Свободные колебания упругого многослойного сферического пояса Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 539.3

И.И. Петрушева

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО МНОГОСЛОЙНОГО СФЕРИЧЕСКОГО ПОЯСА

В работах [10, 11] выполнено исследование установившихся свободных колебаний многослойных армированных цилиндрических оболочек. В данной работе продолжена разработка этой темы. Ниже приведены некоторые новые результаты численного исследования спектра собственных частот и собственных форм свободных колебаний многослойного армированного сферического пояса, полученные как с учетом, так и без учета поперечных сдвиговых деформаций.

Рассмотрим многослойную сферическую оболочка радиуса Я, толщины И, собранная из т упругих армированных ортотропных слоёв постоянной толщины. На её внутренней поверхности введем систему гауссовых координат 5, р, где 5 -длина дуги меридиана, р - угловая координата (0 < р< 2л). Координатные линии этой системы совпадают с линиями кривизны сферической поверхности. Параметры Ламе (А1, А2) и радиусы кривизны (Я], Я2) [1, гл.1, 3] этих линий таковы:

А1 = 1, А2 = Я ■ 5т(/), Я1 = Я2 = Я, где /= /2 - 5 /Я.

Вводя поперечную координату г, отсчитываемую вдоль нормали к поверхности приведения, получим пространственную систему 5, р, г. В этой координатной системе уравнения поверхностей

раздела к-го и (к + 1)-го слоев, где к = 1, ..., т - 1, запишутся в виде:

г = Ик, 0 = И0 < И < ... < Ит = < И.

Ниже рассматривается задача о свободных установившихся колебаний многослойного армиро-

ванного сферического пояса, вырезанного из сферической оболочки нормальными сечениями 5 = 0, 5 = 51 (торцы Г2 и Г\, рис. 1).

При исследовании поставленной задачи используем линеаризованные уравнения динамики сферической оболочки, полученные с привлечением неклассической модели деформирования, учитывающей поперечные сдвиговые деформации

[1].

Принимаем, что направления осей ортотропии (армирования) совпадают с направлением координатных осей, а интенсивность армирования не

зависит от координаты р, однако может изменяться вдоль меридиональной координаты 5. Оболочку считаем достаточно тонкой и пренебрегаем во всех уравнениях величинами порядка И/Я по сравнению с 1. Замкнутая система уравнений динамики сферической оболочки включает в себя следующие группы зависимостей [1, гл. 3, § 5] (здесь и ниже к = 1, ..., т - номер слоя):

- соотношения упругости:

а(к) _ а(к)є(к) + а(к)є(к) °(( ~иЦ Ь(( 12 ЬЩ> ’

а(к) _ а(к)є(к) + а(к)£(к) и ~ и12 с,(( ~и 22 кк ’

(1)

а(к) _а(к) _ а(к)с(к) и(( ~и((

_ а33 є((

1к) - (2(к)у(к) т(к) - П(к)у(к)

Ьг 13 /яг ’ 1рг 23 'рг ■

- закон распределения физических составляющих вектора перемещения по толщине пакета слоёв:

8М | (к)

85

(к) -1

>{к' _■■,

и(Г' _ и( - г^ + М(('

(2)

и(к) _и -иф — иф

г дм (к)

----------+м2? жк,

Яіїпудк 22 к

- соотношения деформации-перемещения:

/к) - /’(г) Гк) - / ’ (г) л

,(к) ’ГРГ

_"

О

13

е(к) _ди(-г *(( — *

д 2м

~(к) _ 'кк

д(

1

Я (іп у

д,(

ди

+

О

дМ(п

д(

(к)

23

к р(к) _

_ о, (3)

к

, (к) П( +м(і

д 2м

дж

м

---”--1----,

д( Я

дм

+ гсо(/---------+

д( Я (іп у д(2 д(

+ (к) 8nm ( + (к) )+ . ^

+ и22 d cosV\us + Mjj Л ¡+ sinV' w

2е(к) - 8UV

2z 8 2w

'sp

8s Rsiny 8s8m

2z cos у/ 8w + 8U22

. (к) 8n(p .

