CC BY
52
УДК 539.3
В.В. Петров, И.В. Кривошеин
ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ МАТЕРИАЛА НА УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ
Исследуется вопрос о влиянии неоднородности свойств материала по толщине гибких физически нелинейных пологих оболочек на изменение параметров их напряженно-деформированного состояния и величин критических нагрузок потери устойчивости. Для двояковыпуклых пологих оболочек на основе двухшагового метода последовательного возмущения параметров и метода конечных разностей доказано существенное снижение критических нагрузок и значительное перераспределение напряжений при деградации материала поверхностных слоев оболочек.
Неоднородность материала, дважды нелинейные оболочки, метод конечных разностей, устойчивость, перераспределение напряжений
V.V. Petrov, I.V. Krivoshein
IMPACT OF INHOMOGENEOUS MATERIALS ON STABILITY OF NONLINEAR DEFORMABLE SHALLOW SHELLS WITH DOUBLE CURVATURE
The paper considers the issues relating the influence of inhomogeneity in material properties across the thickness of flexible nonlinear shallow shells on the changes in the parameters of their stress-strain state and the buckling force. Using a two-step method of series-bound parameter perturbation and the method offinite differences applied to the double-curved shallow shells, it was proved that there is sufficient reduction in the buckling load and significant redistribution of voltage under the degradation of materials in the surface layers of shells.
Inhomogeneity of material, double-shell, nonlinear, finite differences, stability, redistribution of stresses
Одной из основополагающих гипотез механики деформируемого твердого тела является допущение об однородности свойств материалов, что позволяет исключить учет естественной неоднородности конструкционных материалов на микроуровне. Однако при расчете тонкостенных конструктивных элементов типа пологих оболочек в ряде случаев необходимо учитывать наличие макронеоднородностей по толщине оболочки, которые появляются в результате воздействия на нее природных или техногенных факторов. Вследствие статической неопределимости оболочек неоднородность свойств материала приводит к перераспределению напряжений по толщине оболочки и изменению ее несущей способности. Кроме того, для определения величин параметров напряженно-деформированного состояния оболочек и значений кри-
тических нагрузок потери устойчивости в системе разрешающих уравнений теории пологих оболочек необходим совместный учет геометрической и физической нелинейностей.
Учет неоднородности свойств нелинейно-деформируемого материала приводит к необходимости задания для конкретных точек оболочки в пределах неоднородного слоя различных диаграмм деформирования материала, являющихся его основными интегральными характеристиками. Неоднородность обычно описывается структурным параметром или функцией неоднородности, присутствующими в физических соотношениях фундаментальной системы уравнений. В частном случае функция неоднородности является характеристикой секущего и касательного модулей.
Вводим функцию неоднородности в физические уравнения, записывая связь между девиато-ром тензора напряжений и девиатором тензора деформаций Ое в виде, принятом в теории малых
упругопластических деформаций, а именно £)0 = (2/3)Е*Ц,. Здесь Е* =у(г)Ес, где Е* - секущий модуль неоднородного материала, Ес - секущий модуль исходного материала, у( г) - функция неоднородности материала, которая отлична от единицы только в пределах слоя неоднородности. Материал оболочек считается несжимаемым с коэффициентом Пуассона т = 0,5.
Для формулирования нелинейной краевой задачи расчета неоднородных пологих оболочек на прочность и устойчивость полагаем, что материал оболочки по ее толщине разделен на три зоны,
отделяемые двумя фронтами неоднородности г = ± г0 , которые не являются концентраторами
напряжений. Полагаем, что в ослабленных крайних по высоте оболочки слоях прочностные характеристики неоднородного материала плавно возрастают от минимальных значений на поверхностях оболочки до характеристик основного материала в точках фронтов неоднородности, имеющих координаты г = ± г0 .
