CC BY
58
УДК 66.011.001.57
С. Г. Дьяконов, В. И. Елизаров ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРОМЫШЛЕННЫХ АППАРАТОВ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ НА ОСНОВЕ СОПРЯЖЕННОГО ФИЗИЧЕСКОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Ключевые слова: сопряженное физическое и математическое моделирование, массообменные процессы, оптимальное проектирование. conjucate physical and mathematical modeling, mass-transfer processes, optimum designing
Рассмотрены характерные особенности способа сопряженного физического и математического моделирования как методологии оптимального проектирования промышленных аппаратов. Ее рациональное использование при проектировании позволяет исключить промежуточные существующие этапы, связанные с корректировкой математических моделей в зависимости от масштаба аппарата и проводить проектирование конструкций и отработку технологических режимов аппаратов с помощью физических и математических моделей характерных областей. Продемонстрированы возможности метода сопряженного физического и математического моделирования на примере описания структуры потока на тарелках массообменных аппаратов.
Characteristic features of a method of the conjugate physical and mathematical modelling as methodology of optimum designing of industrial devices are considered. Its rational use at designing allows to exclude the intermediate existing stages connected with updating of mathematical models depending on scale of the device and to spend designing construction and development of technological regimes of devices by means of physical and mathematical models of characteristic areas. Opportunities of a method of the conjugate physical and mathematical modelling on an example of the description of flow pattern on plates mass-transfer devices are shown.
Сложность процессов, происходящих в аппаратах химической технологии, привела к необходимости разработки специальных теоретико-познавательных методов их анализа. В последнее время широкое распространение получил системный анализ [1,2,3], позволивший сформулировать принцип иерархического существования явлений в промышленном аппарате: явления различных масштабов могут рассматриваться независимо, но с учетом их взаимодействия. Этот подход привел к значительным упрощениям при построении явного вида физико-химического оператора сложных химико-технологических объектов.
Существующая система разработки аппаратов химической технологии базируется на эмпирической основе и включает этапы экспериментальных исследований лабораторного макета, пилотного варианта, иногда полупромышленного образца, окончательного проекта и, наконец, его промышленного освоения. Многоэтапность экспериментальных исследований при разработке аппаратов обусловлена необходимостью корректировки математических моделей в зависимости от масштаба устройств, с помощью которых достигается эффективность промышленного аппарата.
Наличие в математических моделях большого числа эмпирических коэффициентов, определяемых экспериментальным путем на установках различного масштаба или методом гидродинамического моделирования, значительно увеличивает затраты, сроки проектирования и модернизации аппаратов. Такая технология проектирования затягивает вне-
дрение научных разработок на 10-15 лет и обладает принципиальным дефектом неопти-мальности выбранных решений.
В свете вышесказанного представляется, что оптимальный способ проектирования промышленных аппаратов на стадии предпроектной разработки, сокращающий затраты, сроки разработки и внедрения, возможен только на пути отказа от промежуточных этапов исследования. Отработку конструкции, технологии и замысла проектировщика целесообразно проводить на лабораторных макетах аппарата, а для масштабного перехода к промышленному аппарату использовать методы математического моделирования, удовлетворяя при этом фундаментальным законам сохранения.
Основу развиваемой методологии оптимального проектирования промышленных аппаратов составляет сопряженное физическое и математическое моделирование, объединяющее физическое моделирование «элементарных структур» или характерных областей аппарата и математическое моделирование промышленного аппарата. При физическом моделировании характерных областей определяется их математическое отображение, а при математическом моделировании промышленного аппарата осуществляется идентификация полученных математических моделей на основе фундаментальных законов сохранения в зависимости от масштаба и взаимодействия этих областей.
Основной принцип, который здесь применяется, заключается в следующем. Промышленный аппарат больших масштабов - это обязательно система, т.е. объект, состоящий из множества частей. В природе существует принцип устойчивого существования систем, который называется принципом иерархического существования. Для того чтобы система была устойчивой, она должна обладать иерархической структурой, т.е. состоять из подсистем с разными пространственно-временными масштабами. На этом принципе построены самые выдающиеся физические теории. Так, например теория N тел ББГКИ в основе своей опирается на принцип: в любой системе, состоящей из многих тел, обязательно организуется иерархическая структура с разными характерными масштабами. Поскольку аппарат-система, то она также обладает иерархической структурой и в ней существуют явления разных пространственно-временных масштабов.
