Определение коэффициента теплоотдачи соленоида на основе решения обратной задачи теплообмена Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 517.958; 536.2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛООТДАЧИ СОЛЕНОИДА НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА

© 2012 г. Ю.А. Бахвалов, В.В. Гречихин, А.Н. Грекова

Южно-Российский государственный South-Russian State

технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)

Предложен вариант натурно-модельного метода и алгоритм определения коэффициента теплоотдачи объекта на основе решения обратной задачи теплообмена. Рассмотрена реализация метода на примере определения коэффициента теплоотдачи соленоида.

Ключевые слова: коэффициента теплоотдачи; соленоид; обратная задача теплообмена;, алгоритм; уравнение нестационарной теплопроводности.

The alternative of a full-scale-model method and algorithm of definition of the heat transfer coefficient of the object on the basis of the solution of an inverse problem of heat exchange is offered. Method implementation on an instance of definition of the heat transfer coefficient of the solenoid is observed

Keywords: heat transfer coefficient; the solenoid; a heat exchange inverse problem; algorithm; the equation of non-stationary heat conductivity.

Как было отмечено ранее [1], эффективность применения математического моделирования теплообмена при проектировании в электромеханике, энергетике и других областях техники зависит от адекватности математических моделей тепловых процессов. Поэтому большое значение придается созданию и развитию натурно-модельных методов идентификации параметров моделей. В основу таких методов положены решения обратных задач теплообмена, которые в рассматриваемом в работе случае являются единственным средством получения необходимой информации.

Рассмотрим задачу определения коэффициента теплоотдачи а! от внутренней цилиндрической поверхности соленоида, имеющий радиус г = г1 (рис. 1), к окружающему воздуху с температурой Токр.

2

соленоида (область 2), представляемой сплошной средой. Коэффициент теплоотдачи а2 от внешней поверхности соленоида к окружающему воздуху определялся по измеренным на поверхности температуре и тепловому потоку.

На внутренней поверхности соленоида из-за малости диаметра 2г1 можно измерить лишь температуру. Поэтому сформулируем следующую обратную задачу: требуется определить коэффициент теплоотдачи а! от внутренней поверхности соленоида к окружающему воздуху с температурой Токр и распределение температуры в соленоиде, удовлетворяющей начально-краевой задаче, описанной в работе [1], если известна дополнительная информация - зависимость

Ти (м *, 11, полученная путем измерения в точке М * (рис. 2) с погрешностью ДТи на интервале времени [0, ^ ].

Функция Ти (м*, 11 в нашем случае представлена

таблицей. Поэтому коэффициент теплоотдачи а! будем определять с помощью численного итерационного процесса минимизации функционала

1 д («1 )=!

j=1

т (M *, tj)-T (M *, tj)]

Рис. 1. Эскиз соленоида: 1, 2, 3 - номера областей

Параметры соленоида и математическая модель нестационарной теплопроводности для решения прямой задачи приведены в работе [1]. Там же получены эквивалентные параметры многовитковой обмотки

где п - количество измерений на интервале [0, tи ].

Сформулированная задача относится к классу граничных обратных задач. В работах [2, 3] доказаны существование и единственность решений подобных задач. Устойчивость решения по отношению к погрешности измерений будет оценена далее.

Сведем решение поставленной обратной задачи к последовательности решений начально-краевых задач, описанных в [1], методом конечных элементов (МКЭ).

2

L

h

T (n)( M *, t}

j = 1,2,...,п , 1д (а(п)), а|"+1)=а("^+Да1. Выбор

знака перед Да1 должен обеспечить уменьшение зна-

т I ("+1)\ чения IдIа1 'I.

2. Решение прямой начально-краевой задачи МКЭ Определение распределения темпера-

с а, = а

(п+1) = г/ ~ '

туры, T(п+1)(M*,tj) , /д (а("+1)) .

3. Проверка выполнения критерия останова вычислений

I д 1а:

(а( "+1)):

(1)

определение а

>+2)

Если применить метод секущих [4], то а|"+2) определяется по формуле

((а1"+1))(а1"+1) -а|и))

а

I а

>+ 2) = а("+1)__^ 1

I д' а

(а1"+1))-1д (а|"))

5. Возврат к этапу 2.

Для оценки устойчивости решения к погрешностям измерений необходимо вычислить

("+2) (") а1 - а1

_ За!

Jt ~-~ max —— w , ч

Ти дти j=\+n T (n+2)( N *, t})- T(n)( N *, t})

Далее можно определить погрешность Да! = JT„ Ати.

(2)

(3)

0

Рис. 2. Область расчета с конечно-элементной сеткой (709 элементов). М, N - точки установки термопары

Выберем начальное приближение а(0) и величины шагов Да1 и Дt.

Итерационный цикл алгоритма определения а! и распределение температуры в соленоиде состоит из следующих этапов [1]:

1. Решение прямой начально-краевой задачи МКЭ

с а1 = а(п). Определение распределения температуры в соленоиде, а следовательно, тч"| М , t,■

Перейдем непосредственно к решению сформулированной обратной задачи.