Функцию неоднородности у( г) принимаем в следующем виде:
[1, 0 £ |г| £ |г0|,
У(г) = 1 л I I IV* III I , , (1)
[1 - К (г - |г01) , |г0| < г £ к/2,
где т - целочисленный показатель степени, а величина коэффициента К определяется из условий на поверхностях оболочки
у(±к /2) = П. (2)
Здесь П < 1 - параметр неоднородности прочностных свойств материала, равный отношению временного сопротивления ослабленного материала на поверхностях оболочки к временному сопротивлению основного материала. С использованием условия (2) находим величину коэффициента К
1 - П
К =-
(3)
(к/2-| г0\
Исследуем влияние параметров функции у ( г) (1) на величины критических нагрузок потери
устойчивости дважды нелинейных пологих оболочек с размерами 2а X 2а под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки д. Система инкрементальных разрешающих уравнений смешанного метода расчета нелинейно деформируемых неоднородных пологих оболочек имеет следующий вид [1]:
¡^Дм+2
Э4 Эх
Г Я
Э Дм Э Дм -+-
Л
+2
Э/
3
Эх ЭхЭу ) Эу I Эу Эх Эу
Э Дм Э Дм -+-
Л
+
+
Э213 Г э2
Эх2
Л
Э2Д Г Э2Дм 1 Э2Дм^ Э2/, Э2Дм
Э2Дм 1 Э2Дм --1---+--3---1---+--3--
Эх2 2 Эу2 ) Эу2 I Эу2 2 Эх2 ) ЭхЭу ЭхЭу
-У2(Д ф) - Ь(Дм, ф) - ДЖ, Дф) = Дд,
(4)
э/* г э3дф э3дф э/* г э3дф э3дф
Эх
- + -
Эх ЭхЭу
( Д3/
+ 2-
- + -
Эу I Эу Эх Эу
+
2 Т* ( Г»2
+ -
Э2 /
Эх2
Э2Дф 1 Э Дф
2 * 2
+ -
Э2 /
Эх2 2 Эу2 ) Эу2 ^ Эу2 2 Эх
Э2Дф 1 Э Дф
+3 Э/*
ЭхЭу ЭхЭу
+У2(Дм) + Ь(Дм>, Ж) = 0,
2
где Аw - приращение прогиба оболочки, Ар - приращение функции усилий, а жесткости оболочки подсчитываются по формулам
к/2 4 к/2
/ = | Е^, /з = - | Ек2^2, I* = 1/I,. (5)
-к/2 3 -к/2
Рассматриваем на контуре пологой оболочки граничные условия шарнирного опирания на диафрагмы, жесткие в своей плоскости и гибкие из своей плоскости
х = ±а, А^ = 0,
у = ±Ь, А^ = 0,
Э2 А^ Эх2 д А
= 0,
= 0,
Э2А р = 0 Э2А р
Эх2 Э 2Ар
= 0,
Эу2
Э2 Ар
= 0,
= 0.
(6)
Эу2 ' Эу2 ' Эх2
Решаем нелинейную краевую задачу, порождаемую наличием в оболочках двух видов нелинейности, двухшаговым методом последовательного возмущения параметров [1,2].
Численная реализация линейных на каждом этапе нагружения дифференциальных уравнений осуществлялась методом конечных разностей с сеткой размером 32X32, выбранной в результате пробных расчетов. Для вычисления величин определенных интегралов (5) использовалась формула Симпсона с разбивкой интервала интегрирования на 256 частей.
В примерах расчета рассмотрены двояковыпуклые пологие оболочки, изготовленные из несжимаемого нелинейно деформируемого материала с начальным модулем Е0 = 5088(МПа) и величинами о, = 102 (МПа), = 0,03 . Диаграммы деформирования материала оболочек 01 — £{ аппроксимировались кубическими сплайнами [3].
Обозначаем через 5 = к /2 — толщины ослабленных слоев, при этом их относительная
толщина составляет 1 = 5 / к . Исследуем нелинейное поведение пологих оболочек в зависимости от значений параметров кривизны к^ = кх (2а)2 / к, кц= ку (2Ь)2 / к, изменения безразмерной нагрузки
р = 16qa4 / Е0кА и безразмерных параметров 1 и П для различных значений показателя степени т в выражении (1).