Какова же связь между этим физическим принципом и задачами проектирования? Она заключается в математическом следствии этого физического принципа: взаимодействие между явлениями разных пространственно-временных масштабов всегда слабое. Под слабым взаимодействием явлений разных масштабов понимается инвариантность математической структуры явлений к взаимодействию. Это означает, что взаимодействие между явлениями разных масштабов можно учесть параметрически.
Структура (вид) математического отображения характерных явлений при их взаимодействии не меняется, инвариантна к взаимодействию и масштабу аппарата, изменяются только параметры математического описания.
Имея математическое описание характерных зон в лабораторном макете аппарата, посредством масштабных замен переменных можно добиться того, что структура этого математического описания не будет изменяться при описании промышленного аппарата.
Такое математическое описание демонстрирует свойство самоподобия на различных масштабах с соответствующим пересчетом масштаба переменных [4]. Свойство самоподобия наглядно иллюстрируется при моделировании динамического турбулентного пограничного слоя на пластине, которое, как известно, описывается логарифмическим и степенными законами:
и
где и - скорость в пограничном слое; иш - скорость набегающего потока; у - поперечная координата слоя; 8 - толщина динамического слоя; П - показатель степени (п =1/7; 1/8; 1/10). Толщина слоя 8 = 8(х) зависит от масштаба х - длины пластины или Кех = иш х/V.
При изменении масштаба Кех структура степенного закона не изменяется, изменяется только параметр 8. Новому значению Кех соответствуют новые значения параметров с и в толщины пограничного слоя 8 = пха.
Каждый раз при переходе к новому масштабу Кех происходит перенормирование оператора и/иш подобно методу ренорм-группы (РГ) Фейгенбаума в нелинейной динамике [4].
Если математическое описание структур известно, то искомыми переменными задачи окажутся только параметры.
Математическое описание характерных зон в аппарате может определяться при физическом моделировании лабораторного макета или его характерных зон, а расчет параметров описания при переходе к новому масштабу аппарата производится на основе вариационной формулировки законов сохранения.
Представим эти законы в форме уравнений баланса, описывающих конвективный, молекулярный и турбулентный перенос импульса, массы и энергии в жидкой фазе, пренебрегая зависимостью кинетических коэффициентов от распределения полей:
— - ^^Т)У2 V +1УР = 0,
С0 У Т' р
— - (й - йТ)У 2С = 0,
С0 Т
— - (а - аТ)У21 = 0 С0 Т
= з^) = 0, (1)
где V - вектор скорости жидкости; Р- давление; С- концентрация компонента в жидкой фазе; 1 - температура; 0 - время; & - дифференциальный оператор; W - вектор-функция, характеризующая распределение полей в рассматриваемой области рабочей зоны аппарата.
К уравнениям (1) назначаются соответствующие краевые условия в области аппарата. Подстройка параметров базисной функции Wo, описывающей распределение полей в области промышленного аппарата, осуществляется вариационным методом, учитывающим краевые условия различного вида. Вариационный метод заключается в построении явного вида функционала, минимизация которого приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа, соответствующим законам сохранения импульса, массы и энергии. Для нелинейных систем уравнений (1), описывающих распределение полей в аппаратах химической технологии, вариационная формулировка уравнений баланса строится на основе концепции локального потенциала системы [5]. Однако использование концепции локального потенциала не единственный способ вариационной формулировки уравнений баланса. Широкое распространение для решения несамосопряженных и нелинейных систем уравнений получил вариационный метод Галеркина [6]. Метод локального потенциала и метод Галеркина приводят к одним и тем же уравнениям Эйлера-Лагранжа. К сожалению, метод
Галеркина в противоположность методу локального потенциала не имеет вариационной природы и не содержит минимального свойства, позволяющего решить задачу о сходимости последовательных приближений.
В качестве примера приведем выражение локального потенциала, построенного на уравнениях движения жидкости в турбулентном пограничном слое на пластине [7].
Поле скоростей в турбулентном пограничном слое на основе «теории пути смешения» Прандтля, справедливой в условиях пристеночной турбулентности, описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
ди ди д
и— + и— = — дх ду ду
V— + к2 у2 ду
ду
ди ди
— + — = 0 дх ду
(2)
(3)
ди
с граничными условиями: и = и = 0 при у = 0 ; — = 0 при у = 8 ; и = и при х = 0 . В дан-
ду
ной системе и и и - осредненные продольная и поперечная составляющие скорости; к -опытная константа ( к = 0.4 ).
