени этого оператора на остальных компонентах имеют противоположенные четности. Поэтому задачи (11) приводятся к вещественным, если элементы вектора у с номерами 4, 6, 10, 12 умножить на мнимую единицу і.

Обозначив через G(^, р) матрицу Грина [1, 4, 7] краевой задачи ассоциированной с (11)

у'п(4) = А~1(^)Вп(^)уп(^),

перейдем к равносильной задаче поиска спектра линейной однородной системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода [4, 7]:

21 -1 уп(4) -® I°п(£,Р)Ап (р)Сп(р)уп(Р)Ф = 0. 0

(12)

Решение (12) строим в пространстве Ь2(0, 1) методом Бубнова - Галеркина [8, 9]. Согласно этому методу, выберем в Ь2(0, 1) полную линейно независимую ортонормированную систему непрерывных функций {ук(4)\™ 1 [6, 10]. Приближенное решение упь системы (12) ищем в виде :

Ь

упЬ(^) = Еск • Ук(%,). к=1

Подставляя в (12) и требуя ортогональности невязки ко всем координатным векторам

{к(4 )'\кі = 1 , приходим к системе линейных однородных уравнений для определения ск:

сі = а2 х

I 1( 1

Л

х Е ск I IОп(^,Р)Ап1(Р)Сп(Р)Ук(Р)Лр к=1 0І.0 )

і = 1,...,Ь.

(13)

Внутренние интегралы в (13) являются решениями краевых задач

7 '(4) = Ап 1 (£)Вп (4)2(4) + й2Ап} (£)Сп (4)2(4)’ \\Е6’0^2(0) = 0’ \\Е6’С>6\2(1) = 0, которые эффективно вычисляются по методу инвариантного погружения [1]. Вычисление внешних интегралов с помощью квадратурной формулы Симпсона [11] завершает формирование матрицы коэффициентов системы (13). Физический интерес представляют только нетривиальные решения этой системы. Определение таких решений осуществлялось численно при помощи РЯ-алгоритма в сочетании с приведением матрицы к верхней форме Хессенберга [12]. Ниже представлены результаты расчетов. При вычислениях использована модель армированного слоя, описанная в [1].

В табл. 1 приведены данные, позволяющие оценить скорость сходимости метода относительно параметра Ь, и соответствующие значения шести низших собственных частот (й0, ■ ■■ й5 осесимметричных форм колебаний. Результаты получены для двухслойной композитной цилиндрической оболочки, первый (внутренний) слой которой армирован в меридиональном направлении, а второй - в окружном. Принимаем геометрические:

I = 10т’ 1/Я = 2’ Я/И = 20’ И] - к0 = И2 - И] = 0.5

(14)

механические:

Ес} = Ес2 = 3000МПа, Е^ = Еа = 250ГПа,

с с а а п о У1 =У2 =У1 =У2 = а3

.3 а

(15)

3

Vi(4)d4,

рС = р2 = 1250кг / м ’ рЦ = Р® = 1710кг /м и структурные:

^1 = W2 = ™г1 = WZ2 = 0.5 (16)

параметры оболочки.

Координатные функции были выбраны в виде:

у2](4) = 42к-1Рк_1(24-1)• е]’ (17)

где Рк(*) - ортогональные на отрезке [-1, 1] поли-

Г

номы Лежандра [10, 13]; еj - ортонормирован-

ные векторы базиса в декартовой системе координат К12 [10].

Из табл. 1 видно, что в рассмотренном процессе приближения сверху к точным значениям собственных частот, стабилизация вычисления трех низших частот достигается при Ь = 6, четвертой - при Ь = 8, пятой - при Ь = 10, а шестой -при Ь = 12. Расчеты показали, что описанная ситуация типична и в случае неосесимметричных форм колебаний, это позволило во всех дальнейших расчетах принять Ь = 12. Отметим, что в описанном примере осесимметричные формы собственных колебаний, соответствующие частотам й2’ й)3’ й5, являются изгибными, а частотам й0, й)]’

