CC BY
31
ИДЕНТИФИКАЦИЯ НАМАГНИЧЕННОСТИ В ОБЪЕМЕ ПОСТОЯННОГО МАГНИТА НА ФЕРРОМАГНИТНОМ ОСНОВАНИИ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С УЧЕТОМ ШИРИНЫ ПЕТЛИ ГИСТЕРЕЗИСА
Денисов Петр Александрович,
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ), г. Новочеркасск, Россия, nekrasoff_novoch@mail.ru
Черноиван Дмитрий Николаевич,
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ), г. Новочеркасск, Россия, npi_pm@mail.ru
Середина Полина Борисовна,
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ), г. Новочеркасск, Россия
DOI 10.24411/2072-8735-2018-10244
Исследования на тему статьи выполнены при поддержке гранта РФФИ 18-01-00204.
Ключевые слова: постоянные магниты, намагниченность, скалярный магнитный потенциал, интегральное уравнение магнитостатики, обратная задача, идентификация.
Предложено развитие метода оценки намагниченности постоянных магнитов по известному распределению магнитного поля в окружающем пространстве, отличающееся от известных методов тем, что позволяет учитывать присутствие магнитомягких ферромагнитных материалов с известными характеристиками. Применяемый в статье подход к решению задачи идентификации магнитного состояния системы постоянных магнитов и ферромагнетиков основан использовании соответствующего интегрального уравнения магнитостатики. Основной задачей исследования является определение условий применимости модификации разработанного ранее численно-экспериментального метода оценки намагниченности постоянных магнитов для диагностики электротехнических устройств с постоянными магнитами на практике. Для этого исследовано влияние пренебрежения в математической модели магнитного поля магнитным гистерезисом материала каркаса электротехнического устройства на точность результата решения обратной задачи идентификации намагниченности постоянных магнитов. Проведена серия численных экспериментов, имеющих целью установить величину отклонения рассчитываемых характеристик поля в области магнитного материала в зависимости от выбора кривых намагничивания в пределах области петли гистерезиса материала каркаса диагностируемого электротехнического устройства. При математическом моделирования наличие обмоток с током не учитывалось. Предполагается, что магнитная система состоит из постоянных магнитов и конструкционных частей из ферромагнитных материалов с известными характеристиками. Для регуляризации оператора СЛАУ применяется метод А.Н.Тихонова, основанный на минимизации стабилизирую-шего функционала.
Вычисление интегралов в пространственном интегральном уравнении осуществляется точно по аналитическим формулам. Производные в ядре уравнения вычислялись как численно, так и аналитически с учетом полученных новых соотношений. Отмечено наличие и влияние на вычислительный процесс особых точек у функций - производных ядра в начале координат, где непрерывность функций нарушается и отсутствует единственное предельное значение. Осуществляется вычис-
ление индукции, напряженности и исследование влияния формы характеристики намагничивания. На первом этапе решения по известным экспериментальным значениям индукции вне объема магнитного материала осуществляется решение обратной задачи и находятся приближенные значения намагниченности в данном объеме. На втором этапе по известной характеристике намагничивания в объеме различными способами находятся значения индукции и напряженности магнитного поля. Основная кривая намагничивания вычисляется по формуле Ланжевена. По выбранному интервалу значений магнитной напряженности согласно модели Джилса-Аттертона вычисляется петля гистерезиса.
Рассмотрена реализация метода в терминах намагниченности с различным соотношением количества ячеек разбиения области магнита и точек измерений. Для выбранной петли гистерезиса строятся огибающие петлю сверху и снизу линии. В результате решения уравнений находятся соответствующие минимальные, максимальные и средние значения напряженности, а также индукция поля. Это позволяет оценить погрешность при замене гистерезисной кривой на основную характеристику намагничивания. В качестве модельной задачи рассмотрена идентификация намагниченности прямоугольного постоянного магнита на ферромагнитной плите. Констатировано, что при малых числах измерений детальная картина поля находится с большой погрешностью, что требует осторожности при интерпретации данных экспериментов. Влияние выбора расположения точек измерений при случайном характере погрешностей измерений также значительно, особенно при малом количестве точек измерений. Исследована зависимость точности решения от значений параметра регуляризации. Показано влияние расположения точек измерений на точность идентификации магнитного поля. Изучено влияние ширины петли гистерезиса на соответствующий диапазон значений напряженности магнитного поля при решении задачи идентификации намагниченности. Полученные результаты могут использоваться также при решении обратной задачи для системы ферромагнитных тел и в тестовых задачах при использовании других методов.
