CC BY
17
6. Shannon, С. E. Mathematical Theory of Communication. Bell System Tech. J., 1948, no. 27, pt. I., 379-423; pt. II., 623-656.
7. Дулесов, А. С. Показатель разграничения уровня надёжности технической системы по качественному признаку: энтропийный подход / А. С. Дулесов, Н. В. Дулесова, Д. Ю. Карандеев // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 2 (часть 3). - С. 477-481.
8. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом минимальных путей / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев, Н. Н. Кондрат // Современные наукоёмкие технологии. - 2016. - № 2 (часть 3). - С. 425-429.
9. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом минимальных сечений / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 3 (часть 3). - С. 472-476.
10. Дулесов, А. С. Построение оптимальной структуры технической системы методом «ветвей и границ» с учётом критериев экономичности и надёжности / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев // Надёжность и безопасность энергетики. - 2016. - № 2 (33). - С. 56-59.
11. Dulesov, A. S. Optimal redundancy of radial distribution networks by criteria of reliability and information uncertainty / A. S. Dulesov, D. J. Karandeev, N. V. Dulesova // 3nd International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM-2017). -Pp. 1-4. DOI: 10.1109/ICIEAM.2017.8076467.
12. Dulesov, A. S. Reliability analysis of distribution network of mining enterprises electrical power supply based on measure of information uncertainty / A. S. Dulesov, D. J. Karandeev, N. V. Dulesova // 2017 IOP Conference Series: Earth and Environmental Science (EES) 87.- Pp. 1-6.
13. Dulesov, A. S., Karandeev D. J., Krasnova T. G. The evaluation of the correlation between entropy and negentropy in the structure of a technical system // 2017 International Conference on Modern Trends in Manufacturing Technologies and Equipment (ICMTMTE) 129. Pp. 1-4. DOI: https://doi.org/10.1051/matecconf/201712903005
© Карандеев Д. Ю., 2017
УДК 621.391
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНТРОПИИ В СТРУКТУРЕ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗЛИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ ПОИСКА ПУТЕЙ В ОРИЕНТИРОВАННОМ ГРАФЕ
Н. Н. Кондрат
Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова
Рассматриваются методы вычисления энтропии в структуре технической системы, основанные на способах построения путей в ориентированном графе. Показателями структуры являются вероятности состояний элементов системы, которые разделены по качественному признаку на два противоположных состояния. Показаны способы построения путей в орграфе, состоящих из вершин графа, и переход к получению путей, состоящих из элементов, расположенных на соответствующих дугах графа.
Ключевые слова: количество информации, метод минимальных путей, метод полного перебора, ориентированный граф, структура технической системы, энтропия.
Структура технической системы характеризуется количеством элементов, её образующих, и способом их соединения. Поскольку большинство реальных технических систем предназначено для доставки ресурсов потребителю (воды, нефти, газа, электроэнергии и т. п.), то структуру таких систем можно изобразить в виде ориентированного графа [1; 2].
Простейшая техническая система может состоять из двух элементов, которые соединены либо параллельно, либо последовательно (рис. 1). Гораздо чаще подобные виды соединения элементов чередуются и образуют различные подграфы с параллельным и последовательным соединением элементов (рис. 2).
Рис. 1. Последовательное и параллельное соединения элементов
Рис. 2. Структура системы с последовательным и параллельным соединениями элементов
Поскольку количество информации и энтропия связаны простым соотношением I = —Н и именно энтропия
выступает как мера неопределённости, можем определить энтропию следующим образом:
2 2
нр>.1 ■ 1о§2 р 1 ¡=1 1 =1
Однако эта формула не учитывает способ соединения элементов. Элементы могут быть как в работоспособном, так и неработоспособном состояниях. В случае последовательного соединения из четырёх возможных состояний системы (оба элемента работают; первый работает, второй не работает; первый не работает, второй
работает; оба не работают) работоспособным состоянием будет только одно состояние: оба элемента работают. В случае параллельного соединения таких состояний уже три; неработоспособным будет только одно состояние: оба элемента не работают.
