Определение эквивалентного коэффициента теплопроводности многовитковой обмотки соленоида на основе решения обратной задачи теплообмена Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 517.958; 536.2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МНОГОВИТКОВОЙ ОБМОТКИ СОЛЕНОИДА НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА

© 2012 г. Ю.А. Бахвалов, В.В. Гречихин, А.Н. Грекова

Южно-Российский государственный South-Russian State

технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)

Предложен вариант натурно-модельного метода и алгоритм определения эквивалентного коэффициента теплопроводности многовитковой обмотки соленоида. При решении обратной задачи используется зависимость температуры поверхности обмотки от времени, измеренной на ограниченном интервале времени.

Ключевые слова: эквивалентный коэффициент теплопроводности; многовитковая обмотка; соленоид; обратная задача теплообмена; алгоритм; уравнение нестационарной теплопроводности.

The alternative of a full-scale modeling method and algorithm of definition of equivalent coefficient of thermal conductivity of a multiturn winding of the solenoid is offered. At the inverse problem solution dependence of temperature of a surface of a winding on a time, measured on the restricted interval of a time is used.

Keywords: equivalent coefficient of thermal conductivity; multiturn winding; the solenoid; a heat exchange inverse problem; algorithm; the equation of non-stationary heat conductivity.

Математическое моделирование процессов теплообмена находит в настоящее время широкое применение при проектировании в таких областях техники как электромеханика, энергетика, авиация и др. Эффективность принятых при этом проектно-конструк-торских и технологических решений во многом зависит от адекватности математических моделей тепловых процессов, протекающих на поверхностях раздела сред, внутри материалов и конструкций. В связи с этим большое значение придается созданию эффективных методов идентификации теплообменных процессов. В основу таких методов положены решения обратных задач теплообмена, которые в ряде случаев являются единственным средством получения необходимой информации [1].

Подобные методы называются натурно-модельными [2].

Как будет показано в данной статье, математическое моделирование позволяет также существенно сократить затраты времени и электроэнергии на проведение экспериментальных исследований и испытаний.

Рассмотрим задачу определения эквивалентного коэффициента теплопроводности области 2 соленоида, заполненной обмоткой (рис. 1).

Система уравнений нестационарной теплопроводности для областей соленоида (рис. 1) имеет вид

Рi

ct Щ- = div (л. grad? ) + qVi, i = 1,2,3, (1)

dt

где р., е., I., qv., ? = T (N., t) , N -

плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности, объемная плотность мощности источников тепловой энергии, температура, точка среды г'-й области.

-А

2

вщж !«# Щшш Мфр

Рис. 1. Эскиз соленоида

Считаем известным начальное распределение температуры в соленоиде в момент времени t = 0 Т (N ,0) = Т (N),' = 1,2,3; температуру окружающей

среды Токр; граничные условия:

- на внутренней поверхности области 1 соленоида

ч dT

dn

= -a1 [T1 (t)- Токр ]

r=r

- на внешней поверхности области 2 соленоида

1 d?2 Л 2-

dn

= -a2 [T2 (^t)- Токр ] ;

соответственно

- на поверхностях области 3, соприкасающихся с

L

h

r

окружающей средой, принимаем —- = 0 ;

дп

- на границах раздела сред при г = г2

дТ

Т (Г2, t ) = Т2 (Г2, t); X! ~дП

- на границах областей 1 и 3

r=Г2

= Л-> -

dn

r =Г2

PiCi

Т dt

1 д_ r dr

(

Л,- r

dT_

dr

Л

д +—

dz

(

Л

dT

\

dz

+qVi-

i = 1,2,3.

Область расчета показана на рис. 2.

(2)

I (Л 2 )= J [?2 (N -, t)-Ти (N *, t)] 2 dt.

(3)

к* ')=Т= (N•t); ^^

- на границах областей 2 и 3

Т2 (*0= Т (*0; .2 дТ2 = >.

где а1, а2 - коэффициенты теплоотдачи соответственно от внутренней и внешней поверхностей соленоида к окружающему воздуху.

Учитывая осевую симметрию соленоида, будем использовать цилиндрическую систему координат В этом случае система уравнений (!) принимает вид

Рис. 2. Область расчета с конечно-элементной сеткой

Неизвестными величинами являются Х2 и Т = Т (N, t), г = 1,2,3.

Сформулируем задачу: требуется определить эквивалентный коэффициент теплопроводности Х2 области, занятой обмоткой соленоида, и функции Ti = Т (, t), I = 1,2,3, удовлетворяющие системе

уравнений (2) и приведенным выше начальным и граничным условиям. Известна дополнительная информация - зависимость Ти (N *, t), полученная путем

измерения в точке N * (рис. 2) с погрешностью ДТи

на интервале времени [0, tи ].