Информация об авторах:
Денисов Петр Александрович, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ), доцент, Черноиван Дмитрий Николаевич, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ), магистрант, Середина Полина Борисовна, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ), бакалавр, г. Новочеркасск, Россия
Для цитирования:
Денисов П.А., Черноиван Д.Н., Середина П.Б. Идентификация намагниченности в объеме постоянного магнита на ферромагнитном основании методом интегральных уравнений с учетом ширины петли гистерезиса // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №3. С. 24-31.
For citation:
Denisov P.A., Chernoivan D.N., Seredina P.B. (2019). Identification of magnetization in a permanent magnet on a ferromagnetic basis by the method of integral equations with allowance for the width of the hysteresis loop. T-Comm, vol. 13, no.3, pр. 24-31. (in Russian)
24
✓4-4
T-Comm Том 13. #3-2019
_
1. Введение
Достижения в создании постоянных магнитов с высокой плотностью энергии на базе со м а Р и и-кобальта (SmCo) и неодим-железо-бора (Ndf-'eB) позволили создать электрические устройства с постоянными магнитами, получившие широкое применение в различных областях. Электрические двигатели с постоянными магнитами, имея более высокий коэффициент полезного действия, обладая меньшим объемом и массой на единицу мощности, применяются в электровозостроении, промышленных системах автоматики, роботах и манипуляторах, приводах подач и главного движения металлорежущих станков, координатных устройствах, принтерах и плоттерах, упаковочных печатных машинах, прецизионных системах слежения, намоточных и лентопротяжных механизмах, в авиационной и медицинской технике и других электротехнических устройствах. Благодаря возможности создавать магнитное поле без привлечения внешних источников Энергии постоянные магниты часто используются при проектировании энергосберегающих устройств. В го же время устройства с постоянными магнитами имеют одну важную технологическую особенность, связанную с возникновением риска выхода их из строя из-за локального размагничивания магнитов. Причины размагничивания могут быть следующими: бросок тока в обмотке, перегрев, механические воздействия. Наличие хотя бы одного из перечисленных факторов может привести к частичной или полной утрате свойств постоянными магнитами, к потере мощности и даже отказу электротехнического устройства. При возникновении таких ситуаций, для анализа воздействия негативных факторов на работу устройства необходимо оценивать состояние постоянного магнита путем исследования распределения намагниченности по его объему. Как правило, намагниченность нельзя измерить напрямую, однако се можно определить косвенным путем, если сначала измерить значения матичной индукции в воздушном зазоре устройства или в окружающем магнит пространстве, а затем, используя эти значения, решить задачу определения намагниченности. Задачи такого типа относятся к классу обратных. Соответствующие проблемы могут быть решены с использованием численных экспериментов, в результате анализа магнитного поля с учетом локального размагничивания постоянных магнитов, или в результате оценки их магнитного состояния к процессе эксплуатации но результатам непрямых измерений поля.
В статье предложено развитие метода оценки намагниченности постоянных магнитов по известному распределению магнитного поля в окружающем пространстве, отличающееся от известных методов тем, что позволяет учитывать присутствие магнитомягких ферромагнитных материалов с известными характеристиками.
Основной задачей исследования является определение условий применимости модификации разработанного ранее числен но-экс пери ментально го метода оценки намагниченности постоянных магнитов для диагностики электротехнических устройств с постоянными магнитами па практике 11 ]. Для этого исследовано влияние пренебрежения в математической модели магнитного поля магнитным гистерезисом материала каркаса электротехнического устройства на точность результата решения обратной задачи идентификации намагниченности постоянных магнитов. Проведена серия численных экспериментов, имеющих целью установить
величину отклонения рассчитываемых характеристик ноля в области магнитного материала в зависимости от выбора кривых намагничивания в пределах области петли гистерезиса материала каркаса диагностируемого электротехнического устройства.
