CC BY
30
УДК 66.011
С. А. Мерзляков, Д. В. Елизаров, В. В. Елизаров ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ КОНТАКТНЫХ СТУПЕНЕЙ ПРОЦЕССА РАЗДЕЛЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ ПО СТЕПЕНИ ИХ ИЗВЛЕЧЕНИЯ
Ключевые слова: ячеечная модель, локальный потенциал, степень извлечения, уравнения переноса импульса и
массы.
Предлагается оценивать эффективность разделения компонентов на тарелках в ректификационных колоннах по степени их извлечения c помощью ячеечной модели. Для этого определяется количество и размер ячеек, а также скорости жидкости в ячейках. Для тарелок различных диаметров приводится математическая модель и результаты расчета количества и размеров ячеек, скоростей в ячейках, концентраций и степени извлечения в отдельных ячейках и всей тарелки.
Keywords: cell model, local potential, degree of extraction, equation of impulse transfer and mass.
It is offered to estimate efficiency of division of components on trays in distillation columns on degree of their extraction, with using cell model. The quantity and the size of cells, and also speeds of a liquid in cells is for this purpose defined. For trays of various diameters the mathematical model and results of calculation of quantity and the sizes of cells, speeds in cells, concentration and extraction degree in separate cells and all tray is resulted.
Уравнения переноса импульса и массы в турбулентном потоке жидкости в барботажном слое на контактном устройстве без учета поперечного перемешивания имеют вид [1]:
du d2u dx d2x / . \
= Vtd?'uW dç7 + Kxv(x -x). (1)
Граничные условия для уравнения (1) имеют вид:
,0 х = х0, при £ = 0, dx
= 0, при £ = 1.
и = и du ^ d£,
Здесь Кху - объемный коэффициент массопередачи по жидкой фазе; VI и -коэффициент турбулентной вязкости и диффузии; £ - безразмерная продольная координата
на плоскости контактного устройства; х - концентрация жидкости, равновесная с уходящим паром; и - продольная скорость; х - концентрация компонента в жидкой фазе.
Одним из способов оценки эффективности разделения на контактном устройстве является степень извлечения компонента ф . Для расчета ф представим процесс разделения в барботажном слое в виде многостадийного процесса (рис. 1), где под стадией понимается участок барботажного слоя жидкости на контактном устройстве фиксированного размера (ячейка).
\IL Î
У 2
1
Ук
U0 » 1 u 2 U2 Ui-1 Ui UN-1
хо xi X2 Xi-1 Xi XN-1
і L A k і
Gi Уо G2 1 Уо GM Уо Gn
Уо
Рис. 1 - Разбиение плоскости контактного устройства на ячейки
140
У
u
N
Степень извлечения низкокипящего компонента (НКК) и высококипящего компонента (ВКК) в () ой ячейке:
(хнк хнк ) (хвк хвк )
Фи = Xн- ц = , Фвк= V 1-1’]/,] = 1,2,...,к,1 = 1,2,...,М,г = ! + к, (2)
х1-г] х1-и
где ! - количество извлекаемых НКК, к - количество извлекаемых ВКК, г - общее количество компонентов.
Для определения концентраций компонентов входящих в уравнения (2), решается система уравнений (1), представленная в конечных разностях:
Си■ „ - и ) Си■ „ + 2и - и (х: 1 : - X: : ) (х: 1 ; + 2Х:: - X: ,1| ) / * \
и^и1-Ь_и^ = У1,/и'-1 + Г1!1 и'+^, Ц1 ^ 1 ^ ^ 1+^+Кхуи(-хи), (3)
ь| ь| ь|
где х^ц - концентрации (¡)ого компонента и скорости в (¡)ой ячейке контактного устройства; Ь| - длина (|) ой ячейки; и Dt| j - коэффициент турбулентной вязкости и
диффузии « Dt|’j) в (|) ой ячейке; Кху^ - объемный коэффициент массопередачи (]) ого компонента в (|) ой ячейке; х^ - концентрация жидкости, равновесная с уходящим паром (¡)ого компонента ()ой ячейки; 0| - расход пара, проходящего через ()ую ячейку; у0 -
концентрация приходящего пара.
Концентрация жидкости, равновесная с уходящим паром:
хи = , (4)
’j ти
где ти, у^ - коэффициент распределения и концентрация пара 0)ого компонента, уходящего
с ()ой ячейки.
