CC BY
88
УДК 539.32+539.531
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НАНОСТРУКТУР
ШУШКОВ А. А., ВАХРУШЕВ А. В.
Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. В работе представлен обзор методов определения механических свойств наноструктур (расчетно-экспериментальных методов, методов на основе математического компьютерного моделирования и методов, основанных на совместном их применении). Показаны особенности и недостатки каждого метода, в частности индентирования. У большинства авторов исследования механических свойств наноструктур наблюдается тенденция увеличения модуля упругости с уменьшением размера. Однако имеются и противоположные результаты. В виду того, что результаты имеют неоднозначный, а иногда противоречивый характер расчета зависимости модуля упругости от размера наноструктур представляются актуальными исследования в области разработки обобщенного, точного способа определения механических свойств наноструктур произвольной геометрической формы.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: механические свойства, модуль упругости, наночастицы, индентирование.
ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия разработано множество методик определения механических свойств (статистического модуля упругости Юнга, коэффициента Пуассона и других) наноструктур произвольной геометрической формы (нановолокон, нанотрубок, наночастиц) [1 - 5]. Возникновение направления создания подобных методик связано с явлением изменения (в большинстве случаев увеличения) механических характеристик наноструктур с уменьшением их размера [6 - 9]. Особенно большой интерес к их исследованию появился в связи с созданием нанокомпозиционных материалов с улучшенными, заранее прогнозируемыми механическими свойствами, что является одним из приоритетных направлений исследований в мировом масштабе.
До сих пор нет четких поставленных методик определения модуля упругости и коэффициента Пуассона наноструктур. Все существующие способы имеют ряд недостатков. В частности прямое экспериментальное измерение упругих характеристик наноструктур является технически сложной, экономически затратной, а в некоторых случаях вообще не выполнимой задачей вследствие «малого» размера (несколько десятков нанометров, а иногда ангстрем) различной формы наноструктур. В этих условиях численное компьютерное моделирование оказывается наиболее приемлемым способом изучения упругих свойств наночастиц. Моделирование с помощью вычислительных средств является альтернативным и перспективным способом установления данных характеристик наночастиц.
Кроме того, применение методов компьютерного математического моделирования позволяет спрогнозировать какими реальными будут механические свойства наноструктур, а также композиционных материалов на их основе с наименьшими затратами времени и без использования дорогостоящего оборудования.
Практическая полезность исследования состоит в том, что оно связано с расчетом зависимости модуля упругости от размера наночастиц, что позволит обеспечить производство нанокомпозиционных материалов с заданными, требуемыми упругими свойствами. Наличие такой зависимости существенно снижает объём производимых экспериментальных исследований за счёт получения информации о механических характеристиках наночастиц.
Решение вопросов устранения недостатков экспериментальных методов определения, которые будут представлены ниже, привело к необходимости создания адекватных
аналитических моделей, позволяющих находить механические свойства наноструктур. Необходимой частью каждой модели подобного рода является соответствие, что упругие характеристики наноструктур совпадают со своими значениями, полученными из макро экспериментов [10]. Результаты по этим методикам расчета модуля упругости наночастиц от их размера, полученные различными авторами имеют неоднозначный, а иногда даже противоречивый характер [6, 11]. Это связано с выбором различной модели исследуемых наночастиц, метода компьютерного моделирования (метод конечных элементов, метод молекулярной динамики, метод квантовой механики). А также последние исследования показывают, что в области размеров (диаметра) наночастиц меньше - 6 нм при использовании одной и той же модели наноструктуры, одного и того же метода математического моделирования механические свойства наночастиц зависят от способа деформирования нанообъекта [12]. Это приводит к выводу, что использование аналитических моделей, полученных на основе результатов из макро экспериментов является некорректным. В связи с этим, возникает задача - разработка обобщенного, точного способа определения механических свойств наночастиц, причем произвольной формы на основе сравнения результатов, полученных экспериментальными методами и различными методами математического компьютерного моделирования, для получения более точного результата.
Все способы определения механических свойств наноструктур условно можно разделить на два типа (рис. 1).
Методы определения механических свойств наноструктур
1
Деформирование
Деформирование композиционного
исследуемой материала с включенными
наноструктуры. в его состав
«Прямое» наноструктурами.
«Косвенное»
Рис. 1. Методы определения механических характеристик наноструктур
«Прямое» определение механических свойств наноструктуры на основе ее деформирования. Деформирование композиционного материала и последующий «косвенный» расчет механических свойств наноструктур одинакового размера [13], входящих в его состав. Второй способ кажется более простым, так как образец массивный. Однако при использовании методов компьютерного моделирования требует на порядки большего времени для расчета. Поэтому «прямое» определение механических свойств наноструктур является актуально задачей, позволяющей спрогнозировать свойства композиционного материала на их основе, уменьшить затраты и время создания композиционного материала с требуемыми, необходимыми для конкретного случая улучшенными механическими свойствами.
Еще одной актуальной задачей подобного рода является нахождение перехода, размера наночастицы (критического диаметра), после которого свойства наночастиц будут совпадать со свойствами макро материала. В этой области имеются лишь несколько исследовательских работ [14].
Приведем краткий обзор способов определения механических характеристик микро - и наночастиц материалов.
РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НАНОСТРУКТУР
Одним из основных способов исследования механических свойств тонких пленок является метод наноиндентирования. Новой задачей исследования методом наноиндентирования является определение механических характеристик наночастиц.
Изучение механических свойств на основе вдавливания индентора имеет широкое распространение при исследовании пленок и поверхностных слоев [15 - 18]. Существует много информации о модуле упругости, твердости, полученной этим методом [19 - 33]. Разнообразие типов испытаний непрерывным наноиндентированием вошло в обычное использование для измерения механических свойств материалов.
Для этих исследований разработано широкое разнообразие тестируемых устройств с инденторами различных форм, работающие с размерами от нано- до макро масштаба. Общая характерная черта этих испытаний заключается в том, что приложенная нагрузка считывается как функция глубины индентирования в течение режима приложения и снятия нагрузки. Значительное преимущество этого способа заключается в точности, с которой измеряется модуль упругости. Однако, поскольку индентор относительно мал по отношению к площади поверхности все измерения являются локальными. К тому же, модуль упругости определяется в поверхности образца наноматериала. Какой будет модуль упругости внутри образца, определить на основе этого способа не представляется возможным. Метод наноиндентирования применим для определения модуля упругости в тонких пленках и неприменим для сравнительно малых объемных наночастиц. Возникает ряд трудностей при применении данного метода, связанных с тем, что результаты измерений не всегда соответствуют истинным характеристикам исследуемых образцов.
