Прочность и устойчивость нелинейно деформируемых пологих оболочек Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Прочность и устойчивость нелинейно деформируемых пологих оболочек. В.В.Петров, И.В.Кривошеин

Рассмотрим вопросы прочности и устойчивости пологих оболочек из материалов с повышенной деформативнос-тью. Это требует учета геометрической нелинейности. При решении поставленной задачи используем инкрементальный подход, позволяющий заменить решение нелинейной задачи последовательным решением линейных уравнений.

Для вывода инкрементальных уравнений необходимо рассмотреть три группы уравнений, записанных через приращения: геометрические, физические и статические (уравнения равновесия).

Геометрические уравнения

Уравнения, связывающие приращения деформаций с приращениями перемещений для пологих оболочек, имеют вид [1]:

ЭДи ЭШ ЭДш . . . ЭДи ЭШ ЭДш . .

Де х =-+---кх Дш, Де у =-+---к Дш,

Эх Эх Эх Эу Эу Эу

ДУ ху =

ЭДи ЭДу ЭШ ЭДш ЭШ ЭДш -+-+--+--,

Эу Эх Эх Эу Эу Эх

(1)

здесь Ди, Ду, Дш - приращения перемещений вдоль осей соответственно, Ш- суммарный прогиб за все предыдущие ступени нагружения, к , к - кривизны оболочки, Де , Де ,

J ГJ х у г х у

Духу - приращения деформаций.

Путем двукратного дифференцирования по соответствующим переменным исключим из (1) приращения тангенциальных перемещений Ди и Ду. Получим следующее уравнение неразрывности деформаций:

Э2Де Э2Де у Э2 Ду ,

+-^--^ + УкДш + ¿(,Дш) = 0, (2)

Эу2 Эх2 ЭхЭу к К ' (2)

где дифференциальные операторы имеют вид:

1(ш. ) Э2Ш Э2Дш Э2Ш Э2Дш „Э2Ш Э2Дш ¿(Ш, Дш) = „ „ „ „ + „ „ „ „— 2-

Эх2 Эу2 Эу2 Эх2 ЭхЭу ЭхЭу'

V2 = к" + к^.

(3)

Эу2 у Эх2'

Так как выражения изгибных деформаций через прогиб линейны, то, заменяя в соответствующих уравнениях изгибные деформации %х,%у,Су и прогиб их приращениями, получим:

Э2Дш , Э2Дш , Э2Дш

ДХ х = --^ ДХу = ДХ ху = —

(4)

Эх2 Эу 2 ЭхЭу

Физическиеуравнения

Уравнения, связывающие приращения напряжений с при ращениями деформаций для несжимаемого материала, име ют вид [2]:

1 ( 1 ^ 4

Дех = ТГх - 2 Дау ), Дах = 3Ек (( + Деу )

1 ( 1 ^ 4

Деу = ЕТ1Дау -1 Да* I, Дау = 3 Ек ((у + Дех )

(5)

ДУ ху =-ТД1 ху,

Дтху = 3Ек ДУху.

Здесь Ек = ^а,- /- касательный модуль, Дах, Дау, Дтху -приращения нормальных и касательных напряжений.

Учитывая результаты исследований, проведенных в [3], пренебрегаем в пологих оболочках влиянием приращений деформаций в срединной поверхности на величины приращений усилий моментной группы и приращениями изгибных деформаций на величины приращений мембранных осевых усилий. Тогда приращения внутренних усилий определяются, как это принято в теории пологих оболочек, из следующих выражений:

Д«х = Зк (Дех + ^Деу), ДМХ = йк |Д%* + 2Ху |,

Д«у = Зк (Де у + ^ Де х), ДМу = йк ^Дх у + 2Х х |,

Д«ху = 1 Зк ДУ ху, ДМху = 2 °с ДХ ху,

(6)

где ДМх, ДИу, ДИ>у - приращения мембранных усилий, ДМх, ДМу, ДМху- приращения усилий моментной группы. Здесь введены следующие обозначения жесткостных параметров:

Л/2

Л/2

Зк = 3 } Екё1, йк = 3 } Ек12ё1.

