CC BY
13
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ФОРМ ПОЛОГИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ
Л.Ю. СТУПИШИН, канд. тех. наук, доцент А.Г. КОЛЕСНИКОВ, аспирант
Курский государственный технический университет
Рассматриваются вопросы оптимального проектирования формы пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане. Исследуются критические нагрузки и напряжения, возникающие в оболочке от статического действия равномерно распределенной вертикальной нагрузки, при различных типах ониранин. Тестовые задачи решались для металлических оболочек.
Рассматривалось множество пологих оболочек на прямоугольном плане, срединную поверхность которых можно задать как поверхность переноса и описать уравнением вида:
а
ч
х-\ \а
2 Ь.
+ 1
(1)
где/- стрела подъема в центре оболочки, а-/,//0 ,(3 = /2//0 - параметры, характеризующие форму оболочки, /,, /2 - стрелы подъема опорных арок оболочки; а,Ь - размеры в плане.
Срединная поверхность переноса позволяет определить связь между стрелой подъема оболочки и стрелами подъема опорных арок
/о =/,+Л- (2)
Дифференциальные уравнения пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане записаны в виде [1]:
д2ы
ЕИ * > дх2 х ду
■ 2кг
д2н>
дхду дх ду дхду
= 0,
Э20
ду1
кг +
дV
дх2
д20
дх2
э>>2
+ 2
д2д
дхду
к ху +-
дхду
л (3) -г = 0;
)
где () - функция усилий, и' - прогиб, кх ~д2р/дх , ку ~д2р/ду' кривизны срединной поверхности оболочки, кху ~д2Р/дхду - кручение срединной поверхности оболочки, Р = Р(х,у) - уравнение срединной поверхности оболочки при начальном нагружении.
Значения величин верхних критических нагрузок [1] и напряжений в центре оболочки для различных видов закрепления краев оболочек отыскивались с помощью метода Бубнова - Галеркина
д(х,у)= Аи{х,у), А.Х,у) = ВН'(х,у). (6)
Аппроксимирующая функция выбиралась таким образом, чтобы удовлетворялись условия для общего случая - упругой заделки по краям оболочки в отношении поворотов. Для этого использовались балочные функции [2]
Цх,у)=гхгу. (?)
Функция нагрузки 2 представлялась в виде
2 = рсгя(х,у), (8)
где рсг- коэффициент интенсивности критической нагрузки, - функция
очертания нагрузки.
Коэффициент интенсивности верхней критической нагрузки имеет вид:
1
рТ =—-I -VI •! (с2 -зс,с,Г +с7 с,2
27 [' - л - 2 ■ ■))
л
где
У
С. = 2Ек ——, С2 = С, = £)
+ ЕЙ
3^3^ 3^34 3^3^ 3Х3А
./, = ) |(У2У2И~ ))
Э2,РЭ2и> Э^Э2и- д2м> -
-2-
-н-Л
л-й^Эу2 Эх2 Эх2 Зу2 дxдyдxд}J
\vdxdy,
« й / _>__а Ь _
J^¡= \ \\Awjwcixdy, ./4 = 1\\dxdy
Введем безразмерные величины:
р = (рсгА4)/(£/о4), а = ОйМ^/о4),У = Га2/0, % = х/а,Ь = у/Ь, Jx =a2J}, Зг =a2J2/f0, Jъ = а23ъ, У4 = а2У4, / = /0//г, g = f0/a,
/__V
J¡J4
27
зл
, у/, = -==,
( —т. \ Л
> =
1
+
+
^ = -бш/(((ш; ь + )// + 2 + )г, ч
а2 - -бов(((пг; кг + у(ш2 )г ,)/ Г + л{о72 Уу% + Ух
КкМ^
ст3 = -6(1 -у)во{огх){огул{тх, в = о/(£/г3)
Э2х ? Э22х з Э32х
1)2 т =а—— , Э!: =а Эх
Ж у=а- , ду
где
В1]=а2^-, т\ = А = Аа2 /(Е/2 ),В = Ва2 //0\
ау~ оу
+ 12л/Зд/4С3 С, - С, С2 +18С,С2Сз + 27?2 С, -4С23С,)"3
1
1/3
л _
з С, | 1-- т
3 С,(36С,С2Сз + 1(%С2 -8С2 +
С,
+ 12л/з^4С33С, - С3С2 + 18С,С2С3 + 22С, - 4С3 С, )"3 ЗС1 Тогда безразмерный коэффициент интенсивности верхней критической нагрузки примет вид
Р = ¥ 1
3/2
+ (¿V2./
/2
(10) 67
Безразмерный коэффициент эквивалентных напряжений по четвертой гипотезе прочности:
а=^jf [К - Г+к - ^ [ + к - Г
Безразмерный коэффициент объема оболочки:
__ 4 КК
(/=tJ J
t
i+
(dFf fdF^2 +
/
dv
d/dv.
