Расчет неоднородных по толщине оболочек с учётом физической и геометрической нелинейностей Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Расчёт неоднородных по толщине оболочек с учётом физической и геометрической нелинейностей

В.В.Петров

В статье рассматриваются пологие оболочки на прямоугольном плане. Учитывается геометрическая, физическая нелинейность и неоднородность свойств материала по толщине оболочки. Технологическая неоднородность создается методом диффузии высокопрочного материала в основной материал оболочки.

Ключевые слова: пологие оболочки, геометрическая нелинейность, физическая нелинейность, неоднородность материала по толщине.

Calculation of Inhomogeneous Thickness of Shells with

Considering Physical and Geometrical Nonlinearities.

By V.V.Petrov

In article flat shallow shell on the rectangular plan are considered. Geometrical, physical nonlinearity and heterogeneity of properties of a material on thickness of a cover is considered. Technological heterogeneity is created by a method of diffusion of a high-strength material in the main material of a shallow shell.

Key words: shallow shell, geometric nonlinearity, physical nonlinearity, the heterogeneity of the material thickness.

В соответствии с гипотезой однородности в механике деформируемого твёрдого тела, механические характеристики материла (модуль упругости, коэффициент Пуассона и временное сопротивление) рассматриваются как постоянные величины во всех точках объёма конструкции. Эта гипотеза не учитывает неоднородность материала на микроуровне, то есть наличие в реальных материалах различных фракций, кристаллических образований с дефектами кристаллической решетки и тому подобного.

Если с помощью соответствующих технологий создать неоднородность свойств материала по толщине конструкции, то можно повысить её несущую способность. Многие материалы имеют пористую структуру и невысокие прочностные показатели. Для них могут оказаться перспективными технологии усиления поверхностных слоёв, при применении которых более прочный материал диффундирует в толщу исходного материала и создаёт тем самым слой с неоднородными свойствами, которые плавно изменяются по толщине конструкции. В этом случае исключается появление концентраторов напряжений, которые являются источниками зарождения и развития трещин.

Газообразная или жидкая внешняя среда, проникая (диффундируя) в конструкцию, взаимодействует с её материалом на

химическом или физическом уровне и ослабляет или усиливает внутренние связи в материале. Прочностные характеристики при этом изменяются. Так как концентрация внешней среды в материале конструкции в различных его точках разная, то неоднородность свойств будет функцией концентрации среды и, следовательно, функцией пространственных координат.

Взаимодействие материала с физическими полями также может привести к появлению неоднородности свойств материала. При возникновении в конструкции высокоградиентных температурных полей характеристики материалов изменяются в направлении температурного градиента. На практике применяются различные технологические приемы упрочнения поверхностных слоев конструктивных элементов. Например, науглероживание (плакирование) поверхности, обработка поверхности давлением (наклёп) и другие.

Для построения феноменологических математических моделей большое значение имеют экспериментальные исследования. Поэтому особое значение приобретает разработка целенаправленной программы их проведения в интересах специалистов-расчётчиков. Существенным при этом является то, что целью программы проведения экспериментальных исследований должны быть накопление и анализ данных, необходимых для построения математической модели и осуществления её полной и корректной идентификации.

Будем различать два типа неоднородности: технологическая неоднородность, предусматриваемая в процессе проектирования конструкции, которая не изменяется с течением времени, и развивающаяся неоднородность, параметры которой изменяются с течением времени под действием агрессивных (коррозионных) факторов внешней среды.

Если технологическими приемами создать неоднородность свойств материала по толщине конструкции путем увеличения прочностных характеристик поверхностных слоев, то можно существенно повысить несущую способность конструкции. При использовании диффузионных технологий упрочнения на поверхности конструкции образуется слой с улучшенными механическими характеристиками, плавно изменяющимися по толщине. Плакирование поверхности одновременно может служить и защитой от проникновения агрессивной среды в материал конструкции, другими словами - играть роль защиты от коррозии. В этих случаях вводится понятие о фронте неоднородности - поверхности, разделяющей неоднородный и исходный однородный материалы конструкции.

Технологии усиления поверхностных слоёв могут быть различными. Если диффундирующий материал вступает в химиче-

ское взаимодействие с исходным материалом с образованием веществ с повышенными механическими характеристиками, то также будет создан слой с неоднородными прочностными характеристиками. В этих случаях также исключается появление в точках фронта неоднородности концентраторов напряжений, которые являются источниками зарождения и развития трещин.