'-Л/2

'-Л/2

(7)

Статические уравнения

Уравнения равновесия элемента пологой оболочки име-

ют вид:

Э2ДМх —Vх-+ Эх2 Э2ДМху 2- Эх2 Э2ДМу 1 Эу2 „, Э2Дш „, Э2Дш + N.—т-+-5- х Эх2 у Эу2 „„ Э2Дш + х дхду +

+Мх (кх + ДNy (к у + ЭШ Э2Ш Эу2 + ^ ЭхЭу = л (8)

ЭД^ Эх + ЭД«ху Эу ЭДМху ЭМу = 0, ху + у = Эх Эу 0.

Вводя в рассмотрение приращение функции усилий

Дф(х, у)

А.. Э2Дф А.. Э2Дф 4.. Э2Дф

=1уг, =1/, ху = -1ЭхЭу, (9)

тождественно удовлетворяем последним двум уравнениям (8).

Из уравнений (6) найдем связь между приращениями деформаций и приращениями усилий:

Де х = Р| Д«х -Д 2 Nу ], Деу =Р(Д«у - 2 Д^х |,

(10)

ДУ ху = 3рД«ху, где принято обозначение р = 4/33к.

Дважды дифференцируя выражения (10) по соответствующим координатам, получим выражение для суммы трех первых слагаемых в (2):

к

3 2009 83

д2Ле х д2Ле у д2Лу

Эу2

ху

дх дхду ду

р| ЛИХ —ЛИ

2 у

дх2

р|Л«у —ЛМХ

-3 4 Иху )•

(11)

Учитывая (9), выразим в (11) приращения усилий через приращение функции усилий и после несложных преобразований получим:

д2Ле д2Ле .. д2Луу, 2, 2 х з , ,

Ж + 1^^ = —2 С^-21('ф (12)

здесь введено следующее обозначение дифференциального оператора:

.,а. ) д2 („ д2ЛфЛ д2 („ д2ЛфЛ 1 д2 („д2ЛфЛ

'(р, Лф)=-? ЬИ+э/ Пэдэу [РэХэф • (13)

Подставляя (12) в (2), получим уравнение неразрывности деформаций:

V2 (2Лф) + VI Л— +1. (, Л—) - 31. (Ь, Лф) = 0. (14)

Подставляя в (6) выражения (4), после двукратного дифференцирования и почленного сложения получим:

д2ЛМ д2ЛИу д2ЛМ„

дх2

д ЛМ д ЛМ ,, 2 ч 1 , .

"+2= -—2(—2Лш)+ г1 (Лш), (15)

„п 1 \ д2 („ д2Л—Л д2 (п д2Л—Л „ д2 (п д2Л—Л Щ,Л—) = -х2 (ок ( 0к -Л- 2 -у ^ 0к — j .(16)

Подставляя (15) в (8) и учитывая структуру оператора (3), запишем уравнение равновесия в виде:

V2 (—2Л-) - —2Лф -11 (лк, Л-) -1 (ф, Л-) -1 (Лф, Ш) = Лд. (17) Здесь принято следующее обозначение операторов:

,(0)_д2А д2В д2А д2В Э2А д2В

^(A, в) = эХ2 -У2 + э/ аХ2 "2 эХЭу -Х-у • (18)

Присваивая индекс / в качестве номера этапа последовательного нагружения, окончательно запишем линейную систему уравнений для расчета оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей:

V2 (/—2Лф/+, ) - ) ЦР/ , Лф/+, ) + —кЛ-j+, + I (, Л-j+,) = 0,

2 (n(//)v2А

-—кЛф;+, - I ((, Лф}+,) + V2 (2л-.+,) -

^ л /

пЦ^2 (V2 )-

11 - - ^ _

2 ( ^2 Л --,2 ( Л

дх2

Р/ ТТ

V

ду2 I -у2

2

- 2-

/

2

Р/

дхду I дхду

, (20)

= ^21 = ^ +

д2^ д2

дх2 ду2 ду2 дх2 дхду дхду'

д%2 д2 д2И2 д2

--2-

(21)

= V2 (V21-

1(%2

дх2

1О') д2

(а 2.

Э2ф, д2

ду2) ду2 д2ф/ д2

- 2

,0-) д2 к э?

д2ф, д2

- 2-

(/)

дхду 1 дхду

Л

(22)

дх2 ду2 ду2 дх2 дхду дхду )

то можно записать линейную систему уравнений (19) в компактном виде:

а^Лф^ + п^Л—/+1 = о, -а(1)Лф/+1 + а(2)Л-/+1 = Лд/+1.