Как отмечено выше, параметры объекта исследования приведены в работе [1]. В таблице имеется дополнительная информация: результаты измерений температуры в точке М* (г = 12-10-3 м; г = 0) и температуры окружающего соленоид воздуха (погрешность измерений ДТи =+0,2 °С) при питании обмотки соленоида от источника постоянного тока напряжением и = 18,75 В, силой тока I = 7,53 А.

Результаты измерения температуры соленоида

t, мин 0 5 10 15 20 25 30

Ти (Mt) , °С 22 24,5 29,3 33,8 38,6 43,2 47,8

T °С 1 окр ^ 22 22 22 22 22 22 22

Полагаем а(0) = 5,0 Вт/(м2-К), Да1 = 0,5 Вт/(м2-К), Д = 5 мин, 8 = 10-4

Область расчета приведена на рис. 2. Применив описанный выше алгоритм, получим на пятой итерации а1 = 6,5 Вт/(м2-К).

Т(М) °С

где 8 - эмпирический коэффициент, который выбирается так, чтобы вычислительная погрешность была существенно меньше погрешности измерений.

В случае выполнения условия (1) в качестве решения обратной задачи принимаются результаты, полученные на этапе 2.

Если условие (1) не выполняется, то переход к этапу 4.

4. Решение нелинейного уравнения 1д (а1) = 0 ,

Рис. 3. Результаты измерений и расчета температуры в точке М -в- - расчет; —е— эксперимент

Определим чувствительность JT и погрешность а1 , используя формулы (2) и (3).

JT =

За,

тах -

(и+2) (n) а1 - а1

и Т j=1,nTH(n+2)(m*,tj)-TH(n)(M*, tj)

= 7,0 - 6,0 = 0,63.10-3; 48,5 - 50,1

Да1 = JT ДТи =+0,63 • 0,2 « ±0,13 Вт/(м2-К).

z

Относительная погрешность определения а1 предложенным методом не превышает 2 %.

Среднеквадратичное отклонение т[м",г) от Ти (м*,г) при найденном значении а1 на интервале [0, 30 мин]

составило 1,3 °С (рис. 3), что вполне приемлемо.

Построенные математическая модель и алгоритм позволили определить распределение температуры в соленоиде в установившемся режиме (рис. 4), который был достигнут в течение 12 ч, а также зависимости Т [м *, г1, Т [N *, г1 (рис. 5) и установившиеся

температуры Туст [м*) = 173,4 °С, Туст (N*) = 80,9 °С.

m P ЕЯ S

1 1714 : ; 1 1 Ii 207

■ и 1 Г

Г

M h 1,41

Рис. 4. Распределение температуры по сечению соленоида в установившемся режиме

Проверим выполнение первого закона термодинамики в установившемся режиме - равенство подведенной мощности к обмотке соленоида сумме мощностей тепловой энергии, отдаваемых от поверхностей соленоида в окружающее пространство,

UI - а^нут T уст ( M • )-T 1 / окр +

+а 2^неш T уст ' N ') - T окр ' (4)

где SBHyT -n2r1L - 3,14 • 24 -10-3 • 505 -10-3 = 0,0384 м2; SBHPm =л2г3L - 3,14 • 0,1-505-10-3 = 0,1586 м2.

г 11 ICI 11 D ' ' '

Поступила в редакцию

На основании (4) получим 18,75х 7,53 = 6,5х 0,0381х х [173,4 - 22)+11,1 х 0,1586х [80,9 - 22) или 141,2 и 141,17.

Т,°С 160

140

120

100

80

60

40

20 0 4 8 12 16 г, ч

Рис. 5. Графики зависимости температуры в точках М и N * от времени: 1 - Т(М, г); 2 - Т(^, г)

Таким образом, в работе показано, что коэффициент теплоотдачи объекта исследования и распределение температуры в нем можно с приемлемой точностью оценить на основе решения обратных задач теплообмена.

Построенные модель и алгоритм позволяют определить максимальную температуру объекта, а также существенно (в нашем случае в 24 раза) сократить время тепловых испытаний и затрат электроэнергии.

Литература

1. Бахвалов Ю.А., Гречихин В.В., Грекова А.Н. Определение эквивалентного коэффициента теплопроводности много-витковой обмотки соленоида на основе решения обратной задачи теплообмена // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2012. № 1. С. 81 - 84.

2. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М., 1988. 288 с.

3. Структурные свойства динамических систем и обратные задачи математической физики / В.Т. Борухов [и др.] // ИФЖ. 2005. Т. 78, № 2. С. 3 - 15.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., 1973. 632 с.

2 февраля 2012 г.

ч

4 2

Бахвалов Юрий Алексеевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Прикладная математика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 255-326. Гречихин Валерий Викторович - д-р техн. наук, доцент, кафедра «Информационные и измерительные системы и технологии», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 255-240. E-mail: [email protected]

Грекова Анна Николаевна - аспирант, кафедра «Прикладная математика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 255-326. Bachvalov Yury Alekseevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Applied mathematics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 255-326.

Grechikhin Valeriy Viktorovich - Doctor of Technical Sciences, assistant professor, department «Information-Measuring and Medical Technics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 2-55-214. E-mail: [email protected]

Grekova Anna Nikolaevna - post-graduate student, department «Applied mathematics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 255-326.