В инженерной практике применяются пористые материалы, которые обладают рядом преимуществ. В общем случае диаграммы деформирования пористых материалов являются нелинейными. По толщине упрочнённых слоёв свойства материала изменяются по нелинейному закону, который определяется применяемой технологией. По мере удаления от фронта неоднородности нелинейные диаграммы деформирования получат качественные изменения. Анализ этих кривых позволит построить поверхность неоднородности материала в координатах (а, е, ¿), где а.- интенсивность напряжений, е.- интенсивность деформаций, г - координаты точек по глубине слоя с неоднородными свойствами. Эти задачи следует рассматривать с позиций физической нелинейности.

При расчёте неоднородных оболочек кроме расчета на прочность необходима проверка на устойчивость. Для определения критических нагрузок оболочки необходимо привлекать также и геометрическую нелинейность. Работ в этом направлении в России и за рубежом публикуется мало. Практически отсутствуют работы по исследованию геометрически и физически нелинейных неоднородных тонкостенных оболочек.

Технологическая неоднородность описывается с помощью структурных параметров, которые называют также функциями неоднородности. Эти параметры различными способами вводятся в физические уравнения фундаментальной системы уравнений. Неоднородность свойств материала характеризуется тем, что в различных точках материала такие интегральные характеристики, как диаграммы деформирования, - различны, и структурные параметры должны описывать эти различия.

В различных областях техники, в том числе и в строительстве, конструкции часто работают в средах, агрессивных по отношению к применённым материалам. В результате их взаимодействия с материалом конструкции прочностные и деформационные характеристики материала со временем изменяются, - как правило, в худшую сторону. Агрессивные среды диффундируют в материал конструкции и снижают его прочностные характеристики. С течением времени это, с одной стороны, приводит к перераспределению напряжений в конструкциях, а с другой стороны - к снижению предела временной прочности деградирующего материала. Под деградацией свойств материала, согласно ГОСТ Р 54257-2010, понимаем постепенное ухудшение характеристик материалов относительно проектных значений в процессе эксплуатации или консервации объекта. Процессы деградации происходят во времени, и наступает момент, когда начинается разрушение материала. Если разрушение материала сопровождается появлением рассеянных микротрещин, то эти микротрещины с течением времени образуют магистральную трещину, скорость

роста которой велика. Наступает аварийная ситуация со всеми вытекающими проблемами. Возникает проблема определения долговечости конструкции расчетным путем еще на стадии проектирования, то есть определения времени от начала её эксплуатации до момента наступления опасного состояния. Это позволит определить срок планового ремонта конструкции или её замены.

В случае развивающейся неоднородности математическая модель строится следующим образом. В фундаментальную систему уравнений, описывающую напряженно-деформируемое состояние конструкции, вводятся функции, учитывающие: изменение толщины (поверхностная коррозия), накопления рассеянных повреждений, деградации прочностных свойств материала, конфигурации кривых деформирования исходного материала. Эти функции должны зависеть от пространственных координат и времени, и они вводятся в физические уравнения фундаментальной системы уравнений. Для того чтобы число неизвестных функций соответствовало числу уравнений, необходимо сформулировать дополнительные кинетические уравнения, которые связывают скорость изменения введённых дополнительных функций с функциями, определяемыми в результате экспериментальных исследований.

Кинетические уравнения представляют собой математическую модель изменения во времени того или иного параметра конструкции или материала. Они не описывают те физико-химические процессы, которые вызвали эти изменения, и опираются лишь на гипотезы и предположения феноменологического характера, являясь математической формализацией полученных экспериментальных данных. Поэтому кинетические уравнения не могут претендовать на большую общность и пригодны лишь для получения разумного приближения при описании ограниченного класса явлений.

В ряде случаев привлекаются уравнения диффузии, с помощью которых описывается распределение внешней среды по толщине конструкции, принципы и уравнения термодинамики и другие физические уравнения. С точки зрения термодинамики эти процессы являются необратимыми. Кроме того, используются результаты таких разделов науки, как материаловедение, металлофизика, теория адсорбции, физико-химическая механика материалов и т.д.

Интенсивность воздействия на материал конструкции рабочей среды зависит от её концентрации в единице объёма материала. С увеличением концентрации наблюдается заметное изменение временного сопротивления материала ав и увеличение степени нелинейности кривой деформирования. Для моделирования свойств материала важно знать: концентрацию рабочей среды в материале; его химическую активность, характеризующую уровень химических превращений при взаимодействии материала со средой; параметры, оценивающие равномерность распределения среды или поврежденности по объёму тела, температуру, скорость деформирования и тому подобное.

