CC BY
29
УДК 620.178.152.34
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ЮНГА НАНОЧАСТИЦ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ. ЧАСТЬ 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1,2ВАХРУШЕВ А.В., 1,2ШУШКОВ А.А., 3ЗЫКОВ С.Н., 1КЛЕКОВКИН В С.
1Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7 2Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34 Удмуртский государственный университет, 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1
АННОТАЦИЯ. Проведен анализ сравнения расчета глубин проникновения индентора в численном компьютерном эксперименте методом конечных элементов с аналитическим решением вдавливания индентора в плоскость. Определена среднеквадратичная ошибка. Выявлена принципиальная возможность проведения численного компьютерного эксперимента для объектов микро- и нанометрового диапазона при согласованных условных масштабных весовых коэффициентах в сочетании с экспериментальным методом наноиндентирования.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: модуль упругости Юнга, наночастицы, метод конечных элементов, наноиндентирование.
ВВЕДЕНИЕ
Ускоренное развитие научных направлений, связанных с нанотехнологиями, определяется все возрастающими потребностями современного индустриального рынка в материалах и технических устройствах нанометровой геометрии. В настоящее время на первый план выдвигаются задачи по организации промышленного производства наноматериалов при обеспечении минимизации себестоимости изготовления. Это порождает целый комплекс задач, связанных с данной проблематикой. Одной из задач, представляющих актуальность на сегодняшний день, является создание методологических основ определения физико-механических характеристик таких сложно диагностируемых объектов, как наночастицы.
Опыты показывают, что нанометровый размерный диапазон материала обуславливает существенное изменение его физико-механических свойств [1 — 7]. Результаты расчетных и экспериментальных исследований дают основание полагать, что это, в первую очередь, вызвано существенными различиями в структуре атомной решетки у отдельных элементов (причем эта структура не обязательно является монотонной). Неодинаковостью структур атомных решеток в значительной мере объясняется и имеющаяся разность форм наноэлементов. Вопрос о зависимости упругих свойств от размера и формы наноэлементов (наночастиц, нанотрубок и т.д.) является слабо изученным и находится на первоначальной стадии исследования - стадии формирования методологической базы.
Экспериментальное определение механических характеристик наноэлементов, как уже упоминалось выше, является технически сложной и трудоемкой задачей ввиду малости геометрических параметров исследуемых объектов. В настоящее время для определения механических свойств объектов микро- и нанометрового диапазона используется достаточно дорогостоящий способ инструментального индентирования, который получил широкое распространение для исследования пленок и поверхностных слоев материалов [8 — 14]. Основные положения этого способа были сформулированы еще в середине 70-х годов XX века. Способ заключается в изучении деформационных характеристик материала в процессе непрерывного вдавливания индентора. На сегодняшний день известно достаточно большое количество методик испытаний данным способом, которые стали обычными для измерения механических свойств материалов. Накоплен значительный объем экспериментальных
данных о модуле упругости Юнга и твердости различных микро- и наноматериалов, определенных этим способом. По этой тематике в последние 15 лет в мире опубликовано около 5 тысяч статей. В России, вследствие малочисленности и дороговизны экспериментального оборудования и самих экспериментов, количество исследований в данной области мало (что отражается крайне незначительным количеством публикаций в отечественных научных изданиях [15]), что предопределяет существование остро стоящей методологической задачи повышения эффективности исследований на имеющемся оборудовании.
На сегодняшний день очень мало внимания уделяется теоретическим основам определения механических свойств отдельных микро- и особенно наночастиц. Большинство работ в этой области нацелены на определение упругих свойств тонких пленок и поверхностей. Кроме того, зависимости изменения модуля упругости Юнга от размера наночастиц, полученные с использованием численных методов компьютерного моделирования и экспериментальных исследований как увеличиваются, так и уменьшаются [2, 16 — 18]. Таким образом, результаты исследований имеют неоднозначный характер и необходимы четкие методологические основы для создания способов определения модуля упругости Юнга наночастиц.
Одним из путей снижения издержек на проведение работ по определению механических характеристик наноэлементов способом индентирования является применение комбинированной схемы исследований с дополнительным решением связанных задач численными методами, что позволяет значительно снижать объемы проводимых натурных экспериментов. Очевидно, что такой подход в отношении частиц микро- и нанометровой геометрии требует серьезной методологической подготовки. При этом на первый план в ряду наиболее важных встают вопросы корректной подготовки входных данных численного эксперимента, а также оценки адекватности получаемых результатов.