(23)

(19)

- 21 (лк', Л—/+1) -1 (ф;, Л-/Ч1) = Л/.

Если ввести следующие обозначения дифференциальных операторов:

Полученная рекуррентная относительно индекса / система линейных дифференциальных уравнений кососиммет-рична относительно введенных операторов, что является следствием теоремы Бетти.

Из этой системы уравнений можно записать уравнения для различных частных случаев. В уравнениях, учитывающих только геометрическую нелинейность, операторы (20) - (22) имеют вид:

V4,

Э2Ш д2

э2ш а2

ЕЬ

Эх2 ду2 ду2 дх2

-2

д2Ш;

-2 -42=-

(э2ф/ э2

д2ф/ э2

- 2

д2ф; д

2 Л

(24)

"дхду дхду" ~22 | дх2 ду2 ду2 дх2 дхду дхду

В уравнениях, учитывающих только физическую нелинейность, дифференциальные операторы (20) - (22) имеют следующий вид:

п«^2 (V2)-2

а2

Эх2 ^ ду Э2

ду2

;дх2

-2т

дхду

д2 ; дхду

(25)

2 = W2l) = ^ ,

W(,) = V2

о(}V21-

дх210к ду2 д2

ду2

(/) д2 к эХ2

-2

, ,.(26)

дхду | к дхду у

Для уравнений изгиба пластинки следует опустить оператор VI.

При решении конкретных задач необходимо записать в каждой точке контура оболочки по четыре граничных условия, два из которых формулируются через ее прогиб Ш(х,у), а два - через функцию усилий ф(х,у).

В качестве примера рассмотрим пологую оболочку, шар-нирно опертую на гибкие диафрагмы, размеры оболочки в плане2а х 2Ь, учитываем как геометрическую, так и физическую нелинейность. Рассматриваем активную деформа-

цию. Материал оболочки (полимербетон) имеет выраженную нелинейную диаграмму деформирования.

Граничные условия опирания на гибкие из своей плоскости диафрагмы имеют вид:

х = ± a, Дw = 0,

у = ±Ь, Дw = 0,

д2 Дw

ИйГ

Э2Дw

= 0, Дф = 0, = 0, Дф = 0,

д2 Дф

= 0,

дх2

д2Дф= 0 (27)

ду2 ' ^ ' ду2 Для решения уравнений (23) при граничных условиях (27) используем метод конечных разностей с сеткой 32x32. Для проверки точности решения была рассмотрена также сетка 64x64 и при значениях кривизн оболочки кх = Кп = 64, в результате критическая нагрузка изменилась менее чем на один процент, величины максимальной интенсивности напряжений и прогиба W(0,0) уточнились также весьма несущественно. Точность решения регулировалась двухшаговым методом последовательного возмущения параметров [4].

Недеформированную поверхность пологой оболочки задаем в виде поверхности переноса. Ее главные кривизны определяются по формулам:

К = 8^/(2а)2, к =

(28)

где /1,/2 - стрелы подъема контурных диафрагм. Безразмерные главные кривизны имеют вид:

К = К(2а)2/Л, кп= ку(2Ь)2/Л, (29)

где отношения (2а)Кх, (2Ь)ку характеризуют подъемистость оболочки, а отношения (2а)/Л, (2Ь)/Л - ее относительную толщину. В расчетах использовались безразмерные величины прогиба и нагрузки:

- о* 9а Ь

w = Ш/ Л, Р =——а .

' ЕЛ' 4

(30)

Результаты расчетов приведены на рисунке. Пунктирными линиями показаны зависимости нагрузки Р*от прогиба W в центре оболочки, а сплошными линиями - аналогичные зависимости в центре четверти оболочки. Решения получены с учетом как физической, так и геометрической нелинейнос-тей. Точками показаны зависимости при учете только геомет-

рической нелинейности, а штрих-пунктирными линиями -зависимости прогиба в центре четверти оболочки от нагрузки при учете только физической нелинейности. Счет останавливался при достижении напряжений в какой-либо точке оболочки ав для рассматриваемого материала. Кривая деформирования для рассматриваемого полимербетона характеризуется значениями а= 102(МПа) при ги = 3% .