В табл. 1 приведены величины предельных нагрузок Ре потери устойчивости для пологих оболочек с параметрами кривизны к^ = кп = 20 и величинами 1 = 0,25, П = 0,5 в зависимости от величины показателя степени т в выражении (1).
Таблица 1
П = 1 П = 0,5
т = 2 т = 3 т = 4
Р, 202,0 180,5 185,5 188,6
Данные табл. 1 показывают, что наибольшая разница между критическими нагрузками Ре , при которых происходит потеря устойчивости неоднородных оболочек, по сравнению с нагрузкой Ре
для однородной оболочки (П = 1) реализуется при показателе степени т = 2 функции неоднородности (1).
В этом случае уменьшение прочностных свойств материла при движении от фронта неоднородности к поверхности оболочки происходит наиболее быстро. Аналогичные результаты получены также и для пологих оболочек с кривизнами к^= к^= 40 и к^= к^= 60.
На рис. 1 показаны кривые «нагрузка - максимальный прогиб» для пологой оболочки двоякой кривизны с параметрами кривизны к^= к^ = 20 при относительной толщине к / (2а) = 1/50 для значений параметров т = 2,1 = 0,25 при величинах параметра П = 0,75; 0,5; 0,25; 0,01. Все результаты сравниваются с решением для однородной оболочки (П = 1). Звездочками отмечены предельные точки, соответствующие нагрузке Ре .
Рис. 1.
Величины предельных нагрузок Ре для этих оболочек при 1 = 0,25 приведены в табл. 2.
Таблица 2
П = 1 П = 0,75 П II 0, 5 П = 0,25 П = 0,01
Рв 202,0 191,2 180,5 170,1 160,4
Анализ результатов, приведенных на рис. 1 и в табл. 2, показывает, что при снижении прочностных характеристик материала оболочки в ее поверхностных слоях нагрузки Ре значительно уменьшаются.
Рассмотрим эту же оболочку с к^ = к^ = 20 в случае 1 = 0,5, когда ослабленные слои материала занимают всю толщину оболочки. Результаты для значений параметров т = 2, П = 0,75;0,5;0,25;0,01 сведены в табл. 3.
Таблица 3
П = 1 П = 0,75 П = 0,5 П = 0,25 П = 0,01
Рв. 202,0 182,3 162,9 143,9 127,2
Сравнение данных табл. 2 и 3 показывает, что при увеличении параметра 1 разница между результатами расчета однородной и неоднородной оболочки увеличивается.
Аналогичные выводы могут быть сделаны при анализе результатов расчета пологой оболочки с параметрами кривизны к^ = к^ = 40 при относительной толщине И / (2а) = 1/67 и параметрах т = 2
, 1 = 0,25, П = 1; 0,75; 0,5; 0,25;0,01, приведенных в табл. 4.
Таблица 4
П = 1 П = 0,75 П II 0, 5 П = 0,25 П = 0,01
Рв. 1042,3 957,9 873,1 787,8 705,7
При построении зависимостей «нагрузка - максимальный прогиб» для пологой оболочки с к^= кп= 40 в качестве ведущего параметра решения нелинейной краевой задачи (НКЗ) выбран параметр прогиба ^(0,5;0,5) в центре четверти оболочки, который меняется монотонно в процессе деформирования оболочки. В результате величина предельной нагрузки Ре для оболочки определяется без затруднений.
На рис. 2 с сохранением обозначений рис. 1 показаны кривые «нагрузка - максимальный прогиб» для пологой оболочки с параметрами кривизны к^= к^ = 60 при относительной толщине
И /(2а) = 1/80 для значений параметров т = 2, 1 = 0,25 и величинах параметра
П = 0,75;0,5;0,25;0,01. Все результаты сравниваются с решением для однородной оболочки (П = 1). Величины предельных нагрузок Рв для этих оболочек при 1 = 0,25 приведены в табл. 5.
