CC BY
13
УДК 539.37
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ИНДЕНТОРА С УПРУГОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПОРОШКОВОГО НАНОКОМПОЗИТА
1,2вахрушев а. в., 2ефремов с. м.
1Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34 Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7
АННОТАЦИЯ. Рассмотрена осесимметричная контактная задача о взаимодействии сферического индентора с упругим изотропным телом, содержащим упругую наночастицу под поверхностью. Предложены безразмерные параметры для решения указанной упругой контактной задачи. Для численного решения использован метод конечных элементов. Получены поля перемещений и напряжений в упругом теле при различных размерах наночастицы и при различных расстояниях от поверхности до наночастицы. Исследовано влияние наночастицы на глубину проникновения индентора в поверхность материала. Установлено, что глубина проникновения индентора существенно зависит от размеров и положения частицы в материале.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: наноиндентирование, контактная задача, материалы с наночастицами, метод конечных элементов.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование механических свойств материалов для малых объемов широко применяется в настоящее время в инженерной и исследовательской практике [1]. Особенно актуальны такие испытания для изучения отдельных слоев наноматериала, их фаз и структурных составляющих. Весьма перспективным направлением испытаний является наноиндентирование, основанное на применении малых инструментов и нагрузок. На этой основе разрабатываются перспективные методы микромеханических исследований [2 - 4]. При этом могут испытываться как тонкие пленки и многослойные структуры [5], так и наноматериалы различного применения с включениями микро- и наночастиц [6].
Во многих случаях основой таких методов служит известное аналитическое решение контактной задачи, полученное Г. Герцем с помощью методов теории упругости [7]. Как показано в [8], применяются также другие аналитические и численные модели контактного взаимодействия, учитывающие реальные особенности контактирующих поверхностей.
Однако указанные выше аналитические решения не позволяют исследовать неоднородные материалы с различного рода жесткими и мягкими включениями, например, порошковые композиты с наполнителем из микро- и наночастиц округлой формы. Поэтому представляется целесообразным дальнейшее исследование контактной задачи для материала с включением, которая в общем случае является трехмерной.
Целью данной работы являлось рассмотрение осесимметричной контактной задачи о взаимодействии сферического индентора с упругим изотропным телом, содержащим упругую наночастицу под поверхностью.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
На начальном этапе исследования принимается, что все частицы в материале имеют сферическую форму и находятся на одинаковых расстояниях друг от друга. Их радиусы также одинаковы.
В этом случае для исследования выбирается некоторая ячейка с характерным периодом изменения физико-механических свойств материалов в плоскости симметрии. Для начального этапа нагружения тела форма индентора считается сферической.
С целью исследования характерной ячейки рассмотрен случай вдавливания шара в некоторый объем исследуемого материала. При этом на этапе постановки задачи принята следующая расчетная область, показанная на рис. 1. Она содержит сферический индентор 1 радиусом Я , слой 2 исследуемого материала прямоугольной формы с размерами В2 и И2, а также постороннее включение 3 сферической формы с радиусом Я3 и глубиной
расположения И3. Материалы индентора, исследуемого материала и включения
характеризуются соответственно модулями упругости Е1. Пуассона //, /, /3.
Е2 , Е3 и коэффициентами
Рис. 1. Расчетная область материала с включением
Индентор вдавливается в исследуемый материал силой Р. При этом возникают местные деформации, приводящие к соприкосновению тел по некоторой малой поверхности контакта в форме круга радиуса а. Перемещение индентора составит 8.
Трение на контактной поверхности отсутствует. При вдавливании создается давление q между соприкасающимися телами. Нижняя сторона слоя материала закреплена от перемещения в вертикальном направлении и может проскальзывать без трения в горизонтальном направлении.