Причиной этого, прежде всего, является влияние подложки, на которую нанесена частица и которая, как правило, имеет совершенно другие механические свойства. Кроме того, существует проблема вдавливания либо наоборот выдавливания испытуемого материала вдоль граней пирамидки индентора, в зарубежной литературе - pile-up или sink-in, что приводит к неточностям в определении площади контакта индентора с образцом и как следствие к искажению результатов. Также, результат измерений зависит от метода анализа кривых индентирования. Несмотря на значительное число работ в этой области, проблема измерений механических характеристик тонких пленок, нано- и микрочастиц методом наноиндентирования до сих пор не решена.
Метод наноиндентирования в частности применяется для определения модуля упругости в эпитаксиальных слоях нитрида галлия [34]. Методика основана на решении
задачи Герца для упругого вдавливания стальной сферы в исследуемую поверхность -упругого изотропного тела. Поэтому для анизотропных материалов этим методом можно получить лишь приблизительные значения. Установлено, что используемое при этом изотропное приближение оправдано. Однако изотропность в задачах подобного рода требует более детального обоснования, что очень важно.
Большинство результатов расчета механических характеристик измерений методом наноиндентирования определяются на основе методики Оливера-Фарра, которая подробно описана в работе [35]. Однако данная методика имеет высокую погрешность при определении механических свойств «мягких» материалов, требует много очень точных калибровок применяемого оборудования (калибровка глубины проникновения индентора, нагрузки, податливости системы, проекции площади отпечатка алмазного наконечника и т.д.). Невыполнение хотя бы одной из калибровок приведет к неточному определению механических характеристик исследуемой поверхности.
Кроме того, как было уже сказано, при определении механических характеристик необходимо учитывать влияние навалов, впадин. Неучитывание данных явлений может привести к «большой» погрешности определения приведенного модуля упругости, а твердости до 50 % [36]. Учитывая все выше описанное, имеется необходимость создания новых методов определения механических характеристик тонких пленок, микро-и наноструктур.
Способ определения приведенного модуля упругости, представлен в диссертационной работе [36]. Совместно с Решетовым В.Н. и Усеиновым С.С. разработан оригинальный метод измерения модуля упругости путем анализа силовых спектров (кривых подвода) [37, 38]. В процессе измерения зонд с закрепленным на свободном конце наконечником (индентором), совершает колебания в направлении нормали к поверхности образца с амплитудой ~ 5 нм и частотой ~ 10 кГц. В процессе измерения зонд по шагам (~ 0,1 нм) перемещается пьезокерамическим актюатором (сканером) по направлению к поверхности. В момент контакта с поверхностью, в результате взаимодействия наконечника с материалом, изменяется амплитуда и частота колебаний зонда. В представленной методике измеряемым параметром является частота. Изменение частоты зависит от характеристик зонда и наконечника, а также от упругих свойств материала в области контакта. В процессе эксперимента изменение частоты записывается для каждого положения пьезосканера. Полученная зависимость изменения частоты зонда от перемещения пьезосканера называется силовым спектром или кривой подвода.
Для интерпретации получаемых результатов и обоснования возможности количественных измерений модуля упругости с использованием описанной методики предложена модель, описывающая изменение частоты колебаний зонда в зависимости от перемещения основания зонда. Модель базируется на аналитическом решении «задачи Герца» о взаимной деформации двух твердых шаров при их сжатии, которая подробно изложена в [39]. Использование модели Герца для описания взаимодействия индентора и образца в данном случае обоснованно, поскольку поверхностные силы пренебрежимо малы по сравнению с суммарными силами взаимодействия.
Разработанный авторами способ определения механических характеристик является преимущественным по сравнению с методом наноиндентирования, поскольку измерение происходит на упругом участке подвода индентора, малая глубина погружения наконечника, измерение можно проводить при любой шероховатости поверхности, что является очень важным. Толщина исследуемой тонкой пленки может составлять 100 нм. Упругий контакт соответствует погружению индентора на 5 - 15 нм.
Следует особо подчеркнуть, что представленные способы измерения и последующего расчета механических свойств, применимы лишь для тонких пленок, отдельных составляющих в сложных многофазных структурах и приповерхностных слоев материалов. Применительно к наночастицам они не всегда приемлемы.
Однако экспериментальные способы определения механических свойств наноструктур существуют и почти все они относятся ко второму типу. Приведем еще несколько способов определения механических характеристик нанообъектов.
Следует отметить, что существуют теоретические [40], а также экспериментальные способы определения модуля упругости нанотрубок, например, по амплитуде колебаний изолированных однослойных и многослойных нанотрубок [41, 42], которые исследовались на просвечивающем электронном микроскопе. В другом экспериментальном способе многослойная нанотрубка прикреплялась к подложке обычной литографией, сила прикладывалась и измерялась на различных расстояниях от точки крепления атомным силовым микроскопом. В работе [43], для определения модуля упругости суспензия из однослойных нанотрубок пропускалась через мембрану, нанотрубки подвешивались в порах, а их прогибы измерялись с помощью атомного силового микроскопа.
Существует способ определения модуля упругости углеродных нанотрубок или углеродных волокон, добавленных в эпоксидную матрицу [44], основанный на том, что образец материала подвергают воздействию гелево-неонового лазера. Получают Рамановский спектр образца материала с помощью Renishaw Яатавсоре. Охлаждают образец до определенной температуры, используя ячейку охлаждения Ьткат ТИМБ 600, тем самым, вызывая деформацию композиционного материала. Охлаждение выполняют впрыскиванием азота, снимают Рамановский спектр образца материала. Смещение пика интенсивности образца после охлаждения обусловлено осевым уменьшением длины С-С связи. Вычисляют модуль упругости углеродных нанотрубок или углеродных волокон.
Экспериментально исследованы нанокомпозиты [6], состоящие из полимерной матрицы - полиметилметакрилата (РММА) с добавлением в него заданного процента наночастиц кварца. Для определения модуля упругости наночастиц был предложен инверсный анализ метода эквивалентных включений. Используя численный анализ, был вычислен модуль упругости для кварцевых частиц.
Найдено, что модуль упругости нанокомпозита сохранялся почти постоянным с объемной долей фракции кварцевых частиц 8 % и значительно увеличивался, когда размеры частиц ставились нано порядка. Этот результат был подтвержден и сравнен с трехфазной моделью. Показано, что предложенный метод является эффективным для прогнозирования модуля упругости неорганических частиц в нанокомпозитах.
СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НАНОСТРУКТУР С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Многие на сегодняшний день методы определения модуля упругости и коэффициента Пуассона наноструктур основаны на применении методов компьютерного математического моделирования. Механические характеристики частиц определяются на основе моделирования деформирования композиционного материала и последующего косвенного расчета модуля упругости частиц, включенных в его состав [45, 46]. В частности, в работе [47] с помощью компьютерного моделирования, методом Монте-Карло исследованы образцы, состоящие из агрегатов наночастиц титана. "Эквивалентная" модель титана деформируется вдоль одной из осей. Модуль упругости вычисляется из энергии деформации смоделированного образца методом конечных элементов. Модуль упругости образца, состоящего из наночастиц титана, увеличивается с уменьшением размера частиц. Обнаружено, что модуль упругости исследованного образца зависит от размера наночастиц и не зависит от размера агрегатов наночастиц.