Локальный потенциал для слоя запишется в виде:
Е
1_ 8 11
/ 0\2 ди 0 0 ди V Г ди ^
-(и01----------и0и0--------+---------
v ’ дх ду 21 ду
к2 у
ду
—(и°и°и) дх'^ >
СуСх
(4)
В выражении локального потенциала учтены граничные условия на стенке пластины и внешней границе слоя.
Функции и0, и0 - распределения скоростей в пограничном слое, удовлетворяющие уравнениям движения (2), (3), а функции и, и - варьируемые в окрестности и0, и0. Распределение скорости известно. Для турбулентного пограничного слоя это универсальный логарифмический закон распределения или степенные функции, аппроксимирующие этот закон,
= Х
где X, и0, П - параметры, определяемые экспериментально и зависящие от масштабов области пограничного слоя. Для любого масштаба турбулентного пограничного слоя приведенные зависимости не изменяют своей структуры. Влияние масштабов учитывается в этих распределениях параметрами X, и0, П. Подстройку параметров X, и0, П в зависимости от масштабов области пограничного слоя на основе удовлетворения уравнениям движения (2), (3) можно провести минимизацией локального потенциала (4). Для этого введем неварьируемые функции
и"
и
= а
(5)
и варьируемые в окрестности —
и0
в виде
и
и
0
0
и
/ \п
— = ХГ и0 у
и
Параметры а, и0, т не варьируются, это параметры точного решения уравнения, а параметры X, и0, П варьируются. Подставим значения функций (5), (6) в выражение локального потенциала (4). Значение скорости и0 выразим из уравнения неразрывности (3). Дифференцируя выражение локального потенциала (4) по параметрам X, и0, П и принимая
после дифференцирования (что эквивалентно варьированию) равенства: X = а , и0 = и0, П = т, приходим к системе алгебраических уравнений относительно искомых параметров
X, и0, П:
УЕ =
Г дЕ дЕ дЕ ^
дX ди0 дП у
= 0.
Отсюда можно получить в зависимости от значения числа Ре известные величины параметров выражения (6), соответствующие законам распределения корня одной седьмой, одной восьмой, одной десятой и т.д.
СОПРЯЖЕННОЕ ФИЗИЧЕСКОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ПОТОКА НА ТАРЕЛКАХ МАССООБМЕННЫХ АППАРАТОВ
При экспериментальном исследовании структуры потока на ситчатой тарелке установлено: у приемного и сливного порогов существуют зоны полного перемешивания, а в середине - диффузионные зоны, размеры которых изменяются в зависимости от гидродинамических и конструктивных параметров. Такая структура описывается комбинированной моделью [8] и приведена на рис.1. Структурная схема комбинированной модели состоит из параллельно соединенных центральных диффузионных зон и двух симметрично расположенных зон полного перемешивания.
Математическое описание установленных диффузионных зон и ячеек полного перемешивания представляется в виде уравнений материального баланса, включающих коэффициент продольного перемешивания йу , долю рецикла Р и байпаса к [9].
Параметры моделей й, , Р, к определены эмпирическим путем в результате обработки экспериментальных данных на тарелках различного масштаба
й,у = 10-3 (2.9 + 2.01_ +1^ - 53.0ИЯГ + 0.5йа ); (7)
= 3.522 + 2.7691_ - 0.6951_2 - 7.9Ш + 3.923W2 + 3.618ИсТ - 68.8^, , (8)
где W - скорость газа в полном сечении аппарата, м/с; Ису - высота сливной планки, м; йа - диаметр аппарата, м.
Рис. 1 - Структурная схема двухканальной комбинированной модели потока жидкости на ситчатых тарелках
Параметры, используемые в формулах (7), (8), изменялись в следующих диапазонах: йа =700, 1200 мм; Ису =25; 50; 75; 100 мм; WK0.5-1.35) м/с; Ь=(1.5-9) м3/ч-м.
Параметры комбинированной модели йу , Р, к в зависимости от режимных и конструктивных возмущений предлагается вычислять на основе вариационной формулировки закона сохранения массы, записанного для каждой зоны тарелки в дифференциальной форме, а размеры диффузионных зон и ячеек полного перемешивания на тарелке находить на основе вариационной формулировки закона сохранения импульса [10,11].