(И)
(12)
\OUJ
Выражения напряжений, критических нагрузок и объема найдены для оболочек на прямоугольном плане, толщина которых постоянна вдоль срединной
IТЛТ);1П\'Iini'Ttl 11/Л \4(4!(и>1|4и ПП »рпиинир »МГ'РГГ' Г ПЯПЯМРТПЛМ гЬпП1Ш,|
114/ uv(/itliw lib 1 IV LIIUKIV 1VH 1 V UWJ II. 11111W UI..VW . » — ■ .--ы. -. — . ...... .j, "* --- '
Методика и алгоритм вычисления критических нагрузок, напряжений и объема реализованы в среде программного комплекса «Maple», что позволило определить следующие особенности этих функций:
1. Функции объема и напряжений - вогнутые, критических нагрузок - выпуклые, что позволяет применять методы выпуклого программирования, в частности градиентные методы.
2. Функции критических нагрузок, напряжений и объема унимодальные, что, несмотря на нелинейность функций, позволяет при решении задач оптимизации отыскивать глобальный экстремум методами поиска локального экстремума.
3. Экстремум функции критической нагрузки и функции напряжений достигается при параметре формы £ ~ 0,75 .
4. Экстремум значений напряжений достигается в центре оболочки при любом значении параметра формы £ и способа закрепления краев.
5. При постоянной стреле подъема оболочки изменение стрел подъема опорных арок не оказывает влияние на значение критической нагрузки и значения напряжений.
6. При проведении оптимизации необходимо учитывать как потерю прочности, так и потерю устойчивости оболочки.
Так для металлической оболочки с расчетным сопротивлением R = 1,2 • 210 = 252 МПа при отношении стрелы подъема оболочки к меньшему размеру в плане g = /0/а = [0,01; 0,132] необходимо проводить расчет оболочки на потерю устойчивости, при g [0,18; 0,2] расчет на потерю прочности, при g = [0,132; 0,18] расчет как на потерю прочности, так и на потерю устойчивости (рис. 1).
Рис. 1. Зависимость коэффициента напряжений от параметра и коэффициента формы £ (слева) и от параметра g и относительной толщины (справа)
7. Для оболочек, толщина которых постоянна вдоль срединной поверхности, но меняется с изменением её формы, возможно разделение двумерной задачи оптимизации на две одномерных - оптимизации формы срединной поверхности и оптимизации толщины.
8. Для оболочек постоянной вдоль образующей толщины, оптимальная форма срединной поверхности зависит от типа опирания краёв.
С учетом особенностей функций объема, напряжений и критической нагрузки, построен алгоритм оптимизации формы пологих геометрически нелинейных оболочек, в основе которого лежит модификация одного из методов случайного поиска, включающего в себя комбинацию градиентного и случайного поиска, а так же метод "оврагов" [3].
Для тестирования алгоритма решались задачи оптимизации первого рода;
1. Определение формы срединной поверхности и толщины оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку на всем множестве допустимых форм срединных поверхностей и постоянных толщин оболочек:
/>(£,?)-> тах,£е <7, I е С]
в = ^: 0,51 < £ < 2, / = I: 10 < I, < 1 ООО,) = Ци}, г = /0 / к
Оптимальная оболочка имеет параметры £ = 0,7435,/е 10,0.