Определим коэффициент Х2 с помощью численного итерационного процесса минимизации функционала

Поскольку в нашем случае функция Ти (N *, t)

представлена таблицей, будем использовать вместо (3) функционал вида

1 д (Х 2 )=! [Т2 (Ы * ^ tJ )" Ти (Ы * ^ tJ )]

где п - количество измерений на интервале [0, tи ].

Сформулированная задача относится к классу коэффициентных обратных задач теплообмена. В работах [3, 4] доказаны существование и единственность решений подобных задач. Устойчивость решения по отношению к погрешностям измерений будет оценена далее.

Сведем решение поставленной обратной задачи к последовательности решений прямых задач для системы уравнений (2) с описанными выше начальным и граничными условиями методом конечных элементов (МКЭ).

Выберем начальное приближение Х^0^ и величины шагов X 2 и Д.

Итерационный цикл алгоритма для каждого п = 0,1,2,... состоит из следующих этапов [2]:

1. Решение прямой начально-краевой задачи для системы (2) МКЭ с X 2 = х2п). Определение

Т{п)(Щ), г = 1,2,3, Т2( п) (N *, tj), ] = 1,2,..., п, /д (х(2п)),:

Х(2П+1)=Х2П)±ДХ. Выбор знака перед ДХ должен

обеспечить уменьшение значения 1д (х2п+1)).

2. Решение прямой начально-краевой задачи для системы (2) МКЭ с X2 = х2п+1). Определение

Т( п+1) (N, (), г = 1,2,3, Т2(п+1) (N *, ), ] = 1,2,..., п ,

I д (х2п+1)).

3. Проверка выполнения критерия останова вычислений

L (Л

(л2п+1))

< еДТ„

(4)

где е - эмпирический коэффициент, который выбирается так, чтобы вычислительная погрешность была существенно меньше погрешности измерений. В случае выполнения условия (5) в качестве решения обратной задачи принимается X 2 = х2п+1) и

Т (N,t) = Т<п+1)(N,t), г = 1,2,3. Если условие (4) выполняется, то переход к этапу 4.

4. Вычисление X(n+2) методом секущих [5]

не

I (Л

1 (п+2) _ т (п+1) Д Л0 = Л0 —

(л2п+1))(л(п+1)

— Л1

)

iд (л2"+11)-iд (Л2п)) '

Z

0

п)

Заметим, что может быть применен другой численный метод решения нелинейного уравнения

1 д (Х2 ) =

5. Возврат к этапу 2.

Для оценки устойчивости решения к погрешностям измерений необходимо вычислить чувствительность

Т[

тах

- in+2) - in Х 2 -Х2

и 3ТИ j=\+n n+ 2) ( n *, t. )-T2(n)(N*,t;)

■ (5)

Аналогично можно вычислить J = —2.

дц

Далее можно вычислить погрешности искомой величины

ДХ 2 = JT .А7;

и

ДХ 2 = Jq Р .

(6)

t, мин 0 5 10 15 20 25 30

Ти (N *, t), °С 22 25,5 29,2 32,0 34,6 37,7 40,1

q, Вт/м2 0 43,1 77,2 106,1 137,1 165,6 188,7

Т °С 1 окр, ^ 22 22 22 22 22 22 22

Используя данные таблицы, определим среднее значение коэффициента теплоотдачи а2:

а 2 = -

q

т

(N' , t)

t)-т.

= 11,1 Вт/(м-К).

1 Измеритель плотности теплового потока и температуры ИТП-МГ4.03/3(1) «Поток», ООО «СКБ Стройприбор», г. Челябинск.

поверхности соленоида (смотри сообщение авторов этой статьи в следующем номере журнала).

Определим другие параметры соленоида, приведенные к объему области 2 (обмотки соленоида):

i Гз2 - Г? )

V =я(г2 -r2 )L = 3,1416

(50 -10-3 )2

(15 -10-3 )2

• 505-10-3 = 0,00361 м3;

UI 18,75• 7,53 __ „ , 3 qV = — = , ,_ ;. = 39122 Вт/м3

V2 V2 0,00361

V„

р 2 С2 Р меди ^меди

V

Рассмотрим применение предлагаемого варианта натурно-модельного метода к определению эквивалентного коэффициента теплопроводности области соленоида (рис. 1), занятой многовитковой обмоткой

из медного провода, с параметрами: г = 12 -10~3м; г2 =15-КТ3м; г3 = 5040~3м; г4 = 8540~3 м; h = 25-10~3м; L = 505 -10~3 м; = Х3 = 0,3 Вт/(м-К) (материал -текстолит); Смеди = 385 Дж/(кгК); р^ = 8,9-103кг/м3; число витков V = 2514; диаметр провода (по меди) 2,1-10~3м; толщина изоляции 0,2 -10~3м; значения удельной теплоемкости и плотности остальных материалов полагаем равными нулю, tи = 30 мин.

