CC BY
33
УДК 66.011
С. А. Мерзляков, Д. В. Елизаров, В. И. Елизаров
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССА МАССОПЕРЕНОСА В БАРБОТАЖНОМ СЛОЕ ПО СТЕПЕНИ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ
Ключевые слова: ячеечная модель, локальный потенциал, степень извлечения, уравнения переноса импульса и
массы.
Предлагается оценивать эффективность разделения компонентов на тарелках в ректификационных колоннах по степени их извлечения c помощью ячеечной модели. Для этого определяется количество и размер ячеек, а также скорости жидкости в ячейках. Для тарелок различных диаметров приводится математическая модель и результаты расчета количества и размеров ячеек, скоростей в ячейках, концентраций и степени извлечения в отдельных ячейках и всей тарелки.
Keywords: cell model, local potential, degree of extraction, equation of impulse transfer and mass.
It is offered to estimate efficiency of division of components on trays in distillation columns on degree of their extraction, with using cell model. The quantity and the size of cells, and also speeds of a liquid in cells is for this purpose defined. For trays of various diameters the mathematical model and results of calculation of quantity and the sizes of cells, speeds in cells, concentration and extraction degree in separate cells and all tray is resulted.
Уравнения переноса импульса и массы в турбулентном потоке жидкости в барботажном слое на контактном устройстве имеют вид [1]:
du du . д2u . д2u 1 AP du dv _
I— + v— = vt—- + vt— ------------------------, — + — = 0
д^ д^ SE, д^ p l д^ d^
dx дх _. д2x _. д2x Kxv ( u— + v— = Dt—- + Dt—- +------------I:
дЕ, д^ дЕ, д^ Уж
Граничные условия для уравнений (1) имеют вид:
(1)
о о с п ди йх _ .
и = и , х = х при С = 0 , ------=-= 0 , при 7] = 1 ,
дц дц
ди дх _ „ . ди дх ду _ _
— = — = 0 при с = 1, — = — = — = 0 при 7 = 0.
дС дС дц дц дц
Здесь Кху - коэффициент массопередачи по жидкой фазе; VI и й1 - коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии; С, 7 - безразмерные продольная и поперечная
координаты на плоскости контактного устройства; х - концентрация жидкости, равновесная с уходящим паром; и - продольная скорость; V - поперечная скорость; х - концентрация компонента в жидкой фазе; р - плотность жидкости; АР - перепад давлений на тарелке, I -длина пути жидкости; - объем жидкости.
Одним из способов оценки эффективности разделения на контактном устройстве является степень извлечения компонента ф . Для расчета ф представим процесс разделения в барботажном слое в виде многостадийного процесса (рис. 1), где под стадией понимается участок барботажного слоя жидкости на контактном устройстве фиксированного размера (ячейка). Разобьем зону контакта тарелки на М х N ячеек (рис.1).
Расчет ректификационных аппаратов в большинстве случаев производится по одному ключевому компоненту либо низкокипящему компоненту (НКК), либо высококипящему компоненту (ВКК).
Рис. 1 - Разбиение плоскости контактного устройства на ячейки
Степень извлечения НКК и ВКК в (і, ]) ой ячейке:
(хнк _ хнк) (хвк _ хвк .)