Л m + U 22--------------+

8s m 22 8s

+ -

R2 sin2 y 8p

1 (8us + (к) 8л s ( (к) ^

---------+ Un — -cosyum -uWЛт

Rsiny [8m m1 8p Гут И22 m

- выражение физических составляющих обоб щённых усилий и моментов оболочки через со ставляющие напряжений в её слоях:

J

h

m пк

[Tss,Mss,Sss]-£ ¡аЦк) [i, z, Ul

dz, (4)

к-1h„

Ssт, Sm]- Z 1а^т) 1 z,M(22}, U(n к-1ht -,

dz,

h

m к

Z M S ]- ’S' [а(к) v-mm’ mm’ mm\ ¿a ¡ mm

к-1h

(к) 1,z, U22

dz,

( 8и(к) t ^

(к) 8U11 - Ctg у _(к)

fti к Qs = 11

к-1К

as

8s

r ~°mm X

(к)

v

( ( (к)

( (к) (к)),^Vf'(z)

\u1i - u22 )+ (к)

G13

dz

Qm-Z j2

k-1 h

a

sm

ctgy ((к) -и(к) V ^^22

r \U22 U11 )+ 8s

mjf '(z)

q(2)

g23

dz.

уравнения динамики оболочки:

8Ts

8(Ш¥-t„) + cosy, Tm + - *<■

8s w 8m

- Rsiny ■ X s + R sin y ■ q1 - 0,

(5)

8(R sin y ■ TSm)

8s

- cos y ■ TSm +

8T,

mm

8m

- R sin y ■ Xm + R sin y ■ q2 - 0,

8_

8s

8(R sin y Mss) + 2 8Msm +

8s 8m

+ cosy■ Mmm -Rsiny ■ Ys

1 8 2M,

8(R sin y ■ Sss) 8Sms

-i----------^ + cosy■ Smm +——

8s mm 8m

- Rsiny ■ Qs - R sin y ■ Zs + Rsiny ■ q3 - 0,

8(Rsiny■ Ssm) _ 8Sq)(p

--cosy■ Sms +-

8s ' ms 8m

- R sin y ■ Qm - Rsiny ■ Zm + R sin y ■ q4 - 0.

В уравнениях (1) - (5) приняты следующие обозначения:

и(к) f(z) - f(h-1) .

Uaa - g(2) +

Ga3

к-1h- (f(hj)-f(hj-1)^

+ Z J

J-1hj_1 v

g(3

a3

dz, a -1,2

Z s ,Ys, Zs ]-Z \Рк<к)

к=1К-1

[Xm,Ym,Zm,I ]-h

m ,lir

dz,

- Z \p2 Zm к-1h

(к)

z ■ v,

(к) и(к). v(2) m ’ M22 vm

w

dz.

mm

2ctgy 8Msm

R

8m

Rsiny 8m2 sinyRss + Tmm)-

Здесь и выше, дь д2, д„, q3, - составляю-

щие внешних поверхностных нагрузок, явное выражение которых представлено в [1, гл. 3, § 5]. Функциональный параметр /(г), характеризующий распределение поперечных сдвиговых напряжений по толщине оболочки, принят, следуя [1], в виде /(г) = г3 - 1,5Иг2.

Итак, (1) - (5) - замкнутая система соотношений, описывающая в линейном приближении колебания сферической оболочки. Записанная в перемещениях, она является системой пяти дифференциальных уравнений относительно пяти функций м8, Ир, м, л8, лр и интегрируется при соответствующих краевых условиях, полная система которых приведена в [1, гл. 3, § 4]. Ниже рассматривается задача о свободных колебаниях сферического пояса, со следующими способами закрепления краёв:

1. жестко защемленные торцы:

при 5 = 0, 5 = 5]

8м п

М - 85 ~ И5 - Ир - Л'5 - Лр - 0 . (6)

2. торец Г защемлен жестко, Г2 - свободен от усилий (см рис. 1):

при 5 = 51

8м п

м - — - и5 - Ир-'5 -Лр- 0, (7.1)

8s

.. 8Y,

- Rsiny ■ I +-----m + Rsiny ■ qn

8m

при s = 0

Tss - Tsm - Mss - Sss - Ssm - 0, (7-2)

h

h

X

dR sin y • Mss) + 2 dMsm

ds

dm

+ cos y ■ Mmm - R sin y ■ Y s - 0.