Однако, в работе [11] показано, что модуль упругости композиционных материалов увеличивается с увеличением радиуса наночастиц кварца (рис. 2). Объемная доля содержания наночастиц кварца составляла 5 %. Расчеты проведены методом молекулярной динамики, с использованием "эквивалентной", трехфазной, непрерывной модели. Результаты расчетов сравнены с двух фазной моделью Мори-Танака. Видно, что с использованием модели Мори-Танака модуль упругости композиционных материалов остается постоянным.
4.7
Е (ГПа) Результаты по модели / Мори-Танака
Кварц/полиимид
— — Гидроксилированный кварц/ полиимид
— — — Феноксибензоловый кварц/ полиимид
— ■ — Функцианализированный кварц/полиимид
■ (А)
~~I I I I
10
100
1.000
10,000
Рис. 2. Зависимости модуля упругости композиционных материалов Е (ГПа), от радиуса наночастиц кварца г (А), включенных в его состав
Теоретические основы тенденции увеличения модуля упругости с уменьшением размеров нанокристаллов (рис. 3) представлены в работе российских ученых [10] на примере двумерной полосы из монокристаллического материала, обладающей гексагональной плотноупакованной решеткой. Результаты хорошо согласуются с полученными экспериментальными данными [48]. Обнаружено, что модуль упругости может в два раза отличаться от своего макроскопического значения. Показано, что размер и форма нанокристалла вносят дополнительную анизотропию в его механические свойства.
0.40 -1-1-1-1-1-1-1-
2 4 6 8 10
Рис. 3. Зависимости относительного модуля упругости и коэффициента Пуассона от числа слоев атомов. 1-, 2- модуль упругости в продольном Етах / Е¥ и поперечном Е2 / Е¥ направлениях соответственно,
3- относительный коэффициента Пуассона У2 / в поперечном направлении [10],
N - число слоев атомов
Однако необходима проверка для других типов кристаллических решеток особенно трехмерных. В следующей работе авторов [49] исследовался трехмерный нанокристалл, имеющий кубическую гранецентрированную решетку. Получено, что модуль упругости увеличивается по отношению к своему макроскопическому значению в 3,83 раза.
Значения модуля упругости не всегда возрастают при уменьшении размеров нанокристаллов. Также авторы сделали очень хороший вывод, который приводится почти дословно, что понятия классической механики сплошной среды, в том числе и теории упругости, при применении к нанообъектам должны использоваться с большой осторожностью. Обязательно следует учитывать изменение механических характеристик при приближении масштабов рассматриваемого объекта к нанометровым. Особое внимание необходимо уделять величинам, принципиально неоднозначным на наноуровне, таким как модуль упругости. При их использовании следует четко определять, что именно понимается под указанными величинами в применении к нанообъектам. Однако все сказанное не означает, что классическая теория упругости неприменима на наноуровне. Просто она должна использоваться с учетом масштабных эффектов, а адекватность континуального подхода следует оценивать при рассмотрении конкретных задач.
Изучение упругих свойств трехмерных кристаллов представлены в работе [50]. С помощью квантово-механического компьютерного моделирования (теория функционала электронной плотности и метод псевдопотенциала) исследована реакция малых наночастиц алюминия (от 2 до 13 атомов), кремния (от 5 до 18) и диоксида циркония (от 18 до 30) на растяжение и сжатие. Выявлено, что величина модуля упругости наночастиц, как правило, в несколько раз превышает соответствующие значения для массивного материала. При увеличении числа атомов в наночастице модуль упругости ведет себя по-разному для частиц с различными типами межатомной связи. В случае кремния его величина быстро стремится к значению, характерному для массивного материала; в случае диоксида циркония - практически не изменяется; в случае алюминия - зависимость модуля упругости от размера наночастицы немонотонная и определяется геометрией частицы.
В целом можно сказать, что упругие характеристики наночастиц существенно превышают соответствующие величины, характерные для массивных материалов, однако в случае кремния наблюдается быстрое сближение наночастичных и массивных модулей упругости при увеличении числа атомов в частице.
Расчетные упругие характеристики хорошо согласуются с экспериментальными данными для наночастиц диоксида циркония, несмотря на то, что в работе [51] исследованы частицы гораздо большего размера (18 нм).
Существует методика расчета модуля упругости сферических наночастиц на основе их растяжения или сжатия сосредоточенными силами, приложенными в противоположные концы диаметра [52]. Применяется метод молекулярной динамики. Материал данного элемента тела считают однородным и изотропным. Следует отметить, что в общем случае свойства наноэлемента могут быть неоднородными (возможная анизотропия не рассматривается). Это обусловлено изменением атомной структуры наноэлемента в области его поверхности. Модуль упругости определяется по совпадению векторов перемещений атомов от центра до точки приложения силы наночастицы и упругого эквивалентного элемента (шара). Рис. 4 иллюстрирует общую тенденцию увеличения модуля упругости, однако у различных материалов она неодинакова. В качестве относительного модуля выбрано отношение модуля упругости к асимптотическому его значению при максимальном диаметре наночастицы. Относительный модуль цинка увеличивается более чем в 7 раз, а модуль калия только в 2,5 раза.
Е 3
V
1 ♦
V 2
/А 4 / , —♦
5 У - —_ г (А) ♦
0
10
20
30
40
50
Рис. 4. Зависимость относительного модуля упругости Е от радиуса г (А) для наночастиц из различных материалов: 1 - цезий, 2 - кальций, 3 - цинк, 4 -магний, 5 - калий
Разработана аналогичная методика определения модуля упругости на основе сжатия наночастицы и упругого эквивалентного элемента равномерно распределенным по поверхности давлением [12]. Зависимость модуля упругости от радиуса, полученная на основе сжатия наночастиц равномерно распределенным по поверхности давлением (для коэффициента Пуассона 0,3) не изменяется с увеличением размера наночастиц цезия (рис. 5). Модуль упругости Юнга наночастиц цезия рассчитанный данным способом равен справочному значению с относительной погрешностью в 5 %.
Рис. 5. Зависимость модуля упругости Е, Па от радиуса г, А наночастиц цезия: 1 - растяжение сосредоточенными силами, 2 - сжатие равномерно распределенным по поверхности давлением [12]
7
6
5
4
3
Таким образом, можно сделать вывод, что модуль упругости наночастиц «малых» размеров (радиус меньше ~ 30 А для цезия) зависит от напряженно-деформируемого состояния, формируемого после приложения разного типа нагрузки и изотропное приближение в данном случае не оправдано.
СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НАНОСТРУКТУР, ОСНОВАННЫЕ НА СОВМЕСТНОМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЭКСПЕРИМЕНТА И МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Разработана методика [53] определения модуля упругости наночастиц произвольной формы, основанная на сопоставлении результатов численных расчетов методом конечных элементов и экспериментов. Данная задача определения модуля упругости решается с помощью нанесения напылением частиц материала на подложку, экспериментального сканирования поверхности и нахождения частицы, последующего вдавливания индентора любой формы по центру частицы. Нагрузка индентора выбирается из условия, чтобы деформация была упругой. Рассматривается только упругая деформация, так как на начальных стадиях погружения индентора вся деформация является обратимой. Получаем экспериментальную зависимость глубины вдавливания от приложенной нагрузки к частице. По результатам сканирования исследуемого участка поверхности снимается трехмерная геометрия поверхности. Строится конечно-элементная модель участка с микро- или наночастицей соответствующей экспериментальной. Для заданной формы геометрии исследуемого участка решается задача вдавливания индентора методом конечных элементов (МКЭ).
Расчет модуля упругости материала микро- и наночастиц проводится МКЭ, исходя из известных значений формы, упругих констант индентора, силы, глубины вдавливания, заданного коэффициента поперечной деформации и геометрии поверхности частицы при проведении эксперимента на индентирование. Проводится расчет глубины индентирования МКЭ для такой же экспериментальной силы для различных значений модуля упругости частицы. Строится график зависимости изменения глубины вдавливания индентора, полученной методом конечных элементов по сравнению с экспериментальной (Ак = кЭКСПЕР - кМКЭ) в исследуемую частицу от модуля упругости. В точке, в которой зависимость достигает нулевого значения (экспериментальная и расчетная глубины проникновения индентора совпадают) определяется модуль упругости исследуемой частицы.
ВЫВОДЫ
Проведен обзор методов определения механических свойств приповерхностных слоев, наноструктур (экспериментальных и методов на основе математического компьютерного моделирования). Представлены достоинства и недостатки каждого метода. Преимущественным методом определения механических свойств по сравнению с методом индентирования является метод силовой спектроскопии [36].
На примере зависимости модуля упругости от размера наночастиц показано, что с использованием метода Монте-Карло, метода эквивалентных включений, метода молекулярной динамики, метода псевдопотенциала и теорию функционала электронной плотности модуль упругости увеличивается с уменьшением размера наночастиц. Однако эта тенденция имеет неоднозначный характер, применив метод молекулярной динамики с использованием «эквивалентной», трехфазной непрерывной модели исследования показали, что модуль упругости увеличивается с увеличением размера наночастиц, а с использованием модели Мори-Танака остается постоянным, при использовании модели упругого «эквивалентного» элемента модуль упругости увеличивается с уменьшением размера наночастиц.
Теоретические расчеты показывают, что модуль упругости должен увеличиваться с уменьшением размера нанокристаллов. Показано, что при использовании одного и того же метода математического компьютерного моделирования (метод молекулярной динамики) модуль упругости «малых» наночастиц (радиус » 0,3 нм для наночастиц цезия) зависит от напряженно-деформируемого состояния, поэтому предполагаемое изотропное приближение не оправдано.
Работа выполнена в рамках комплексной программы УрО РАН, проект ИМ УрО РАН № 18-10-1-29.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Головин Ю. И. Наноиндентирование и его возможности. М.: Машиностроение, 2009. 316 с.
2. Булычев С. И., Алехин В. П. Испытания материалов непрерывным вдавливаем индентора. М.: Машиностроение, 1990. 224 с.
3. Федосов С. А., Пешек Л. Определение механических свойств материалов микроиндентированием: современные зарубежные методики. М.: Физический факультет МГУ, 2004. 97 с.
4. Вахрушев А. В., Липанов А. М., Шушков А. А. Способ определения модуля упругости Юнга материалов // Патент РФ № 2292029, 2007.
5. Вахрушев А. В., Липанов А. М., Шушков А. А. Способ определения модуля упругости Юнга материалов // Патент РФ № 2296972, 2007.
6. Ni Q.-Q., Fu Y., Iwamoto M. Evaluation of Elastic Modulus of Nano Particles in PMMA/Silica Nanocomposites // Journal of the Society of Materials Science, Japan, 2004, vol. 53, no. 9, pp. 956-961.
7. Ruoff R. S., Pugno N. M. Strength of nanostructures // Proceedings of the 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Warsaw, Poland, 15-21 August 2004, pp. 303-311.
8. Dingreville R., Qu J., Cherkaoui M. Surface free energy and its effect on the elastic behavior of nano-sized particles, wires and films // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2004, vol. 53, no. 8, pp. 1827-1854.
9. Duan H. L., Wang J., Huang Z. P., Karihaloo B. L. Size-dependent effective elastic constants of solids containing nano-inhomogeneities with interface stress // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2005, vol. 53, no. 7, pp. 1574-1596.
10. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов // Физика твердого тела. 2002. Т. 44, № 12. С. 2158-2163.
11. Odegard G. M., Clancy T. C., Gates T. S. Modeling of the mechanical properties of nanoparticle/polymer composites // Polymer, 2005, vol. 46, no. 2, pp. 553-562.
12. Вахрушев А. В., Вахрушева Л. Л., Шушков А. А. Численный анализ изменения модуля упругости кристаллических наночастиц металлов под действием разных типов нагрузки // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Т. 3. С. 137-150.
13. Кристенсен Р. Введение в механику композитов / пер. с англ. А.И. Бейля, Н.И. Жмудя, под ред. Ю.М. Тарнопольского. M.: Мир, 1982. 336 с.
14. Вахрушев А. А., Федотов А. Ю., Шушков А. А., Шушков А. В. Моделирование формирования наночастиц металлов, исследование структурных, физико-механических свойств наночастиц и нанокомпозитов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. № 2. С. 241-253.
15. Андриевский Р. А., Калинников Г. В. Hellgren N., Sandstrom P., Штанский Д. В. Наноиндентирование и деформационные характеристики наноструктурных боридонитридных пленок // Физика твердого тела. 2000. T. 42, № 9. С. 1624-1627.
16. Воробьев В. Л., Быков П. В., Баянкин В. Я., Новоселов А. А., Буреев О. А., Шушков А. А., Вахрушев А. В. Формирование состава приповерхностных слоев углеродистой стали в зависимости от ускоряющего напряжения импульсного облучения ионами Cr+ // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 2. С. 257-262.