ЯЇ = Н Ц ■ «Т = ^ і’1 вк .і = 1.2 М,| = 1,2 N, (2)
хнк хвк
і-1.1 Хі-1.І
Для определения концентраций компонентов входящих в уравнения (2), решается система уравнений (1), представленная в конечных разностях:
.. им-1 - иі.і , „ иі-1.І- иі.і * Чи + 2ии- ии+1 , * иі-и+ 2иу- иі+1,І 1 АР
Ц і-----------+ Уі і -------- = і -----------7.---------+
4 Ь . э і.і Ь2 . э2 о Ь
■'і.І аі.| иі.| аі.| Р\,\ иі.|
иі і -иі і 1 Уі і - Уі 1 і
и ..И +^-------------^ = 0, , (3)
Ьі.і 5і.І
хі і-1 - хі і хі 1і - хі і Гхі і-1 + 2хі . і - хі .і+1 хі-1і + 2хі . і - хі+г| ^ Кхуі
иі ^—1 + уі і^------1 = йі і
иі . і ьі і і .і ьі і 1 і
і . і і . і
ь2і б2
V ^ і и у
,
Vх
і . І
-(І- хі.І)
где х. j , и. j - концентрация и скорость ключевого компонента в (| , ]) ой ячейке контактного устройства; Ь| j - длина (|, ]) ой ячейки; j и j - коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии (у^ j « j) в (| ,])ой ячейке; Кху. ^ - коэффициент массопередачи в (|, ]) ячейке; х| ^
- концентрация жидкости, равновесная с уходящим паром в (|, ]) ячейке; У* - объем жидкости в (|, ]) ячейке; р j - плотность жидкости в (|, ]) ой ячейке.
Концентрация жидкости, равновесная с уходящим паром:
х*'=• '•>
где , у!* - коэффициент распределения и концентрация пара ключевого компонента,
уходящего с (|, ])ой ячейки.
Коэффициент распределения имеет вид:
Р*
тм= ■ (5)
где Р.. - давление насыщенных паров ключевого компонента в (|, 0 ой ячейке, определяемое
по уравнению Антуана или Риделя-Планка-Миллера, Р - давление в системе.
При полном перемешивании жидкости в ячейке, концентрация уходящего пара:
У и = У0 +Ли (У** - У0), (6)
где 7.* - эффективность разделения в (у) ячейке по ключевому компоненту -
7* = 1- е куу'^/^ [2, 3]; у0 - средняя концентрация приходящего пара; уи концентрация
200
ключевого компонента, равновесная с жидкостью покидающей (', ])ую ячейку, Куу^ -
коэффициент массопередачи ключевого компонента в (у)ой ячейке, Оу - расход пара
проходящей через (', Оую ячейку.
Коэффициент турбулентной вязкости определяется в виде [1]:
vt|,j = 1.1
*4
u жи S
где u
динамическая скорость жидкости в (у)ой ячейке; в.* - энергия газа ключевого компонента диссипируемая в жидкости (', 0ой ячейки [1], [3].
°25рЛ^[х7
s i,J =
(soWo(prMw0/2 + pж ghCT)-skipr w3/2) *
p ж, Уж
■ + 0.5ghф, , (7)
где s0ij, Sk,. - свободное сечение ячейки и площадь (i,j)ой ячейки; w0, wk - скорость пара в
отверстиях газораспределительных устройств и средняя скорость пара в колонне; hCT - высота столба жидкости на тарелке; pr,., p^. - плотность газа и жидкости ключевого компонента (, .)ой ячейки; h,, - высота факела в (i, j)ой ячейке. Объемный коэффициент массопередачи в
жидкой и газовой фазах определяются в виде [1].
Определение скоростей, размеров ячеек и их количество определяется на основе вариационной формулировки уравнения переноса импульса. В основе вариационной формулировки лежит концепция локального потенциала [4], минимум которого приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа, совпадающими с законом сохранения в дифференциальной форме.
Правильность построения функционала определяется получением на его основе из уравнений Эйлера-Лагранжа уравнений движения.
Локальный потенциал и уравнения Эйлера-Лагранжа:
1) для выделенных при физическом моделировании характерных областей записывается общее выражение локального потенциала по уравнениям движения (1);
2) в зависимости от конструкции контактного устройства определяются граничные условия на границах областей для уравнения (1), которые учитываются в выражениях локального потенциала для каждой характерной области;
3) скорости в характерных областях принимаются постоянными (u = const), а непрерывные производные заменяются конечными разностями и записываются локальные потенциалы E,,j, для каждой характерной области в конечно-разностной форме;
4) составляется локальный потенциал для всей тарелки, содержащий локальные потенциалы характерных областей;
5) записываются условия стационарности локального потенциала относительно скоростей жидкости и размеров ячеек.