Коэффициент распределения имеет вид:
Р*
ти = -р, (5)
где Р - давление насыщенных паров НКК (¡) ого компонента в (|) ой ячейке, определяемое по
уравнению Антуана или Риделя-Планка-Миллера, Р - давление в системе.
При полном перемешивании жидкости в ячейке, концентрация уходящего пара:
Уу = Уо +Ли(Уу- Уо), (6)
где ^ - эффективность (|)ой ячейке по (¡)ому компоненту - ^ =1 - [2, 3]; у0 -
средняя концентрация приходящего пара; уи концентрация (|) ого компонента, равновесная с
жидкостью покидающей ()ую ячейку, Куу|j - объемный коэффициент массопередачи (|)ого
компонента в (|) ой ячейке.
Коэффициент турбулентной вязкости определяется в виде [1]:
*4
и ж--VI ! =1.1—^,
4 8 ьи
где и Ж|. - динамическая скорость жидкости в ()ой ячейке; 8|j - энергия газа (]) ого компонента диссипируемая в жидкости ()ой ячейки [1], [3].
(Эо^о к^2 + р д1\6) - ^/2) *
^ ,--------РН\7-----------,------,и ж|- = ]1
+ 0.5дИф (7)
Рж, |
где в0|, вк| - свободное сечение ячейки и площадь ()ой ячейки; w0, wk - скорость пара в
отверстиях газораспределительных устройств и средняя скорость пара в колонне; Ист - высота столба жидкости на тарелке; рГ., рж - плотность газа и жидкости ого компонента (|)ой ячейки; Иф. - высота факела в (|)ой ячейке. Объемный коэффициент массопередачи в жидкой
и газовой фазах определяются в виде [1].
Определение скоростей, размеров ячеек и их количество определяется на основе вариационной формулировки уравнения переноса импульса. В основе вариационной формулировки лежит концепция локального потенциала [4], минимум которого приводит уравнениям Эйлера-Лагранжа, совпадающим с законом сохранения в дифференциальной форме.
Правильность построения функционала определяется получением на его основе из уравнений Эйлера-Лагранжа уравнений движения.
Локальный потенциал и уравнения Эйлера-Лагранжа:
1) для выделенных при физическом моделировании характерных областей записывается общее выражение локального потенциала по уравнениям движения (1);
2) в зависимости от конструкции контактного устройства определяются граничные условия на границах областей для уравнения (1), которые учитываются в выражениях локального потенциала для каждой характерной области;
3) скорости в характерных областях принимаются постоянными (и=СОПв1), а непрерывные производные заменяются конечными разностями и записываются локальные потенциалы Б|, для каждой характерной области в конечно-разностной форме;
4) составляется локальный потенциал для всей тарелки, содержащий локальные потенциалы характерных областей;
5) записываются условия стационарности локального потенциала относительно скоростей жидкости и размеров ячеек.
Таким образом, локальный потенциал, построенный по уравнению переноса импульса (1), для каждой ячейки барботажного слоя записывается в виде:
^л + , (8)
I" h '
Е„ =//
I h
_ u°u°--------+ -
dE, 2
Г du > 1 <N
1 dEy
h
где l ', l " - координаты границ ячеек по оси Е, ; h ', h " - координаты границ ячеек по оси ^; u0 - скорость жидкости в стационарном состоянии.
Скорость в каждой ячейке будем считать постоянной - ц = const. Запишем выражение для производной в локальном потенциале (8) в конечных разностях:
du _ ц-uM
сК; Ь
Скорость и на левой границе І -ой ячейки равна скорости в ячейке с номером І -1, на правой границе І -ой ячейки равна скорости в І -ой ячейке, т.е.:
и ¡И' = Ц-1 , и ¡И" = иі.
Тогда производные на левой и правой границах запишутся в виде:
Сиі = 2иі+1 - иі Си = 2 Ц - им
С;|іН"" ь+і + ь , с;І;='" Ьі + ьм .
Значение скоростей у приемного (и0) и сливного (ип+1) порогов запишутся в виде:
1_
ио ~ I и , ип+1 ~ ио ,
пер пер
где 1_ - объемный расход жидкости через приемный порог, 1пер - длина перегородки, Ипер -
высота перегородки. Размеры приемного и сливного порога имеют одинаковые значения.