17. Shojaei O. R., Karimi A. Comparison of mechanical properties of TiN thin films using nanoindentation and bulge test // Thin Solid Films, 1998, vol. 332, iss. 2. pp. 202-208.
18. Sklenicka V., Kucharova K., Pahutova M., Vidrich G., Svoboda M., Ferkel H. Mechanical and creep properties of electrodeposited nickel and its particle-reinforced nanocomposite // Reviews on advanced materials science, 2005, vol. 10, iss. 2, pp. 171-175. URL: http://www.ipme.ru/e-journals/RAMS/no_21005/sklenicka.pdf (дата обращения 07.02.2017).
19. Gong J., Miao H., Peng Z. A new function for the description of the nanoindentation unloading data // Scripta Materialia, 2003, vol. 49, iss. 1, pp. 93-97.
20. Jung Y.-G., Lawn B. R., Martyniuk M., Huang H., Hu X. Z. Evaluation of elastic modulus and hardness of thin films by nanoindentation // Journal of Materials Research, 2004, vol. 19, no. 10, pp. 3076-3080.
21. Hua W., Wu X. Nanohardness and elastic modulus at the interface of TiCx/Ni3Al composites determined by the nanoindentation technique // Applied Surface Science, 2002, vol. 189, iss. 1-2, pp. 72-77.
22. Lee Y.-H., Kwon D. Measurement of residual-stress effect by nanoindentation on elastically strained (100) W // Scripta Materialia, 2003, vol. 49, iss. 5, pp. 459-465.
23. Qi H. J., Teo K. B. K., Lau K. K. S., Boyce M. C., Milne W. I., Robertson J., Gleason K. K. Determination of mechanical properties of carbon nanotubes and vertically aligned carbon nanotube forests using nanoindentation // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2003, vol. 51, iss. 11-12, pp. 2213-2237.
24. Maier P., Richter A., Faulkner R. G., Ries R. Application of nanoindentation technique for structural characterisation of weld materials // Materials Characterization, 2002, vol. 48, iss. 4, pp. 329-339.
25. Mante F. K., Baran G. R., Lucas B. Nanoindentation studies of titanium single crystals // Biomaterials, 1999, vol. 20, iss. 11, pp. 1051-1055.
26. Cho S.-J., Lee K.-R., Eun K.Y., Hahn J. L., Ko D.-H. Determination of elastic modulus and Poisson's ratio of diamond-like carbon films // Thin Solid Films, 1999, vol. 341, iss. 1-2, pp. 207-210.
27. Sriram S., Bharat B. Development of AFM-based techniques to measure mechanical properties of nanoscale structures // Sensors and actuators A: Physical, 2002, vol. 101, iss. 3, pp. 338-351.
28. Gouldstone A., Kon H.-J., Giannakopoulos A. E., Suresh S. Discrete and continuous deformation during nanoindentation of thin films // Acta Materialia, 2000, vol. 48, iss. 9, pp. 2277-2295.
29. Giddings V. L., Kurtz S. M., Jewett C. W., Foulds J. R., Edidin A. A. A small punch test technique for characterizing the elastic modulus and fracture behavior of PMMA bone cement used in total joint replacement // Biomaterials, 2001, vol. 22, iss. 3, pp. 1875-1881.
30. Vaz A. R., Salvadori M. C. and Cattani M. Young Modulus Measurement of Nanostructured Palladium Thin Films // Technical Proceedings of the 2003 Nanotechnology Conference and Trade Show, 2003, vol. 3, Chapter 4, pp. 177-180. URL: https://nsti.org/publications/Nanotech/2003/pdf/T5501.pdf (дата обращения 03.02. 2017).
31. Kulkarni A. V., Bhushan B. Nano/picoindentation measurements on single-crystal aluminum using modified atomic force microscopy // Materials Letters, 1996, vol. 29, iss. 4-6, pp. 221-227.
32. Bamber M. J., Cooke K. E., Mann A. B., Derby B. Accurate determination of Young's modulus and Poisson's ratio of thin films by a combination of acoustic microscopy and nanoindentation // Thin Solid Films, 2001, vol. 398-399, pp. 299-305.
33. Vilcarromero J., Marques F. C. Hardness and elastic modulus of carbon-germanium alloys // Thin Solid Films, 2001, vol. 398-399. pp. 275-278.
34. Николаев В. И., Шпейзман В. В., Смирнов Б. И. Определение модуля упругости эпитаксиальных слоев GaN методом микроиндентирования // Физика твердого тела. 2000. Т. 42, № 3. С. 428-431.
35. Oliver W. C., Pharr G. M. An Improved Technique for Determining Hardness and Elastic Modulus Using Load and Displacement Sensing Indentation Experiments // Journal of Materials Research, 1992, vol. 7, iss. 6, pp. 1564-1583.
36. Гоголинский К. В. Средства и методы контроля геометрических параметров и механических свойств твердых тел с микро- и нанометровым пространственным разрешением: дис. докт. техн. наук. СПб., 2015. 264 с.
37. Усеинов А. С. Измерение модуля Юнга сверхтвердых материалов с помощью сканирующего зондового микроскопа «НаноСкан» // Приборы и техника эксперимента. 2004. № 1. C. 134-138.
38. Гоголинский К. В., Косаковская З. Я., Усеинов А. С., Чабан И. А. Измерение упругих модулей плотных слоев ориентированных углеродных нанотрубок с помощью сканирующего силового микроскопа // Акустический журнал. 2004, Т. 50, № 6. С. 770-775.
39. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 c.
40. Глухова О. Е., Жбанов А. И., Терентьев О. А. Теоретическое изучение упругих свойств однослойных углеродных нанотрубок // Вопросы прикладной физики: межвузовский научный сборник. Саратов: Изд-во СГУ, 2002. Вып. 8. С. 39-41.
41. Krishnan A., Dujardin E., Ebbesen T. W., Yianilos P. N., Treacy M. M. J. Young's modulus of single-walled nanotubes // Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics, 1998, vol. 58, iss. pp. 14013-14019.
42. Treacy M. M. J., Ebbesen T. W., Gibson J.M. Exceptionally High Yong's Modulus Observed of Individual Carbon Nanotubes // Nature, 1996, vol. 381, pp. 678-680.
43. Salvetat J.-P., Briggs G. A. D., Bonard J. M., Bacsa R. R., Kulik A. J., Stockli Th., Burnham N. A., Forro L. Elastic and shear moduli of single-walled carbon nanotube ropes // Physical Review Letters, 1999, vol. 82, iss. 5. pp. 944-947.
44. Lourie O., Wagner H. D. Evaluation of Young's modulus of carbon nanotubes by micro-Raman spectroscopy // Journal of Materials Research, 1998, vol. 13, no. 9, pp. 2418-2422.
45. Вахрушев А. В., Шушков А. А. Способ определения модуля упругости Юнга и коэффициента Пуассона материала микро и наночастиц // Патент РФ № 2297617, 2007.
