CC BY
44
Неоднородные пологие оболочки с двумя видами нелинейности
В.В.Петров, И.В.Кривошеин
Оболочки находят широкое применение в строительстве и других областях техники благодаря своим многочисленным преимуществам. Основной постоянно действующей нагрузкой на оболочку является ее собственный вес, который нелинейно возрастает с увеличением перекрываемых оболочкой пролетов. Для уменьшения этой нагрузки перспективно применение легких пористых материалов с низким объемным весом и другими полезными свойствами, однако они обладают низкими прочностными характеристиками.
Для компенсации этого недостатка создается технологическая неоднородность. Важный момент при конструировании оболочек - выбор материала для их изготовления. В последнее время появилось много видов новых перспективных материалов, в частности полученных с применением нанотех-нологий. В различных отраслях техники широко используются дисперсно- и дискретно-неоднородные пластины и оболочки со слоями из легких эффективных заполнителей; клееные деревянные, деревометаллические конструкции; дельта- и ¿^¿-древесина; композиты на полимерной, углеродной, металлической и органической основе; пористый алюминий. Конструкции, выполненные из таких материалов, могут иметь стоимость и материалоемкость на 35-50% меньшие по сравнению с традиционными однородными конструкциями.
Для создания неоднородности в несущих конструкциях предлагается следующее технологическое решение. Чтобы усилить материал оболочки, в ее поверхностные слои методом диффузии или с помощью иных технологий, которые здесь не обсуждаются, внедряют другой материал с высокими прочностными характеристиками, в результате в конструкции появляется технологическая неоднородность с характерным фронтом неоднородности, разделяющим упрочненный материал конструкции и неупрочненный. В машиностроении эта технология называется плакированием поверхности. В упрочненном слое прочностные характеристики неоднородного материала плавно уменьшаются от максимальных значений на поверхности оболочки до характеристик основного материала в точках фронта неоднородности. Поэтому фронт неоднородности не является концентратором напряжений.
Возникает необходимость в разработке методов расчета таких неоднородных оболочек и исследовании влияния неоднородности на распределение в них внутренних напряжений. Нужны алгоритмы определения предельных нагрузок, приводящих к разрушению исходного и упрочненного материалов, и критических нагрузок, приводящих к потере устойчивости неоднородных оболочек.
Рассмотрим тонкостенную пологую оболочку на прямоугольном плане под действием поперечной нагрузки. Допустим, что оболочка выполнена из легкого пористого материала с невысокими прочностными характеристиками. Известно, что пористые материалы имеют нелинейную диаграмму деформирования. В точках упрочненного неоднородного слоя диаграммы деформирования также будут нелинейными. Поэтому полагаем, что и исходный, и упрочняющий материалы являются физически нелинейными. Для оболочки важно определить нагрузку, при которой она теряет устойчивость, поэтому наряду с физической нелинейностью необходимо учесть и геометрическую нелинейность с помощью геометрических соотношений Власова-Кармана. Для учета физической нелинейности применяется деформационная теория малых упругопластических деформаций.
При наличии у оболочки геометрической и физической нелинейностей уравнения, описывающие ее напряженно-деформированное состояние, становятся сложными нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, и их решение представляет собой сложную проблему. Для ее решения построим методом последовательных нагружений [1] инкрементальные линейные уравнения и последовательно их решим. Объем статьи не позволяет привести вывод этих уравнений, поэтому отсылаем читателя, например, к работам [2, 3].
Присвоив индекс п в качестве номера этапа последовательного нагружения, запишем линейную инкрементальную систему уравнений в смешанной форме для расчета оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности в виде:
ОпД^+1+012Ам;я+1=0 1
Г , (1)
где введены следующие обозначения дифференциальных операторов:
^п=IV2
= = ^ (• • .) + Ь Г К . . . .) ; (2)
Вместо точек нужно поставить ту функцию, на которую действует оператор.