Подставляя значения производных в конечных разностях в выражения локальных
142
потенциалов для ячеек и интегрируя по области ячеек, получим выражение локальных потенциалов в конечных разностях. Локальный потенциал для характерной области (8) имеет вид:
Ei
(u° )2(ui - ц_1) , vti
2
u; - ц
Y
i-1
Ь;
b;S; +
- vt;
2(u0+1 _ u0) bi+1 + bi
ui + vti_1
2(0 _ u0-1) Ь + Ь
Л
ui
i-1
i-1
Si , (9)
где в| - ширина ячейки I -ой ячейки.
Локальный потенциал для всей тарелки запишется в виде:
Е = £Е,. (10)
I=1
Условие стационарности локального потенциала (10) приводит к системе алгебраических уравнений относительно скоростей ц и Ь|:
=о, * = о.
0ц 0Ь|
После дифференцирования в уравнениях следует принять:
ц = ц0.
Скорости в ячейках определяются в виде:
(11)
,о
1
u = -------т--------ч
i 2bi (Ь, + , + bi)
- 3Vtibi - Vtibi +1 +
9vt2b2 + 6vt2b ь;+1 + vt2b2+1 - 4bib2+1vtiu0-1 -
8b2bi+1Vtiu0-1 - 8b2bi+1vtiu0+1 - 4b3vtiu0-1 - 8b3vtiu0+1
0.5
JJ
Уравнения для определения размера ячеек, в виду их громоздкости, здесь не приводятся.
Количество, размер ячеек определяются исходя из условия минимума локального потенциала тарелки, а также равенства нулю невязки уравнений (11), т.е.
ET =1 Ei<e,
(12)
i=1
где s - заданная погрешность расчета.
Рассмотрим ситчатую тарелку диаметром 700 мм, при разделении смеси бензол-толуол: L = 4.79 • 10-4 м3/с; G = 0.206м3/с; L/G = 0.642; P = 0.1МПа. Определим минимальное количество ячеек, их размер, а также скорости в этих ячейках по алгоритму:
• выделяем на тарелке 2 ячейки, из уравнений (11) определяем скорости и размеры
ячеек;
• вычисляем значение локального потенциала ET = E1 + Е2. Если ET <s, то количество ячеек, их размер и скорости в них удовлетворяют уравнению переноса импульса. В противном случае вводятся дополнительные ячейки и расчет повторяется. Расчет продолжается до выполнения условия (12).
• решая уравнения переноса массы, в конечных разностях для двухъячеечной модели, определяются концентрации жидкости х; в ячейках.
В таблице 1 приводится расчет скоростей, размеров ячеек и концентраций в ячейках для ситчатой тарелки диаметром 700 мм, при заданной погрешности s = 1 • 10-9, где u0 и x 0 -значение скоростей и концентраций перед приемным порогом, xn+1 и un+1 - у сливной планки.
С увеличением диаметра тарелки количество ячеек для достижения заданной точности необходимо увеличить. Так для ситчатой тарелки диаметром 1000 мм (Табл. 2) при L/G = 0.642 количество ячеек равно 3, т.к. при n = 2 значение локального потенциала не укладывается в заданную погрешность.
Таблица 1 - Значения количества ячеек, локального потенциала, размера ячеек, скоростей и концентраций на тарелке диаметром 700 мм
Количество Значение Размер ячеек, Распределение Распределение
ячеек локального м скоростей в концентраций в
потенциала ячейках, м/с ячейках, мас. дол.
b1 - 0.25 u0 = 0.01388 х0 = 0.723
n N 2 5.31* 10-10 u1 = 0.01238 х1 = 0.713
b2 -0.175 u2 = 0.01138 х2 = 0.703
un+1 = 0.01388 Xn+1 = 0701
Таблица 2 - Значения количества ячеек, локального потенциала, размера ячеек, скоростей и концентраций на тарелках диаметром 1000 мм
Количество ячеек Значение локального потенциала Размер ячеек, м Распределение скоростей в ячейках, м/с Распределение концентраций в ячейках, мас. дол.
CN N С 7.5 * 10-9
n = 3 3.04 * 10 -10 u0 = 0.0283 x0 = 0.723
b1 = 0.2 u1 = 0.0263 x1 = 0.72
b2 =0.45 u2 = 0.0268 x2 = 0.705
b3 =0.15 u3 = 0.0263 x3 = 0.703
un+1 = 0.0283 Xn+1 = 0701
На ситчатой тарелке диаметром 1200 мм, для описания процесса с заданной точностью необходимо уже 4 ячейки.