В таблице приведены результаты измерений температуры в точке N * (г = 50 -10~3 м; г = 0), плотности теплового потока от поверхности области 2, температуры окружающей среды с помощью специального прибора1 при питании обмотки соленоида от источника постоянного тока напряжением и = 18,75 В, силой тока I = 7,53 А. Погрешности прибора: относительная при измерении плотности потока +6 %, абсолютная при измерении температуры +0,2 °С.

= 8,9 • 103 • 385 • 0,00102 = 1,64 • 106 Дж/(кгК). 0,00361

Полагаем Х(20) = 0,01 Вт/(м-К), ДХ = 0,003 Вт/(м-К),

е = 10~4, Дt = 5 мин.

Область расчета (рис. 2) покрыта сеткой конечных элементов, содержащей 709 треугольников. Применив описанный выше алгоритм, получили на пятой итерации X2 = 0,027 Вт/(м-К).

Определим чувствительность JT и погрешность X2, используя формулы (6) и (7):

J = 3К 2 Ти

' ' L и

Х'

n+2)

-Xi

n)

тах

3Ти j=1+n T2(n+ 2) ( N *, t1)- T2(n) ( N *, t1)

0,03-0,02 ■ = 3,8^10-3,

41,92 - 39,25

ДХ2 =+J^ДТи = 3,8-10~3 • 0,2 = +7,6•Ю-4 Вт/(м-К).

Относительная погрешность определения X 2 предложенным методом не превышает 3 %.

На рис. 3 показано распределение температуры по сечению обмотки, на рис. 4 приведены графики зависимостей температуры от времени и радиуса. Среднеквадратичное отклонение Т2 (N *, t) от Ти (N *, t) на интервале [0, 30 мин] составило 1,9 °С (рис. 5).

Натурно-модельным методом определялся коэффициент теплоотдачи а1 = 6,5 Вт/(м>К) от внутренней

Рис. 3. Распределение температуры по сечению соленоида

Т, °с 80

70

60

50

40

30

20

10 20 30 40 г, мм

Рис. 4. Графики зависимостей температуры от времени и радиуса: 1-í = 0; 2- í = 5 мин; 3-1 = 10 мин; 4- í = 15 мин; 5 - í = 20 мин; 6 - í = 25 мин; 7 - í = 30 мин

Т(Л0, °С

403

35

30

25

20 0 5 10 15 20 25 I, мин Рис. 5. Результаты измерений и расчета температуры в точке N *

Построенные математическая модель и алгоритм позволяют определить максимальную температуру внутри обмотки, а также установившуюся температуру, которая в нашем случае достигла через 12 часов 80,9 °С на внешней поверхности соленоида (рис. 6).

Поступила в редакцию

Таким образом, предложенные модель и алгоритм обеспечили сокращение времени испытания и затрат электроэнергии в 24 раза.

Рис. 6. Зависимость температуры от времени в точке N * (расчет)

В статье показано, что эквивалентные теплофизи-ческие параметры и распределение температуры в устройстве в нестационарном и установившемся режимах можно достаточно эффективно оценить на основе решения обратных задач теплообмена.

Литература

1. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М., 1988. 280 с.

2. Гречихин В.В., Грекова А.Н. Определение параметров математических моделей потенциальных полей натурно-модельным методом // Изв. вузов. Электромеханика. 2011. № 1. С. 18 - 21.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М., 1988. 288 с.

4. Структурные свойства динамических систем и обратные задачи математической физики / В.Т. Борухов [и др.] // ИФЖ. 2005. Т. 78. № 2. С. 3 - 15.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., 1973. 632 с.

12 января 2012 г.

Бахвалов Юрий Алексеевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Прикладная математика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 255-326.

Гречихин Валерий Викторович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Информационные и измерительные системы и технологии», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 255-240. E-mail: vgrech@mail.ru

Грекова Анна Николаевна - аспирант, кафедра «Прикладная математика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 255-326.

Bachvalov Yury Alekseevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Applied mathematics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 255-326.

Grechikhin Valeriy Viktorovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Information-Measuring and Medical Technics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 2-55-214. E-mail: vgrech@mail.ru

Grekova Anna Nikolaevna - post-graduate student, department «Applied mathematics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 255-326.