В (1) и (2) приняты следующие обозначения: А 2р - приращение функции усилий, с помощью которой определяются
осевые (мембранные) усилия в оболочке; Дм> - приращение прогиба срединной поверхности оболочки. Эти приращения вызваны приращением нагрузки А^г . Суммарный прогиб и суммарная функция усилий обозначены соответственно W(x,y) и ф (х,у). Переменные жесткости оболочки на сжатие и изгиб, обозначенные соответственно Jk(x,y) и Вк(х,у), определяются по формулам:
4 т 4 ш
1к{ У ) = т | К <ь, И« ( X , у ) = - | Е\ 2 2 йг , (3)
■'-А/2 -А/2
где Е\ = Е<у/( г ), Е< ( << , <<< < г)- касательный модуль, у (г)-функция неоднородности материала, к - толщина оболочки. Оси х,у направлены вдоль плана сторон оболочки, а ось г перпендикулярна плану оболочки.
В дифференциальных операторах (2) использованы следующие обозначения:
V2 - оператор Лапласа; у/ = к<
+ кх
- оператор
дх2 д\>2
Власова, зависящий от главных кривизн оболочки к1, k2; нелинейный дифференциальный оператор L(A,B) определяется по формуле:
т( а
2 < 2 = дх2 ду2 + ду2 дх2 дхду дхду . (4)
Функцию неоднородности у (г) задаем в виде экспоненты:
/1111 Л
у/ (г) = ехр
2-2,
о
А / 2 - 2п
(5)
где - координата фронта упрочнения, разделяющего упрочненный слой материала оболочки и исходный, а коэффициент К - параметр неоднородности прочностных свойств материала, определяемый как отношение временного сопротивления упрочняющего материала к временному сопротив-
300
200
100
р — 4 - 3
2 1
\NnJh
О
0,5
1,0
1,5
2,0
Рис. 1. Кривые «нагрузка - максимальный прогиб» для квадратной в плане оболочки с безразмерными параметрами кривизны к^ = к^ = 20
лению исходного материала. В точках фронта упрочнения г = г0 функция неоднородности у(г0) равна единице, в упрочненном слое она изменяется по экспоненциальному закону, а в исходном материале при изменении переменной | 2« | > | 2 | > 0 равна единице. В точках фронта упрочнения функция неоднородности не имеет разрыва, поэтому фронт упрочнения не является концентратором напряжений.
Численная реализация линейных дифференциальных уравнений (1) на каждом этапе нагружения осуществлялась методом сеток размером 32*32, который был выбран в результате пробных расчетов с применением сеток других размеров. Для вычисления определенных интегралов типа (3) был применен метод Симпсона, интервал интегрирования разбивался на 256 частей. Для уменьшения погрешностей линеаризации уравнений и сокращения времени счета эффективен разработанный нами двухшаговый метод последовательного возмущения параметров [4].
Для решения сформулированных выше задач рассмотрим пологую оболочку с размерами 2а*2а под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки q. Полагаем, что по контуру оболочка опирается на диафрагмы, жесткие в своей плоскости и гибкие из своей плоскости. В расчетной схеме оболочки такая опора называется подвижным шарниром. Обозначим буквой 5 толщину упрочненного слоя и введем понятие относительной его толщины 2 — 2 22. Исследуем напряженно-деформированное состояние оболочки в зависимости от изменения безразмерной нагрузки р = 16qa4 / Ек4 (Е0 - модуль упругости исходного материала), безразмерных параметров X и К и безразмерных параметров кривизны к^ = 4кха2 2 2г, ^ = 4к а2 2 2. Относительная толщина оболочки 2a/к равна 33.
На рисунке 1 показаны кривые «нагрузка - максимальный прогиб» для квадратной в плане оболочки с безразмерными параметрами кривизны к^ = к = 20 .
Основная характеристика оболочки - кривая «нагрузка -прогиб в центре» с ростом параметров кривизны - приобретает сложный вид. В окрестности верхней критической нагрузки наблюдается образование петли, построение которой весьма трудоемко и требует применения специальных вычислительных алгоритмов. Исследования [5] показали, что, в отличие от кривой «нагрузка - прогиб в центре», кривая «нагрузка - максимальный прогиб» является монотонной при всех параметрах кривизны оболочки и не содержит в окрестности критической нагрузки петель. Номера именно этих кривых на рисунке 1 соответствуют величине параметра неоднородности К.