46. Вахрушев А. В., Федотов А. Ю., Вахрушев А. А., Шушков А. А., Шушков А. В. Исследование механизмов формирования наночастиц металлов, определение механических и структурных характеристик нанообъектов и композиционных материалов на их основе // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, № 4. С. 486-495.
47. Oluwatosin A. O. Synthesis of porous films from nanoparticle aggregates and study of their processing-structure-property relationships: dis. Doctor of Philosophy. 2005. 142 p.
48. Быков Д. Л. Коновалов Д. Н. Особенности сопротивления вязкоупругих материалов при потере устойчивости тонкостенных конструкций // Физика процессов деформации и разрушения и прогнозирование механического поведения материалов : труды XXXVI Международного семинара «Актуальные проблемы прочности», 26-29 сентября 2000 г., Витебск, 2000. С. 428-433.
49. Лобода О. С., Кривцов А. М. Влияние масштабного фактора на модули упругости трехмерного нанокристалла // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2005. № 4. С. 27-41.
50. Заводинский В. Г., Чибисов А. Н., Гниденко А. А., Алейникова М. А. Теоретическое исследование упругих свойств малых наночастиц с различными типами межатомных связей // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. Т. 11, № 3. С. 337-346.
51. Bouvier P., Djurado E., Lucazeau G., Bihan T. Le. High-pressure structural evolution of undoped tetragonal nanocrystalline zirconia // Physical Review B: Condensed matter and materials physics, 2000, vol. 62, no. 13, pp. 8731-8737.
52. Вахрушев А. В., Шушков А. А. Методика расчета упругих параметров наноэлементов // Химическая физика и мезоскопия. 2005. Т. 7, № 3. С. 277-285.
53. Вахрушев А. В., Шушков А. А., Зыков С. Н. Способ определения модуля упругости Юнга материала микро- и наночастиц // Патент РФ № 2494038, 2013.
METHODS OF NANOSTRUCTURES MECHANICAL PROPERTIES DETERMINATION
Shushkov A. A., Vakhrushev A. V.
Udmurt Federal Research Center, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia
SUMMARY. A review of mechanical properties determining methods of near-surface layers, nanostructures (experimental and methods based on mathematical computer simulation) is carried out. The advantages and disadvantages of each method are presented. An preemptive method for determining mechanical properties in comparison with the method of indentation is the method of force spectroscopy. Using the Monte Carlo method, the method of equivalent inclusions, the method of molecular dynamics, the pseudopotential method, and the theory of the electron density functional, the modulus of elasticity increases with decreasing nanoparticle size, as an example of the dependence of the modulus of elasticity on the size of nanoparticles. However, this trend is ambiguous, using the method of molecular dynamics using an "equivalent", three-phase continuous model of the study showed that the elastic modulus increases with increasing nanoparticle size, and using the Mori-Tanaka model remains constant, using the model of elastic "equivalent" element The elastic modulus increases with decreasing size of the nanoparticles. Theoretical calculations show that the elastic modulus should increase with decreasing size of nanocrystals. It is shown that when using the same method of mathematical computer simulation (the molecular dynamics method), the elastic modulus of "small" nanoparticles (radius » 0.3 nm for cesium nanoparticles) depends on the stress-strain state, so the assumed isotropic approximation is not justified. It is shown that the size and shape of the nanostructure contribute additional anisotropy to its elastic properties. Therefore, when solving the problems of determining the mechanical (elastic) properties of nanostructures, it is necessary to take into account the anisotropy of the structure. Without this condition, it is not advisable to use methods based on the problems of elasticity theory.
KEYWORDS: mechanical properties, elastic modulus, nanoparticles, indentation.
REFERENCES
1. Golovin Yu. I. Nanoindentirovanie i ego vozmozhnosti [Nanoindentation and its possibilities]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 2009. 316 p.
2. Bulychev S. I., Alekhin V. P. Ispytaniya materialov nepreryvnym vdavlivaem indentora [Testing of materials by continuous indent pressing]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1990. 224 p.
3. Fedosov S. A., Peshek L. Opredelenie mekhanicheskih svojstv materialov mikroindentirovaniem: sovremennye zarubezhnye metodiki [Determination of the mechanical properties of materials by microindentation: modern foreign methods]. Moscow: Fizicheskij fakul'tet MGU Publ., 2004. 97 p.
4. Vakhrushev A. V., Lipanov A. M., Shushkov A. A., Sposob opredeleniya modulya uprugosti Yunga materialov [Determining method of Young's elastic modulus of materials]. PatentRU2292029, 2007.
5. Vakhrushev A. V., Lipanov A. M., Shushkov A. A. Sposob opredeleniya modulya uprugosti Yunga materialov [Determining method of Young's elastic modulus of materials]. Patent RU 2296972, 2007.
6. Ni Q.-Q., Fu Y., Iwamoto M. Evaluation of Elastic Modulus of Nano Particles in PMMA/Silica Nanocomposites. Journal of the Society of Materials Science, Japan, 2004, vol. 53, no. 9, pp. 956-961. https://doi.org/10.2472/jsms.53.956
7. Ruoff R. S., Pugno N. M. Strength of nanostructures. Proceedings of the 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Warsaw, Poland, 15-21 August 2004, pp. 303-311. https://doi.org/10.1007/1-4020-3559-4 20
8. Dingreville R., Qu J., Cherkaoui M. Surface free energy and its effect on the elastic behavior of nano-sized particles, wires and films. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2004, vol. 53, no. 8, pp. 1827-1854. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2005.02.012
9. Duan H. L., Wang J., Huang Z. P., Karihaloo B. L. Size-dependent effective elastic constants of solids containing nano-inhomogeneities with interface stress. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2005, vol. 53, no. 7, pp. 1574-1596. https://doi.org/10.1016/jjmps.2005.02.009
10. Krivtsov A. M., Morozov N. F. On mechanical characteristics of nanocrystals. Physics of the Solid State, 2002, vol. 44, no. 12, pp. 2260-2265. https://doi.org/10.1134/L1529921
11. Odegard G. M., Clancy T. C., Gates T. S. Modeling of the mechanical properties of nanoparticle/polymer composites. Polymer, 2005, vol. 46, no. 2, pp. 553-562. https://doi.org/10.1016/j.polymer.2004.11.022
12. Vakhrushev A. V., Vakhrusheva L. L., Shushkov A. A. Chislennyj analiz izmeneniya modulya uprugosti kristallicheskih nanochastic metallov pod dejstviem raznyh tipov nagruzki [Numerical analysis of the modulus of elasticity modulus of crystalline metal nanoparticles under the action of different types of loading]. Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki [Proceedings of the Tula State University. Natural sciences], 2011, vol. 3, pp. 137-150.