Функциональные связи [9] между рассмотренными физическими величинами для задачи вдавливания индентора в материал с включением с целью общности представления численных и аналитических решений предлагается характеризовать следующими безразмерными параметрами:
П, = Р 2 1 Е1Я (1)
П 2 =(1 ' Е2 (1 -т2); (2)
П3 =(1 -< )+Е1, Е3 (1 -тз2); (3)
а а = —; Я (4)
- °3 а =Е3; (5)
<?=*; Я (6)
Ъ = В2 • Ъ Я ' (7)
К = И; 2Я (8)
- я3 -з Я ' (9)
К3 = И3. 3 Я (10)
Параметр П1 характеризует радиус шара и его модуль упругости, а также
приложенную к шару нагрузку. Параметр П2 показывает соотношение характеристик
упругости материалов шара и исследуемого материала. Такое представление параметров вдавливания может быть полезно при внедрении одного и того же инструмента со сферической поверхностью в различные материалы. Аналогичным образом задается параметр П3 для характеристик упругости материалов шара и включения.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
При расчетах некоторые из указанных выше величин (например, Е1, Я) при вычислениях сохраняют свои значения постоянными, другие величины (например, Р) изменяются. В процессе расчетов варьируемыми геометрическими параметрами расчетной области материала с включением являются размеры прямоугольника В2 и И2, радиус
включения Яз и глубина его расположения И3.
В исходном состоянии (до варьирования) значения параметров следующие: П 2= 4,96; П 3= 12,02; Ъ2 = 5; К2 = 7,5; -з = 1; Кз = 2.
Рассматриваемая контактная задача с переменной границей контакта является весьма сложной, поэтому для её исследования использован метод конечных элементов (МКЭ). Описание данного метода применительно к данного типам задач заинтересованный читатель может познакомиться как в классических работах по МКЭ [10], так и в специальных публикациях посвященных моделированию наносистем [11]. Ниже рассмотрено решение методом конечных элементов осесимметричной задачи о взаимодействии индентора с упругим изотропным телом, содержащим упругое сферическое включение.
Вследствие симметрии расчетной области конечно-элементная модель разработана для половины этой области (рис. 2).
Рис. 2. Конечно-элементная модель
Заданы следующие граничные условия: на нижней границе области - ограничение перемещений по вертикальной оси У, на оси вращения - ограничение перемещений по горизонтальной оси X. Сжимающая сосредоточенная нагрузка приложена в верхней точке полусферы на оси симметрии.
Сетка конечных элементов существенно сгущается в области контакта индентора с исследуемым материалом.
Результатами выполненных расчетов являются поля перемещений (рис. 3), напряжений (рис. 4) и деформаций.
Рис. 3. Перемещения в направлении оси У
Рис. 4. Эквивалентные напряжения
На основе этих результатов определены зависимости перемещения индентора, максимального контактного давления и размера площадки контакта от действия приложенной нагрузки.
Выполнено сравнение численных результатов расчета с известными аналитическими решениями (рис. 5 - 7). На графиках ромбиками показаны аналитические результаты, кружочками - численные значения.
0,14 -0,12 0,1 0,08 0.06 0.04 0.02 0
гс:
- П1
0
0.00005
0,0001
□ ,□□□15
□ ,0002
0,00025
—а—а П2=4,355 .......*..... а чнсл 112=4,955
Рис. 5. Сравнение аналитического и численного решений для относительного радиуса а
Рис. 6. Сравнение аналитического и численного решений для относительного напряжения О
0.018 т 0.016 0.014 0.012 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0
0
0,00005 0,0001 0,00015 0,0002
"и
н
•
П1 I
0,00025
П2=4 ,Р55
* 6 числ П2=4 .955
Рис. 7. Сравнение аналитического и численного решений для относительного сближения 8
Как следует из приведенных данных, точность полученного численного решения весьма удовлетворительная.
Рассмотрим теперь влияние геометрических размеров на результаты решения контактной задачи для материала с включением.
Для этого выполнено варьирование и рассмотрены следующие сочетания геометрических параметров:
1. Исходная геометрия ( Ъ2 = 5; И2 = 7,5; г3 = 1; И3 = 2).
2. Включение ближе (Ъ2= 5; И2 = 7,5; тъ = 1; И3 = 1,5).
3. Основа шире (Ъ2= 7,5; И2 = 7,5; тъ = 1; к3 = 2).
4. Основа выше (толще) (Ъ2= 5; И2 = 10; тъ = 1; к3= 2).
5. Радиус включения меньше ( Ъ2= 5; Л2 = 7,5; Г3 = 0,8; И3= 2).
6. Радиус включения больше (Ъ2= 5; к2 = 7,5; Г3= 1,2; И3= 2).
Проведены численные расчеты контактных задач с указанными вариантами сочетаний параметров, определены изменения величины относительного сближения 8 и по результатам расчетов построены графики относительного изменения величины 8 для вариантов расчетов 2 - 6 (рис. 8). На рисунке по горизонтальной оси отложен параметр П1, по вертикальной оси отложена величина А - разность значений 8 между текущим (от 2 до 6) и первым вариантами расчета, отнесенная к значению 8 для первого варианта расчета
8_8
А = к - 1 (к = 2... 6 - номер варианта расчета).
