CC BY
9
цепи, оценивать устойчивость взаимосвязи продавца с покупателем с выявлением границ возможностей участников рынка, а также обосновывать решения о выборе управляющих воздействий на товаропоток.
Библиографический список
1. Постановление Правительства Республики Хакасия «Об утверждении региональной программы «Развитие торговли в Республике Хакасия на 2015-2017 годы» от 06.02.2015 № 32. - URL: http://www.r-19.ru/documents/postanovleniya-pravitelstva-respubliki-khakasiya/11506/ (дата обращения: 20.05.2017).
2. Приказ Министерства промышленности и торговли РФ от 25 декабря 2014 г. № 2733 «Об утверждении Стратегии развития торговли в Российской Федерации на 2015-2016 годы и период до 2020 года». - URL:
http://minpromtorg.gov.ru/common/upload/files/docs/Prikaz_Minpromtorga_Rossii_ot_25.12.2014_N_2733.pdf (дата обращения: 20.05.2017)
3. Официальный портал исполнительных органов государственной власти Республики Хакасия. - URL: http://r-19.ru (дата обращения: 20.05.2017).
4. Гиманова, И. А. Моделирование потоковых процессов торгово-посреднической системы / И. А. Гиманова // Моделирование и наукоёмкие информационные технологии в технических и социально-экономических системах: труды IV Всерос. науч.-практ. конф. с между-нар. участием; под общ. ред. В. П. Цымбала, Т. В. Киселёвой. - Новокузнецк: Изд. центр СибГИУ, 2016. - С. 320-323.
5. Гиманова, И. А. Поддержка принятия решений в системах управления торговой деятельностью / И. А. Гиманова // Современная техника и технологии. - 2016. - № 7 (59). - С. 49-50.
6. Gimanova, I. A. Simulation of economic agents interaction in a trade chain / I. A. Gimanova, A. S. Dulesov, N. V. Litvin // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conference Series 803 (2017). 012047. - URL: http://iopscience.iop.org/article /10.1088/1742-6596/803/1/012047 (дата обращения: 20.05.2017).
© Гиманова И. А., 2017
УДК 004.7
УЧЁТ КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ В ЗАДАЧАХ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРУКТУР РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЕЙ С РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ
Д. Ю. Карандеев
Научный руководитель — А. С. Дулесов, доктор технических наук, доцент Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова
В статье представлена методика учёта количества информации, содержащегося в простейшей структуре технической системы, для решения задачи, связанной с построением оптимальной структуры распределительной сети с резервированием. Метод применим для систем, в которых вероятностные состояния элементов рассматриваются как независимые и противоположные, в данном случае это работоспособное и неработоспособное состояния. Представлен пример определения количества резервных элементов и анализ полученных результатов.
Ключевые слова: количество информации, резервирование, мера неопределённости информации, информационная энтропия, структурная надёжность систем.
Введение. Сегодня при проектировании различного рода технических систем одной из наиболее важных задач является выбор наиболее оптимальной структуры проектируемой системы по ряду критериев оптимальности. Однако на практике в большей степени акцент делают на поиск наиболее дешёвых структур, то есть учитывают в основном критерий экономичности. При этом во время эксплуатации данные сэкономленные средства приходится тратить на различного рода издержки, вызванные выходом из строя отдельных элементов выбранной наиболее «дешёвой» структуры. Всё это говорит в пользу учёта, помимо критерия экономичности, также критерия надёжности. При этом уровень данной надёжности на практике учитывается не в количественной, а в качественной форме, что усложняет работу по поиску оптимального решения и не позволяет использовать известные методы оптимизации. В связи с этим имеет смысл оба упомянутых ранее критерия (экономичность и надёжность) представить именно в количественной форме, так как это позволит сформировать конкретную задачу оптимизации, решение которой уже можно будет впоследствии найти.
Применение меры неопределённости информации в качестве выражения структурной надёжности.
Любая система подвержена разнообразным воздействиям случайного характера, поэтому трудно предположить, в каком состоянии она будет находиться в тот или иной момент времени, что свидетельствует о наличии неопределённости. Под воздействием нежелательных факторов меняются структура и состояние системы, что и отражается на уровне её надёжности. Накопление, обработка и систематизация информации о состояниях системы пополняют знания и позволяют вырабатывать более эффективные решения при её проектировании и эксплуатации.
