ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ КОМПОЗИЦИОННОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ СЛОЖНОМ ТЕРМОСИЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

удк:629.7.023.2:620.22-419(043)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ КОМПОЗИЦИОННОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ СЛОЖНОМ ТЕРМОСИЛОВОМ

НАГРУЖЕНИИ.

Е.А.Ларичев, В.С. Сафронов, И.К.Туркин

В статье представлена методика определения критической динамической нагрузки композиционной оболочки при сложном динамическом термосиловом нагружении. Представлены результаты численного решения дифференциальных уравнений исследования динамического поведения цилиндрических оболочек из композиционных материалов.

1. Решение дифференциальных уравнений динамического поведения оболочечных конструкций из композиционного материала (КМ).

Рассматривается динамическое нагружение оболочки в течение времени t1. Закон распределения нагрузки представлен на графиках рис.1 (а, б). Для составления приближенных уравнений движения используется принцип Даланбера. В уравнения равновесия к заданным силам и динамическим реакциям соседних элементов оболочки (усилиям и моментам) добавляются инерционные силы. Составляющие результирующие силы инерции по направлениям X, Y, Z будут:

а = 7-ь ^ ; = ^ = ^ахау, (1)

ё д^ g 5 в 5

где у - удельный вес материала; ё - ускорение силы тяжести.

Инерция вращения элемента Ис}хс}у относительно направлений X и 7 в ЭТОЙ модели оболочки не учитывается.

Рис.1 Зависимость скорости динамического нагружения внешним давлением.

Уравнения движения (элемента) в проекциях на направлениях касательных к линиям Х, У записывается в виде:

дМх дТ п у 1 д 2 и х + — + Рх--= 0;

+Ру - ^ С? = о

(2)

дх ду ~ g д12 дх ду у g д^

С учетом уравнений в проекциях на направление нормали к серединной поверхности получим:

дОх + дО

дх ду

У + кхМх + куМу +

д дх

N дw + N дw + х дх ху ду

+

д_ ду

у, д2w

-- ^* ду , + Я-

д^ дw

Мху-+ М-

дх ду

(3)

= о

Учитывая допущения, что уравнения моментов не содержат членов, связанных с инерцией вращения элемента и отбрасывая члены высшего порядка малости, получим:

дМх дМ

+ -

— - Ох = о,

дх ду х дх

Используя зависимости [2]:

Мх = В11£х + В126у + Сц5х + С12§у ; N = В!28х + ^у + С2^х + С22§у , Мху = В3зУху + С3зХху,

Мх = Сп6х + С^Бу + D118x + D125y;My = С218х + Си6у + + ^^22^ у

Мху = С3зУху + ^^ЗзХху ,

ди д? w ди д?

• 6у =--1--- уху =--1--

ду дх'

дМху дМ

+ -

- О = о

ду ^

(4)

(5)

(6)

х 5х

w

бу =--1---

ду R '

, у =--+

у я., и м ' ху

5х =

дОх дх

8у ; Хху + д3у

= дОу

'у ду

ду дх

(7)

(8)

= дw = дМх + дМху ; п = V = дМу | дМ

= ^ =

а=-^=

-+

-+-

(9)

дх дх ду ? R ду дх ду

и исключая ах и ау из уравнения (3) с помощью (9), с учетом (5), (6), (7), (8) получаем систему уравнений равновесия:

дЫх дЫху п у . д2и Л

- +-— + Рх- — h—= 0,

х - -Л

дх ду дЫ™ дЫ

£ длх

ху и1Уу п У , д2v + —— + Р,- —h—= 0.

дх ду у £ дл

2

а2мх д2Му д2мХу

-^ +-+ 2-— + kxNx + kvNv +

дх2 ду2 дхду * *

— дх

^ N с№ + N ^

х ху

ч дх ' ду у

+

д

дw дw ^ N^1--+ Nл,-

дх ху ду) ду ^ ху дх у ду

у , д2w +Ч- — Л—2 = 0 g дt

где рх, Ру, Ч - интенсивность заданных внешних нагрузок, приложенных к оболочке по

направлениям X, Z, кх = 0; ку = —, R- радиус оболочки.