Кроме того, в силу замкнутости контура оболочки по угловой координате, должно выполняться условие 2л-периодичности относительно m Дифференциальные уравнения и соответствующие им краевые условия задачи о собственных колебаниях оболочки получим из системы (1) - (7), следуя методике вывода, подробно изложенной в [1, 4, 6]. С этой целью, в уравнениях (5), примем равными нулю составляющие внешних поверхностных и контурных нагрузок, а также выполним преобразование:

82/8t2 ^ - ю2 (а - частота собственных колебаний). В результате, соотношения (1) - (4) сохраняют свою форму, а уравнения (5) принимают вид:

8ÍR sin y ■ )

- + c°s y ■ tpp +

ds

dT,

dm

d(Rsmy• т,т)

sm + o2Rsiny • Xs = 0,

ds

dT

- coü y • Tsm +

(8)

+ -

mm + со2 Rsiny • Xm = 0,

d_

ds

+ -

dm

d(Rsmy• Mss) + 2 dMm +

ds

dm

+ cos у • Mm + о Rsiny • Ys

+

1

d 2M

mm

2ctgy

dM

sm

Rsiny dm2

sm yRss + Tm<p)+

d(R sin y • Sss)

ds

R

f

dm

о

Rsiny • I +

dY,

m

dm

= 0

+ cosy• Smm +

dS

ms

dm

- Rsiny • Qs + о R sin y • Zs = 0 d(Rsmy• Ssm) dS.

- cosy• Sms +■

ds

mm

dm

2

- R sin y ■ Qy + о Rsiny- Z^ = 0.

Краевые условия (6) остаются без изменений, а (7) записываются в следующей форме: при s = Si

= dw = = = = = 0

w ds Us Um ''s 'm 0,

при s = 0

(9.1)

Tss = Tsm = Mss = Sss = Ssm = 0, (9.2) d(R siny• MsA) + 2 Mm+

ds

dm

+ cos у • M фф + со Rsiny- Ys = 0.

Таким образом, задача об установившихся свободных колебаниях сферического пояса сформулирована как задача определения спектра собственных частот и соответствующих им собственных элементов линейной краевой задачи (1) - (4), (6), (8), (9).

Представим полученную систему в векторноматричной форме, вводя безразмерную независимую переменную х и вектор-столбец y = [y1, ..,y12]T безразмерных кинематических и силовых характеристик напряжённо-

деформированного состояния оболочки: s = RS- x, 5 = У2 — у і, 0 < x < 1;у = у2 —5• х;

рк = r2Рк / E1, dYl

(10)

w = h• уі, 8-y2 = —^ Us = №• Уз, dx

ElR8

n E 1 R8 EC R

Um= R• y4, 's =-^^У5, '(р=-±^Ув

s

h3

sin y • M ss = h2 El 8 • У8, siny • Tss = hEl8• уд, siny• TSm = hE18 Уlo,

siny• Sss = h 8• Ун, siny• Ssm = h 8• У12, dm

d(R sin y • Mss) + 2 c¡Msm +

85

+ С05 /■ Мрр + а2 Я5т / ■ Y5 - И2Е^З-уу

Здесь и ниже Е] - модуль Юнга [17, 18] материала связующего первого (внутреннего) слоя оболочки.

В переменных (10), задача принимает вид: А(х,Ор)8Х = в(х,Ор)у + а2с(х,Ор)у, (П)

Му(0, р) = 0, Ну(1, р) = 0.

Здесь А, В, С - матрицы 12x12, элементы которых - полиномы от дифференциального оператора Ор = 8Ср с коэффициентами, зависящими от х. М и N - числовые 6x12 матрицы, имеющие следующее строение: М = ||Е6, 06||; N = М для краевых условий (6) и N = ||06, Е6|| для условий (9), где Е6, 06 - матрицы 6x6, единичная и нулевая соответственно. Явный вид этих матриц не приводим в виду громоздкости.