С целью конкретизации области применимости разрабатываемой методики учёта количества информации сфокусируемся на такой технической системе, как электрическая распределительная сеть. Как было сказано ранее, любая система подвержена каким-либо воздействиям случайного характера. В данном случае составляющие распределительной сети (например, трансформаторы, линии электропередач и т. д.) в ходе эксплуатации подвержены воздействию окружающей среды, которое также имеет природу случайного характера. В связи с этим целесообразным является применение вероятностного подхода; в частности, критерий надёжности можно попытаться выразить через инструменты прочих областей знаний, имеющих связь с вероятностными величинами. В связи с этим можно для выражения структурной надёжности технической системы прибегнуть к та-
кому направлению теоретической информатики, как теория информации [1], основоположниками которой были такие великие учёные, как Ральф Винтон Лайон Хартли [2], Клод Элвуд Шеннон [3] и наш соотечественник А. Н. Колмогоров [4].
На основе анализа статистических данных работы элементов рассматриваемой структуры распределительной сети можно сформировать базу данных по отказам данных элементов и тем самым выразить вероятностную величину неработоспособности q элементов. Таким же способом можно вычислить вероятность безотказной работы элементов, то есть вероятностную величину их работоспособности p. Напомним, что связь между этими двумя величинами выражается формулой: p + q = 1. Допустим, вероятность того, что линия электропередач будет работать, равняется 0,9 (то есть вероятность работоспособного состояния данного элемента p = 0,9, или 90 %). Вероятность того, что она выйдет из строя, составляет ровно 0,1 (10 %), причём данные вероятностные величины в сумме для одного элемента системы всегда равны единице (то есть 100 %). Безусловно, помимо двух состояний, элемент может пребывать в ещё большем количестве состояний, например, ремонтном, когда элемент хотя и не работает в данный конкретный момент, но нельзя сказать, что он пребывает в неработоспособном состоянии. Однако в настоящей работе ограничимся лишь двумя противоположными состояниями. При этом стоит отметить, что сложность заключается в разграничении данных показателей.
Далее можно прибегнуть к такому инструменту теории информации, как мера неопределённости информации [5], позволяющая вычислять в количественной форме информацию дискретных систем по известной формуле Клода Шеннона [6]:
I = -£p. logPi, при условии = ^ (1)
1=1 1=1
где pi - вероятность появления события i = 1,2,...и.
Рассмотрим применение данной формулы в задаче выражения количественной величины структурной надёжности рассматриваемой в статье распределительной сети. При этом расчёт количества информации с разграниченными состояниями возможен путём модернизации формулы, так как формула (1) позволила бы рассчитать количество информации лишь одного элемента и к тому же данный элемент должен был бы иметь полностью независимое состояние. Поэтому согласно результатам расчётов, описанных в статье [7], следует преобразовать формулу (1) в следующий вид:
H = -(p log2 p + q log2 q), при условии p + q = 1. (2)
При этом логарифм берётся с основанием 2 по той причине, что мы рассматриваем лишь два противоположных состояния: работоспособное и неработоспособное. В перспективе, при добавлении прочих состояний (например, ремонтное), нужно будет данное основание менять в большую сторону.
Построение структуры сети с резервированием, учитывая меру неопределённости информации. Непосредственно структуру проектируемой распределительной сети можно представить в виде неориентированного графа, имеющего как минимум один источник питания (И) и несколько потребителей (П). При этом рёбра в данном графе будут представлять собой аналог линий электропередач. Стоит учесть, что использовать в чистом виде формулу (2) для расчёта количества информации в данной структуре нельзя в силу того, что разные структуры имеют разные топологии, и, следовательно, связи между элементами данных топологий также в большой степени разнятся, поэтому требуются более сложные математические расчёты для преобразования топологий в более удобный вид (некоторые возможные алгоритмы данных преобразований представлены в статьях [8; 9]). Но, даже используя различного рода алгоритмы, к сожалению, нельзя пренебречь и всем известным «проклятьем размерности», при большом количестве потребителей даже самые идеальные методы не позволят обойти данное проклятье в ходе работы и поиска решения. В таком случае следует применять эвристические методы поиска решений (например, генетический алгоритм).
Рассмотрим математическую модель построения оптимальной структуры распределительной сети с резервированием. Как известно, из результатов, представленных в статье [10], критерии оптимальности по экономичности и надёжности можно выразить следующей системой уравнения:
ZcJxj ^ min; (3)
P(k,2) >P2;
P(k,3) > P3;
P(k,l) > P„ (4)
где Cj - величина стоимости элемента, выраженная в валюте; l - номер потребителя электроэнергии; k - номер источника питания; P(k,l) - вероятность работоспособного состояния линии, по которой электроэнергией снабжается потребитель l; Pl - принятое значение необходимой вероятности в обеспечении бесперебойного снабжения потребителя l электроэнергией.