Согласно теории структурных параметров, для любого процесса, происходящего в сплошной среде, необходимо построить

некоторое уравнение состояния, в котором характеристики процесса являются функциями параметров внешнего воздействия и структурных параметров. При построении таких уравнений обычно полагается, что структурные параметры - макроскопические, и их можно вводить формально, но при необходимости им можно придать и некоторый физический смысл. Используя эти уравнения, можно определить характеристики процессов деформирования, не исследуя при этом микроструктуру материала. В общем случае структурные параметры вводятся с помощью гипотез, опирающихся на экспериментальные исследования.

В моделях определения долговечности конструкций применяются феноменологические теории предельного состояния (разрушения) в локальной области. Это так называемые континуальные феноменологические теории, учитывающие накопление тех или иных дефектов [1] (континуальная теория микротрещин [2], континуальная теория дислокаций [3]), которые вызываются взаимодействием агрессивной внешней среды, проникшей в толщу конструкции, с её материалом. Согласно флуктуационно-временной теории прочности, разрушение твёрдого тела представляет собой развивающийся во времени процесс необратимого распада атомных и молекулярных связей. Вероятность разрыва этих связей определяется энергетическим барьером, величина которого зависит от величины напряжения и химической энергии агрессивной среды.

В данной статье, с учётом ограниченности её объема, будем рассматривать только технологическую неоднородность применительно к тонкостенным пологим оболочкам. Для решения поставленной задачи необходимо на основе фундаментальных представлений механики деформируемого неоднородного твёрдого тела построить теорию неоднородных пологих оболочек. Представляют интерес диффузионные модели, когда под действием упрочняющей среды образуется слой, механические характеристики которого плавно изменяются по толщине конструкции, и слой с деградирующими или улучшенными механическими характеристиками.

Известно, что фундаментальная система уравнений механики сплошных сред состоит из трех групп уравнений: статических, геометрических и физических. Статические и геометрические уравнения не содержат параметров, отражающих свойства материала. Такие параметры содержатся в физических соотношениях. В теории упругости - это уравнения обобщённого закона Гука, а в случае нелинейного деформирования материала необходимо добавить уравнения теории пластичности. Будем в дальнейшем использовать теорию малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина. Если рассматривается конструкция, обладающая свойствами ползучести, то необходимо использовать соответствующие уравнения теории ползучести.

При построении математической модели считаем, что в общем случае диаграммы деформирования материала и в естественном состоянии, и в деградированном или упрочнённом состоянии - нелинейные. Полагаем, что в исходном состоянии по глубине деградированных или упрочнённых слоев свойства материала изменяются по нелинейному закону. Таким образом,

с помощью диаграммы деформирования в расчетную модель оболочки вводится неоднородность свойств материала, и механические характеристики материала становятся непрерывными функциями пространственных координат. Такую неоднородность называют непрерывной. Изменение механических характеристик материала определяется на основании экспериментальных данных. Для выполнения расчетов экспериментальные данные аппроксимируются подходящими математическими выражениями или оцифровываются.

При решении сформулированной проблемы математическая модель пологих неоднородных оболочек строится следующим образом. В физические уравнения вводится функция неоднородности материала, учитывающая изменение секущего модуля по толщине неоднородного слоя. В ряде случаев добавляется уравнение диффузии, с помощью которого формулируется закон изменения функции неоднородности по толщине оболочки.

Расчёт оболочек неоднородных по толщине в общем случае связан с учетом нескольких нелинейностей: геометрической нелинейности, нелинейной диаграммы деформирования исходного материала, нелинейных диаграмм в точках слоя неоднородности. Совокупность статических, геометрических, физических и кинетических уравнений, рассматриваемых вместе с граничными и начальными условиями, порождает нелинейное операторное уравнение, описывающее рассматриваемую задачу. Использование нелинейной теории оболочек, осложнённой технологической или развивающейся неоднородностью механических свойств, приводит к необходимости создания алгоритмов решения сложных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Так как аналитическое решение этих уравнений невозможно, то возникает принципиальная проблема разработки эффективных способов их линеаризации и построения определяющих уравнений, а также разработки эффективных алгоритмов численной реализации полученных уравнений.

Для решения сформулированной нелинейной проблемы построены инкрементальные линейные уравнения, последовательное решение которых позволяет получить решение интересующей нас нелинейной задачи. Вывод этих уравнений приведен в нашей работе [4].