Применяемый в статье подход к решению задачи идентификации магнитного состояния системы постоянных магнитов и ферромагнетиков основан на использовании соответствующего интегрального уравнения магнитостатики.
Как правило, в практике магнитной дефектоскопии измерение магнитной индукции с целью идентификации состояния электротехнического устройства с постоянными маг нитами производится при выключенном токе, либо поле, создаваемое этими токами, в рабочих режимах относительно мало по сравнению с полем постоянных магнитов. По указанным причинам при математическом моделирования наличие обмоток с током не учитывалось. Предполагается, что магнитная система состоит из постоянных магнитов и конструкционных частей из ферромагнитных материалов с известными характеристиками.
2. Основные соотношения метода исследовании
2.1. Идентификация намагниченности
Намагниченность связана с индукцией и напряженностью магнитного поля согласно векторному соотношению: М = ¿/[.^-Н . В немагнитной среде В = ^1пН , в ферромагнетике и постоянном магните 5 = + ■ Для стационарного поля определяется скалярный магнитный потенциал: Н = -Уф . Предполагаем, что на бесконечности
потенциал равен нулю.
Объем магнитного материала разобьем на ячейки (элементарные параллелепипеды), тогда напряженность записывается в виде [1]:
V >
л rrodS,, г rpQdSp
J р J ~~р
ilJI ' PQ çl'l ' PQ
\ - т: - ■
M\
U)
rpgdSp г rpQdSp
4i'
\
i -
'PQ
' J
4i>
' PQ
M[J)} +
(1)
rpQdSp f rpgdS,,
j грдал,, j vsJ'2» r>'Q s\')
Ml
(J)
где поверхность ячейки представляет собой объединение граней 5пм - и и и 5,, и и с нормалями
щ =(-1,0,0),«,2 = (1,0,0),л,I =(0,-1,0),
¿„2 =(0,1,0),я.-| = (0,0,-1),«- =(0,0,1)
Координаты вершин ячеек обозначим в виде: 1.2:^ = 1.....
Индукция В связана с напряженностью Н в немагнитной среде в виде:
где суммирование осуществляется по всем ячейкам объема магнитного материала. Умножим (2) на вектор нормалик поверхности объема:
В качестве выберем точки д , в которых известна
индукция В ( (21 ) . а в качестве Иу - орты декартовой системы координат. Используя выражение (1), получим СЛАУ для решения интегрального уравнения задачи идентификации намагниченности:
Г ~ - - - Л
Г рд >1дб/5р г ГрдПо^5р
ÜLV 4л ^
| грдпоаОр j i Л rpQ М
Í - _ г >'pq UndSp
'PQ
\
rpgHgdS.,
\
sW
'PQ
' PQ
ми)+
/
síí
( ^ ^ _ _ \ rponodSp г rpQfíodSp
(3)
| rpgnQObp j
N1 ' PQ -J íl
ч4?
4í>
м"
я = £-VaJ(Q)MJ.
(4)
1=1
Запишем СЛАУ (3) в матричной форме;
где м3,_г = = = 1...Л,
[} практике измерений значения магнитной индукции находятся с некоторой погрешностью £ :
Число точек измерений Л, не всегда согласовано с числом ячеек разбиения области Na, поэтому матрица СЛАУ
(3), вообще говоря, неквадратная.
Для регуляризации оператора СЛАУ обычно применяется метод Л.П.Тихонова, основанный на минимизация стабилизирующего функционала ||/Ш,||~ + ст|;Ц,|~ ->min с
параметром регуляризации ст. который приводит к СЛАУ: AMh=£bk, (5)
Вели ||ей|| —> 0, то оптимальное значение параметра регуляризации ст 0, а решение СЛАУ (5) сходится к точному.