R

Выражая усилия, входящие в уравнение (10) с учетом (5), (6), (7), (8), и рассматривая динамический процесс без учета распространения упругих волн (отбрасывая инерционные члены в первых двух уравнениях (10)) при отсутствии усилий рх, ру, запишем уравнения движения цилиндрической оболочки :

„ д^ ^ \ д4w ^ д4w z1w 22

Пх ^ + 2 (2П+Пху +^у + + 1 +

2 2 2 . (11)

+N ^ + qR + У И ^ = 0

дх2 -у2 g дt Выражение (11) является линеаризированным уравнением устойчивости оболочки из композиционного материала под воздействием сжимающего усилия N, температуры Т и внешнего давления р. В выражении (11) изгибные жесткости Dx, П^ Пху, D находятся из выражений [1]:

ВцИ2 ^ ^ _ В17Ь' Б33И2

П = П = 11 ; D = D,, = ——^ = D1, = ——^ = —33—, (12)

Пх = П11 = 12 у 22 12 ху 12 12 12

где Вц - мембранные жесткости полностью пакета слоев, определяемые через мембранные жесткости каждого 1-го слоя композита, учитывая углы армирования материала ф [1]. Величина 21 определяется как:

Б

- Б2ЬВх - ИВу

=_Бп х у_

21 Б2 Б4 1 Б2 . (13)

1 -+ -—ЬВх + -Б^ЬВх

ВО ТЭ^ТЭ2 В х В 13 х

11Б22 Б11Б22 Б11 Б11Б22

Величина является функцией от температуры Т и определяется в виде: Б

- Б^хТ! М* + ИВуТ^ И1ау1

Б11 1=1 1=1 , ч

22 =-Б^-о4-1-Б--(14)

1 -2-^-+ -—ЬЕх + -Б^ЬВх

В 13 ТЭ^ТЭ2 В х В 13 х

11Б22 Б11Б22 Б11 Б11Б22

где

п2 в2

Ех = В„ - Б^Л = Б22 - В2 . (15)

В22 Б11

Решение уравнения (11) удовлетворяет граничным условиям шарнирного опирания цилиндрической оболочки по торцам:

х = 0 , w(x,y) = 0, V = 0;

х = 1, w(x,y) = 0 . (16)

В то же время условия, формируемые для усилий и моментов являются динамическими т.е.:

д 2ш д 2ш _

аХг + ц "ду^ = 0- (17)

При дифференцировании основного уравнения (11) удовлетворяются следующие начальные условия:

а) ^ = 0; Я = qmaxt; (18)

б) функция я(1) задается в виде функции Хэвисайда, таким образом, чтобы амплитуда давления возрастала от 0,005 атм. до 0,3 атм:

г

q0(t) = Ct - H(t - t1)C2t2(— - 1), (19)

ti

где С1 - скорость возрастания кривой на участке от 1э до ^;С2 - скорость возрастания кривой на участке от 11 до 12. Коэффициент Н задается в виде: Н = 0, если г - 1:< 0; Н = 1, если 1 -1! > 0.

В случае шарнирного опирания, принимается следующее значение для прогиба:

тпх . пу

w

„/ \ . II17IX .ну ,

= f (t )sin-sin ——, (20)

l R

где m - число полуволн по длине оболочки; n - число полных волн по окружности. Подставляя (20) в (11) получим:

¿ {[DX + 2(2D + Dy)(ÄmÄn)2 + DyÄ4n + Nl + q^RK + RW + ~f >n 1xsinly = -R

m,n=1 R q R

- nm n

где ^ =-y A = R.