Практика показывает, что проведение любого численного инженерного анализа методом конечных элементов требует выполнения ряда подготовительных процедур, без которых численный эксперимент невозможен, либо результаты эксперимента будут далеки от действительности. В число таких процедур входят: создание электронной пространственной геометрической модели объекта исследования, создание электронной пространственной геометрической модели инструмента исследования, генерация конечно-элементной модели численного эксперимента, задание начальных и граничных условий, а также тарирование входных параметров численного эксперимента к известному теоретическому решению тестовой задачи.
ОСОБЕННОСТИ СОЗДАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ И КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТА ИССЛЕДОВАНИЯ
Как отмечалось выше, процедура наноиндентирования осуществляется в отношении микро- и наночастиц произвольной формы, дислоцированных на плоской поверхности в виде отдельных элементов или локальных неровностей. Создание виртуальной модели реальных объектов с подобной плоскостной геометрией в настоящее время возможно при помощи современных систем электронного трехмерного геометрического моделирования, где в качестве входных данных выступают «облака точек» (множество трехмерных координат точек, принадлежащих поверхности объекта). Основная проблема получения «облака точек» поверхности с нано- и микровысотными флуктуациями заключается в невозможности применения традиционных промышленных систем сканирования (оптическое, лазерное, механическое сканирования) по критериям минимального шага и погрешности сканирования, которые превышают геометрические параметры флуктуаций. В настоящее время пошаговое сканирование таких поверхностей проводят с помощью системы «NanoTest 600» алмазным наконечником. Эти работы имеют высокие материальные затраты,
но позволяют получить текстовый файл массива трехмерных координат точек поверхности, полностью описывающих ее геометрию.
Особенности работы современных систем электронного геометрического моделирования и численного инженерного анализа (например, методом конечных элементов МКЭ) предполагают погрешности в геометрических построениях. Поскольку изначально системы были созданы для работы с макрообъектами, погрешность согласованного топологического моделирования таких систем, как правило, ограничивается микроном. Поэтому для моделирования (в системах геометрического моделирования на основе «облаков точек») и последующего конечно-элементного разбиения исследуемой геометрии поверхности (в системах численного инженерного анализа) нано- и микрометрового диапазона необходимо вводить масштабные весовые коэффициенты, которые позволяют генерировать адекватную геометрию и проводить корректные расчеты (рис. 1).
Depth (nm)
714.53 342.48 ■ -29.56 -401.60 -773.65 -1145.69 -1517.73 ■ -1869.77 -2261.82 ■
Рис. 1. Электронная конечно-элементная модель (2) исследуемой поверхности, созданная на основе результатов процедур сканирования системой NanoTest 600 (1), участок 25x25 мкм
ОСОБЕННОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО И КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАБОЧЕЙ ГОЛОВКИ ИНСТРУМЕНТА ИССЛЕДОВАНИЯ
Экспериментальное определение механических характеристик микро- и наночастиц производится на комплексной измерительной системе Nanotest 600 с использованием индентора Берковича (трехгранная алмазная пирамида с углом при вершине 65,3° и радиусом закругления около 200 нм, рис. 2). Поэтому в постановке численного эксперимента определения деформационных характеристик микро- или наноструктур необходимо моделировать рабочую контактную поверхность в форме шара с радиусом 200 нм с использованием соответствующих весовых масштабных коэффициентов согласно имеющейся модели исследуемой поверхности. В работе рассматривается только упругая деформация.
.V. мкм
Рис. 2. Пирамидальная вершина индентора Берковича с радиусом закругления вершины (Д = 200 нм)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ ТЕСТОВОЙ ЗАДАЧИ ВДАВЛИВАНИЯ ШАРА В ПЛОСКУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
Для тарирования и определения погрешности численного эксперимента необходимо провести сравнение его результата с имеющимся теоретическим решением в макродиапазоне.
Задача вдавливания абсолютно жесткого шара в плоскость имеет следующее аналитическое решение:
в = (!)
где г - радиус шара.
к =
2г
1-У
пЕ
w = 3
(( 9п2 ^
8
вк2 Р2
(2)
(3)
где w, м - максимальная глубина проникновения шара в плоскость при нагрузке Р, Н.
Из формулы (3) следует, что значения согласованных условных масштабных весовых коэффициентов можно задать [19] следующими: кг = 10-6, кР = 10-12(в числителе Р2, в
знаменателе г). Таким образом, методом конечных элементов решается задача на макроуровне. Для того чтобы перевести результаты решения в нанометровый диапазон необходимо значения радиуса и нагрузки умножить соответственно на кгР . Например,
реальный радиус шара г = 0,2 м, умножая его на кг = 10-6, получаем г = 200 нм.