Таким образом, локальный потенциал, построенный по уравнению переноса импульса (1), для каждой ячейки барботажного слоя записывается в виде:
l"h" Eu = JJ l' h'
0,0 du __0w0 du vt f du Л vt f du
v dlj
- u u-----u v — + —
d£ d^ 2Vd£j
H---
2
d£d^ +
+ J
0 0 * du
u v u -vt------------u
d^
i'
''
h'' d^+J h'
0 0 du u v v - vt
(8)
где I', I" - координаты границ ячеек по оси С ; И', И" - координаты границ ячеек по оси 7; и0
201
ж
р
ж
u
- скорость жидкости в стационарном состоянии.
Скорость в каждой ячейке будем считать постоянной - ц j = const. Запишем
выражение для производной в локальном потенциале (В) в конечных разностях:
du = uu - Ui,j-1 dC bi,j .
Скорость u на левой границе (i, і)-ой ячейки равна скорости в ячейке с номером (i,j-1), на правой границе (i, і)-ой ячейки равна скорости в (i, j) -ой ячейке, т.е.:
u| C=l'= Ui,j-1, u| C=l''= Ui,J .
Скорость u на верхней границе (i, j)-ой ячейки равна скорости в ячейке с номером (i -1, j), на правой границе (i, і)-ой ячейки равна скорости в (i, j)-ой ячейке, т.е.:
r]=h’ = ui-1,j
_h'= u
r=h
i,J •
Тогда производные на левой и правой границах запишутся в виде:
du
dC
C=l '' =2
Ji,j+1 - ui,j du
bi,j+1 + bi,j dC
C=l ' = 2
ui,j - Ui,j-1 bi,J + bi,J-1
а производные на верхних и нижних границах будут иметь вид:
du
dr
r=h '' = 2
Ui+1,J - Ui,J du
r=h' = 2
Ui,J - Ui-1,J bi,J + bi—1, J
Ь|+1,* + ьи ^
Выражение для определения поперечной скорости V имеет вид:
(ии- ии-1)
v = v * - ■
i,J i-1,J
bi
(9)
Значение скоростей у приемного (и0) и сливного (и^+1) порогов запишутся в виде:
1_
и0 "I И ,
пер пер
где 1_ - объемный расход жидкости через приемный порог, 1пер - длина перегородки, Ипер -
высота перегородки. Размеры приемного и сливного порога имеют одинаковые значения.
Подставляя значения производных в конечных разностях в выражения локальных потенциалов для ячеек и интегрируя по области ячеек, получим выражение локальных потенциалов в конечных разностях. Локальный потенциал для характерной области (8) имеет вид:
Ei
vti
2
ui,j - Ui,j-1 bi,j
2
+
Гui. -ui 1112'1 (u°)2(uu -UU-1) иХ(uu -Ц-J
i,j
V1,j
si
bi
s
+
2(u°1,j-u0'L 2(u0'-u0-uI
bi,jsu +
V
Г
и№и - иЇХцЧ-1J - vi,J Г"1,І+ ui,j + v 1,J s + s
si+1,J si,J si,J si-1,j
i-1,J
bi,J +
,(І0)
+
и№ч- u°0j-1U°0j-1Ui,j-1 -vti
,° u0
i,j-1
2(и00'+1-І, v 2(и00і-u00j-1)
■ui,j +vtu-1'
u
si,j+si,j-1
i,j-1
su
где б.* - ширина ячейки (|, ])-ой ячейки.
Локальный потенциал для всей тарелки запишется в виде:
М N
(ІІ)
i=1 J=1
Условие стационарности локального потенциала (І0) приводит к системе
202
u
u
алгебраических уравнений относительно скоростей и. *:
дЕ
= 0.