Максимальный прогиб с ростом параметра кривизны перемещается по полю плана оболочки, как правило от ее центра к центрам ее четвертей, однако экстремум кривой - верхняя критическая нагрузка - определяется без затруднений. Анализ зависимостей «нагрузка - прогиб в центре» позволяет заключить, что перед потерей устойчивости происходят замедление роста прогибов в центре оболочки и рост максимальных прогибов в области центров ее четвертей.
Подобное петлеобразование в окрестности верхней критической нагрузки наблюдалось во всех рассмотренных случаях.
На рисунке 2 показаны зависимости между величинами критических нагрузок и безразмерной толщиной упрочненного слоя X. Верхняя группа кривых соответствует оболочке с безразмерными кривизнами к^ = к^ = 60, а нижняя получена для оболочек с к^ = к^ = 40. Номера кривых численно равны величине коэффициента неоднородности К. Результаты расчета показывают, что с увеличением толщины упрочненного слоя оболочки величина критической нагрузки увеличивается по закону, мало отличающемуся от линейного. Однако с увеличением параметра К начальный угол наклона кривых возрастает, при этом заметно возрастает запас устойчивости оболочки.
С учетом симметрии рассматриваемой задачи на рисунке 3 показаны половины эпюр изгибающих моментов вдоль линии, параллельной линии контура и проходящей через центр оболочки (левые кривые), и вдоль параллельной ей линии, проходящей через центр четверти оболочки (правые кривые). Номера кривых соответствуют величине коэффициентов неоднородности К. Оболочка имеет безразмерные кривизны к
кл = 60. При этих значениях кривизн обо-
6000
4000
2000
лочка находится на пределе определения ее как пологой оболочки. Эпюры изгибающих моментов построены при нагрузке, составляющей 90% от верхней критической нагрузки. Видно, что эпюры изгибающих моментов двузначные, что свидетельствует о сложном характере изгибных деформаций, предшествующих потере устойчивости оболочки, а максимальные прогибы и соответствующие им изгибающие моменты находятся в ее четвертях. Следует обратить внимание, что с увеличением коэффициента неоднородности изгибающие моменты вдоль линий, параллельных контуру оболочки, возрастают, а вдоль диагонали ее плана уменьшаются.
На рисунках 4,5 приведены эпюры распределения интенсивности напряжений по толщине оболочки. Они построены в центре четверти оболочки. Параметры кривизны оболочки: к%= к^ = 20, относительная толщина упрочненного слоя X = 0,25. Номера кривых численно равны коэффициенту неоднородности К.
Эпюры интенсивности напряжений на рисунке 4 получены при нагрузке, составляющей 90% от критической для
Рис. 2. Зависимости между величинами критических нагрузок и безразмерной толщиной упрочненного слоя X
Рис. 3. Половины эпюр изгибающих моментов вдоль линии, параллельной линии контура и проходящей через центр оболочки (левые кривые), и вдоль параллельной ей линии, проходящей через центр четверти оболочки (правые кривые)
ы
V
97,7 195,9
76,5 161,2
V
97.7 140.4
76.5 102.7
Рис. 4,5. Эпюры распределения интенсивности напряжений по толщине оболочки в центре четверти оболочки
каждой кривой, соответствующей значению коэффициента неоднородности К (на рисунке 1 эти нагрузки отмечены четырехконечными звездочками). Подчеркнем, что в исходном материале интенсивность напряжений не изменяется при изменении коэффициента К. Эпюры интенсивности напряжений на рисунке 5 получены при одной и той же нагрузке, составляющей 90% от критической нагрузки однородной оболочки (на рисунке 1 эти нагрузки отмечены пятиконечными звездочками). Видно, что с ростом коэффициента К интенсивность напряжений в исходном материале уменьшается, а в упрочненном слое возрастает.
Анализ эпюр показывает, что технологическая неоднородность сопровождается существенным перераспределением напряжений. Там, где прочностные характеристики материала повышаются, напряжения увеличиваются, а где прочностные характеристики материала ниже - уменьшаются. Таково проявление статической неопределимости малого объема материала оболочки. Важно, что с повышением прочностных свойств диффундирующего материала напряжения в основном материале заметно уменьшаются, что создает запас прочности в исходном материале с невысокими прочностными характеристиками.