Реальные технические системы имеют сложную структуру со множеством элементов. Элементы могут соединяться различными способами, поэтому необходимо учитывать возможность существования подграфов с параллельным и последовательным соединениями элементов, для которых возможно применение эквиваленти-рования. Для поиска полных путей в графе, то есть путей, соединяющих начальную вершину графа с конечной, можно воспользоваться методом полного перебора; для нахождения минимального пути - методом фронта волны.
Вычисление энтропии предполагает работу с путём, состоящим из элементов, а путь в графе строится по вершинам; задача построения путей распадается на две подзадачи:
- нахождение пути, состоящего из вершин графа;
- построение пути, состоящего из элементов на основе пути, полученного в предыдущем пункте.
Первая задача может быть решена различными способами, вторая же может быть реализована однозначно, вне зависимости от способа получения пути, состоящего из вершин.
Алгоритм построения всех путей в ориентированном графе без циклов и петель заключается в следующем. Пусть граф задан рёбрами «вершина - вершина» в виде матрицы, первая строка которой есть начальная вершина ребра, вторая строка - конечная вершина ребра. Начальная вершина графа имеет номер «1», будем называть её «йгеМор»; номер конечной вершины в общем случае заранее неизвестен, будем обозначать её «е^_;ор». Для построения всех путей из начальной вершины в конечную был реализован следующий алгоритм [3].
Построение всех путей в орграфе
По первой строке матрицы определяем все рёбра, которые начинаются с исходной вершины и создаём соответствующее количество путей. Значение первого элемента, лежащего на пути, во всех случаях равно «1». По второй строке определяем вершины, которыми заканчиваются рёбра, и «достраиваем» пути этими вершинами. Получаем пути, длина которых равна двум. По последним элементам получившихся путей и исходной матрице, по которой определяется граф, находим следующее ребро и следующую вершину пути.
В ходе построения путей могут возникнуть две ситуации, требующие дополнительных проверок. Поскольку в структуре системы встречаются «мостики», которые в графе обозначаются как встречно направленные дуги, необходимо проверять получаемые пути на циклы. Если в построенной части пути уже встречается вершина с таким же номером, то возникает зацикливание. Повторяющуюся вершину к новому пути не добавляем и убираем такой путь из рассмотрения.
Вторая ситуация, требующая проверки, это достижение конечной вершины графа. Полагаем, что в этом случае получен один из путей, поэтому убираем его из рассмотрения (алгоритма построения путей) и переносим полученный путь в список полных путей. Алгоритм повторяется рекурсивно до тех пор, пока не будут получены все полные пути, то есть список промежуточных путей не окажется пустым.
Подобная задача имеет решение, поскольку рассматриваемый граф не имеет висячих и тупиковых вершин, и зацикливающиеся пути исключаются из рассмотрения.
Алгоритм поиска минимальных путей
Построение всех путей в ориентированном графе имеет существенный недостаток: при возрастании количества элементов в системе количество возможных путей, а следовательно, и вычислений, связанных с этими путями, растёт экспоненциально. Чтобы избежать подобной ситуации и всё-таки оценить структуру системы, необходимо уменьшить количество рассматриваемых путей. Минимальные пути для мостиковой схемы представлены на рисунке 3.
Алгоритм фронта волны позволяет найти минимальный путь от начальной до конечной вершины в ориентированном графе без учёта весов рёбер. Этот алгоритм имеет рекурсивную структуру и заключается в следующем. Поиск пути основывается на матрице смежности, и он включает два этапа:
- распространение волны;
- восстановление пути [1].
Начальная вершина помечается индексом «0», и по матрице смежности определяются вершины графа, в которые можно перейти из начальной. Далее осуществляется переход в доступные вершины, которые помечаются индексом «1» - первый фронт волны.
Следующий шаг - определение очередного списка вершин, достижимых из вершин, помеченных индексом «1», то есть определение второго фронта волны и обозначение соответствующих вершин индексом «2» и т. д. до тех пор, пока не будет достигнута последняя вершина графа.