2000
1500
1000
500
р |— I 0,5 0,25
0,01
к,=к^ = 60
ЛТ' тах
0,5 1,0
Рис. 2
Таблица 5
П = 1 П = 0,75 П II 0, 5 П = 0,25 П = 0,01
Рв. 2019,1 1875,5 1731,1 1585,7 1444,7
Необходимо отметить, что для пологих оболочек с параметрами кривизны к^ = к^ = 40 и к^ = к^= 60 реализуется бифуркация симметричного и несимметричных равновесных состояний, однако точки бифуркации расположены в малой окрестности предельных точек, соответствующих нагрузке Ре , и поэтому не представляют практического интереса.
Анализ результатов, приведенных на рис. 2 и в табл. 5, показывает, что при снижении прочностных характеристик материала оболочки в ее поверхностных слоях величины нагрузок Ре значительно убывают. Численные показатели для величин Ре в процентах от верхней предельной нагрузки однородной оболочки при значениях параметров т = 2, 1 = 0,25 приведены в табл. 6.
Таблица 6
к II к П = 0,75 П = 0,5 П = 0,25 П = 0,01
20 94,65% 89,36% 84,21% 79,38%
40 91,90% 83,77% 75,58% 67,70%
60 92,89% 85,74% 78,53% 71,55%
Данные табл. 6 показывают, что влияние неоднородности по толщине пологой оболочки на снижение величин предельных нагрузок Рв возрастает при увеличении параметров кривизны со значений к^= к^= 20 до к^ = к^= 40, а затем понижается для оболочек с к^= кл= 60 из-за снижения
вклада изгибных напряжений в суммарное напряженное состояние оболочки.
На рис. 3 приведены эпюры распределения интенсивности напряжений (МПа) по толщине пологой оболочки с параметрами кривизны к^= кп = 60 для центра четверти плана при нагрузке Р = 1300, относительной толщине ослабленных слоев 1 = 0,25 и коэффициенте т = 2. Эпюры а, Ь, с, й, е отвечают соответствующему значению параметра П=1; 0,75; 0,5; 0,25; 0,01.
de b а
Рис. 3
Эпюры интенсивностей напряжений с рис. 3 показывают, что при уменьшении параметра П интенсивность напряжений в ослабленных слоях уменьшается, а в исходном материале возрастает, но не превосходит максимальной величины на поверхности панели из однородного материала в диапазоне изменения параметра 0,75 > П > 0,25.
Эпюры изгибающих моментов в пологой оболочке с параметрами кривизны к^= к^= 40 и
к^= к^= 60 являются двузначными, что свидетельствует о сложном характере изгибных деформаций,
предшествующих потере устойчивости оболочки. Максимальные прогибы и изгибающие моменты расположены в области центров четвертей плана оболочек.
Таким образом, предлагаемая методика расчета неоднородных пологих нелинейно деформируемых оболочек двоякой кривизны, основанная на двухшаговом методе последовательного возмущения параметров и методе конечных разностей, позволяет исследовать НДС и находить критические значения нагрузок при потере устойчивости оболочек с учетом снижения прочностных характеристик материала их поверхностных слоев.
ЛИТЕРАТУРА
1. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика. М.: Инфра-Инженерия,. 2014. 480 с.
2. Петров В.В. Двухшаговый метод последовательного возмущения параметров и его применение к решению нелинейных задач механики твердого деформируемого тела // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2001. С. 6-12.
3. Альберг Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Альберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. М.: Мир, 1972. 136 с.
Петров Владилен Васильевич -
доктор технических наук, профессор, академик РААСН, заведующий кафедрой «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Кривошеин Игорь Васильевич -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Vladilen V. Petrov -
Dr. Sc., Professor
Academician of the Russian Academy of Architecture and Contsruction Sciences, Head: Theory for Civil Works Engineering Department
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Igor V. Krivoshein -
Ph. D., Associate Professor
Theory for Civil Works Engineering Department,
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 11.10.14, принята к опубликованию 25.12.14