Отметим, что уравнения данной модели до-

+

пускают предельный переход [1, гл. 3, § 2], [10] к уравнениям классической теории [4, 17], основанной на постулате о недеформированных нормалях. Они получаются из уравнений (11) вычёркиванием из матриц А, В, С строк и столбцов с номерами 5, 6, 11, 12. Таким образом, матрица коэффициентов классической системы имеет 8-й порядок.

Следуя [1], решение задачи (11) строим в виде ряда Фурье с векторными коэффициентами уп(х):

ности невязки ко всем координатным векторам

у = Е Уп(х) ■епр.

п=0

(12)

Очевидно, что представление решения в форме (12), позволяет удовлетворить условию его периодичности по координате р. Подставляя это решение в уравнения и краевые условия задачи

(11), и, отделяя угловую переменную, приходим к распадающимся по индексу п линейным краевым задачам на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений:

Уп(х) = А—1 (х)Вп (х)уп (х) +

2 —1

+ т Ап (х)Сп(х)уп(х)’

Муп(0) = 0, ЛУп(1) = 0. (13)

Элементы матриц Ап, Вп, Сп легко получить из элементов матриц А, В, С, выполнив преобразование Бр ^ 1п. Из системы (11) видно, что во всех уравнениях, степени оператора Бр, действующего на 4, 6, 10, 12 компоненты вектора у, и степени этого оператора на компонентах с другими номерами, имеют противоположенные четности. Поэтому задачи (13) приводятся к вещественным, если элементы вектора у с номерами 4, 6, 10, 12 умножить на мнимую единицу 1.

Обозначив через G(^, р) матрицу Грина [1, 7, 13] краевой задачи

у'п(х) = А—1 ( х)Вп ( х)Уп ( х), ассоциированной с (13), перейдем к равносильной задаче определения спектра линейной однородной системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода [7, 13]

1

2 С — 1

Уп(х) — т ] °п(х,Р)Ап (Р)Сп(Р)Уп(Р)Ф = 0

0

(14)

Решение (14) строим в пространстве Ь2(0, 1) методом Бубнова-Галеркина [8, 16], согласно которому выберем в Ь2(0, 1) полную линейно независимую систему вектор-функций \ук(х)^=1

[9, 15]. Базисные функции можно выбрать непрерывными и ортонормированными и иискать приближенное решение системы (14) в виде :

ь

Упь(х) =Еск ■ ук(х) . (15)

к=1

Подставляя (15) в (14) и требуя ортогональ-

Ук(х)\Ьк=1, приходим

к системе линейных алгеб-

раических однородных уравнений для определения коэффициентов ск:

1Г1

к=1

Еск | |°п(хР)Ап 1 (Р)Сп(Р)ук(Р)<^Р

Уо

Уі ( х )дх

= 0, 1 = 1,...,Ь.

(16)

Внутренние интегралы в (16), согласно теореме об интегральном представлении решения краевых задач [13], являются, в силу (14), решениями краевых задач [1, 10]:

^ ’(х) = АЩ1 ( х)В„ (х)г(х) + ю2А~1( х)Сп ( х)г( х),

2(0) = 0, N2(1) = 0, которые эффективно вычисляются методом инвариантного погружения, разработанному в [2, 3] и детально изложенному в [1, гл. 7]. Вычисление внешних интегралов с помощью квадратуры Симпсона [14] завершает формирование матрицы коэффициентов системы (15). Физический интерес представляют только нетривиальные решения этой системы. Для определения таких решений использовался рЯ-алгоритм в сочетании с приведением матрицы к верхней форме Хессенберга [19]. Оценки скорости сходимости метода относительно параметра Ь, а также некоторые результаты расчетов представлены ниже. При вычислениях использована структурная модель слоя, армированного двумерными волокнами [1].