Значения коэффициента Пуассона и модуля упругости Юнга плоскости задавали произвольно:
у = 0,33 - коэффициент Пуассона, Е = 7,3 -1010 Па - модуль упругости Юнга. Модуль упругости Юнга абсолютно жесткого шара задавали такими же, как модуль упругости Юнга и коэффициент Пуассона индентора Берковича Е = 1,141-1012, у = 0,07. Значения модуля упругости Юнга плоскости и коэффициента Пуассона, заданные в аналитическом решении и в методе конечных элементов (программа ANSYS) совпадают.
Для оценки точности в дальнейшем получаемых результатов определения модуля упругости Юнга исследуемых нанообъектов, была проведена контрольная задача определения анализа совпадения глубин проникновения индентора от приложенной нагрузки к плоскости методом конечных элементов с аналитическим решением по вдавливанию жесткого шара в плоскость (рис. 3).
Ь)
Рис. 3. Моделирование вдавливания индентора при приложенной силе 106 Н в плоскость в программной среде ANSYS (а), деформируемая плоскость (Ь)
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
По результатам моделирования методом конечных элементов задачи вдавливания сферической головки индентора в плоскость были получены следующие результаты, без перевода в наномасштаб (таблица).
Таблица
Зависимости глубин вдавливания индентора в плоскость от приложенной нагрузки, полученные методом конечных элементов и из аналитического решения
№ Р, Н Wанал, м wмкэ, м
1 0 0 0
2 1-105 0,161-10-3 0,1117-10-3
3 3-105 0,335-10-3 0,304-10-3
4 5-105 0,4714-10-3 0,439-10-3
5 7,5-105 0,618-10-3 0,578-10-3
6 1-106 0,751-10-3 0,701-10-3
7 2-106 1,188-10-3 1,124-10-3
8 3-106 1,553-10-3 1, 1478-10-3
9 5-106 2,188-10-3 2,074-10-3
Вычислена среднеквадратичная ошибка по формуле (4):
о =
1 n
~ ^Л wanam — ^МКЭг
n i=1
)2 = 3,84 -10-
м.
(4)
На рис. 4. представлена зависимость глубины проникновения индентора (сферической головки) от приложенной нагрузки.
Показана приемлемая согласованность результатов с аналитической зависимостью вдавливания абсолютно жесткого жара в плоскость.
2.5
2 1.5 1
0.5
0
w*103, м \
4 ► 2_
i 1 \
♦ Аналит. решение • МКЭ
V
и f Р*10-6, Н
6
0 1 2 3 4 5
1 - аналитическое решение; 2 - метод конечных элементов
Рис. 4. Зависимость глубины проникновения шара в плоскость м от нагрузки на шар Р, Н
ВЫВОДЫ
Решена задача по компьютерному численному моделированию процесса вдавливания индентора в плоскость методом конечных элементов (программа ANSYS) и сравнения результатов, а именно зависимости глубины проникновения индентора от приложенной нагрузки с соответствующим аналитическим решением с приемлемой величиной среднеквадратичной ошибки. При этом созданы электронная пространственная геометрическая модель объекта исследования (плоскость), инструмента исследования (головка индентора), проведена генерация конечно-элементной модели численного эксперимента.
В дальнейшем решение данной задачи является неотъемлемым составляющим этапом по определению модуля упругости Юнга микро- и наночастиц произвольной геометрической формы, взятых из натурного эксперимента. При большем значении среднеквадратичной ошибки величина определяемого модуля упругости Юнга может сильно отличаться от истинного значения. Результаты расчетов показали приемлемую точность полученных результатов смоделированных методом конечных элементов с аналитическим решением по вдавливанию абсолютно жесткого шара в плоскость.
Работа выполнена в рамках государственного задания ИжГТУ имени М.Т. Калашникова № 201445-1239.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вахрушев А.В., Федотов А.Ю., Вахрушев А.А., Шушков А.А., Шушков А.В. Исследование механизмов формирования наночастиц металлов, определение механических и структурных характеристик нанобъектов и композиционных материалов на их основе // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, № 4. С. 486-495.
2. Вахрушев А.В., Шушков А.А. Методика расчета упругих параметров наноэлементов // Химическая физика и мезоскопия. 2005. Т. 7, № 3. С. 277-285.
3. Qing-Qing Ni, Yaqin Fu, Masaharu Iwamoto. Evaluation of Elastic Modulus of Nano Particles in PMMA/Silica Nanocomposites // Journal of the Society of Materials Science, Japan. 2004. V. 53, № 9. P. 956-961.
4. Ruoff R. S., Pugno Nicola M. Strength of nanostructures // Proc. of the 21th Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics «Mechanics of the 21st Century». Warsaw : Springer, 2004. P. 303-311.
