Определение кинематических характеристик частиц материала в камере классифицирующей перегородки трубной мельницы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Позднякова О. С., к. т. н., асс., Воронов В. П., к. физ.-мат. н., проф., Ханин Д. С. студент

Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЧАСТИЦ МАТЕРИАЛА В КАМЕРЕ КЛАССИФИЦИРУЮЩЕЙ ПЕРЕГОРОДКИ ТРУБНОЙ МЕЛЬНИЦЫ*

Unique.ox@gmail.com

В аналитическом виде приведены выражения для определения радиус-вектора перемещения, тангенциальной и радиальной составляющих скорости движения частицы в камере классифицирующей перегородки, совершающей вращение вместе с барабаном трубной мельницы.

Ключевые слова: сыпучий материал, скорость истечения, трубная мельница, классифицирующее устройство.

Применение в трубной мельнице внутри-мельничного классифицирующего устройства в виде классифицирующей перегородки с просеивающей поверхностью, совершающей направленные гармонические колебания, обеспечивает эффективное разделение грубомолотого сыпучего материала на фракции, повышение производительности помольного агрегата и снижение удельного расхода электроэнергии [1]. Эффективность процесса классификации материала определяется рядом конструктивно-

технологических параметров устройства. Для определения кинематических характеристик частицы материала, находящейся на вращающейся вибрирующей поверхности, рассмотрим комбинированную модель движения сыпучей среды, которая обладает свойствами модели движения сплошной и дискретной сыпучих сред, описанных в работе [2].

Рассмотрим задачу о движении частиц сыпучего материала, находящихся на поверхности призмы материала в классифицирующей камере. Для ее решения обратимся к детерминированной математической модели плоского движения достаточно мелких частиц массой т шарообразной формы.

Считая радиус гэ твердых шарообразных частиц сыпучей среды малой величиной первого порядка малости, момент инерции I частицы материала плотностью р в силу соотношения: 2 8 I = - тГ = 15 жг1Р ~ 0(гэ5), (1)

будет являться величиной пятого порядка малости в системе координат, связанной с центром масс частицы материала. Поэтому в процессе описания движения частицы материала, находящейся на поверхности призмы сыпучего материала, можно пренебречь вращательным движением частицы материала. На основании

второго закона Ньютона уравнение в векторном виде, описывающее движение частиц, находящихся на поверхности призмы материала, можно представить как:

та — т^ + Кс ,

где

К -

(2)

представляет собой силу сопро-

тивления относительному движению частицы, находящейся на поверхности призмы материала.

В силу малых значений скоростей движения частиц поверхностного слоя призмы материала можно считать, что значение силы сопротивления ее движению прямо пропорционально произведению ее скорости на коэффициент сопротивления движению, который будет определяться следующим соотношением:

к — ^ 1 + к о

с с1 с 2

(3)

где кс1 - коэффициент сопротивления движению, характеризующий силу сопротивления движению частицы под воздействием вращательного движения просеивающей поверхности совместно с барабаном трубной мельницы; к2 -коэффициент сопротивления движению, характеризующий силу сопротивления движению частицы при сообщении просеивающей поверхности вынужденных направленных колебаний.

Размерность коэффициента сопротивления движению должна быть кг/с. С использованием теории размерностей первое слагаемое в выражении (3) приведем к виду:

К 'Р'®

, (4)

кс1 =

2

здесь Кк - объем шарообразной частицы

3

материала, м ; р - насыпная плотность материала, кг/м3; ю - угловая скорость вращения барабана трубной мельницы, с-1.

Второе слагаемое в выражении (3) определяется следующим выражением:

К 2 =

v -р

ч

2

(5)

где рч

плотность материала частицы,

кг/м3; ю0 - частота колебаний просеивающей поверхности, с-1.

Согласно сделанным предположениям выражение для определения силы сопротивления движению частицы материала можно представить в виде:

^ = кс -и.

(6)

Масса частицы сыпучего материала будет равна:

4 з

т = 3 ПГэ Рч .

(7)

Уравнение (2) с учетом (6) и (3) можно привести к следующему виду:

а = £ + Р-и, (8)

а = кс = 3К(Р-® + Рч •®0) где: Р — — '

т

4пГзРч

(9)

Уравнение (6) в векторном виде в проекции

на единичные орты ег и е ф согласно расчетной схеме рис.1 равносильно двум скалярным уравнениям:

аг = -£■81П(^)-Р-иг,

(8)

%=- ё- С08(^;) -р-о^

(9)

где иг и аг - проекции векторов скорости и ускорения частицы материала на единичный

орт ег соответственно; и а^ - проекции векторов скорости и ускорения частицы мате-

риала на единичный орт

ф соответственно.