Таблица 3 - Значения количества ячеек, локального потенциала, размера ячеек, скоростей и концентраций на тарелках диаметром 1200 мм
Количество ячеек Значение локального потенциала Размер ячеек, м Распределение скоростей в ячейках, м/с Распределение концентраций в ячейках, мас. дол.
n = 3 1.2 * 10-6
u0 = 0.039 x0 = 0.723
5 .5 0. N .q" u1 = 0.0375 x1 = 0.714
II с 6.75 *10-10 b2 = 0.15 u2 = 0.0392 x2 = 0.710
b3 = 0.05 u3 = 0.0385 x3 = 0.705
b4 = 0.15 u4 = 0.0379 x4 = 0.702
un+1 = 0039 xn+1 = 0701
Степень извлечения НКК компонента имеет вид:
^нк _ ( нк нк )/ нк
^1 \Л 0,1_лМ,|//л 0,1 5
Степень извлечения НКК для первой и второй ячеек записывается в виде:
..нк _ ( нк нк ]/ нк нк _ ( нк нк ^ нк
Ф1,1 \Л0,1 " л1,1// х0,1 Ф2,] \л1,] - Л2,]//л1,]
Из второго уравнения выразим л 2к, а из первого уравнения л™
л2к = лнк(1 - фнк )(1 - ф2к). Степень извлечения для двухстадийного процесса по НКК:
(13)
(14) Тогда
ф"‘ =(ж;к - х;‘ ^х0‘ = 1-(1-ф“ )(1-фН‘ ) (15)
Обобщая это уравнение на N ячеек, получим степень извлечения НКК для N
стадийного процесса:
ф “ = 1 -п N1 (1 -фГ‘ ) (16)
В таблице 4 приведены результаты расчета степени извлечения НКК для тарелок различных диаметров
Таблица 4 - Степень извлечения НКК на тарелках различных диаметров
Диметр аппарата Кол-во ячеек Концентрации ННК в ячейках, мас. дол. Степень извлечения в ячейке (2) Степень извлечения НКК на тарелке (16)
700 2 х0 = 0.723 Фнк = 0.0276
х, = 0.713 ФЇк = 0.0138
х2 = 0.703 Ф2к = 0.014
Хп+1 = 0701
1000 3 х0 = 0.723 Фнк = 0.0276
х1 = 0.72 Ф1к = 0.00346
х2 = 0.705 Ф2к = 0.02
х3 = 0.703 Ф3к = 0.00354
хп+1 = 0.701
1200 4 х0 = 0.723 Фнк = 0 029
х1 = 0.714 Ф1к = 0.0124
х2 = 0.710 Ф2к = 0.0056
х3 = 0.705 Ф3к = 0.00704
х4 = 0.702 Фн4к = 0.00425
хп+1 = 0701
Для расчета степени извлечения ВКК используется следующая зависимость:
ФГ =П N1 (1 + ф“)-1 (17)
Результаты работы получены в рамках использования гранта президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых МД-552.2011.8 (договор № 16.120.11.552-МД от 18.02.2011).
Литература
1. Дьяконов, С.Г. Теоретические основы проектирования промышленных аппаратов химической технологии на базе сопряженного физического и математического моделирования / С.Г. Дьяконов, В.В. Елизаров,
B.И. Елизаров. - Казань: КГТУ, 2009. - 456 с.
2.Кафаров, В.В. Основы массопередачи: учеб пособие для вузов / В.В. Кафаров. - М.: Высшая школа, 1972. - 496 с.
3. Дьяконов, С.Г. Определение эффективности контактных устройств на основе гидродинамической аналогии /
C.Г. Дьяконов и др. // Вестн. Казан. технолог. ун-та. - 2009. - №3. ч. 1. - С. 57-64.
4. Гленсдорф, П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций / П. Гленсдорф, И. Пригожин. - М.: Мир, 1973. - 280 с.
© С.А. Мерзляков - программист каф. АТПП, НХТИ-КГТУ; Д. В. Елизаров - канд. техн. наук, доц. каф. АИТ КГТУ, elizarov_dv@mail.ru; В.В. Елизаров - д-р техн. наук, проф., дир. НХТИ-КГТУ