2. Определение формы срединной поверхности и толщины оболочки, имеющей минимальные напряжения на всем множестве допустимых форм срединных поверхностей и постоянных толщин оболочек:
тш,£е в^еО.
Оптимальная оболочка имеет параметры £ = 0,7376,/е 10,0.
3. Определение формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема на всем множестве допустимых форм срединных поверхностей и постоянных толщин оболочек:
п,£е <7,¿е С.
Оптимальная оболочка имеет параметры £ = 0,51, г е 1000,0.
Так как результаты совпадают с полученными ранее зависимостями, можно сделать вывод о корректной работе алгоритма оптимизации.
Рассмотрены двойственные задачи об определении формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема при ограничении на критическую нагрузку
(у(^)->утт,
< , ч величину напряжении
и оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку или напряжения в которой не превышают допустимые значения при ограничении на величину объема
Г(1г)-У0< 0,£е (7, [У(&)-Г0 <0,£е 0,1е С.
В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при заданном значении напряжений, экономия объема (веса) составила 5,74%.
В задачах оптимизации формы оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку при заданной величине объема, возрастание критической нагрузки составила 10,5%.
В задачах оптимизации формы оболочек, имеющих минимальные напряжения при заданной величине объема, уменьшение напряжений составила 3,5%.
Исследовались задачи об определении формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема при ограничении на критическую нагрузку и величину напряжений
• p(£,t)-pcr<Q,ZeG,teG,. a(£,t)-R<0,4eG,teG.
Экономия объема (веса) составила 6,56%,
Небольшие проценты экономии объема (веса) объясняются тем, что за начальное приближение выбиралось значение параметра формы £, -1 (сферическая оболочка), близкое к оптимальному.
Разработанный алгоритм оптимизации формы оболочек и представление переменных в безразмерном виде позволяют использовать их при проектировании облегченных конструкций типа пологих оболочек, находить форму оболочек, напряжения в которых наименьшие и оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку.
Исследования проводились в рамках гранта КурскГТУ №1.77.09П/32.
Литература
1. Ступишин, Л.Ю. Приближенный способ определения оптимальной формы пологих геометрически нелинейных оболочек вращения при условии устойчивости. [Текст]: Л.Ю. Ступишин // Известие высших учебных заведений. Строительство и архитектура.-1989,-№9.-С. 28-32
2. Власов, В.В. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. [Текст]/ В.В. Власов.- М.:Гостехиздат, 1949. - 812с.
3. Скоков В.А. Некоторый вычислительный опыт решения задач нелинейного программирования, [Текст]/ В.А.Скоков // Математические методы исследования экономических задач. - М, 1977. - Вып.7. - С. 51-48.
OPTIMUM FORMS OF RECTANGULAR SHALLOW GEOMETRIC NONLINEAR SHELLS EXAMINATION
Stupishin L. Yu., Kolesnikov A. G.
The actual equations of optimum designing of shape of rectangular shallow nonlinear shells are examining. Optimum shapes of shells with the minimum weight with the critical loading volume limit and pressure meaning limit are finding. Parameters of a middle surface, a rise and a thickness are changing.
The change of the critical force coefficient and the pressure in the boundary condition shell attained with the help of Bubnov - Galerkin method are examined. The calculation method is done in the Maple program complex.
Безопасность сложных технических систем
ТЕХНОЛОГИЯ РЕКОНСТРУКЦИИ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СИЛОСОВ С ВЕРТИКАЛЬНЫМИ ТРЕЩИНАМИ
А.П. СВИНЦОВ, д.т.н., проф\. А.Н, ЗАДИРАНОВ, д.т.н. проф., А.Н. МАЛОВ, к.т. н„ проф., Ю.В. НИКОЛЕНКО, к.т.н., доцент Российский университет дружбы народов, Москва
Железобетонные силосы относятся к основным производственным зданиям складов сыпучих материалов: зерна, зерновой муки, цемента, гипса, строительных смесей, известковой муки др. Силосы обеспечивают непрерывность техно-