' У

Рис. 1. Расчетная схема к выбору подвижной полярной системы координат, связанной с выделенной частицей сыпучего материала: е -угол естественного откоса материала, ф0 - угол, определяющий положение выделенной частицы на поверхности призмы материала

Учитывая, что: Сг

и г = —,

г сИ Лф

иф=с •

а,.

а„

Сиг

Л

Си и -и

ф + Г ф

(10) (11) (12) (13)

Л г

на основании (12) и (13) уравнения (8) и (9) принимают вид:

2

Ли и

Л

СиФ

Ж

= -ё ■ 8Ш(ф)-в-иг .

(14)

и ■ и

ф _

= -ё- в^ф) П,

(15)

где г - расстояние от начала декартовой системы координат ХОУ до центра тяжести выделенной частицы в любой момент времени, м.

Используя соотношения (11) в уравнениях ( 1 4) и (15) перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по переменной ф. Тогда уравнения (14) и (15) примут вид:

иф С°г иФ • г \ а

л--=-£ ■ 81п(ф)-в-Ог

г аф г

(16)

и Ли и и

ф ф + г ф

г Лф

г

— ■С^ф) -в-Оф.

(17)

Умножим уравнение (17) на мнимую единицу 1 (12=-1) и полученный результат сложим почленно с уравнением (16); в результате находим, что: и С и

——(и +' ■и) —ф-(иф-' ■ и) = -ё0т(ф) +' ■ С08(ф)) - в(иг +' ■и > г аф г

(18)

Введем следующее обозначение:

(ф) = и+ иф,

(19)

и учтем, что согласно формуле Эйлера в области комплексных чисел выполняется следующее соотношение:

Г

е ''* = ео8(*) - / • 81п(*).

(20)

Тогда после несложных математических преобразований уравнение (18) приведем к следующему виду:

и*

r d-ф r

(21)

Полученное уравнение (21) представим в виде:

УУ (в+ L3y )и+ = -i-g-e~' 1

r ay r

(22)

Если предположить, что для частиц сыпучего материала, находящихся на поверхности призмы материала, как для любого абсолютно твердого тела с некоторой долей точности выполняется соотношение:

и t

— = с = const, r

(23)

где угловая скорость вращения классифицирующей камеры ю в данном случае совпадает с угловой скоростью вращения барабана трубной мельницы.

Тогда на основании (23) уравнение (22) принимает следующий вид:

du+ в -i'g ■ <р

—+ + (— + i)u+ =-- e 1y.

dy с с

(24)

Таким образом, в рамках сделанного допущения (23) задача о движении частицы, находящейся на поверхности призмы сыпучего материала, которая совершает вращательное движение вместе с классифицирующей камерой с постоянной угловой скоростью ю с математической точки зрения сводится к решению неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в области комплексных чисел. Решение уравнения (24) можно найти, если воспользоваться методом вариации произвольной постоянной. Для этого вначале найдем решение однородного уравнения соответствующего уравнению (24) относительно неизвестной функции

U

(0)

которое имеет вид:

u + (и=о.

dy с

(25)

Уравнение (25) относительно неизвестной функции u+0) представляет собой дифференци-

альное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, решение которого имеет следующий вид:

u+0) = const ■e~(p,c+')y.

(26)

Следовательно, решение неоднородного ур авне ния (24) необходимо искать в виде:

-( )У

u+ (y) = Ф(у>e с ,

(27)

где неизвестная функция Ф(ф) должна удовлетворять следующему уравнению:

• в y

Ф(у) = -1-gge с +C в '

(28)

здесь С - константа интегрирования.

Учет соотношения (28) позволяет представить соотношение (27) в виде:

u y) = Сe

- (в+1 )y

с

.L£e> у.

в

(29)

Значение константы интегрирования С можно найти из начальных условий, связанных с локальной подвижной системой координат и началом координат в центре масс выделенной частицы материала:

Ф=0, и* (ф=фо)=ю-Ко,

и (ф=фо)=0,

и+ (ф=фо)=/'-ш-Ко.

Здесь Ио - расстояние от центра масс выделенной частицы, находящейся на поверхности призмы материала в классифицирующей камере, до оси вращения барабана трубной мельницы в начальный момент времени, м (рис. 1).

На основании условий (30) находим, что в данном случае константу интегрирования С необходимо положить равной:

C = 1(с ■ R + ge-■У

Ч) в

)e

с)

с

(31)

На основании соотношений (28) и (31) при условии малости коэффициента пропорциональности в находим, что:

в е

иг = яп(*-*0> »•^•(1--(*-*))--®1п(*) •(*-*))•

(32)

в g

■ cos(y - Уо)(1--(y - Уо))--cos(y) ■ (y - Уо)-

с с

(33)

Сравнение соотношений (32) и (33) позволяет заключить, что:

в я г (ф) = совО - ф0)(1--(ф-фо))- Яо--гс0в(ф) -(р-%)

ния просеивающей поверхности, определенный в работе [3].