5. Dingreville R., J. Qu, Cherkaoui M. Surface free energy and its effect on the elastic behavior of nano-sized particles, wires and films // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2004. V. 53, № 8. P. 1827-1854.
6. Duan H.L., Wang J., Huang Z.P., Karihaloo B.L. Size-dependent effective elastic constants of solids containing nano-inhomogeneities with interface stress // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2005. V. 53, № 7. P. 1574-1596.
7. Гусев А.И., Ремпель А.А. Нанокристаллические материалы. М. : Физматлит, 2001. 224 с.
8. Андриевский Р.А., Калинников Г.В. и др. Наноиндентирование и деформационные характеристики наноструктурных боридонитридных пленок // Физика твердого тела. 2000. T. 42, № 9. С. 1624-1627.
9. Jung Y-G., Lawn B.R., Huang H. et al. Evaluation of elastic modulus and hardness of thin films by nanoindentation // J. Mater. Res. 2004. V. 19, № 10. P. 3076-3080.
10. Shojaei O.R., Karimi A. Comparison of mechanical properties of TiN thin films using nanoindentation and bulge test // Thin Solid Films. 1998. V. 332, № 1-2. Р. 202-208.
11. Sklenika V., Kucharova K. et al. Mechanical and creep properties of electrodeposited nickel and its particle-reinforced nanocomposite // Rev. Adv. Mater. Sci. 2005. № 10. P. 171-175.
12. Gong J., Miao H., Peng Z. A new function for the description of the nanoindentation unloading data // Scripta Materialia 2003. V. 49, № 1. Р. 93-97.
13. Вахрушев А.В., Шушков А.В., Шушков А.А. Экспериментальное исследование модуля упругости Юнга и твердости микрочастиц железа методом индентирования // Химическая физика и мезоскопия. 2009. Т. 11, № 2. С. 258-262.
14. Ляхович А.М., Шушков А.А., Лялина Н.В. и др. Прочностные свойства наноразмерных полимерных пленок, полученных в низкотемпературной плазме бензола // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, № 2. С. 243-247.
15. Головин Ю.И. Наноиндентирование и механические свойства твердых тел в субмикрообъемах, тонких приповерхностных слоях и пленках // Физика твердого тела. 2008. Т. 50, № 12. С. 2113-2142.
16. Odegard G.M., Clancy T.C., Gates T.S. Modeling of the mechanical properties of nanoparticle/polymer composites // Polymer. 2005. V. 46, № 2. P. 553-562.
17. Oluwatosin A. Ogunsola. Synthesis of porous films from nanoparticle aggregates and study of their processing-structure-property relationships : dis. Dr of Philosophy. University of Maryland, 2005. 142 p.
18. Вахрушев А.В., Шушков А.А. Расчет модуля упругости наноструктурных элементов методом согласования решений краевых задач теории упругости и молекулярной динамики // Известия Тульского государственного университета. Серия Математика, механика, информатика. 2005. Т. 11, вып. 5. С. 24-35.
19. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М. : Наука, 1977. 440 с.
NANOPARTICLES YOUNG'S MODULUS DETERMINATION ON THE BASIS OF NUMERICAL SIMULATION AND EXPERIMENTAL INVESTIGATIONS. Part 1. Methodological basics of numerical simulation
1,2Vakhrouchev A.V., 1,2Shushkov A.A., 3Zuikov S.N., 'Klekovkin V.S.
'Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia
2Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia 3Udmurt State University, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Comparison analysis of indenter penetration depth in numerical computer experiment by finite element method with the analytical solution of indentation into the flat is carried out. Mean-square error is defined. Realization principal possibility of numerical computer experiment for micro- and nanometer range objects under conformable conventional scaled weight coefficients in combination with the experimental method of nanoindentation.
KEYWORDS: Young's modulus, nanoparticles, finite element method, nanoindentation.
Вахрушев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики наноструктур ИМ УрО РАН, заведующий кафедрой «Нанотехнологии и микросистемная техника», главный научный сотрудникИжГТУ имениМ.Т. Калашникова, тел. (3412)21-45-83, e-mail:postmaster@ntm.udm.ru
Шушков Андрей Александрович, кандидат технических наук, научный сотрудник лаборатории механики наноструктур ИМ УрО РАН, ведущий научный сотрудник ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, e-mail: ligrim@mail.ru
Зыков Сергей Николаевич, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры дизайна УдГУ, тел. (3412)91-60-97, e-mail: zikov.sergei@yandex.ru
Клековкин Виктор Сергеевич, доктор технических наук, профессор, декан факультета Управление качеством ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, тел. (3412)77-60-55, доб. 3269, e-mail: decanat_uk@istu.ru