Вычисление интег ралов в (3) осуществляется точно по аналитическим формулам:
г&Ъ_lkA'i-_. JT' f
J „ J J L Tj ¡ ^ ¡ ГТ J J f~2 ~> 2
=f(x2 - Wí ~y^z)~f{x\ W: -y<j^)-f{h +/(*. ~ Wt -Уд>2)>г =zr ~ZQ
/'(.V, y, z) = X ll! (V + v') + y Itl ( f +x)—Z arCtg [-VV1/(zr) J + +rarctg(.v/z)-jf,
r = y}xí+y2+ZI,
Производные в (3) вычислялись как численно, так и аналитически с учетом выражений:
df[$x=-\+{\ + x2z^\ ' + V/-"1 jr"r_1 (/■+_)')' " -Jí-"1 í 1 - X V"2 ) (I + X2>< 2Г^Г ^il ' + In{'' + >'),
offóy = +У2г~' (r+*)"' --jir'1 (i -y2r~2)(1 + x2y*z~2r~2) ' + ln (r + , dfjd z = -arctg[xyz'\'1) -ÍCT1 (1+x2z'2)"' + +xyzr~' (z'2 +r-1)(l+íVW-J) 1 +
+xzr~l (r + y) ' + yzt' ^ (r + x) 1 +arctg(xz 'У
Следует отметить наличие особых точек у записанных функций - производных в начале координат, где непрерывность функций нарушается и отсутствует единственное предельное значение. Неблагоприятное влияние этих особенностей на вычислительный процесс может сказаться, если какие-то две координаты точки измерений будут совпадать с Соответствующими координатами вершин некоторых ячеек объема,
2.2. Вычисление индукции, напряженности и исследование влияния формы характеристики намагничивания
На первом этапе решения по известным экспериментальным значениям индукции вне объема магнитного материала осуществляется решение обратной задачи (3)-(5) и находятся приближенные значения намагниченности в данном объеме.
На втором этапе по известной характеристике намагничивания в объеме различными способами находятся значения индукции и напряженности магнитного поля.
Основная кривая намагничивания вычисляется по формуле Ланжевена
А/,(П)-МХсlh(И/а) - а/Н), параметры Д/т, а - определяются материалом. По выбранному интервалу значений магнитной напряженности (~Нт, Ит) согласно модели Джилса-Аттертона вычисляется петля гистерезиса (рис. 1):
dMjdH ={М f{H)~ M)lkd{H,M ,{Н)-M) + cdM t ¡dH , dMt jdH = Ms (-sh 2 {H la) +a!H 2),
d(H„A) =
-l,tf(<0,A<0
0,Я,Д<0
1, H, >0,Д>0
1.0 08 06 0.4 0.2
о°оооооо°
о.г
04
0.6
08
10
—V
г
N (м./м^ 5 пил М1 / М: шах Н,\М}
100 1.23 0,39 0.31 0,66 2,14
75 1,23 0,38 0,30 0,61 1,91
50 1,38 0,54 0,39 0,53 2,67
25 2,17 2,09 1,73 -5,36 9,53
ИМЬ 10
0.8
0.6
0.4
02
О О
0.2
04
0 6
08
10
Рис. 2. Минимальные, максимальные и средние значения напряженности ноля Я. п значения намагниченности М. в центрах ячеек при а = 10 [\х = Ьх/2,у = Ьу/2 (см. также данные к табл. 1)
Влияние числа точек измерений иллюстрируют данные табл. 2
Таблица 2
Результаты для различного числа точек измерении при а -10 1
При малых числах измерений детальная картина поля находится с большой погрешностью, что требует осторожности при интерпретации данных экспериментов. Это обстоятельство иллюстрируют рис. 3 и 4.
Влияние выбора расположения точек измерений при случайном характере погрешностей измерений также значительно, особенно при малом количестве точек измерений.