а-с

а

а

(34)

Для определения среднего значения тангенциальной составляющей скорости перемещения при условии истечения сыпучего материала через эллиптические отверстия просеивающей поверхности необходимо уменьшить величину скорости на величину проекции иср на единичный орт и ввести коэффициент живого сече-

а-с Г „ _ в

• ф

(а+Ь)(с Щ(а'-а"-С08(О)). (35)

где Ь - ширина перемычек просеивающей поверхности, м; а, с - ширина и длина ячеек просеивающей поверхности соответственно, м.

Подставляя значение средней скорости истечения материала Зср и выражение (33) в соотношение (35), получаем:

я

а • Яо- с0в(ф - фоX1--ф-фо))--с0в(о) - (ф - фо ) .

а а 3с

8г2 а Ф(

2с2

1)

сов(ф)

(36)

Соотношение (35) с учетом истечения материала через отверстия эллиптической формы с полуосями а/2 и с/2 примет вид:

в я 8г2 а2

Г(ф) = Яо - с0в(ф - Фо )(1--(Ф - Фо))--2 С0в(ф) - (Ф - Фо) - ^ Ф(Т

а

а

3с 2с 2

-1)-

к-1

•X,1 -I

4г •п

С0в(ф).

п=о \ V с У Выражения (32) и (36) определяют радиальную и тангенциальную составляющие скорости перемещения выделенной частицы, находящейся на поверхности призмы материала в классифицирующей камере, в зависимости от угла ее поворота. Тангенциальная составляющая скорости перемещения определяет движение материала через выпускные отверстия просеивающей поверхности, радиальная составляющая - движение частиц по поверхности и вглубь призмы материала. На рис. 2 приведены изменения кинематических характеристик частицы, находящейся на поверхности призмы грубомо-лотого клинкера, расположенного на вибрирующей вращающейся просеивающей поверхности классифицирующей перегородки трубной мельницы 03,2^15 м. Описанное явление подтверждает также графическая зависимость, приведенная на рис. 2, а. Величина расстояния г от центра вращения до центра тяжести частицы

(37)

материала уменьшается пропорционально увеличению угла поворота.

Как видно из рис. 2, б при увеличении угла поворота барабана трубной мельницы происходит движение выделенной частицы вдоль еди-

е

ничного орта ^ ф полярной системы координат

вместе с просеивающей поверхностью, которое обусловлено вращением классифицирующей камера с угловой скоростью а. При этом величина тангенциальной скорости уменьшается пропорционально увеличению угла ф. При Ио=1,5 м, фо=о,1 рад, ф=о,733 рад (42°) тангенциальная скорость станет равной нулю, что говорит о полном истечении материала через просеивающую поверхность. Значение угла ф=42° близко к значению угла естественного откоса грубомолотого клинкера (е=43°).

Рис. 2. Графические зависимости, описывающие движение выделенной частицы клинкера при ю=1,95 рад/с; ю0=200 кол/с; гэ=0,00036 м; р=3100 кг/м3; р0=1300 кг/м3; а=0,005 м; ¿=0,02 м; с=0,034 м: а) у=х(*Д0,фо); б) у=&ф(*,Лаф0), 1 - Яо=1,5 м, *0=0,1 рад; 2- И0=1,42 м; *0=0,05 рад; 3 - И0=1,34 м; *0=0 рад

Полученные аналитические выражения дают возможность с учетом характеристик сыпучей среды определить рациональные значения конструктивно-технологических параметров классифицирующей перегородки.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

1. Патент на полезную модель РФ №74313, МПК В 02 С 17/18. Межкамерная классифицирующая перегородка трубной мельницы/ Ханин С. И., Богданов В. С., ХанинаО. С., Воронов В. П.; заявитель и патентообладатель Белгородский гос-й технол. унв-т. им. В. Г. Шухова. - №20068100993; опуб. 27. 06. 2008, Бюл. №18. - 2 с.

2. Гячев Л. В. Основы теории бункеров./Л. В. Гячев. - Новосибирск: Изд-во Носиб. ун-та, 1992. -312 с.

3. Вайсберг Л. А. Просеивающие поверхности грохотов. Конструкции, материалы, опыт применения/Л. А. Вайсберг, А. Н. Картавый, А. Н. Коровников. - СПб.: Изд-во ВСЕГЕИ, 2005. - 252 с.

Статья подготовлена и опубликована при финансовой поддержке Федерального агентства по науке и инновациям совместно с Советом по грантам при Президенте Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых (грант МК-3414.2009.8).