Восстановление минимального пути происходит обратным ходом. Пусть номер волны последней вершины графа равен Ь От последней вершины переходим к вершине, для которой номер волны на единицу меньше, чем номер волны конечной вершины, то есть ^1. Затем определяется вершина с номером ^2 и т. д., пока не восстановим весь путь [4].
Метод минимальных сечений
Минимальное сечение - это минимальный набор элементов, одновременный отказ которых приводит к отказу всей системы, а возвращение хотя бы одного из них к работоспособному состоянию восстанавливает работоспособное состояние всей системы. Пример минимальных сечений для мостиковой схемы показан на рисунке 4.
Процесс построения минимальных сечений связан с поиском Ж-деревьев графа и состоит из нескольких этапов:
- построение матрицы смежности;
- составление №-деревьев;
- получение сечений для каждого № дерева;
- выбор всех минимальных сечений [4; 5].
Дерево N1 состоит только из одной начальной вершины. К начальной вершине графа присоединяются вершины, непосредственно с ней связанные, - это дерево N2. Далее получаются все последующие деревья присоединением вершин, связанных хотя бы с одной вершиной, принадлежащей №-1 дереву, за исключением последней вершины.
Сечения определяются путём определения рёбер, непосредственно связанных с вершинами №-деревьев [2]. Среди всех найденных сечений определяются минимальные.
Рис. 3. Минимальные пути для мостиковой структуры
1 3
—
2 4
2 1
3 4
5 5
Рис. 4. Минимальные сечения мостиковой структуры
Поскольку два из рассмотренных алгоритмов, а именно алгоритм полного перебора и алгоритм фронта волны, позволяют получить пути графа, состоящие из вершин, а вычисление энтропии системы базируется на расчётах, связанных с элементами системы, которые, в свою очередь, лежат на рёбрах графа, необходимо перейти к путям, состоящих из элементов. Исходный граф задавался не просто перечнем рёбер «вершина - вершина», но и указанием элементов, лежащих на соответствующих рёбрах. Поэтому переход к путям, состоящим и элементов, не представляет большой трудности.
Алгоритм раздельного вычисления энтропии
Заключительный этап определения энтропии структуры технической системы заключается в вычислении самой энтропии. Наибольший интерес представляет раздельное вычисление энтропии работоспособного и неработоспособного состояний системы.
Общее количество состояний системы определяется величиной 2П, где n - количество элементов системы. Все эти состояния можно описать в виде двоичных чисел длины n, где работоспособному состоянию элемента соответствует символ «1», а неработоспособному - символ «0». Список всех возможных состояний системы, включающих три элемента, будет выглядеть так:
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
Первое состояние - 000 - означает, что все элементы находятся в неработоспособном состоянии, последнее - 111 - все элементы работают. С ростом числа элементов системы возрастает и количество возможных состояний системы. Для мостиковой схемы количество таких состояний будет равняться 25 = 32.
Каждое из двоичных чисел можно записать в массив размером 2П • п, где строки соответствуют двоичному числу, а столбцы - цифрам этого числа.
Пути, состоящие из элементов системы и полученные одним из методов, описанных выше, можно записать в виде матрицы путей. В этой матрице количество строк равно количеству найденных путей, а количество столбцов - количеству элементов системы. В каждой строке матрицы элемент, лежащий на соответствующем пути, обозначен цифрой «1», то есть находится в работоспособном состоянии. Все остальные элементы обозначены символом «*». Символ «*» выбран в качестве «маски»; он означает, что элемент может находиться как в работоспособном состоянии, то есть равняться 1, так и в неработоспособном состоянии, то есть равняться 0. В качестве «маски» можно выбрать и любой другой символ [6; 7; 8].
Матрица путей для мостиковой схемы представлена в таблице.