Присваивая индекс п в качестве номера этапа последовательного нагружения, приведем без вывода линейную инкрементальную систему уравнений, описывающую напряжённо-деформированное состояние оболочек с учётом геометрической и физической нелинейностей [5]:

Ц 1^+1+^12^1= 0 | -П21Д (рп+х + П22Дм;я+1 = А?„+1) здесь введены следующие обозначения дифференциальных операторов:

где вместо точек надо поставить функцию, на которую действует оператор.

В (1) и (2) приняты следующие обозначения: Дф - приращение функции усилий, с помощью которой определяются осевые (мембранные) усилия в оболочке, Д^ - приращение прогиба срединной поверхности оболочки. Эти приращения вызваны приращением нагрузки Дд. Суммарный прогиб и суммарная функция усилий обозначены соответственно Щ(х, у) и ф(х, у). Переменные жёсткости неоднородной оболочки на растяжение-сжатие и изгиб Зк(х, у) и Бк(х, у) определяются по формулам:

h (х>У')= т J E*kdz, Dk(x,y) = - J E'kz2dz,

(3)

где Е*к =Еку/(г), Ек (х,у,г) - касательный модуль, а цг(г) -функция неоднородности материала, /? - толщина оболочки. Оси х,у направлены вдоль плана сторон оболочки, а ось г направлена вниз нормально плану оболочки.

В дифференциальных операторах [4, с. 42] использованы следующие обозначения: V2- оператор Лапласа; оператор д2 д2

У2к =к2 ——т ~ оператор Власова, зависящий от глав" дх ду

ных кривизн оболочки к1Гк2; нелинейный дифференциальный оператор Ь(Л, В) определяется формулой:

L(A,B) =

д2А д2В дх2 ду2

д2А д2В ду2 дх2

-2

д2А д2В

(4)

дхду дхду

Из системы уравнений (1) можно получить уравнения для различных частных случаев. Если учитывается только геометрическая нелинейность, то операторы (2) имеют вид:

022=£>У4-1(р„,...) (5)

В уравнениях, учитывающих только физическую нелинейность, дифференциальные операторы (2) имеют следующий вид:

Q,

—

2 ujk;n,...)

= V

(6)

Q,

Численная реализация линейных дифференциальных уравнений (1) на каждом этапе нагружения осуществлялась методом сеток размером 32*32. Этот размер сетки был выбран в результате пробных расчётов, в которых применялись сетки других размеров, и сравнением полученных результатов с результатами, полученными методом Ньютона-Канторовича, обладающим высокой точностью, но значительно более громоздким, чем метод сеток. Для вычисления определённых интегралов типа (3) применён метод Симпсона с разбиением интервала интегрирования на 256 частей. Исследования показали, что при численной реализации для уменьшения погрешностей линеаризации уравнений и сокращения времени счёта эффективен разработанный автором [6] метод двухшагового последовательного возмущения параметров.

Функцию неоднородности р(г) задаем в виде экспоненты: /1111 \

y/(z) = ехр

Fl-Fol

h!2~\zn

Г In К

(7)

Чтобы получитьуравнение изгиба пластинки, следует в этих выражениях опустить оператор V2.

При решении конкретных задач необходимо сформулировать в каждой точке контура оболочки по четыре граничных условия, два из которых формулируются через приращение прогиба Aw(x, y), а два - через приращение функции усилий Аф(х, у).

В качестве примера рассмотрим пологую оболочку на квадратном плане с размерами 2а*2а под действием равномерно распределённой поперечной нагрузки q. Полагаем, что по контуру оболочка опирается на диафрагмы жёсткие в своей плоскости и гибкие из своей плоскости. Такая схема опоры называется подвижным шарниром. Толщину упрочнённого слоя обозначим s, относительная толщина упрочнённого слоя к = s/h.

где г0 - координата фронта упрочнения (линия, разделяющая упрочненный слой материала оболочки от исходного), а коэффициент К есть отношение временного сопротивления упрочняющего материала к временному сопротивлению исходного материала. В точках фронта упрочнения г = г0 функция неоднородности р(г0) =1, в упрочнённом слое функция неоднородности изменяется по экспоненциальному закону, а в исходном материале при |г0| > |г| > 0 функция неоднородности равна единице. В точках фронта упрочнения функция неоднородности не имеет разрыва, поэтому фронт упрочнения не является концентратором напряжений.