После разложения — в ряд получим: R

R2AJ qJ' n2mn R wmi

{[ БхХт + 2 (2D + Бу) (ЛтЛп )2 + БЦ + N1 + ^тах RЛ2n + + "} =

Введя обозначения:

х = БХ + 2 ( 2Б + Бу ) (ЛтЛп )2 + ВуЛп4 + МЛ4т + qmx RЛ2n +,

А = 4^2,

п тп R

получим :

^f' + xf + A = 0

Общее решение однородного уравнения (22) находится в виде:

^" + х£ = 0, где £ = ек , §

уЬ 2 Iх§

или—к + х = 0,где к12 =±ЛНг • б v уЬ

Общее решение уравнения (24) сводятся к :

A .

k2

f = I -уsinkt + C Isinkt +1 -ycoskt + C2 Icoskt =

A

k2

A

= —r + C sinkt + C2 coskt

k2 1 2

. A r A

где: C1(t) = J C,dt = — sinkt + C,, C2(t) = | C'2dt = coskt + C2

k2

A

Начальные условия: при 1 = 0 £ = 0 => 0 = С2^к • 0 + —,С2 =-

A k2

£' = 0 => С^^к - kC2sinkt = 0, С1 = 0. Таким образом:

£ = кА (1 - ) .

В принятых обозначениях получим:

f =

16 z2 yh

n2mn R gx

1 - cos gxt

Отсюда:

w(t) =

16 z2 gh

p2mn R gx

1 — cosg |sinInXsin 1пУ •

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Таким образом, выражение величины прогиба, изменяющегося по времени в зависимости от величины действующего давления qmax, сжимающего усилий N и температуры Т получим в следующем виде:

g

, ч 16 w(t) =--2

yh

р тп R

Я

г

^А + 2(2D + Dxy)(АА)2 + DyЛ: + N1^ + ^А + ^

t,

1 - cos-

DxАm + (4D + 2Dхy )(АА )2 + Dy1n4 + N11 + ^А

R2

Л

+ -

R

х sin А х sin А у

т п

Система нелинейных дифференциальных уравнений движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях и, V, w запишем в виде:

В,

д 2и дx2

+ В„

д 2v дw 1 +

д 2и д 2у

+ В33 ^ТГ + Взз-

В

+ -

С1

ду yh д2и ~ё дГ

д 2и 33 дyдx С22 д2v

дyдx дx R - С,

- С1

д V С12 д 2 V + -

дyдx R дx

- С

д V

12 дx2дy

+

д 3w

дxдy

+ -

С д 2v

дxдy R дxдy

-С3

д 3w дxдy2

+ Р.. -

= 0

+ В33 —V + В12--ь В22--ъ В22 —V—I----С

33 2 дx

дxдy

д 3w

"22 ~ ' - + Ру -

R ду2

д 3и дx3

+ С1

"22 дy3

д 3v дyдx2

yh д2v

Т д2"