После дифференцирования в уравнениях следует принять:
иі , і = иі , і.
Скорости в ячейках определяются в виде:
С я3 и0 Ь + в3 и0 Ь + Ь3 и0 в + Ь3 и0 в + 2Ь3 и0 в + 2Ь3 и0 в +
аі,іиі-і,іиі+1Г і,і і-і, іі,м і,пі,і-і і,і+і +иі,іиі,і-іаі,М ^иі,іиі,і+і і,і і,і і+і,іаі,і
и0і =
і,Пі-и и -2, ,0
в2іи0-і,іві,і+іЬі+і,і + вии0-і,іві,і+іЬі,і + Ь2іи°-іві,і+іЬі+і,і + Ь2іи°-іві,іЬ + 2Ьии°+іві,іЬі+і,і + 2Ьи и0+і,іві,іЬі,і+і
і+і,
Св3 ьі , і і+3в3і Ьи+Ь3іви+і + 3Ь^ іви + в^іви+іЬі+і,і+3в2 іви+іЬі і +
і, і+і, 2
3в
і, і, +і
3
і, і,
б2-
+1^1+1,* 1 и4".,*+1~|,*
+1^+1,* + ЗЬ|2*в|,*Ь|+1,*
Размеры характерных зон определяются при физическом моделировании структуры потока на лабораторном макете тарелки. В качестве такого макета взята тарелка диаметром й = 700мм. В работах Кафарова и Комиссарова установлено существование девяти характерных зон (ячеек), в которых скорости отличаются друг от друга. При отсутствии экспериментальных данных, устанавливающих характерные области на тарелке, плоскость тарелки разбивается на ячейки и составляется условие стационарности относительно скоростей в ячейках, а размерность системы уравнений определяется количеством ячеек. Уменьшение размерности системы уравнений приводит к сокращению числа ячеек и к снижению точности определения поля скоростей.
В том случае, когда характерные области на тарелке известны, более мелкое разбиение плоскости тарелки на ячейки не дает желательной точности, а только усложняет систему уравнений и поиск решения этой системы. Таким образом, наиболее оптимальное разбиение плоскости тарелки на ячейки - это разбиение по числу характерных областей с точки зрения достижения адекватности модели реальному процессу.
Разбиение плоскости ситчатой тарелки на ячейки приведено на рис. 2, в таблице 4 приведены значения размеров, скоростей и значения локального потенциала при эксперименте. Из решения системы (9, 12) определяются скорости в ячейках и. * и V. *.
Л
Рис. 2 - Разбиение плоскости ситчатой тарелки на ячейки
Увеличение диаметра тарелки приводит к удлинению пути жидкости и изменению характерных зон, а описание полей скоростей в потоках не изменятся, изменение масштаба не нарушает структуры решения для областей, а приводит лишь к изменению параметров в описании. Эти параметры могут быть получены при физическом моделировании или путём удовлетворения законам сохранения. Для этого записываем систему уравнений (9, 12) и решаем её относительно скоростей в каждой ячейке. Размеры ячеек определяются из условия моделируемости с погрешностью ЛЕ .
Ет
Еф
< АЕ,
(13)
где Ет - локальный потенциал тарелки, полученный при математическом моделировании контактного устройства, Еф - локальный потенциал, полученный при физичеком моделировании контактного устройства, Ет и Еф определяется из выражения (10).