Матрица путей для мостиковой схемы
Элементы
1 2 3 4 5
путь 1 1 1 * * *
путь 2 * * 1 1 *
путь 3 1 * * 1 1
путь 4 * 1 1 * 1
Каждую из строк двоичных чисел сравниваем со строками матрицы путей. Количество столбцов в обеих матрицах совпадает. Если в двоичной записи числа расположение единичных элементов соответствует хотя бы одной из строк матрицы путей, то такое состояние системы является работоспособным. Будем вычислять энтропию каждого состояния по формуле:
Н=П pi П ^ ^(П PI П ^
l k l k
где l - номера работающих элементов, а k - номера неработоспособных элементов.
Если состояние системы определено как работоспособное, найденное значение энтропии будем накапливать как суммарную энтропию всех работоспособных состояний системы. В противном случае будем добавлять полученное значение к суммарной энтропии неработоспособных состояний.
Данный алгоритм раздельного вычисления энтропии возможен к применению как для полного списка путей, так и для минимальных путей.
Библиографический список
1. Дистель, Р. Теория графов: пер. с англ / Р. Дистель. - Новосибирск: Изд-во института математики, 2002. - 336 с.
2. Кормен, Т. Х. Алгоритмы для работы с графами. В 8 ч. Ч. 4 / Т. Х. Кормен // Алгоритмы: построение и анализ // Introduction to Algorithms. - 2-е изд. - М.: Вильямс, 2006. - С. 1296. - С. 607-794.
3. Касьянов, В. Н. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение / В. Н. Касьянов, В. А. Евстигнеев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 1104 с.
4. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом минимальных путей / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев, Н. Н. Кондрат // Современные наукоёмкие технологии. - 2016. - № 2. - С. 425-429.
5. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом минимальных сечений / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 3. - С. 472-476.
6. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом перебора состояний / А. С. Дулесов, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 7. - Ч. 4. - С. 745-748.
7. Дулесов, А. С. Эквивалентирование количества информационной энтропии в структуре технической системы / А. С. Дулесов, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 6. - Ч. 1. - С. 14-19.
8. Дулесов, А. С. Определение для простейшей структуры технической системы количества информационной энтропии посредством её нормировки / А. С. Дулесов, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 2. Ч. 20. - С. 4008-4012.
© Кондрат Н. Н., 2017
УДК 72-032.5(571.51)
КАМЕННАЯ АРХИТЕКТУРА ГОРОДА МИНУСИНСКА КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ
Е. Н. Курышев
Научный руководитель — Н. Н. Королькова, кандидат технических наук Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова
В статье приводятся сведения, характеризующие наиболее ценные с точки зрения истории и архитектуры каменные здания г. Минусинска, проведён сравнительный анализ декорирования фасадов старинных и современных зданий с архитектурными элементами.
Ключевые слова: каменные здания, архитектура, объект, строительство, обследование, декоративные элементы.
Целью данного исследования является изучение развития архитектуры каменных зданий г. Минусинска Красноярского края.
Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи: ознакомление с историей г. Минусинска; выявление каменных зданий г. Минусинска и определение мест их расположения (от наиболее интересных исторических памятников до современных построек); изучение архивных данных об исследуемых зданиях; проведение визуальных обследований и установление назначения зданий в современных условиях; составление хронологии построек этих зданий; выявление элементов, представляющих художественную и архитектурную ценность (сравнение старых и новых построек).
Минусинск - одно из старейших поселений Красноярского края. История этого города начинается в XVIII веке. К концу XIX века сложился облик Минусинска как города купцов, золотопромышленников, так и культурного центра Южной Сибири. Современный Минусинск - административный и культурный центр с населением свыше 70 тыс. чел.
В исторической части города сохранились многочисленные деревянные и каменные здания, построенные в XIX - начале XX вв. Для выявления исторически ценных каменных зданий были проведены историко-архивные исследования, которые показали, что в г. Минусинске насчитывается несколько десятков каменных зданий, представляющих интерес. К дальнейшему исследованию были выбраны семь наиболее интересных исторических зданий, а также два здания, построенных недавно.