Рис. 4. Минимальные,максимальные и средние значения напряженности ноля II. и значения намагниченности М-к центрах ячеек при ст= 1СГ17, л- = £,./2,1' = ¡2 , Л',-! 00 (см. также данные табл. 2)
Так для выборки из 20 серий измерений (по 50 в каждом) интервалы изменения параметров составили: (М,1М)=-18,57... 1,84;
■ -227,12; 5=0,39...226,27; пшЛ/,/м, = -2568,54...0,62; тахМ,/М( = 2,43...47,92.
Заключение
Исследован и модифицирован метод идентификации магнитного состояния уединенного постоянного магнита на ферромагнитном основании по известной картине поля в окружающем пространстве с учетом эффекта гистерезиса характеристики намагничивания основания. В методе используется замена интегрирования но объему элементов разбиения постоянных магнитов интегрированием по их границе. Интегралы в матрице коэффициентов СЛЛУ находятся точно аналитически, получено их новое выражение без разрывных функций. Предполагается, что погрешность возникает только при измерениях и расчете в воздухе значений индукции и (или) скалярного магнитного потенциала.
Рассмотрена реализация метода в терминах намагниченности с различным соотношением количества ячеек разбиения области магнита и точек измерений.
Исследована зависимость точности решения от значений параметра регуляризации.
Показано влияние расположения точек измерений на точность идентификации магнитного поля.
Изучено влияние ширины петли гистерезиса на соответствующий диапазон значений напряженности магнитного поля при решении задачи идентификации намагниченности.
Полученные результаты могут использоваться также при решении обратной задач и для системы ферромагнитных тел и в тестовых задачах при использовании других методов.
Выражаем благодарность профессору Некрасову С.А. за всестороннюю помощь в подготовке статьи.
Литература
¡. Денисов П.А. Решение прямых и обратных задач анализа магнитного поля электротехнических устройств с постоянными магнитами при их локальном размагничивании. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Новочеркасск, 2016. 1 19с.
2. Черкасова O.A. Исследование магнитного поля постоянного магнита с помищыо компьютерного моделирования.
http ://hmm .sgu. ra/sites/default/fi les/i ssledo van ie_magn itnogo_polya _postoy annogomagn itasJpo moshchy u_kompyuternogo_model irovani ya.pdf.
3. Матюк В.Ф.. Чурило В.Р.. Стрелюхин A.B. Численное моделирование магнитного состояния ферромагнетика в неоднородном постоянном ноле методом пространственных интегральных уравнений/ Дефектоскопия. 2003. № 8. С. 71-84. ht! р ://na u kar u s .com /с h i s 1 е n noe-nwde I i rov a n ie- m agn i t nogo-sost оу a n i у а-ferromag net i ka- v- neod n orod nom - postoy а шют - ро ¡е- metod от -prostranstvennyh-i.
4. Игнатьев В К., Орлов A.A. Образная магнитостатическая задача для ферромагнетиков/ Наука и образование. I января 2014, С. 300-324. ht lp://technomage I pu b.el pub. ш/jo ur/arti с le/vie w Fi 1е/467/469.
5. Жирков В.Ф.. Новиков к'.В.. Сушкова Л.Т. Решение обратной задачи магнитостатики методом регуляризации Тихонова. http://aiitex.spb.sii/download/dsp/dspa/dspa2005/tl/74.pdf.
6. Дякин В.В.. Кудряшова О.В.. Раевский В.Я. К вопросу корректности прямой и обратной задач магнитостатики. Часть 1. // Дефектоскопия. №7, 2017, С. 35-45.
https://www.libnauka.ru/joumal/derektoskopiya/derektoskopiya-20l7-7/voprosu-korrcktnosti-ptyamoy-i-obratnoy-zadach-magnitostatiki-chast-l-defektoskopiya/.
7. Печен ков А.Н. Алгоритмы расчетов и моделирования прямых и обратных задач магнитостатической дефектоскопии и устройств технической магнитостатики, доктора технических наук. Автореферат на соиск доктора техн наук. 05.02.1 I - Методы контроля и диагностика в машиностроении. Екатеринбург. 2007. 42 с.