В табл.1 приведены значения 6 низших собственных частот ю0, ..., ю5, рассматриваемых как функции параметра Ь. Эти данные позволяют оценить скорость сходимости метода относительно Ь. Результаты получены для двухслойной композитной оболочки при коэффициенте волнообразования п = 2. Первый (внутренний) слой оболочки армирован в окружном направлении, а второй - в меридиональном. Приняты геометрические: у2 = л/2, 5 = л/3, Я = 1т, Я/к = 50,

к - к0 = к2 - к = 0.5к (17) механические:

ЕС = ЕС = 3000МПа, Е1 = Е1 = 250ГПа,

с с и и п о

V1 = V 2 =У1 = V 2 = 03

' м3, р1 =ра2 = 1710кг /

(18)

м 3

Р1 = Р2 = 1250кг / и структурные:

= ^2|х=1 = ™гг = ^22 = 0.5,

^2 = 8ш(^2 - 5) • (^2|х=1) / 8т(у). (19) параметры оболочки. Отметим, что формула (19) получена при условии армирования слоя волокнами постоянного сечения ^2|х=1 вдоль меридиана. Она выводится по определению интенсивности

2

Сі — т

х

армирования [1, гл. 2] в результате рассмотрения развертки сферического слоя.

Координатные функции в (15), были выбраны в виде

ук] (х) = л/ 2к -1Рк _1 (2х - ])■ е],

где Рк(0 - ортонормированные на отрезке [-1, 1] полиномы Лежандра [5, 12]; еj - ортонормированные векторы стандартного базиса в декартовой системе координат Я12 [9].

Расчеты табл. 1 - 3 выполнены при краевых условиях (9).

Из табл. 1 видно, что в рассмотренном процессе, приближение к точным значениям собст-

Таблица 1

Оценка скорости сходимости относительно параметра!, Гц

1 03 о 031 03 о 03 з 03 4 03 ^

4 172.8 1736 2543 4794 6513 9589

6 172.8 1732 2434 3303 4296 5475

8 172.8 1731 2423 00 00 3963 5176

10 172.8 1731 2423 3186 3936 4852

12 172.8 1731 2423 40 00 3935 4813

14 172.8 1731 2423 3186 3935 4811

вышению расчетных значений собственных частот, которое увеличивается с ростом номера п. Графическая иллюстрация этих расчетов пред-

-юО

----------ю2

юЗ

0,6

0,2

-0,2

-юО -

ю1

■ю2 ■

■ юЗ

Рис. 2. Зависимость от параметра п трех низших собственных частот

венных частот осуществляется сверху. Стабилизация вычисления трех низших частот достигается при Ь = 8, четвертой - при Ь = 10, пятой и шестой - при Ь = 12. Расчеты показали, что полученные значения параметра Ь типичны, и сохраняются как при варьировании параметра п, так и при изменении условий закрепления края оболочки. Это позволило во всех дальнейших расчетах принять Ь = 12. Отметим, что данная оценка скорости сходимости метода согласуется с соответствующими оценками, представленными в работах [1, 10, 11].

В табл. 2 приведены результаты расчета трех низших собственных частот, рассматриваемых как функции параметра окружного волнообразования п. Данные получены для оболочки с характеристиками (17) - (19). Из таблицы следует, что не-учет поперечных сдвиговых деформаций приводит к незначительному (до одного процента) за-

Рис. 3. Формы колебаний, соответствующие частотам ю0 - ю5

ставлена на рис.2. Из графика, как и из таблицы, следует, что все рассматриваемые частоты, относительно параметра п, имеют точки минимума, на наличие которых указано в работах [1, 4, 10, 11, 17].

На рис. 3, для параметра п = 2, приведены формы собственных колебаний, соответствующие частотам ю0 - ю5. В данном примере все формы являются преимущественно изгибными. Отметим, что число обращений в нуль каждой собственной формы соответствует порядковому номеру собственной частоты.