Исследуем напряжённо-деформированное состояние оболочки в зависимости от изменения безразмерной нагрузки р = 16даЧЕ^ (здесь Е0 - модуль упругости исходного материала), безразмерных параметров X и K и безразмерных параметров кривизны к = 4ka2/h, к^ = 4куа2№.

Исследования показали, что в отличие от кривой «нагрузка - прогиб в центре», кривая «нагрузка - максимальный прогиб» является монотонной при любых параметрах кривизны оболочки и не содержит в окрестности критической нагрузки петель. Эти кривые показаны на рисунке 1, где номера кривых соответствуют величине параметра неоднородности К. При K = 1 неоднородность отсутствует.

Левые кривые рисунка 1 построены для весьма пологой оболочки с параметрами кривизны к = к = 20. Относительная

О 0,5 1,0 1,5 2,0

Рис. 1.

толщина упрочненного слоя X = 0,25. Так как рассматриваются тонкие оболочки, то такая величина параметра X является технологически достижимой.

Правые кривые (рис. 1) получены для оболочек с параметрами кривизны к{ = =60. Относительная толщина упрочненного слоя X = 0,25. Максимальный прогиб с ростом параметра кривизны и нагрузки перемещается по плану оболочки от её центра к центрам её четвертей. Величина верхней критической нагрузки с ростом параметра неоднородности К существенно возрастает по сравнению с однородной оболочкой. С ростом параметра кривизны величина верхней критической нагрузки неоднородной оболочки увеличивается в два раза.

Анализ зависимостей «нагрузка - прогиб в центре» показывает, что перед потерей устойчивости происходит уменьшение прогибов в центре оболочки и рост максимальных прогибов в области центров четвертей оболочки. Петлеобразование в окрестности верхней критической нагрузки наблюдалось во всех рассмотренных случаях.

На рисунке 2 показаны эпюры распределения интенсивности напряжений по толщине оболочки в центре её четверти. Параметры кривизны оболочки: к^ = кп = 20, относительная толщина упрочнённого слоя X = 0,25. Номера кривых численно равны коэффициенту неоднородности К.

Левые эпюры распределения интенсивностей напряжений по толщине оболочки получены при нагрузках, составляющих 90% от критической для каждой кривой с соответствующим значением коэффициента неоднородности К. На рисунке 1 эти нагрузки отмечены четырехконечной звёздочкой. Следует отметить, что в исходном материале величина интенсивности напряжений не изменяется при увеличении коэффициента неоднородности К.

Правые эпюры на рисунке 2, показывающие распределение интенсивностей напряжений по толщине оболочки, получены при нагрузке, составляющей 90% от критической нагрузки однородной оболочки. На рисунке 1 они отмечены пятиконечными звёздочками. Видно, что с ростом коэффициента К интенсивность напряжений в исходном материале уменьшается, а в упрочнённом слое она возрастает.

Анализ эпюр показывает, что наличие технологической неоднородности приводит к существенному перераспре-

Рис. 2.

делению напряжений. Так как малый объём неоднородной оболочки подчиняется всем закономерностям, справедливым для условий статической неопределимости, то по сравнению с однородной оболочкой в нём наблюдается перераспределение напряжений по толщине оболочки. Там, где прочностные характеристики выше, напряжения возрастают, а в исходном материале - уменьшаются. Поэтому в оболочке с упрочнёнными слоями даже при нагрузках, близких к критическим, максимальная интенсивность напряжений в точках исходного материала ниже, чем в однородных оболочках при действии значительно меньшей нагрузки. Важным является то обстоятельство, что с увеличением прочностных характеристик диффундирующего материала напряжения в основном материале заметно снижаются, что создает существенный (до двух раз) запас прочности в исходном материале, имеющем невысокие прочностные характеристики.

Разработанный метод решения, алгоритмы и разработанный программный комплекс позволяют выполнять разнообразные практические расчеты неоднородных балок, пластинок и пологих оболочек. Численные примеры показали возможность получения существенной экономии расхода и стоимости материалов конструкции.

Выявление предельных состояний оболочек требует обязательного учёта и геометрической, и физической нелинейности. Игнорирование физической нелинейности в неоднородных оболочках приводит к погрешности в величинах напряжений порядка 20-30%.

Проведённое исследование позволяет сделать вывод, что при проектировании оболочек создание технологической неоднородности по их толщине в виде упрочнённых поверхностных слоев позволяет регулировать весовые характеристики конструкции и создавать запас её прочности и устойчивости. Кроме того, применение легких пористых материалов при возведении оболочек позволяет одновременно решать и другие проблемы, связанные, например, с шумопоглощением, морозостойкостью и теплоизоляцией.