8. Жидков Е.П., Перепелкии Е.Е. Поведение решения нелинейной задачи магнитостатики в окрестности угловой точки ферромагнетика/ Матем. Моделирование. №15(4). 2003. С. 77-84. http://www.mathnet.iTi/links/8987ce5434c5f5d6rd5cfd33rc58812b/mm4 71.pdf.
9. Жидков Е.П.. Куц И.В.. Полякова Р.В. и др. Решение одной нелинейной обратной задачи магнитостатики методом регуляризации. Дубна: ОН Я И. 1988. 10 с. (Препр. Объед. ин-т ядер, исс.пед.; PI t-88-335). https://scarch.rsl.ru/ru/rccord/01001422197.
10. Shur M.L., Novostugina А.P.. Smorodinskii Ya.G. On the Inverse Problem of Magnetostatics // Russian Journal of Nondestructive Testing, 2013, Vol. 49, No. 8, pp. 465^73. http://elar.urru.ru/bitstream/10995/27292/1 /scopus-2013-0456.pdf
11. Шарый СЛ. Интервальные методы для регуляризации плохообу словленных и некорректных задач. Институт вычислительных технологий СО РАН Новосибирский государственный университет. XVIII Всероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям. hup://con Г. nsc.ru/dles/conf erences/y m20l7/415381/Sha ryi_SP-YM20i7.pdf.
12 .Денисов A.M. Метод решения уравнений 1-го рода в гильбертовом пространстве // Докл. АН СССР. 1984, Т. 274, № 3. С. 528-530.
15. Верлань А.Ф.. Cm икон ВС. Интегральные уравнения: м е-тоды, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. ¡28 с.
16. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 495 с.
17. Dyakin К V.. Ktubya&hova О. У.. Raevskii V. Y. On the solution of the magnetostatie Held problem in the case of magnetic permeability that is dependent on coordinates // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2015. V. 51. No 9, pp. 554-562.
18. Kpomoe Л.Н. Моделирование обратной геометрической задачи магнитостатики в магнитном контроле. Авто реф. дисс. на соиск, уч. ст. д-ра физ.-матем. Наук. Пермь, 2004. http://www.science.by/upload/iblock/915/915879eb2bc 1677d493a2262 187274b0.pdf.
19. А киши и П. Г.. Сапожников А. А. Метод объёмных интегральных уравнений в задачах магнитостатики // Журнал Вестник РУД11. Серия: Математика, информатика, физика. №2. 2014. С. 310-315. https://cyberleninka.ru/ariicle/n/meiod-obyomnyh-integralnyh-
urav ne n i у- v-zadac hah-m agn itostat i k i,
20. Арушюнян Р.В.. Некрасов С.А.. Середина П.Ь. Идент ификация намагниченности постоянных магнитов на основе метода скалярного магнитного потенциала // Изв. вузов. Электромеханика. №6. 2018.
IDENTIFICATION OF MAGNETIZATION IN A PERMANENT MAGNET ON A FERROMAGNETIC BASIS BY THE METHOD OF INTEGRAL EQUATIONS WITH ALLOWANCE FOR THE WIDTH OF THE HYSTERESIS LOOP
Peter A. Denisov, South-Russian State Polytechnic University, Novocherkassk, Russia, soff_novoch@mail.ru Dmitry N. Chernoivan, South-Russian State Polytechnic University, Novocherkassk, Russia, npi_pm@mail.ru Polina B. Seredina, South Russian State Polytechnic University, Novocherkassk, Russia
Abstract
The article proposes the development of the method for estimating the magnetization of permanent magnets by the known distribution of the magnetic field in the surrounding space, which differs from the known methods in that it allows to take into account the presence of soft magnetic ferromagnetic materials with known characteristics. The approach applied in the article to the problem of identification of the magnetic state of the system of permanent magnets and ferromagnets is based on the use of the corresponding integral equation of magnetostatics. The main objective of the study is to determine the conditions for the applicability of the modification of the previously developed numerical-experimental method for assessing the magnetization of permanent magnets for the diagnosis of electrical devices with permanent magnets in practice. For this purpose, the influence of neglect in the mathematical model of the magnetic field by the magnetic hysteresis of the frame material of the electrical device on the accuracy of the result of the inverse problem of identification of the magnetization of permanent magnets is investigated. We performed a series of numerical experiments, intended to establish the deviation of the calculated characteristics of the field in the magnetic material depending on the choice of the curves of magnetization within the area of the hysteresis loop of the material of the frame of the diagnosed electrical devices. In mathematical modeling, the presence of windings with current was not taken into account. It is assumed that the magnetic system consists of permanent magnets and structural parts of ferromagnetic materials with known characteristics. For the regularization operator SLOUGH, used the method of A. N. Tikhonov based on the minimization of stabiliziruyushchego functionality.