Таблица 1

Оценка скорости сходимости относительно параметра Ь, Гц

Ь со0 ®і со2 со3 со4 СО 5

4 352.45 707.26 1 016.99 1 035.12 1 462.90 1 512.56

6 352.35 704.72 1 015.59 1 026.65 1 071.24 1 086.31

8 352.35 704.71 1 015.59 1 026.58 1 057.29 1 059.32

10 352.35 704.71 1 015.59 1 026.58 1 057.06 1 058.59

12 352.35 704.71 1 015.59 1 026.58 1 057.06 1 058.58

14 352.35 704.71 1 015.59 1 026.58 1 057.06 1 058.58

16 352.35 704.71 1 015.59 1 026.58 1 057.06 1 058.58

этих расчетов, полученных при параметрах

(14) - (17), на рис.2. Из графика, как и из таблицы, следует, что все представленные частоты имеют минимумы, на наличие которых указано в монографиях [1, 2, 5].

Проведено исследование зависимости значений низших собственных частот а 0,... а5 при варьировании параметра Я/к, остальные характеристики оболочки соответствуют (14) - (17). В таблице 3 представлены результаты, из которых следует, что в случае осесимметричных колебаниях

изгибные формы крутильные формы

Рис. 1. Формы колебаний, соответствующие частотам аь ю3 - ю5.

Таблица 2

Зависимость низших собственных частот от параметра волнообразования, Гц

її неклассическая теория классическая теория относ погрешность, %

со0 ®і со2 со0 ®і со2 со0 ®і со2

0 352 705 1 016 352 705 1 016 0.0 0.0 0.0

2 172 340 518 172 342 524 -0.4 -0.7 -1.2

4 184 279 420 186 283 429 -1.2 -1.5 -2.3

6 347 398 499 356 410 516 -2.7 -2.9 -3.4

8 589 623 696 617 653 731 -4.7 -4.8 -5.1

10 891 917 972 954 982 1 043 -7.0 -7.1 -7.2

12 1 242 1 263 1 307 1 362 1 385 1 435 -9.7 -9.7 -9.8

14 1 632 1 651 1 688 1 837 1 858 1 900 -12.6 -12.5 -12.6

w

й4 - крутильными (рис.1).

В табл. 2 приведены результаты расчета трех низших собственных частот свободных колебаний цилиндрической оболочки в зависимости от параметра окружного волнообразования п. Из таблицы следует, что неучет поперечных сдвиговых деформаций приводит к завышению расчетных значений собственных частот, которое увеличивается с ростом номера п. Однако, в случае осесимметричных колебаний (п = 0) погрешность составила менее десятых процента.

Графическая иллюстрация

для частоты ш5 погрешность составляет не более 3%, при этом для остальных частот она не превышает 0,3%. Поэтому можно говорить о пренебре-

■ш0

-\ы1

Рис. 2. Зависимость от параметра п трех низших собственных частот

п

Таблица 3

Зависимость частот от толщины оболочки, Гц

п=0 неклассическая теория классическая теория

Мі со0 со2 со3 со4 СҐЦ о)0 О)-. О), 0), 05 ^

10 352 1 020 1 053 1 057 1 143 352 1 020 1 053 1 059 1 173

20 352 1 016 1 027 1 057 1 059 352 1 016 1 027 1 057 1 062

30 352 1 015 1 020 1 037 1 057 352 1 015 1 020 1 037 1 057

40 352 1 014 1 017 1 028 1 048 352 1 014 1 017 1 028 1 049

60 352 1 014 1 015 1 021 1 031 352 1 014 1 015 1 021 1 031

її = 2 неклассическая теория классическая теория

Мі со0 кь со. со4 СҐЦ со0 аь Юз а>4 05 ^

К) 202 655 940 1 258 1 601 205 701 1 045 1 460 1 650

20 172 518 707 915 1 147 172 524 723 949 1 212

30 164 478 632 790 959 164 480 637 800 978

40 161 462 600 734 869 161 463 602 738 877

60 158 449 574 687 792 158 449 575 688 794

п = 0

п = 2

40

*

50

10

20

30

40

50 60

-\МЭ,\«2

-\«3

..w4

-w5

-w0---------w2-

-w3■

.w4 ■

-w5

Рис. 3. Относительная погрешность вычисления частот а а2 - а5 при варьировании параметра К/к

жимо малом влиянии введенного уточнения. Однако, уже при п = 2, неучет поперечных сдвиговых деформаций приводит к увеличению расчетных значений частот толстых оболочек от 2 до 16%, при этом частоты колебаний тонких оболочек завышаются менее чем на 4% (рис. 3).