Разработанные метод решения, алгоритмы и программный комплекс позволяют выполнять разнообразные практические расчеты неоднородных балок, пластинок и пологих оболочек. Численные примеры показали возможность существенной экономии в расходах и стоимости материалов конструкции.
Выявление предельных состояний требует обязательного учета геометрической и физической нелинейности. Игнорирование физической нелинейности в неоднородных системах приводит к погрешности в напряжениях до 20 - 30%.
Рядом авторов показано, что возможность использования гипотез плоского сечения, Кирхгофа и Кирхгофа-Лява зависит от величины отношения a/ h и от отношения характеристик упругости материала E/ G и E / E . . Также пока-
г J rj г ' max min
зано, что при использовании материалов с упругими характеристиками одного порядка и при 2a/ h > 5 классическая модель достаточно хорошо описывает НДС. Лишь при E / G > 20 30, или E / E. > 40 - 50 , или 2a/h < 5 необходим
max min '
учет сдвиговых эффектов.
Таким образом, можно сделать вывод, что при конструировании оболочек создание технологической неоднородности в виде упрочненных поверхностных слоев позволяет регулировать весовые характеристики конструкции и создавать запас их прочности и устойчивости. Кроме того, применение легких пористых материалов при возведении оболочек способствует решению других проблем, связанных, например, с шумопоглощением, морозостойкостью и теплоизоляцией.
Литература
1. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во СГУ, 1975.
2. Петров В.В. Методы расчета конструкций из нелинейно-деформируемого материала / Петров В.В., Кривошеин И.В. М.: Изд-во АСВ, 2009.
3. Петров В.В. Прочность и устойчивость нелинейно-деформируемых пологих оболочек / Петров В.В., Кривошеин И.В. // Academia. 2009. №3. С. 83-87.
4. Петров В.В. Двухшаговый метод последовательного возмущения параметров и его применение к решению нелинейных задач механики твердого деформируемого тела // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвузовский научный сборник. Саратов, 2001. С. 6-12.
5. Петров В.В. Влияние условий опирания по контуру на устойчивость полимербетонных оболочек / Петров В.В., Кривошеин И.В. // Вестник ВРО РААСН. Вып. 13. Нижний Новгород, 2010. С. 175-182.
Literatura
1. Petrov V.V. Metod posledovatelnyh nagruzhenij v neLi-nejnoj teorii pLastinok i oboLo^e! Saratov: Izd-vo SGU, 1975.
2. Petrov V.V. Metody raschota konstruktcij iz neLinejno-deformiruemogo materiaLa / Petrov V.V., Krivoshein I.V. M.: Izd-vo ASV, 2009.
3. Petrov V.V. Prochnost i ustojchivost neLinejno-deformi-ruemyh poLogih oboLochek / V.V.Petrov, I.V.Krivoshein // Academia. 2009. №3. S. 83-87.
4. Petrov V.V. Dvuhshagovyj metod posLedovateLnogo vozmuschenija parametrov i jego primenenie k resheniju neLi-neinyh zadach mehaniki tverdogo deformiruemogo teLa // ProbLemy prochnosti eLementov konstruktsii pod dejstviem nagruzok i rabochih sred: mezhvuzovskij nauchnyj sbornik. Saratov, 2001. S. 6-12.
5. Petrov V.V. VLiyanie usLovij opiraniya po konturu na ustojchivost poLimerbetonnyh oboLochek / Petrov V.V., Krivoshein I.V. // Vestnik VRO RAASN. Vyp. 13. Nizhniy Novgorod, 2010. S. 175-182.
Calculation of Non-Uniform Flat Covers with Two Types
of Nonlinearity. By V.V. Petrov, I.V. Krivoshein
The articLe deaLs with fLat covers in the rectanguLar pLane. GeometricaL, physicaL nonLinearity and heterogeneity of properties of a materiaL depending on the thickness of the cover are considered. TechnoLogicaL heterogeneity is created by the method of diffusion of a high-strength materiaL in the main materiaL of a cover.
Ключевые слова: оболочка, неоднородность, нелинейность.
Key words: cover, heterogeneity, nonLinearity.