The calculation of integrals in the spatial integral equation is carried out exactly according to analytical formulas. Derivatives in the kernel of the equation were calculated both numerically and analytically, taking into account the new relations.
The presence and influence on the computational process of special points of the functions - derivatives of the kernel at the origin, where the continuity of the functions is violated and there is no single limit value.
The calculation of induction, intensity and study of the influence of the shape of the magnetization characteristics. At the first stage of the solution by known experimental values of induction outside the volume of magnetic material the solution of the inverse problem is carried out and approximate values of magnetization in this volume are found. At the second stage, according to the known characteristic of magnetization in the volume, the values of induction and magnetic field strength are found in various ways. The main magnetization curve is calculated by the Langevin formula. The hysteresis loop is calculated from the selected range of magnetic intensity values according to the jils-Atterton model. The implementation of the method in terms of magnetization with different ratio of the number of cells of the magnet region and measurement points is considered. For the selected hysteresis loop, envelope loops are plotted at the top and bottom of the line. As a result of solving the equations, the corresponding minimum, maximum and average values of the intensity, as well as the induction of the field are found. This makes it possible to estimate the error when replacing the hysteresis curve with the main characteristic of magnetization. The identification of magnetization of a rectangular permanent magnet on a ferromagnetic plate is considered as a model problem. It is stated that for small numbers of measurements the detailed picture of the field is found with a large error, which requires caution in the interpretation of the experimental data. The influence of the choice of measurement points location at random measurement errors is also significant, especially at a small number of measurement points. The dependence of the solution accuracy on the regularization parameter values is investigated. Shows the influence of the location of measurement points on the accuracy of the identification of the magnetic field. The influence of the hysteresis loop width on the corresponding range of magnetic field intensity values in solving the problem of magnetization identification is studied. The obtained results can also be used in solving the inverse problem for the system of ferromagnetic bodies and in test problems using other methods.
Keywords: permanent magnets, magnetization, scalar magnetic potential, integral equation of magnetostatics, inverse problem, identification
References
1. Denisov P.A. (2016). The solution of direct and inverse problems of analyzing the magnetic field of electrical devices with permanent magnets during their local demagnetization. Thesis for the degree of candidate of technical sciences. Novocherkassk. 119 p.
2. Cherkasova O.A. Study of the magnetic field of a permanent magnet using computer simulation.
http://hmm.sgu.ru/sites/default/files/issledovanie_magnitnogo_polya_postoyannogo_magnita_s_pomoshchyu_kompyuternogo_mod-elirovaniya.pdf
3. Matyuk V.F., Churilo V.R., Strelyukhin A.B. (2003). Numerical simulation of the magnetic state of a ferromagnet in an inhomogeneous constant field by the method of spatial integral equations. Defectoscopy. No. 8, pp. 71-84. http://naukarus.com/chislennoe-mod-elirovanie-magnitnogo-sostoyaniya-ferromagnetika-v-neodnorodnom-postoyannom-pole-metodom-prostranstvennyh-i.
4. Ignatiev V.K., Orlov A.A. (2014). The inverse magnetostatic problem for ferromagnets. Science and education. January 1, pp. 300-324. http://technomagelpub.elpub.ru/jour/article/viewFile/467/469.