Если выразить формулу (4) с помощью меры неопределённости информации [11-13], данная формула примет следующий вид:
H(P01) > H°(P01);
H(Poi) > H0(Poi); =>
gf1log2 qi < H0 (Qi);
(5)
q/ log2 qj < H (Qj );
q'n- log2 q„ < H °(Q„ );
где x - количество резервных элементов; h 0(Q) - граничная (критическая) величина энтропии, при несоблюдении которой нарушается условие достижения требуемого числа резервных элементов; H(P0l) - энтропия работоспособного состояния связи 0-1, по которой протекает энергия от источника к потребителю; 0 - номер источника питания; H°(P0l) - заданная граничная величина энтропии как меры обеспечения бесперебойного снабжения энергией по связи 0-1 потребителя l.
Пример. Рассмотрим пример расчёта количества резервирующих элементов для структуры произвольной распределительной сети, состоящей из 6 последовательно соединённых элементов. Примем для всех элементов p = 0,9, q = 1 - p = 0,1. Количество часов допустимого отказа для каждого элемента равно 100 ч.
Решение. Для установления величины H0q) достаточно задать ожидаемое число часов неработоспособного
М/ состояния группы j и определить его по формуле H0(Q ) = H(Mq). В нашем случае среднее время аварийного
1 н
простоя элемента или потребителя энергии Mq не должно быть меньше 100 часов в году, причём всего в году 8 760 часов (не учитывая високосный год). Тогда время наработки на отказ Mp= 8 760 - 100 = 8 660 часов. Таким образом, вероятности: p = 0,866; q = 0,01. Критическая величина энтропии для группы элементов:
н = H(Mp) + н(Ма) = plog2 Mp + qlog2 Mq = 0,866 log2 8660 + 0,01log2100 = 11,39. H0(Q ) = H(M/) = °'066 = 00058
1 H 11,39
Решение находим по выражению согласно формуле:
H(Q) « -x1/1X1 • log2 q1 - x2/2 log2 q2 - x3/33 log2 /з - (6)
- x4/44 • log2 /4 - x5/5 log2 q5 - x6/? log2 /6 < H°(Qj X
Подставив в формулу (6) необходимые величины и выполняя подстановки целочисленных значений х, получим следующие результаты:
H(Q) ~-6 • (x • 0,1х • log2 0,1) < 0,0058 => xb6 = 4 (6)
Тем самым каждому элементу пути для должного уровня надёжности требуется в среднем по четырём резервным элементам. Стоит учесть, что количество резервных элементов может варьироваться в зависимости от близости потребителя к источнику, то есть потребителя, находящегося наиболее близко от источника, стоит оборудовать большим количеством резервных элементов в силу того, что в данной структуре от данного элемента будет зависеть запитывание электроэнергией прочих элементов и работоспособность данного элемента в большей степени важна, нежели прочих.
Проанализируем полученные значения. Как видно из выражений (6), рассматриваемая структура обладает высокой степенью неработоспособного состояния. С точки зрения структурной надёжности структура такого вида не обладает высоким уровнем надёжности в обеспечении потребителей энергоресурсами. В итоге именно по этой причине общее количество резервных элементов получилось внушительным.
Заключение. В результате всего сказанного можно констатировать целесообразность дальнейших исследований в области применения инструментов из теории информации для решения задач из области проектирования оптимальных технических систем. В перспективе можно было бы расширить область применимости данных инструментов до систем прочего рода. В предложенной работе продемонстрированы результаты по учёту количества информации, содержащегося в структуре такой технической системы, как распределительная сеть. В частности, продемонстрирована возможность выражения уровня надёжности данной системы через меру неопределённости информации. В итоге, как видно из расчётов, поиск минимума затрат на создание сети с резервированием связан с учётом меры информации, измеряющей надёжность структуры сети. Определив граничную величину энтропии работоспособного или неработоспособного состояния, сопоставив её с соответствующей величиной рассматриваемого участка сети и применив метод нелинейного программирования, можно построить распределительную сеть с минимальными затратами и требуемым уровнем надёжности.
Библиографический список
1. Карандеев, Д. Ю. Развитие концепции Smart Grid в области проектирования систем электроснабжения при поддержке теории информации / Д. Ю. Карандеев // Интеллектуальные энергосистемы: мат-лы IV Международного форума. В 3-х т. Т. 2. - 2016. - С. 277-280.