8
0,035
0,03
к
X
О
*
¡5 0,025
из о
© 0,02
х
о
© 0,015
м 2
2 О О X
0,01
0,005
0
П1
0
0,00005
0,0001
0,00015
0,0002
0,00025
0,0003
Вар.2
Вар.3
Вар.4
Вар.5
Вар.6
Рис. 8. Относительное изменение величины 8 для различных вариантов геометрических параметров
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как следует из результатов расчетов, взаимодействие сферического индентора с упругим изотропным телом, содержащим упругую наночастицу под поверхностью, существенно изменяется при изменении размеров и расстояния наночастицы от поверхности. В целом различия в решениях вариантов 2 - 6 составляют несколько процентов и зависят как от расстояния от наночастицы до поверхности (вариант 2), так и от ее размеров (варианты 5 и 6). При вычислении упругих параметров материалов по результатам наноиндентирования эта разница может составить несколько десятков процентов. Дальнейшими задачами исследований являются анализ влияния внедренных в материал системы микро- и наночастиц разного размера на результаты наноиндентирования.
Работа выполнена в рамках комплексной программы УрО РАН, проект ИМ УрО РАН № 15-10-1-23.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмаков А. Г., Терентьев А. Ф., Бакиров М. Б. Методы измерения твердости: справ изд. М.: Интермет Инжиниринг, 2005. 150 с.
2. Головин Ю. И. Наноиндентирование и механические свойства твердых тел в субмикрообъемах, тонких приповерхностных слоях и пленках: Обзор // Физика твердого тела. 2008. T. 50, вып. 12. C. 2113-2142.
3. Игнатович С. Р., Закиев И. М. Универсальный микро-наноиндентометр «Микрон-гамма» // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2011. Т. 77, № 1. С. 61-67.
4. Вахрушев А. В., Шушков А. А., Зыков С. Н. Способ определения модуля упругости Юнга материала микро- и наночастиц // Патент РФ № 2494038, 2013.
5. Воробьев В. Л., Быков П. В., Баянкин В. Я., Шушков А. А., Вахрушев А. В., Орлова Н. А. Механических свойств углеродистой стали ст.3 в зависимости от средней плотности тока в пучке при импульсном облучении ионами аргона // Физика и химия обработки материалов. 2012. № 6. С. 5-9.
6. Вахрушев А. В., Федотов А. Ю., Вахрушев А. А., Шушков А. А., Шушков А. В. Исследование механизмов формирования наночастиц металлов, определение механических и структурных характеристик нанообъектов и композиционных материалов на их основе // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, № 4. С. 486-495.
7. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости / пер. с англ. М. И. Рейтмана, под ред. Г. С. Шапиро. М.: Наука, 1975. 576 с.
8. Морозов И. А., Ужегова Н. И. Определение механических свойств материалов на основе моделей взаимодействия зонда атомно-силового микроскопа с поверхностью образцов // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7, № 4. С. 385-397.
9. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. 440 с.
10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / пер. с англ., под ред. Б. Победри. М.: Мир, 1975.
541 с.
11. Vakhrushev A. V. Computational Multiscale Modeling of Multiphase Nanosystems. Theory and Applications. Waretown, New Jersey, USA: Apple Academic Press, 2017. 402 р.
NUMERICAL STUDY OF INTERACTION OF THE INDENTOR WITH ELASTIC SURFACE OF POWDER NANOCOMPOSITES
1,2 Vakhrushev A. V., 2 Efremov S. M.
institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
2Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Investigation of the mechanical properties of materials for small volumes is widely used at present in engineering and research practice. Particularly relevant are such tests for the study of individual layers of nanomaterial, their phases and structural components. A very promising direction of testing is nanoindentation, based on the use of small tools and loads. On this basis, promising methods of micromechanical research are being developed. In this case, both thin films and multilayer structures and nanomaterials of various applications with inclusions of micro- and
nanoparticles can be tested. In many cases, the basis of such methods is the well-known analytic solution of the contact problem obtained by Hertz using methods of the theory of elasticity. However, the above analytical solutions do not allow to investigate inhomogeneous materials with various rigid and soft inclusions, for example, powder composites filled with micro- and nanoparticles of round shape. Therefore, it seems expedient to further investigate the contact problem for a material with an inclusion, which in general is a three-dimensional one. The aim of this paper was to study the axisymmetric contact problem of the interaction of a spherical indenter with an elastic isotropic body containing an elastic nanoparticle below the surface. We consider an axisymmetric contact problem on the interaction of a spherical indenter with an elastic isotropic body containing an elastic nanoparticle below the surface. Dimensionless parameters are proposed for solving this elastic contact problem. For a numerical solution, the finite element method is used. Fields of displacements and stresses in an elastic body are obtained for various sizes of the nanoparticle and for various distances from the surface to the nanoparticle. The influence of a nanoparticle on the penetration depth of an indenter into the surface of a material is studied. It is established that the depth of penetration of the indenter depends essentially on the size and position of the particle in the material. Further research tasks are the analysis of the effect of micro- and nanoparticles of different sizes embedded in the material on the parameters of the indenter penetration into the nanocomposite surface.
KEYWORDS: nanoindentation, contact problem, materials with nanoparticles, finite element method. REFERENCES
1. Kolmakov A. G., Terent'ev A. F., Bakirov M. B. Metody izmereniya tverdosti: sprav izd. [Methods for measuring hardness: reference edition]. Moscow: Intermet Inzhiniring Publ., 2005. 150 p.
2. Golovin Yu. I. Nanoindentation and mechanical properties of solids in submicrovolumes, thin near-surface layers, and films: A Review. Physics of the Solid State, 2008, vol. 50, no. 12, pp. 2205-2236.
3. Ignatovich S. R., Zakiev I. M. Universal'nyy mikro-nanoindentometr «Mikron-gamma» [Universal Nano-Hardness Tester «Micron-Gamma»]. Zavodskaya laboratoriya. Diagnostika materialov [Industrial Laboratory], 2011, vol. 77, no. 1, pp. 61-67.
4. Vakhrushev A. V., Shushkov A. A., Zykov S. N. Sposob opredeleniya modulya uprugosti Yunga materiala mikro- i nanochastits [The method for determining the Young's modulus of elasticity of a material of micro- and nanoparticles]. PatentRU2494038, 2013.
5. Vorob'ev V. L., Bykov P. V., Bayankin V. Ya., Shushkov A. A., Vakhrushev A. V., Orlova N. A. Mekhanicheskikh svoystv uglerodistoy stali st.3 v zavisimosti ot sredney plotnosti toka v puchke pri impul'snom obluchenii ionami argona [Mechanical properties of carbon steel changes with the beam mean current density under pulsed irradiation with Ar ions]. Fizika i khimiya obrabotki materialov [Physics and Chemistry of Materials Treatment ], 2012, no. 6, pp. 5-9.
6. Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu., Vakhrushev A. A., Shushkov A. A., Shushkov A. V. Issledovanie mekhanizmov formirovaniya nanochastits metallov, opredelenie mekhanicheskikh i strukturnykh kharakteristik nanoob"ektov i kompozitsionnykh materialov na ikh osnove [Study of process formation of metal nanoparticles, determination of mechanical and structural parameters of nanoobjects and composites with its]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2010, vol. 12, no. 4, pp. 486-495.
7. Timoshenko S. P., Goodier J. N. Theory of elasticity. MacGraw Hill Book Company, 1951. 506 р.
8. Morozov I. A., Uzhegova N. I. Opredelenie mekhanicheskikh svoystv materialov na osnove modeley vzaimodeystviya zonda atomno-silovogo mikroskopa s poverkhnost'yu obraztsov [Determination of mechanical properties of materials in terms of models of interaction between AFM probe and sample surface]. Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred [Computational Continuum Mechanics], 2014, vol. 7, no. 4, pp. 385-397.
9. Sedov L. I. Similarity and Dimensional Methods in Mechanics. 10th edition. CRC Press, 1993. 496 p.
10. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. 6th ed. Elsevier, 2005. 631 p.
11. Vakhrushev A. V. Computational Multiscale Modeling of Multiphase Nanosystems. Theory and Applications. Waretown, New Jersey, USA: Apple Academic Press, 2017. 402 р.
Вахрушев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики наноструктур ИМ УрО РАН, тел. (3412) 21-45-83, e-mail: vakhrushev-a@yandex. ru
Ефремов Сергей Михайлович, кандидат технических наук, доцент, ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, тел. 89058754531, e-mail: efsemi@mail.ru