В табл. 3 в зависимости от параметра Я/h, приведены данные, позволяющие судить о степени влияния поперечных сдвиговых деформаций на расчетные значения собственных частот. Все параметры оболочки, за исключением Я/Ъ, соответствуют (17) - (19). Из таблицы видно, что по-

Таблица 2

Зависимость низших собственных частот от параметра волнообразования п

п неклассическая теория классическая теория относ погрешность, %

03 о, Гц оэ3, Гц 0) 2. Гц 03 о, Гц 03 з, Гц 0) 2. Гц 03,-1 03 з 03 О

0 847.4 3968 3860 847.4 3971 3860 0.00 0.08 0.00

2 172.8 3186 2423 173.9 3202 2431 0.64 0.50 0.33

4 264.1 2609 1875 265.5 2627 1881 0.53 0.69 0.32

6 620.7 2638 2074 625.4 2654 2082 0.76 0.60 0.39

грешность, вносимая неучетом сдвиговых деформаций, составляет не более 8.5% (для сравнительно толстых оболочек, Я/И = 20). Аналогичные результаты были получены и при исследовании собственных частот цилиндрической оболочки [10, 11].

В табл. 4 приведена зависимость низших собственных частот от параметра Е = Еа 1 Е2. Рассматривалась трехслойная оболочка, первый слой которой армирован в меридиональном направлении, второй - однородный изотропный, третий армирован в окружном направлении. Характеристики первого и третьего слоев описаны (17) -

(19), за исключением И\ - И0 = И2 - И\ = И3 - И2 = И / 3. Параметры второго слоя определялись так: \2 = уаь р2 = ра1. Принимались условия жесткого закрепления краёв (6). Из таблицы видно, что частоты ш0 - Ш3, полученные без учета сдвига, по

лученными с учетом сдвига, завышены не более чем на 3%, Ш5 - до 4.5%. В случае осесимметричных форм соответствующие величины отличаются менее, чем на 2%.

В табл. 5 представлены результаты, характеризующие изменение низших частот в зависимости от длины меридиональной дуги оболочки. Расчеты проведены для сферического пояса с жестко защемленными торцами (6). Параметры, описывающие материал, геометрию и структуру армирования, подчинены условиям (17) - (19), за исключением Я/И = 20. Из таблицы следует, что погрешность, вносимая неучетом сдвига, наиболее значима для коротких оболочек достигает 60%. Отметим, что аналогичный результат был получен и при исследовании свободных колебаний орто-тропной армированной цилиндрической оболочки [10, 11].

сравнению с соответствующими величинами, по-

Таблица 3. Зависимость частот от параметра Я/И

/7 = 0 неклассическая теория классическая теория погрешность, %

к/и 03 0, Гц 03ь Гц оз 5, Гц 03 о, Гц озь Гц оз5, Гц 03 0 031 03 ^

20 847.4 2239 5179 2275 4088 5357 0.00 1.61 3.44

30 847.4 2190 4642 2210 4028 4692 0.00 0.91 1.08

50 847.4 2138 4292 2146 3971 4301 0.00 0.37 0.21

60 847.4 2121 4229 2128 3958 4234 0.00 0.33 0.12

/7 = 2 неклассическая теория классическая теория погрешность, %

К/И 03 о, Гц оэь Гц оз 5, Гц 03 о, Гц оэь Гц оз5, Гц 03 0 03 з 03 ^

20 244 4239 6329 248.7 4436 6869 1.93 4.65 8.53

30 202.8 3633 5471 205.3 3701 5537 1.23 1.87 1.21

50 172.8 3186 4813 173.9 3202 4888 0.64 0.50 1.56

60 165.9 3091 4471 166.7 3101 4518 0.48 0.32 1.05

Таблица 4 .Зависимость частот от параметра Е

/7 = 2 неклассическая теория классическая теория пог эешность, %

Е 03 о, Гц оэ3, Гц оз 5, Гц 03 о, Гц 03 з, Гц оз5, Гц ОЗо 0Э3 03^

10 2858 4436 6789 2863 4473 6961 0.17 0.83 ! 2.53

30 2210 3768 5901 2216 3808 6079 0.27 1.06 ! 3.02

50 2029 3569 5627 2036 3613 5824 0.34 1.23 ! 3.50

70 1942 3467 5482 1949 3517 5700 0.36 1.44 ! 3.98

100 1871 3381 5349 1879 3438 5599 0.43 1.69 4.67

/7 = 0 Таблица 5. За неклассическая теория висимость частот от длины обол классическая теория очки погрешность, %

