CC BY
64
УДК 517.958; 536.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАМАГНИЧЕННОСТЕЙ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ В СОСТАВЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАШИНЫ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ
Ю.А. Бахвалов, В.В. Гречихин, А.Н. Грекова
Предложен подход к определению намагниченностей постоянных магнитов в составе электрической машины с различной ориентацией искомых модулей векторов намагниченности по измеренным значениям нормальной составляющей магнитной индукции в нескольких заданных точках машины на основе решения обратной задачи магнитостатики
Ключевые слова: постоянный магнит, намагниченность, магнитная индукция, обратная задача
При создании электрических машин с постоянными магнитами возникает необходимость определить намагниченности магнитов после технологических операций, например, сушки изоляции машины после ее сборки.
В настоящей работе рассматривается задача определения намагниченностей постоянных магнитов электрической машины на основе информации об измеренных значениях нормальных составляющих магнитной индукции в доступной для измерения части машины - в воздушном зазоре.
При этом обобщается описанный ранее в [1] подход на случай многополюсной беспазовой машины с различной ориентацией векторов намагни-ченностей постоянных магнитов.
В качестве примера рассмотрим машину, имеющую 9 пар полюсов, которые составлены из ради-ально и тангенциально намагниченных постоянных магнитов. На рис. 1 приведен сектор машины - область расчета магнитного поля с граничными условиями:
на линии АВ:
дф/дп =0, на линиях АЕ и ВЕ:
ф = 0 .
Искомыми величинами являются значения модулей намагниченностей М1 и М2 однородно намагниченных постоянных магнитов.
B
Бахвалов Юрий Алексеевич - ЮРГПУ (НПИ), д-р техн.
наук, профессор, тел. 8-928-600-28-64
Гречихин Валерий Викторович - ЮРГПУ (НПИ), д-р
техн. наук, профессор, e-mail: [email protected]
Грекова Анна Николаевна - ЮРГПУ (НПИ), аспирант,
e-mail: amia [email protected]
Направления векторов M1 и M2 показаны на рис. 1. Известными являются геометрия машины, значения магнитных проницаемостей m подобластей, а также измеренные значения нормальной составляющей магнитной индукции в n равномерно расположенных точках зазора на линии CD.
Магнитостатическое поле электрической машины описывается следующей системой уравнений
rot H = 0,
div B = 0,
а также материальными соотношениями:
- в области постоянных магнитов:
B = m0( H+м);
- в зазоре и немагнитном валу:
B = moH;
- в статоре:
B = mH.
На границах раздела сред с различными магнитными проницаемостями m+ и m- имеют место условия непрерывности:
H+=H; ; B+= B-.
На основе уравнения
rot H = 0
введем скалярный магнитный потенциал j соотношением
grad j = -H .
Тогда система приведенных выше уравнений и граничных условий преобразуется к виду
div m, grad j( i] = 0, i = 0,1,2,3, (1)
где i - номер подобласти D,, j(i] - скалярный магнитный потенциал в Di.
На границе раздела сред Г, имеем
ф, = ф,+1;
m,j = m,+ij-(-i)'+1 мп:,, = o,i. (2)
dn dn '
На Г соответственно
а на Г
ф, = ф,+i;
dj, 5j,+i dn dn
Фз = o:
(3)
(4)
где ф( - скалярный магнитный потенциал на границе Г, Мп - значение нормальной составляющей намагниченности постоянного магнита на границе
Г (■ = 0,1).
Магнитное поле считаем плоскопараллельным. Таким образом, приходим к следующей обратной задаче: найти модули намагниченностей М1 и М2 постоянных магнитов и распределение магнитной индукции в секторе электрической машины, имея дополнительную информацию в п точках N]
воздушного зазора - значения В* (Nj) - нормальной
составляющей магнитной индукции, определенных экспериментально с погрешностью ЛВ, а также оценить устойчивость алгоритма задачи.
Определим М1 и М2 с помощью численного итерационного процесса минимизации функционала
п 2
1 д (М 2 )= Вп ( N] )- ВП( N] ) ]
]=1
методом покоординатного спуска (п - число измерений), а также решения последовательности прямых задач методом конечных элементов.