Значение погрешности ДЕ определяется из условия т1пЕт - Еф
Таблица 1 - Значения локального потенциала, размера ячеек, продольной и поперечной скорости на тарелке диаметром 700 мм при эксперименте
Номер ячейки 1 2 3
1 Ширина, м 0,1518 Ширина, м 0,16698 Ширина, м 0,18722
Скор прод, м/с 0,055 Скор прод, м/с 0,0549 Скор прод, м/с 0,055839
Скор попер, м/с 0,0018 Скор попер, м/с 0,0001087 Скор попер, м/с -0,00056
Лок. потенциал -2,989-10-' Лок. потенциал 4,1259-10"' Лок. потенциал 5,0018-10"'
2 Ширина, м 0,11638 Ширина, м 0,253 Ширина, м 0,13662
Скор прод, м/с 0,0517 Скор прод, м/с 0,05222 Скор прод, м/с 0,05412
Скор попер, м/с 0,00766 Скор попер, м/с -0,000124 Скор попер, м/с -0,00218
Лок. потенциал -1,669 10-6 Лок. потенциал 1,614-10"6 Лок. потенциал 4,595-10"'
3 Ширина, м 0,08855 Ширина, м 0,18469 Ширина, м 0,23276
Скор прод, м/с 0,04322 Скор прод, м/с 0,0442 Скор прод, м/с 0,04903
Скор попер, м/с 0,02649 Скор попер, м/с -0,000742 Скор попер, м/с 0,001856
Лок. потенциал -6,0265-10"ь Лок. потенциал -2,783-10"и Лок. потенциал 1,35110"6
Для определения размеров характерных зон необходимо разбить длину пути жидкости на девять ячеек. Размеры ячеек в первом приближении берем равными между собой. В каждой из ячеек определяем скорости из условия (12) и значения локального потенциала для ячеек Е^. Если не выполняется условие (13), то необходимо изменить размер ячеек. Процесс поиска
N
решения продолжается до тех пор, пока не выполнится условие (13) или ^ Ь| j « 1_жид, при
]=1
| = 1,2 , М, если же условия не выполняются, то необходимо изменить количество характерных зон.
Исходя из предложенной методики, определим размеры характерных зон, значение локального потенциала, продольных и поперечных скоростей для ситчатой тарелки диаметром 700 мм.
Таблица 2 - Значения локального потенциала, размера ячеек, продольной и поперечной скорости на тарелке диаметром 700 мм по передоложенной методике
Номер ячейки 1 2 3
1 Ширина, м 0,17626 Ширина, м 0,1968 Ширина, м 0,13105
Скор прод, м/с 0,05546 Скор прод, м/с 0,05502 Скор прод, м/с 0,05538
Скор попер, м/с 0,00135 Скор попер, м/с 0,00026 Скор попер, м/с -0,000326
Лок. потенциал -5,49-10"° Лок. потенциал 4,3372-10"' Лок. потенциал -6,010810-°
2 Ширина, м 0,13146 Ширина, м 0,2671 Ширина, м 0,105634
Скор прод, м/с 0,05225 Скор прод, м/с 0,05231 Скор прод, м/с 0,05338
Скор попер, м/с 0,006025 Скор попер, м/с 0,000234 Скор попер, м/с -0,001505
Лок. потенциал -1,286 10"6 Лок. потенциал 1,510-6 Лок. потенциал -4,0503-10"'
3 Ширина, м 0,091985 Ширина, м 0,249283 Ширина, м 0,0,16293
Скор прод, м/с 0,0437 Скор прод, м/с 0,0446 Скор прод, м/с 0,0476
Скор попер, м/с 0,02343 Скор попер, м/с -0,0001501 Скор попер, м/с -0,00368
Лок. потенциал -5,7068-10"ь Лок. потенциал 1,229-10"' Лок. потенциал -3,416-10"'
E - Еф
T T
равно
Значение погрешности АЕ определяемое из условия mini
ДЕ = 4.45*10-8.
При изменении размеров и отсутствии физической модели контактного устройства -задача определения размера характерных зон сводится к определению минимума локального потенциала (10).
Определим размеры, значения локального потенциала, продольные и поперечные скорости ячеек для ситчатой тарелки диаметром 1800 мм при разделении смеси бензол-толуол под атмосферным давлением: G = 1.52 м3/ с, L = 0.00717 м3/ с, L = 0.00717 м3/ с,
рГ = 2.72кг/м3, рЖ = 800 кг/м3 .