13. Christensen R. M. Mechanics of Composite Materials. New York-Chichester-Brisbane-Toronto, Publication John Wiley & Sons Inc. 1979.
14. Vakhrushev A. A., Fedotov A. Yu., Shushkov A. A., Shushkov A. V. Modelirovanie formirovaniya nanochastic metallov, issledovanie strukturnyh, fiziko-mekhanicheskih svojstv nanochastic i nanokompozitov [Modeling of the formation of metal nanoparticles, the study of structural, physico-mechanical properties of nanoparticles and nanocomposites]. Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki [Proceedings of the Tula State University. Natural sciences], 2011, no. 2, pp. 241-253.
15. Andrievskii R. A., Kalinnikov G. V., Hellgren N., Sandstrom P., Shtanskii D. V. Nanoindentation and Strain Characteristics of Nanostructured Boride/Nitride Films. Physics of the Solid State, 2000, vol. 42, no. 9, pp. 1671-1674.
16. Vorob'ev V. L., Bykov P. V., Bayankin V. Ya., Novoselov A. A., Bureev O. A., Shushkov A. A., Vakhrushev A. V. Formirovanie sostava pripoverhnostnyh sloev uglerodistoj stali v zavisimosti ot uskoryayushchego napryazheniya impul'snogo oblucheniya ionami Cr+ [Composition of surface layers of carbon steel depending on accelerating voltage pulse Cr+ ion radiation]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2014, vol. 16, no. 2, pp. 257-262.
17. Shojaei O. R., Karimi A. Comparison of mechanical properties of TiN thin films using nanoindentation and bulge test. Thin Solid Films, 1998, vol. 332, iss. 2. pp. 202-208. https://doi.org/10.1016/S0040-6090(98)01057-8
18. Sklenicka V., Kucharova K., Pahutova M., Vidrich G., Svoboda M., Ferkel H. Mechanical and creep properties of electrodeposited nickel and its particle-reinforced nanocomposite. Reviews on advanced materials science, 2005, vol. 10, iss. 2, pp. 171-175. URL: http://www.ipme.ru/e-journals/RAMS/no_21005/sklenicka.pdf (accessed February 7, 2017).
19. Gong J., Miao H., Peng Z. A new function for the description of the nanoindentation unloading data. Scripta Materialia, 2003, vol. 49, iss. 1, pp. 93-97. https://doi.org/10.1016/S1359-6462(03)00174-X
20. Jung Y.-G., Lawn B. R., Martyniuk M., Huang H., Hu X. Z. Evaluation of elastic modulus and hardness of thin films by nanoindentation. Journal of Materials Research, 2004, vol. 19, no. 10, pp. 3076-3080. https://doi.org/10.1557/JMR.2004.0380
21. Hua W., Wu X. Nanohardness and elastic modulus at the interface of TiCx/Ni3Al composites determined by the nanoindentation technique. Applied Surface Science, 2002, vol. 189, iss. 1-2, pp. 72-77. https://doi.org/10.1016/S0169-4332(01)01050-9
22. Lee Y.-H., Kwon D. Measurement of residual-stress effect by nanoindentation on elastically strained (100) W. Scripta Materialia, 2003, vol. 49, iss. 5, pp. 459-465. https://doi.org/10.1016/S1359-6462(03)00290-2
23. Qi H. J., Teo K. B. K., Lau K. K. S., Boyce M. C., Milne W. I., Robertson J., Gleason K. K. Determination of mechanical properties of carbon nanotubes and vertically aligned carbon nanotube forests using nanoindentation. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2003, vol. 51, iss. 11-12, pp. 2213-2237. https://doi.org/10.1016/jjmps.2003.09.015
24. Maier P., Richter A., Faulkner R. G., Ries R. Application of nanoindentation technique for structural characterisation of weld materials. Materials Characterization, 2002, vol. 48, iss. 4, pp. 329-339. https://doi.org/10.1016/S1044-5803(02)00274-7
25. Mante F. K., Baran G. R., Lucas B. Nanoindentation studies of titanium single crystals. Biomaterials, 1999, vol. 20, iss. 11, pp. 1051-1055. https://doi.org/10.1016/S0142-9612(98)00257-9
26. Cho S.-J., Lee K.-R., Eun K.Y., Hahn J. L., Ko D.-H. Determination of elastic modulus and Poisson's ratio of diamond-like carbon films. Thin Solid Films, 1999, vol. 341, iss. 1-2, pp. 207-210. https://doi.org/10.1016/S0040-6090(98)01512-0
27. Sriram S., Bharat B. Development of AFM-based techniques to measure mechanical properties of nanoscale structures. Sensors and actuators A: Physical, 2002, vol. 101, iss. 3, pp. 338-351. https://doi.org/10.1016/S0924-4247(02)00268-6
28. Gouldstone A., Kon H.-J., Giannakopoulos A. E., Suresh S. Discrete and continuous deformation during nanoindentation of thin films. Acta Materialia, 2000, vol. 48, iss. 9, pp. 2277-2295. https://doi.org/10.1016/S1359-6454(00)00009-4
29. Giddings V. L., Kurtz S. M., Jewett C. W., Foulds J. R., Edidin A. A. A small punch test technique for characterizing the elastic modulus and fracture behavior of PMMA bone cement used in total joint replacement. Biomaterials, 2001, vol. 22, iss. 3, pp. 1875-1881. https://doi.org/10.1016/S0142-9612(00)00372-0
30. Vaz A. R., Salvadori M. C. and Cattani M. Young Modulus Measurement of Nanostructured Palladium Thin Films. Technical Proceedings of the 2003 Nanotechnology Conference and Trade Show, 2003, vol. 3, Chapter 4, pp. 177-180. URL: https://nsti.org/publications/Nanotech/2003/pdf/T5501.pdf (accessed February 3, 2017).
31. Kulkarni A. V., Bhushan B. Nano/picoindentation measurements on single-crystal aluminum using modified atomic force microscopy. Materials Letters, 1996, vol. 29, iss. 4-6, pp. 221-227. https://doi.org/10.1016/S0167-577X(96)00160-7
32. Bamber M. J., Cooke K. E., Mann A. B., Derby B. Accurate determination of Young's modulus and Poisson's ratio of thin films by a combination of acoustic microscopy and nanoindentation. Thin Solid Films, 2001, vol. 398-399, pp. 299-305. https://doi.org/10.1016/S0040-6090(01)01341-4
33. Vilcarromero J., Marques F. C. Hardness and elastic modulus of carbon-germanium alloys. Thin Solid Films, 2001, vol. 398-399. pp. 275-278. https://doi.org/10.1016/S0040-6090(01)01431-6
34. Nikolaev V. I., Shpeizman V. V., Smirnov B. I. Determination of elastic moduli of GaN epitaxial layers by microindentation technique. Physics of the Solid State, 2000, vol. 42, no. 3, pp. 437-440.