дxдy

= 0

22 дy2 R дy

д 3w 21 дx2дy

+

+ С1

д ^ дx2 д 4 w

— D

д 4w D19 д V

11 дx4

+ -

R дyдx2

- D

д ^ 12 дy2дx2

+

„ д3и д3w 1 ^ д4w D22 дV ^ дV „ д3и

+ С21 —3 +--2---D21 —2—- +--22—3 - D22-— + 2С33-- +

21 дy3 дy2 R 21 дx2дy2 R дy3 22 дy4 33 дxдy2

+ 2С

д 3у oХ2дy

- 2D

д V

33 дx2дy2

+

Ж33 д3v - 2D

R дx2дy

д ^ , ^ ди

33 ~2—2 + к^Ви--+

дx дy дx

ду w д^ ду д^ ди

+ ^12 + - kxCll -^-г" + ^12 ^Т - kxCl2 -^-г" + куВ12 ^Т +

дy R дx оу дy дx

1 тз д^ ^ ^ ^ д^ ду д^ д 2и

+ куВ22 + куВ22 ^Г + куС21 -Г-Г + куС2^ - куС22 ^^ + (В11 ^Т +

ду ^ дx ду ду дx

+ В,

д 2у дxдy

+ В

у 22

дw 1 дx R

-С1

д 2v д 2w + В33 С33 --+ С

д ^ дx3 дv 1

+ С

д 2у 12 - 2

ду2

-С

д ^ дw

12 3

^ + (В

д2и

ду ду

33 ду2 дv

+

д2 w дw ди

^^ 33 33 ) I (В12 I В 22 I

дxдy " дxдy дx R дyдx ду дx ду

+ В2

w R

ду

д2 w

ддw

уИ д '1w

22 ду 22 ду2 21 дx2 ) ду Я g д12

= 0

(29)

Если исключить из (29) (вследствие высшего порядка малости) нелинейные члены, получим систему линейных уравнений движения относительно трех функций и, V, w:

г

х

В1

5 2и

д 2у дw 1

+ В1

- +

- С1

д 3w

д ^ + С12 д 2у С _

—'1 1 + — С1 2

дх2 ^дудх дх R 11 дудх R дх2 12 дх2ду

+

+ в

+ в

33 3 в33

ду~ уЬ д2и ё д12

д 2 у дхду

-С

33

дхду2

+

С33 д2у R дхду

-С

д 3w

33

дхду

2 + Рх -

= 0;

д 2и

д 2 у

д 2 и

В33--+ В33-2 + В12-

дудх дх дхду

д 2 и

^ „ д2у 1 дw

+ в99--+ в99-— +----С21 —---+

22 дхду 22 ду2 R ду 21 дх2ду

д 3w

+ С22 д у С

R ду2 22

д V

+ р - = 0-ду3 у ё а2

д3ш С д3у С д2ш 0 д4ш Б12 д3у 0 д4ш ~ + С12 дудх + С12 ^ - 011 ах4 + дудх2 - °12 ду^д-

Сп^ + С ду

+

ду дх

„ д3и 1 д„ д077 д3у ^

+ С21 —3 +--^ - Б21 —-—- + —- - Б

21 ду3 я ду2 21 дх2оу2 я ду3

— + 2Г д и +

22 4 + 2С33 _ . 2 + ду дхду

д 3у

+ 2С— —2--4Б33

2

дх ду

д V

дх2ду2

+ -

2Б

33 д3у - 2д33 + кхВи +

дх

Я дх2ду

+ кхВ12

ду w

+ кх кхС

ду х Я

д 2w +. С ду . С д 2w

хС11 ^ 2 + кхС12 _ - кхС12 . 2

дх2 ду ду2

+ куВ

у 12

ди

дх

- +

ду

+ к^В-,-,— + куВ

^у 22

ду

у 22

w Я

+ куС

д 2 w

^21 дх2 + куС22 ду

д V

- куС22 -туг + q су

уЬ д2и ё д12

= 0.

(30)

Приравнивая в системе (30) смешанные жесткости Стпк нулю и изменяя коэффициенты, стоящие перед и, у, м>, и//, У/, '№//, на Аь А2, А3, В1, В2, В3, С1, С2, С3, Вь получим:

' А1и + B1v + С^ + Б1и" = 0

А2и + В2у + С^ + Бу" = 0 , (31)

А3и + В3у + С^ + Д^" = q

где:01 =-=-В^.пГ пу ) «*Г нр У = Т-В^Г пу У Я ^

Sin

птх

I

_ • I пу 1 п I птх V пт

В = -В"Нт ) ЯСОЛ Л"

. | пу 1 п I птх 1 пт

- B33sln| — I—cosI -I-

Я ) Я I I ) I

^ 1 . | пу 1 I птх 1 пт С1 = — Slnl — I соа - I-

1 Я I Я ) I I ) I

, пу 1 п . I птх 1 пт I пу 1 п . I птх 1 пт А2 = —В33 cosl — I—SlnI - I--В12 cosl — I — SlnI- I-