В центре оболочки и в ее четверти с ростом нагрузки прогибы изменяются различным образом. При больших значениях параметра кривизны на кривых «нагрузка - прогиб в центре» в области критической нагрузки возможно образование петель, построение которых требует смены ведущего параметра (вместо приращения нагрузки даем приращение прогиба в фиксированной точке). При выполнении численных расчетов обнаружено, что максимальный прогиб с увеличением нагрузки перемещается по полю оболочки и растет монотонно. Поэтому в расчетах для определения приращения нагрузки в качестве ведущего параметра использовано приращение максимального прогиба вне зависимости от того, совпадает ли он с той точкой, для которой строится зависимость нагрузка - прогиб. Приращение прогиба в интересующей нас точке определялось в процессе расчета. При этом исчезают все проблемы, связанные с построением сложных петлеобразных кривых для конкретных точек оболочки.

II 32 40 4Й 56

4.913 £.657 2.203 1.959 1,724 1.5 гэ

К/С 1,004 1,015 1.026 1,023 1.036 1.04Б

26А7 45/,3 ъьм Й1,03 65.41 7&.22

В таблице приведены результаты влияния видов нелинейности на величину критической нагрузки.

Здесь Р'фн - нагрузка, соответствующая пределу прочности материала оболочки (только физическая нелинейность),

*

Рн - критическая нагрузка при учете только геометрической нелинейности, Рф*гн - критическая нагрузка при учете двух

видов нелинейности, а^таХффгн - максимальная интенсивность напряжений в окрестности критических нагрузок.

Отметим, что решение задач с учетом лишь физической нелинейности существенно отличается от результатов решения дважды нелинейной задачи и не дает возможности оценить устойчивость оболочек. Решение, полученное с учетом только геометрической нелинейности, несущественно отличается от решения, полученного с учетом двух видов нелинейности.

Для исследования прочности оболочек при каждом значении параметров главных кривизн к^ = кц подсчитывалась величина наибольшей интенсивности напряжений в оболочке о. ,тах. В рассмотренных примерах эта величина не превышала значения а.в = 102(МПа).

Следует заметить, что результаты расчетов гибких оболочек из нелинейно деформируемого материала получены на использовании конкретной зависимости интенсивности напряжений а1 от интенсивности деформаций е. и изменятся при рассмотрении зависимости а.- е( иного вида.

Для любой монотонной зависимости а.- е. пригоден алгоритм, позволяющий исключить математическое описание опытной (или натурной) зависимости а1 - е.. Для этого необходимо оцифровать статистически обработанные опытные данные, с малым шагом по параметру е. подсчитать величины интенсивности напряжений, касательного и секущего модулей и занести результаты в электронную таблицу. В представленных расчетах количество строк электронной таблицы составляло 105. Для быстрого поиска номеров нужных строк использовалась формула N = 1 + round(ej / Де.), что позволило существенно сократить время счета без потери точности вычислений.

Литература

1. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов, 1975.

2. Петров В.В. Алгоритм расчета элементов конструкций с учетом физической нелинейности материала. Вестник ВРО РААСН, вып. 5, Н. Новгород, 2002.

3. В.В. Петров, И.В. Кривошеин. Анализ вариантов нелинейных уравнений теории пологих оболочек. Фундаментальные и приоритетные прикладные исследования РААСН по научному обеспечению развития архитектуры, градостроительства и строительной отрасли Российской Федерации в 2007 году, т. 2. Москва-Белгород, 2008, с. 89-99.

4. Петров В.В. Двухшаговый метод последовательного возмущения параметров и его применение к решению нелинейных задач механики твердого деформируемого тела. Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Межвузовский научный сборник. Саратов, СГТУ, 2001, с. 6-12.

Durability and Stability of the Nonlinear Deformed Declivous Shells. By V.V. Petrov, I.V. Krivoshein

Durability and stability of flexible declivous shells is probed into a rectangular plan, made from the nonlinear-deformed material. In a compact kind the system of inkremental of settling equalizations is written down taking into consideration two types ofnon-linearity, from which easily turns out the equalization for the private tasks of the deformed plates and declivous shells. It was assumed in the considered examples of calculations, material of shell tobe polymer-concrete. Influencing is considered geometrical and physical nonlinearity on the size of the overhead critical loading. Adjusting of errors of linearization of equalizations is carried out the doublestep method of successive indignation of parameters. Numeral realization of the considered tasks conducted to the method of eventual differences.