5. Zhirkov V.F., Novikov K.V., Sushkova L.T. Solving the inverse problem of magnetostatics using the Tikhonov regularization method. http://autex.spb.su/download/dsp/dspa/dspa2005/tl/74.pdf.
6. Dyakin V.V., Kudryashova O.V., Raevsky V.Ya. (2017). On the question of the correctness of the direct and inverse problems of magneto-statics. Part 1. / Flaw. No.7, pp. 35-45. https://www.libnauka.ru/journal/defektoskopiya/defektoskopiya-20l7-7/voprosu-korrektnosti-pryamoy-i-obratnoy-zadach-magnitostatiki-chast-l-defektoskopiya.
7. Pechenkov A.N. (2007). Algorithms for calculating and modeling direct and inverse problems of magnetostatic flaw detection and technical magnetostatic devices. Doctor of Technical Sciences. Abstract of the candidate of technical sciences. 02/05/11 - Methods of control and diagnostics in mechanical engineering. Yekaterinburg. 42 p.
8. Zhidkov E.P., Perepelkin E.E. (2003). Behavior of the solution of a nonlinear magnetostatic problem in the vicinity of a corner point of a ferromagnet. Mat. Modeling. No. 15 (4). 2003, pp. 77-84 http://www.mathnet.ru/links/8987cc5434c5f5d6fd5efd33fe588l2b/mm47l.pdf
9. Solution of a nonlinear inverse problem of magnetostatics using the regularization method / E. P. Zhidkov, I. V. Kuts, R. V. Polyakova et al. Dubna:JINR, l988. l0 p. (Prepr. Combined Institute of Nuclei. Research; Rll-88-335). https://search.rsl.ru/ru/record/0l00l422l97
10. Shur M.L., Novoslugina A.P., Smorodinskii Ya.G. (20l3). On the Inverse Problem of Magnetostatics / Russian Journal of Nondestructive Testing. Vol. 49, No. 8, pp. 465-473. http://elar.urfu.ru/bitstream/l0995/27292/l/scopus-20l3-0456.pdf.
11. Shary S.P. Interval methods for regularization of ill-conditioned and ill-posed problems. Institute of Computational Technologies SB RAS Novosibirsk State University. XVIII All-Russian Conference of Young Scientists on Mathematical Modeling and Information Technologies. http://conf.nsc.ru/files/conferences/ym20l7/4l538l/Sharyi_SP-YM20l7.pdf.
12. Denisov A.M. (l984). A method for solving equations of the first kind in a Hilbert space. Dokl. Academy of Sciences of the USSR. l984. Vol. 274, no. 3, pp. 528-530.
15. Verlan A.F., Sizikov V.S. (l986). Integral equations: methods, algorithms, programs. Kiev: Naukova Dumka. l28 p.
16. Trenogin V.A. (l980). Functional analysis. Moscow: Science. 495 p.
17. Dyakin V.V., Kudryashova O.V., Raevskii V.Y. (20l5). The problem of the magnetic field is that it is dependent on coordinates. Russian Journal of Nondestructive Testing. V. 5l. No 9, pp. 554-562.
18. Krotov L.N. Simulation of the inverse geometric problem of magnetostatics in magnetic control. Author's abstract diss. on the competition uch. Art. Dr. Phys.-Math. Of science Permian. 2004. http://www.science.by/upload/iblock/9l5/ 9l5879eb2bcl677d493a2262l87274b0.pdf.
19. Akishin P.G., Sapozhnikov A.A. (20l4). The method of volume integral equations in the problem of magnetostatics.Journal RUDN Bulletin. Series: Mathematics, Computer Science, Physics. No.2, pp. 3l0-3l5. https://cyberleninka.ru/article/n/metod-obyomnyh-integralnyh-uravneniy-v-zadachah-magnitostatiki.
20. Arutyunyan R.V., Nekrasov S.A., Seredina P.B.(20l8). Identification of the magnetization of permanent magnets based on the scalar magnetic potential method. Izv. universities. Electromechanics. No.6.