Выберем начальные приближения M¡0), M\
f( 0)
начальные шаги ЛМ1( 0) и ЛМ20 . Далее следуем алгоритму при ■ = 0,1,... :
Шаг 1. Решаем прямую задачу (1)-(4) с М1 = М1( ■) , М2 = М2( ■) и определяем распределение
ф<"(N), В'"(N), В*■ >(N]), ] = 1,
(0)
> n .
Шаг 2. Проверяем выполнение критерия
4''(М1,М2) < еЛВ, (5)
где е - эмпирический коэффициент, который выбирается так, чтобы вычислительная погрешность была существенно меньше погрешности измерений.
Если условие (5) выполняется, то решение получено, если не выполняется, то переходим к следующему шагу.
Шаг 3. Положим
Mi,+i) = Mi¿) + AMj¿):
M
(^ -\A.).
=M{;> +AM2
(,)
и переходим к шагу 1.
Численное решение получено при следующих значениях параметров:
гсв = 16,5 мм;
Л 0) = М (0) =
г0 = 5 мм; ri = i4 мм;
r2 = i8 мм;
r3 = 25 мм;
Mi0) = M20) = 900000 А/м; ДЦ(0)=AM20) = 25000 А/м; AB = 0,0i Тл; a = 20°; e = i0-4; m = i03|m0; n = 7. Измеренные значения B* (N.) даны в табл. i.
Таблица i
j i 2 3 4 5 6 7
tN., мм 0 0,96 i,92 2,88 3,84 4,80 5,76
B'„, Тл 0 -0,i4 -0,27 -0,39 -0,48 -0,53 -0,55
В табл. i tNj - координата j-й точки измерений на дуге CD.
Вычисленные
значения
Bn (Nj) при
Mi0) = M20) = 900000 А/м приведены в табл. 2.
Таблица 2
j i 2 3 4 5 6 7
tN., мм 0 0,96 i,92 2,88 3,84 4,80 5,76
Bn, Тл 0 -0,i2 -0,24 -0,35 -0,43 -0,48 -0,49
Значение 40) (М1, М2) = 1,06852 .
Погрешность в определении М1 и М2 составила 10 %. Вычисленные значения на 4-й итерации при
М14) = М24) = 975000 А/м приведены в табл. 3.
Таблица 3
j i 2 3 4 5 6 7
tN., мм 0 0,96 i,92 2,88 3,84 4,80 5,76
Bn, Тл 0 -0,i3 -0,27 -0,38 -0,47 -0,52 -0,53
Значение 1^4) (М1,М2) = 0,06635.
При этом погрешность в определении М1 и М2 составила 2,5 %. Повышение точности определения М1 и М2 достигается увеличением числа итераций.
На рис. 2 представлены рассчитанные силовые линии магнитного поля.
A
E
Рис. 2. Картина магнитного поля в секторе ABE (расчет МКЭ)
На рис. 3 представлено графическое отображение итерационного процесса. При этом сплошная линия является экспериментальной зависимостью В* (Nj) = / (х „,).
Рис. 3. Графическое отображение итерационного процесса
Вычисленные относительные числа обусловленности
3 =5Ш »г 3 =5<М)»1
1 8(в;) ' 1 5(в;) свидетельствуют от устойчивости задачи к погрешностям измерений Вп* .
Результаты работы получены при поддержке Ми-нобрнауки РФ в рамках государственного задания на проведение НИОКР.
Литература
1. Бахвалов, Ю.А. Определение намагниченности постоянного магнита в составе электрической машины на основе решения обратной задачи теории поля [Текст] / Ю.А.Бахвалов, А.Н.Грекова // Изв. вузов. Электромеханика. - 2012. - №1. - С. 34-36.
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова
DEFINITION OF PERMANENT MAGNETS MAGNETIZATION AS A PART OF ELECTRICAL MACHINES ON THE BASIS OF THE SOLUTION INVERSE PROBLEM OF MAGNETOSTATICS
Y.A. Bachvalov, V.V. Grechikhin, A.N. Grekova
An approach to the definition permanent magnets magnetizations in the electric machine with a different orientation of the magnetization vectors of the required modules from the measured values normal component of magnetic induction in the number of given points based on the machine for solving the inverse problem of magnetostatics
Key words: permanent magnet, magnetizations, magnetic induction, inverse problem