2. Hartley, R. V. L. Transmission of Information, Bell System Technical Journal, Volume 7, Number 3, pp. 535-563, (July 1928).
3. Shannon, C. E. Communication Theory of Secrecy Systems. Bell System Tech. J., vol. 28, pp. 656-715, Oct., 1949.
4. Колмогоров, А. Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» / А. Н. Колмогоров // Проблемы передачи информации. - 1965. - Т. 1. № 1 - С. 3-11.
5. Дулесов, А. С. Возможности применения выражения Шеннона при определении количества информации / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев, Н. Н. Кондрат // Вестник Хакасского государственного университета им. Н. Ф. Катанова. - 2016. - № 15. - С. 5-7.
6. Shannon, С. E. Mathematical Theory of Communication. Bell System Tech. J., 1948, no. 27, pt. I., 379-423; pt. II., 623-656.
7. Дулесов, А. С. Показатель разграничения уровня надёжности технической системы по качественному признаку: энтропийный подход / А. С. Дулесов, Н. В. Дулесова, Д. Ю. Карандеев // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 2 (часть 3). - С. 477-481.
8. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом минимальных путей / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев, Н. Н. Кондрат // Современные наукоёмкие технологии. - 2016. - № 2 (часть 3). - С. 425-429.
9. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом минимальных сечений / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 3 (часть 3). - С. 472-476.
10. Дулесов, А. С. Построение оптимальной структуры технической системы методом «ветвей и границ» с учётом критериев экономичности и надёжности / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев // Надёжность и безопасность энергетики. - 2016. - № 2 (33). - С. 56-59.
11. Dulesov, A. S. Optimal redundancy of radial distribution networks by criteria of reliability and information uncertainty / A. S. Dulesov, D. J. Karandeev, N. V. Dulesova // 3nd International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM-2017). -Pp. 1-4. DOI: 10.1109/ICIEAM.2017.8076467.
12. Dulesov, A. S. Reliability analysis of distribution network of mining enterprises electrical power supply based on measure of information uncertainty / A. S. Dulesov, D. J. Karandeev, N. V. Dulesova // 2017 IOP Conference Series: Earth and Environmental Science (EES) 87.- Pp. 1-6.
13. Dulesov, A. S., Karandeev D. J., Krasnova T. G. The evaluation of the correlation between entropy and negentropy in the structure of a technical system // 2017 International Conference on Modern Trends in Manufacturing Technologies and Equipment (ICMTMTE) 129. Pp. 1-4. DOI: https://doi.org/10.1051/matecconf/201712903005
© Карандеев Д. Ю., 2017
УДК 621.391
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНТРОПИИ В СТРУКТУРЕ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗЛИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ ПОИСКА ПУТЕЙ В ОРИЕНТИРОВАННОМ ГРАФЕ
Н. Н. Кондрат
Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова
Рассматриваются методы вычисления энтропии в структуре технической системы, основанные на способах построения путей в ориентированном графе. Показателями структуры являются вероятности состояний элементов системы, которые разделены по качественному признаку на два противоположных состояния. Показаны способы построения путей в орграфе, состоящих из вершин графа, и переход к получению путей, состоящих из элементов, расположенных на соответствующих дугах графа.
Ключевые слова: количество информации, метод минимальных путей, метод полного перебора, ориентированный граф, структура технической системы, энтропия.
Структура технической системы характеризуется количеством элементов, её образующих, и способом их соединения. Поскольку большинство реальных технических систем предназначено для доставки ресурсов потребителю (воды, нефти, газа, электроэнергии и т. п.), то структуру таких систем можно изобразить в виде ориентированного графа [1; 2].
Простейшая техническая система может состоять из двух элементов, которые соединены либо параллельно, либо последовательно (рис. 1). Гораздо чаще подобные виды соединения элементов чередуются и образуют различные подграфы с параллельным и последовательным соединением элементов (рис. 2).
Рис. 1. Последовательное и параллельное соединения элементов
Рис. 2. Структура системы с последовательным и параллельным соединениями элементов
Поскольку количество информации и энтропия связаны простым соотношением I = —Н и именно энтропия
выступает как мера неопределённости, можем определить энтропию следующим образом:
2 2
н^ ■ 1о§2 ^} ¡=1 ] =1
Однако эта формула не учитывает способ соединения элементов. Элементы могут быть как в работоспособном, так и неработоспособном состояниях. В случае последовательного соединения из четырёх возможных состояний системы (оба элемента работают; первый работает, второй не работает; первый не работает, второй