03ь Гц 03 з, Гц оз5, Гц 03ь Гц озз, Гц оз5, Гц 031 03 3 03 ^

0.8 3815 4856 6096 3869 4921 6385 1.42 1.34 4.74

0.6 4233 5535 7532 4337 5536 8367 2.46 0.02 11.09

0.3 4301 8081 12150 4473 8081 13820 4.00 0.00 13.74

0.2 4958 9969 14970 5679 12930 19970 14.54 29.70 33.40

0.1 7754 16050 21250 13160 21250 29630 69.72 32.40 39.44

/7 = 2 неклассическая теория классическая теория погрешность, %

03ь Гц 03 з, Гц оз5, Гц 03ь Гц озз, Гц оз5, Гц 031 03 3 03 ^

0.8 2610 4960 7636 2632 5306 7749 0.84 6.98 1.48

0.6 3005 7009 9770 3125 8020 10280 3.99 14.42 5.22

0.3 5894 9966 13570 7233 10230 14410 22.72 2.65 6.19

0.1 8128 16090 21480 13190 21490 29650 62.28 33.56 38.04

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. -Новосибирск: Наука, 2001. 288 с.

2. Андреев А.Н. О численном интегрировании уравнений осесимметричного изгиба слоистых оболочек вращения методом инвариантного погружения. -Сб. научных трудов АН СССР Сиб. отд-ие Инт. гидродинамики -Новосибирск, 1985. вып. 73, с137—148 с.

3. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Численный анализ напряженно-деформированного состояния слоистых оболочек вращения методом инвариантного погружения. -Изв АН АрмССР Механика, 1989. Т. 42, № 1, с137—148 с.

4. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. -Рига: Зинатне, 1987. 295 с.

5. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике -Л.: Гостехиздат, 1948, 556 с.

6. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. -М.: Наука, 1979. 383 с.

7. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Наука, 1959. 655 с.

8. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. 512 с.

9. Канторович Л.В., АкиловГ.П. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1984. 752 с.

10. Петрушева И. И. Свободные колебания упругой многослойной цилиндрической оболочки. -Вестн.КузГТУ, 2003, №3, с 8—17

11. Петрушева И. И. Свободные колебания слоистой упругой цилиндрической оболочки. / Труды XVIII межреспуб. конференции Кемерово, 1-3 июля 2003 -Новосибирск, 2003, с140—145

12. СмирновВ.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1974. Т.3. Ч.2. -672 с.

13. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1974. Т.4. Ч.1,2. -880 с.

14. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1974. Т.1. -480 с.

15. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1974. Т.2. -655 с.

16. Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1977. -656 с.

17. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Наука, 1966. 635 с.

18. Тимошенко С.П. Курс сопротивления материалов -Л.: Гос. изд-во им. Н. Бухарина, 1929. 587 с.

19. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970.

□ Автор статьи:

Петрушева Ирина Ивановна

- старший преподаватель каф. прикладной математики

УДК 519. 21 А.В. Бирюков СЕЙСМИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ ПОРОДНЫХ МАССИВОВ

Характерной особенностью всех породных массивов является наличие естественных

трещин, рассекающих массивы на структурные блоки или естественные отдельности. Геометрическая картина трещиноватости зависит от геолого-

генетических факторов, влияющих на процесс образования трещин.

В осадочных породах трещины образуют системы, в каждой из которых случайная вариация параметров пространственной ориентировки трещин

незначительна, т. е. плоскости трещин практически можно считать параллельными. В магматических породах системы трещин не наблюдаются, трещиноватость хаотична.

При прохождении через массив сейсмической волны трещина является своего рода экраном, на котором происходит скачкообразное снижение скорости волны и напряжения на ее фронте. Следовательно, эти параметры волны зависят от частоты трещин в заданном направлении, что служит причи-

ной сейсмической анизотропии породного массива.

Рассмотрим массив, рассеченный т системами плоскостей-трещин, полагая плоскости в каждой системе параллельными. Пространственную ориентировку трещин I- й системы определяет вектор ПI, ортогональный плоскостям системы. Модуль этого вектора положим равным частоте трещин данной системы, т. е. среднему числу трещин в направлении щ, приходящемуся на единицу длины.