По нашему мнению, развитие современного материаловедения должно осуществляться в направлении создания функционально-градиентных композиционных материалов [7, 8], разработке таких технологий создания конструкций, когда прочностные характеристики материала изменяются по сечению конструкции в соответствии с условиями эксплуатации. Наличие макронеоднородности материала приводит к существенному изменению напряженно-деформированного состояния конструкций. Учет неоднородности структуры материала и его физико-механических свойств является одним из важных направлений при разработке перспективных строительных конструкций и методов их расчёта. Это позволит эффективно использовать прочностные возможности материалов, получить экономический эффект за счёт уменьшения толщины неоднородной конструкции (постоянная нагрузка снижается за счёт уменьшения собственного веса) и расхода материала.

Литература

1.Друкер,Д. Континуальный подход к проблеме разрушения металлов. Механика: Сб. переводов иностранных статей / Д. Друкер. - М.: Мир, 1964. - С. 107-150.

2. Канаун, С.К. Квазихрупкое разрушение металлов / С.К. Канаун, А.И. Чудновский // Труды ЦКТИ, вып. 109. - Л., 1971.

3. Крёнер, Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений / Э. Крёнер. - М.: Мир, 1965.

4. Петров, В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика / В.В. Петров // М.: Инфра-Инженерия, 2014. - С. 480.

5. Петров, В.В. Расчёт неоднородных пологих оболочек с двумя видами нелинейности / В.В. Петров, И.В. Кривошеин // Вестник ВолГАСУ. Строительство и архитектура. Вып. 31 (50). Ч. 2, строительные науки. - 2013. - С. 392-398.

6. Петров, В.В. Двухшаговый метод последовательного возмущения параметров и его применение к решению нелинейных задач механики твёрдого деформируемого тела / В.В. Петров // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Межвуз. научн. сб. - Саратов: СГТУ, 2001. - С. 6-12.

7. Селяев, В.П. Функционально-градиентные композиционные строительные материалы и конструкции / В.П. Селяев, В.А. Карташов, В.Д. Климентьев, А.Л. Лазарев. - Саранск: Изд-во МГУ, 2005. - С. 160.

8. Соломатов, В.И. Химическое сопротивление композиционных строительных материалов / В.И. Соломатов, В.П. Селяев. - М.: Стройиздат, 1987. - С. 264.

Literatura

1. Druker D. KontinuaL'nyj podhod k probleme razrusheniya metallov. Mehanika. Sb. perevodov inostrannyh statej / D. Druker. - M.: Mir, 1964. - S. 107-150.

2. Kanaun S.K. Kvazihrupkoe razrushenie metallov / S.K. Kanaun, A.I. Chudnovskij // Trudy CKTI, vyp. 109. - L., 1971.

3. Krener E. Obshhaya kontinual'naya teoriya dislokacij i sobstvennyh napryazhenij / E. Kryener. - M.: Mir, 1965.

4. Petrov V.V. Nelinejnaya inkremental'naya stroitel'naya mehanika / V.V. Petrov // M.: Infra-Inzheneriya, 2014. - S. 480.

5. Petrov V.V. Raschet neodnorodnyh pologih obolochek s dvumya vidami nelinejnosti / V.V. Petrov, I.V. Krivoshein // Vestnik VolGASU. Stroitel'stvo i arhitektura. Vyp. 31 (50). CH. 2, stroitel'nye nauki. - 2013. - S. 392-398.

6. Petrov V.V. Dvuhshagovyj metod posledovatel'nogo vozmushheniya parametrov i ego primenenie k resheniyu nelinejnyh zadach mehaniki tverdogo deformiruemogo tela / V.V. Petrov // Problemy prochnosti elementov konstrukcij pod dejstviem nagruzok i rabochih sred. Mezhvuz. nauchn. sb. Saratov: SGTU, 2001. - S. 6-12.

7. Selyaev V.P. Funkcional'no-gradientnye kompozicionnye stroitel'nye materialy i konstrukcii / V.P. Selyaev, V.A. Kartashov, V.D. Kliment'ev, A.L. Lazarev. - Saransk: Izd-vo MGU, 2005. - S. 160.

8. Solomatov V.I. Himicheskoe soprotivlenie kompozicionnyh stroitel'nyh materialov / V.I. Solomatov, V.P. Selyaev. - M.: Strojizdat, 1987. - S. 264.