2 33 Я ) Я I I J I 12 I Я ) Я I I J I

, пу | . I пmx V пт Л I пу V п Л . I пmx

В2 = -В33 со8| — 18т1 — II — I -в22СО8| - II я I 8т1 —

^ 1 | пу Л п . I пmx Л . 1 . I пу Л . | пmx Л пm

С3 = КСЧТ1 я^Н I 1 ,А3 =-я^Ч ТЛПТИ"'

Б, я

пу Л п

— I — |

я ) я

пmx Л! пm

^г Л ^г 2

о-я

пу | п я Л я

пmx

I

_ Б33 . ( пу Л п I пmx пm V 1 . I пу Л п . I пmx

+ 21Т8т[ к )Л"1 -яБ»8,п[ к 1 Rslnl

С3=—п I § г *п г т к ? Т+г™ I пу В Т - I т

- sln

пу II п

я А я

Sln

- 4Б33 sln

пу У п

я А я

sln

пmx V пm

+ -

Характеристическое уравнение системы (31) запишем в виде:

Б1г2 + а,

А,

А3

В,

В2 + Б/

В3

С, С2 С3 +

= 0

я

2 В22

(32)

или:

Б,3г6 + г4 (с3Б,2 + Б12В2 + А1Б12 )+ г2(С3Б,В2 + С3А1Б1 + А1В2Б1 - Б1С1А

- А2В1Б1 - В3С2Б!) + С3А!В2 + С.В^ + А^С, - А3С,В2 - А.В^ -

- В3С2А1 = 0

Заменяя коэффициенты при г в (33) на :

а = Б,3

Ь = С3Б,2 + Б12В2 + А1Б12

с = С3Б1В2 + С3А1Б1 + А1В2Б1 - Б1С1А3 - А2В1Б1 - В3С2Б, d = С3А1В2 + С2В,А3 + А2В3С, - А3С,В2 - А2В,С3 - В3С2А,

аг6 + Ьг4 + сг2 + а = 0

(33)

получим :

Ь

(34)

Заменяя г на г , при у = г + 3— получим: у3 + 3ру + 2я = 0

Частные решения системы (31) получим в виде :

Г Г Г 99 2 Г 99 2 Г 99 2 Г

w = а3е ;и = а2е ;V = а3е ;и =а,г е ;w =а3г е ;V =а2г е

(35)

2

2

2

3

3

4

2

2

1

I

I

I

3

Подставляя (36) в систему (31) и деля почленно на ег получим :

А1а1 + В1а2 + С1а3 + Б1а1г = 0

2

А2а1 + В2а2 + С2а3 + Б1а2г = 0

2 - г

А3а1 + В3а2 + С3а3 + Б1а3г = де

Из системы (37) получим:

w = а3е

(38)

г = 2-Л + Л - 2- +

27а3 6-2 2-

I Ь3

- + -

Ьс а

2

27а3 6а2 2а

+

3ас - Ь 9а2

23

+

где:

+ - + - А

+ ' 27а3 + 6а2 2а

г Ь3 Ьс -

ч27а3 6а2 2а,

12 13ас - Ь213

+

9а2

(39)

а3 =

^^ + Б/ V А! + Б/ )

V

С3 -

В2 -

V

+ Б1г2 А1 + Б1г2 )

V

В3 - ^ + V ААг2

С А2В1

С2 2 V А1 + V ))

(40)

Приравнивая выражения для прогибов (38) и (28) получим уравнение для определения критического давления при продольном сжатии и неравномерном поле температур:

16 У

ук

р тп Я

g

у

Б Л4 + 2(2Б + Б )(Л Л )2 + Б Л4 +ЫЛ2 + а ЯЛ2

х т V ху * V т п у п т ± тах п я 2

V

1 - cos —

g

Б Л4 +(4Б + 2Б )(ЛЛ)2 + Б Л4 + ЫЛ2 + а ЯЛ2 + Д,

х т \ ху / \ т п / у п т ± тах п я 2

х sin Л хsin Л у = а3ег

т п3

(41)

Численное решение уравнения (41) позволяет получить значение критического динамического давления для композиционной оболочки при продольном сжатии и неравномерном поле температур.