Аналогичная картина (табл. 4) наблюдается

частот коротких оболочек (1/Я = 0,5), полученные на основе уравнений классической теории, больше соответствующих значений, определяемых с учетом сдвига, в пределах от 1,5 до 15%. Для остальных случаев уточнения незначительны и составляют менее 2%. При п = 2, неучет сдвига приводит, для коротких оболочек, к увеличению значе-

при варьировании параметра 1/К. В случае осе- ния частоты О1 на 9,7%, а О5 - на 18%. С измене-

симметричных колебаний расчетные значения

Таблица 4

Зависимость частот от длины оболочки, Гц

п=0 неклассическая теория классическая теория

1/К 0), ,3 3 3 3 051 05? 3 3 -1^ он

0.5 352 437 690 705 1 010 352 476 705 813 1 057

1 513 547 634 705 788 513 549 649 705 830

1.5 705 762 774 808 876 705 762 775 81 1 885

2 705 1 015 1 020 1 037 1 057 705 1 015 1 020 1 037 1 057

4 705 1 057 1 409 1 589 1 762 705 1 057 1 409 1 589 1 762

її = 2 неклассическая теория классическая теория

Мі 051 05, 0)з 3 3 051 052 Юз 0), 0),

0.5 403 650 682 883 1 004 442 656 798 886 1 185

1 335 510 714 957 1 181 339 526 757 1 047 1 185

1.5 325 483 646 826 1 030 327 487 657 852 1 081

2 322 478 632 790 959 323 480 637 800 978

4 313 473 629 782 933 313 474 630 784 936

п = 0 п = 2

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Рис. 4. Относительная погрешность вычисления частот ааг - а5 при варьировании параметра 1/Я

Таблица 5

Зависимость частот от материалов слоев оболочки, Гц

п = 2 со\ Е .001 0.125 5 25 100 400 800 400 800

со0 347 365 360 329 336 397 362 64 53

неклассическая теория ®і 599 632 627 573 584 689 626 136 113

кь 734 782 798 727 732 852 771 221 183

со, 801 870 937 844 829 943 847 280 203

С04 845 950 1 100 970 919 1 013 902 317 242

со, 888 1 048 1 308 1 119 1 016 1 083 956 «особый случай» 336 262

классическая теория со0 347 365 360 330 340 405 372 68 60

С0і 599 632 628 577 594 711 650 158 149

С0т 734 782 802 739 761 913 833 276 202

со, 801 870 946 877 904 1 086 990 293 245

С04 845 952 1 122 1 046 1 079 8 1 183 335 272

со, 888 1 051 1 351 1 267 1 308 1 576 1 434 418 318

относительная погреш- ность^ со0 0.0 0.0 0.0 -0.5 -1.2 -2.2 -2.5 -5.9 -13.4

С0і 0.0 0.0 -0.2 -0.7 -1.8 -3.3 -3.9 -16.2 -31.6

СОт 0.0 0.0 -0.4 -1.6 -4.0 -7.1 -8.0 -24.7 -10.3

со3 0.0 -0.1 -0.9 -3.9 -9.0 -15.1 -16.8 -4.5 -20.7

С04 0.0 -0.1 -1.9 -7.8 -17.5 -28.1 -31.1 -5.7 -12.4

со, 0.0 -0.3 -3.3 -13.2 -28.8 -45.5 -50.0 -24.1 -21.1

нием параметра 1/Я от 1,5 до 4, прослеживается тенденция к уменьшению погрешности вычисления всех частот до 0,2%.

Из сказанного следует, что длинные оболочки при параметрах (14) - (17) нечувствительны к уточнению неклассической теории.