Используем в качестве одной ячейки всю площадь тарелки и определим значение локального потенциала Е = 2.1*10-6. Затем разобьем тарелку на 4 ячейки и определим минимальное значение локального потенциала (10) - Е = 1.8 *10-6. Далее разбивая тарелку на 9 ячеек, аналогично получаем значение локального потенциала - Е = 1.88*10-6. Из полученных результатов видно, что значение локального потенциала минимально при разбиении тарелки на 4 ячейки.
Решая уравнения переноса массы, представленные в конечных разностях для 4 ячеек, определяются концентрации жидкости Xj j в каждой ячейке. По выражениям (2) определяется
степень извлечения ключевого компонента (бензола)
Таблица 3 - Значение концентрации, степени извлечения, скоростей и размеров ячеек
Начальные условия Значение концентрации, % мас. Размер ячеек, м Продольная скорость, м/с Поперечная скорость, м/с Степень извлечения
х0 = 0.73 u0 = 0.062 х1,1 = 0.707 х12 = 0.693 х1 1 = 0.708 х1 1 = 0.691 b1,1 = 07 b1 , 2 = 052 b2,1 = 0.56 b2,2 = 0.66 u011 = 0.0591 u012 = 0.0589 u021 = 0.053 u022 = 0.0538 v011 = 0.0019 v012 = 0.00016 v021 = 0.0092 v022 = -0.000344 „11 = 0.0314 cp12 = 0.0187 cp21 = 0.0297 „2 2 = 0.024
Степень извлечения НКК компонента на тарелке имеет вид:
ФГ = (х« -хц)/х“, (14)
Степень извлечения НКК для первой и второй ячеек первой линии записывается в виде (ячейки 11 и 12):
„нк _ (хнк хнк)/хнк НК _ (хнк хнк )/хнк
^1,1 _ V О 1,1// о ^1,2 _ V 1,1 1,2//л1,1 (15)
Из второго уравнения выразим хн2, а из первого уравнения хн1. Тогда
хнк2 _ хОк(1 - „11 )(1 - $2). Степень извлечения для первой линии по НКК:
Фнк _ (хО"-*“Ж _ 1-(1-„1н,к)(1 -„1,2) (16)
Обобщая это уравнение на N ячеек, получим степень извлечения НКК для первой
линии состоящей из N-ячеек (1=1):
фг _ 1 -П N 1(1-<) (17)
Степень извлечения всей тарелки:
Еф н
фнк = і=1
м
Степень извлечения бензола на тарелке диаметром 1800 равна 5,2 %
Результаты работы получены в рамках использования гранта президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых МД-552.2011.8 (договор № 16.120.11.552-МД от 18.02.2011).
Литература
1. Дьяконов, С.Г. Теоретические основы проектирования промышленных аппаратов химической технологии на базе сопряженного физического и математического моделирования / С.Г. Дьяконов, В.В. Елизаров, В.И. Елизаров. - Казань: КГТУ, 2009. - 456 с.
2. Кафаров, В.В. Основы массопередачи: учеб пособие для вузов / В.В. Кафаров. - М.: Высшая школа, 1972. - 496 с.
3. Дьяконов С.Г. Определение эффективности контактных устройств на основе гидродинамической
аналогии / С.Г. Дьяконов, В.В. Елизаров, Д.В. Елизаров, С.А. Мерзляков // Вестн. Казан. гос.
технолог. ун-та. - 2009. - №3. ч. 1. - С. 57-64.
4. Гленсдорф, П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций / П. Гленсдорф, И. Пригожин. - М.: Мир, 1973. - 280 с.
© С. А. Мерзляков - программист каф. АТПП, НХТИКГТУ, [email protected]; Д. В. Елизаров - канд.
техн. наук, доц. каф. АТПП, НХТИ КНИТУ, [email protected]; В. И. Елизаров - д-р техн. наук,
проф. зав. каф. АТПП, НХТИ КНИТУ.