2. Результаты численного решения дифференциальных уравнений исследования динамического поведения цилиндрических оболочек из КМ.

X

х

В качестве примера рассмотрим цилиндрическую оболочку со следующими характеристиками: я= 0,265 м; L= 0,39 м. Осевые усилия: N=0^ 1000Н, 2000Н. Внешнее давление: qmax=0,5•105Па; 0,6-105Па; 0,7^05Па; 0,8^105 Па; 0,9405 Па; 1-105 Па. Начальное значение температуры: Т0=200С; 700С; 1100С. Углы армирования слоев: ф, = +450, -450, 00, 900. Число волн по окружности m=1, п=9. Tmax рассчитывается при угле 9=0°. толщина элементарных слоев И,: 0Д5-10"3 м; 0Д5-10"3 м; 0,2-10"3 м; 0,2^10"3 м. Модули упругости Еь Е2 : 57-109 Па; 9409 Па. Модуль сдвига в плоскости слоя Gn: 5,2-109 Па. Коэффициент Пуассона Ц12, Ц21 : 0,11; 0,03. Температурные коэффициенты линейного расширения а,; а2: 0Д6-10"6; 27,4^10"6. Параметр времени 1 изменяется от 0 до 0,3 с интервалом: 0; 0,0025; 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3.

Результаты численного решения представлены на графиках (рис.2(а,б)).

М-он

1ЛГ[М]

Ртах = 1-0-10® Чтах = 0.9- № ртах = 0.8-10 Ртах = 0,7-ЮЙ

Чтах = 0.6-10 Ртах ~ 0.5-10

0 0.5 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 \{с]

Рис. 2 (а) Зависимость струны динамического прогиба от времени при N=0^

Ртах = 1-0-10 Ртах = 0.9'10^

Ртах = 0.8 ДО Ртах = 0.7-10 Ртах = 0.6-10 Ртах = 0.5-10

0 0.5 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 1 [с] Рис.2(б)Зависимость струны динамического прогиба от времени при N=1000^

Выводы.

В представленной статье получена методика определения критической динамической нагрузки и струны динамического прогиба от времени композиционной оболочки при сложном термосиловом нагружении.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Статья из сборника

Е.А Ларичев, В.С.Сафронов, И.К. Туркин Исследование несущей способности композиционной оболочки при сложном динамическом термосиловом нагружении. //Материалы VIX международного симпозиума / Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Ярополец 2003г. М. МАИ,2003г. стр. 76-77.

2.Статья из сборника

Е.А Ларичев, В.С.Сафронов, И.К. Туркин Исследование несущей способности композиционной оболочки при действии статического и динамического внешнего давления, неравномерного нагрева и осевого сжатия. //Материалы 17 научно технической конференции / Конструкции и технологии получения изделий из не металлических материалов .Обниск.2004. стр.140-141.

Ларичев Евгений Александрович, аспирант кафедры авиационно-ракетные системы Московского авиационного института (государственного технического университета) Телефон: 158-43-41, е-таИ: еУёещ^апскеу@гатЫег.ги

Сафронов Вячеслав Семенович, заместитель заведующего кафедры авиационно-ракетные системы Московского авиационного института (государственного технического университета), к.т.н.

Туркин Игорь Константинович, заведующий кафедры авиационно-ракетные системы Московского авиационного института (государственного технического университета), д. т. н.

Телефон: 158-43-41, е-таИ: ЫгМп@та1602.ги