В табл. 5 приведены результаты, полученные при варьировании механических параметров материала. Здесь рассматривалась трехслойная оболочка, собранная из изотропных слоев, причем первый и третий слои одинаковы. Варьировалось отношение модулей Юнга первого (£1) и второго (Е2) слоев. Параметры (14), (16), (17) остались прежними, лишь Я/к = 30. Обозначим через Е = Е1 / Е2. Анализ данных позволяет говорить о том, что если частоты а0 и а, полученные без учета сдвига, завышены не более чем на 4%, ю2 - до 8%,

то погрешность при вычислении частот ю4 и ю5 достигает 50%; причем она резко возросла для Е > 100. Если же оболочку собрать иначе: первый и третий слои армировать меридионально, второй слой определить как изотропный из связующего, то погрешность расчета становится значительной и при расчете низших частотах (см. «особый случай» в таблице 5, здесь Е = Е^ ^2 ). Действительно, если Е = 400, то частота ю1 завышена на 16%, а а>2 и ю5 - на 24%; при Е = 800 значения ю0 и сс>4 больше уточненного на 13%, а>1 - на 31%, и - на 21%. Очевидно, что в подобных ситуациях, учет поперечных сдвигов несет большую ответственность. Интересно, что при аналогичном окружном армировании погрешность вычисления всех частот не превосходит 3%.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. -Новосибирск: Наука, 2001. 288 с.

2. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. -Рига: Зинатне, 1987. 295 с.

3. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. -М.: Наука, 1979. 383 с.

4. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1974. Т.4. Ч.1,2. 880 с.

5. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Наука, 1966. 635 с.

6. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1974. Т.2. 655 с.

7. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Наука, 1959. 655 с.

8. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. 512 с.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1977. 656 с.

10. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1984. 752 с.

11. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1974. Т.1. 480 с.

12. УилкинсонДж. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970.

13. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1974. Т.3. Ч.2. 672 с.

□ Автор статьи:

Петрушева Ирина Ивановна - старший преподаватель каф. прикладной математики

УДК 624.131.5: 550.372 С.М. Простов, О.В. Герасимов, Е.А. Мальцев КОМПЛЕКСНЫЙ ГЕОКОНТРОЛЬ ПРОЦЕССОВ ИНЪЕКЦИОННОГО УКРЕПЛЕНИЯ ВЛАГОНАСЫЩЕННЫХ ГРУНТОВ

Опытно-промышленные испытания ком-

плексного метода геоконтроля гидродинамических и геомеханических процессов в закрепляемых грунтах проведены на площадке строящейся базы служебного автотранспорта ОВО (г. Кемерово, ул. Железнодорожная). Исследование физикомеханических свойств грунтов, проектирование и устройство фундаментов здания базы в обводненных неустойчивых грунтах с изготовлением буроинъекционных свай методом фиксировано-высоконапорной цементации по технологии ООО "НООЦЕНТР -Д" проведены в 2002 - 2003 гг.

Методической основой комплексного геоэлек-трического контроля являются экспериментально установленные в [1] диапазоны изменения удельного электросопротивления глинистых грунтов при их насыщении природными и закрепляющими растворами разной концентрации в широком диапазоне частот и твердении грунтовых образцов.

Согласно инженерно-геологическим изысканиям, прорезаемые буроинъекционными сваями геологические слои представлены почвой с включением строительного и бытового мусора, суглинками легкими высокопористыми от бурых до серых, суглинками тяжелыми серыми высокопористыми. Наличие подстилающего слоя тяжелых суг-

линков способствовало образованию безнапорного горизонта грунтовых вод на глубине 0,3-1,0 м от земной поверхности и заболачиванию местности, что потребовало применения специальной технологии выполнения фундаментов с закреплением.

Технология закрепления состояла в следующем. На участке изготовления буроинъекционных свай пробурены лидерные скважины на глубину 0,6-0,7 м, через которые задавливались перфорированные инъекторы на глубину 5,5 м. В устьевой части инъекторов на глубину 0,5 м выполнен тампонаж затрубного пространства раствором на расширяющемся цементе. После монтажа инъек-торов производились работы по устройству железобетонного ростверка, а затем осуществлось поочередное нагнетание в инъекторы цементнопесчаного раствора.

Раствор имел следующий состав (на 1 м3): песок мелкий с примесью глинистых частиц до 2% и пылеватых частиц до 20% - 1150 кг; портландцемент М400-750 кг; вода - 450 л; специальные патентованные добавки; контрастная соль ЫаС1 -5 кг.

Давление нагнетания поддерживали постоянным Р = 0,8-1 МПа по зажимной схеме, время на-