35. Oliver W. C., Pharr G. M. An Improved Technique for Determining Hardness and Elastic Modulus Using Load and Displacement Sensing Indentation Experiments. Journal of Materials Research, 1992, vol. 7, iss. 6, pp. 1564-1583. https://doi.org/10.1557/JMR.1992.1564
36. Gogolinskij K. V. Sredstva i metody kontrolya geometricheskih parametrov i mekhanicheskih svojstv tverdyh tel s mikro- i nanometrovym prostranstvennym razresheniem [Means and methods for controlling geometric parameters and mechanical properties of solids with micro- and nanometer spatial resolution]. Dis. dokt. tekhn. nauk. St.-Petersburg, 2015. 264 p.
37. Useinov A. S. Izmerenie modulya Yunga sverhtverdyh materialov s pomoshch'yu skaniruyushchego zondovogo mikroskopa «NanoSkan» [Measurement of the Young's modulus of superhard materials using the NanoScan scanning probe microscope], Pribory i tekhnika ehksperimenta [Instruments and Experimental Techniques], 2004, no. 1, pp. 134-138.
38. Gogolinskii K. V., Useinov A. S., Kosakovskaya Z. Ya., Chaban I. A. Measurement of the elastic moduli of dense layers of oriented carbon nanotubes by a scanning force microscope. Acoustical Physics, 2004, vol. 50, no. 6, pp. 664-669. https://doi.org/10.1134/L1825096
39. Landau L. D., Lifshic E. M. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow: Nauka Publ., 1987. 248 p.
40. Glukhova O. E., Zhbanov A. I., Terent'ev O. A. Teoreticheskoe izuchenie uprugikh svoystv odnosloynykh uglerodnykh nanotrubok [Theoretical study of the elastic properties of single-walled carbon nanotubes]. Voprosy prikladnoy fiziki: mezhvuzovskiy nauchnyy sbornik [Problems of Applied Physics: Intercollegiate Scientific Collection]. Saratov: SGU Publ., 2002, vol. 8, pp. 39-41.
41. Krishnan A., Dujardin E., Ebbesen T. W., Yianilos P. N., Treacy M. M. J. Young's modulus of single-walled nanotubes. Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics, 1998, vol. 58, iss. pp. 14013-14019. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.58.14013
42. Treacy M. M. J., Ebbesen T. W., Gibson J. M. Exceptionally High Yong's Modulus Observed of Individual Carbon Nanotubes. Nature, 1996, vol. 381, pp. 678-680. doi: 10.1038/381678a0
43. Salvetat J.-P., Briggs G. A. D., Bonard J. M., Bacsa R. R., Kulik A. J., Stockli Th., Burnham N. A., Forro L. Elastic and shear moduli of single-walled carbon nanotube ropes. Physical Review Letters, 1999, vol. 82, iss. 5. pp. 944-947. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.82.944
44. Lourie O., Wagner H. D. Evaluation of Young's modulus of carbon nanotubes by micro-Raman spectroscopy. Journal of Materials Research, 1998, vol. 13, no. 9, pp. 2418-2422. https://doi.org/10.1557/JMR. 1998.0336
45. Vakhrushev A. V., Shushkov A. A. Sposob opredeleniya modulya uprugosti Yunga i koeffitsienta Puassona materiala mikro i nanochastits [The method for determining the Young's modulus of elasticity and the Poisson's ratio of the material of micro- and nanoparticles]. PatentRU2297617, 2007.
46. Vakhrushev A. V., Fedotov A. Yu., Vakhrushev A. A., Shushkov A. A., Shushkov A. V. Issledovanie mehanizmov formirovaniya nanochastits metallov, opredelenie mehanicheskih i strukturnyih harakteristik nanoob'ektov i kompozitsionnyih materialov na ih osnove [Study of process formation of metal nanoparticles, determination of mechanical and structural parameters of nanoobjects and composites with its]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2010, vol. 12, no. 4, pp. 486-495.
47. Oluwatosin A. O. Synthesis of porous films from nanoparticle aggregates and study of their processing-structure-property relationships : dis. Doctor of Philosophy, 2005. 142 p.
48. Bykov D. L. Konovalov D. N. Osobennosti soprotivleniya vyazkouprugikh materialov pri potere ustoychivosti tonkostennykh konstruktsiy [Features of the resistance of viscoelastic materials in the loss of stability of thin-walled structures]. Fizika protsessov deformatsii i razrusheniya i prognozirovanie mekhanicheskogo povedeniya materialov : trudy 34 Mezhdunarodnogo seminara Aktual'nye problemy prochnosti [The physics of deformation and fracture processes and the prediction of the mechanical behavior of materials: the proceedings of the XXXVI International Workshop Actual Strength Problems]. Vitebsk, 2000. pp. 428-433.
49. Loboda O. S., Krivtsov A. M. Vliyanie masshtabnogo faktora na moduli uprugosti trekhmernogo nanokristalla [The effect of scale factor on the elastic moduli of three-dimensional nanocrystal]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela [Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Solid mechanics], 2005, no. 4, pp. 27-41.
50. Zavodinskij V. G., Chibisov A. N., Gnidenko A. A., Alejnikova M. A. Teoreticheskoe issledovanie uprugih svojstv malyh nanochastic s razlichnymi tipami mezhatomnyh svyazej [Theoretical study of the elastic properties of small nanoparticles with different types of interatomic bonds]. Mekhanika kompozicionnyh materialov i konstrukcij [Mechanics of composite materials and structures], 2005, vol. 11, no. 3, pp. 337-346.
51. Bouvier P., Djurado E., Lucazeau G., Bihan T. Le. High-pressure structural evolution of undoped tetragonal nanocrystalline zirconia. Physical Review B: Condensed matter and materials physics, 2000, vol. 62, no. 13, pp. 8731-8737. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.62.8731
52. Vakhrushev A. V., Shushkov A. A. Metodika rascheta uprugih parametrov nanoehlementov [Method for calculating the elastic parameters of nanoelements], Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2005, vol. 7, no. 3, pp. 277-285.
53. Vakhrushev A. V., Shushkov A. A., Zykov S. N. Sposob opredeleniya modulya uprugosti Yunga materiala mikro- i nanochastic [The method for determining the Young's modulus of elasticity of a material of micro- and nanoparticles]. PatentRU2494038, 2013.
Шушков Андрей Александрович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Института механики УдмФИЦ УрО РАН, тел. (3412) 214583, e-mail: ligrim@mail.ru
Вахрушев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, заведующий лабораторией Института механики УдмФИЦ УрО РАН, тел. (3412) 21-45-83, e-mail: vakhrushev-a@yandex. ru