Уравнения переноса импульса и массы в жидкой фазе барботажного слоя с учетом градиента давления записывается в виде [12,13]
ди ди
и— + и— до дд
дР
до
• +1
г д2и ^
д1 2 + дд2
дх дх ^
и— + и— = й
до дд
ди ди _
— + — = 0 д£ дп
Гд2 х д2 х ^ +
д12 дд2
+ г.
(9)
(10)
у
где и, и - продольная и поперечная скорости движения жидкости; х - концентрация вещества в жидкой фазе; [ 6 ~ йт - коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии, опреде-
дР И
ляемые в виде [12,13]; — = —, где И - градиент столба жидкости, I - длина пути жидкости;
д£ I
Гх = м/чв - источник межфазного переноса массы, рассчитываемый по уравнениям
[10,13]; £ = 2/1, п = г/Р - безразмерные продольная и поперечная координаты плоскости тарелки; Р - радиус тарелки.
Вариационная формулировка законов сохранения импульса и массы строится на основе концепции локального потенциала. Локальный потенциал, построенный по уравнениям переноса импульса (9), для каждой зоны барботажного слоя записывается в виде [10,11]:
I' И'
Е = Я
I' И'
-и0и0
ди 0 0 ди V.
-------и°и° — + —
дЕ, дп 2
-{( и0и0и
-V
(ди V
И''
V,
( ди ^ чдЛу
-рд
^п +
дп
^+Пи
0 0
ии-у
ди0 г
йп
У
и' Й' V д£
Локальный потенциал, построенный по уравнениям переноса массы без учета ис-точникового члена (10), имеет следующий вид
I'' И'
я
I' И'
0 ~ 0 до «0 0
-и0 о0---------о0 и0
ди йт ( до ^ дп 2
дп
й^п-
;0 Л і
о0и0о - Р — о
И'/
дп
й£+П о0и0о - й
до0 .Л о
(12)
йп
где I', I" - координаты границ ячейки по оси £ ; Й', Й' - координаты границ по оси п; и0,
и , х - компоненты скоростей жидкости и концентраций в стационарном состоянии.
Математическая структура базисных функций вариационной задачи построения полей скоростей и концентраций красителя устанавливается в результате физического моделирования массопереноса на лабораторном макете тарелки.
В качестве такого макета принята тарелка диаметром й = 700 мм, и рассмотрен процесс массопереноса красителя в барботажном слое. На рис. 2 приведены размеры ячеек и распределение концентрации красителя.
Увеличение диаметра тарелки приводит к удлинению пути жидкости и изменению размеров характерных зон. Описание полей концентраций и скоростей в потоках не изменяется, изменение масштаба не нарушает структуры решений для областей, а приводит лишь к изменению параметров в описании.
Параметры модели йу и Р устанавливаются из решения вариационной задачи минимизации локального потенциала (12).
Базисные функции распределения концентрации красителя в зонах, установленных при физическом моделировании на макете тарелки, определяются из уравнений материального баланса для установившегося состояния.
Уравнение баланса для ячейки полного перемешивания и1, и2:
Ьх1 + ЬКх2 = к(1 + Р) + (1 - к)(1 + К)Ьх1; к(1 + Р)1_хА1 + (1 - к)(1 + К)1_хд 2 = (1 + Р)1_х2;
для диффузионных зон иА1, ид 2
д2хД1 к(1 + дх
А1
д£ 2
= 0;
(13)
д2 х
А 2
(1 - к)(1 + К)1_12 дх
А 2
д£2
Ру Р2
= 0
На рис. 2 приведено сравнение экспериментальных и расчетных значений концентрации (параметры моделей йу , К, к в уравнениях (13) получены вариационным методом)
[10,13]
Рис. 2 - Распределение концентрации красителя в барботажном слое на тарелках: 1,3
- й =1200 мм [9]; 2,4 - й= 700 мм [8];----эксперимент;--------расчетные линии
Расчет эффективности тарелки производится по формуле
хн - хк
Птх = -Н—^, (14)
хн хк
где хК - концентрация жидкости, равновесная с уходящим газом (паром); хн, хк - концентрация на входе и выходе тарелки соответственно.
Конечная концентрация хдйо определяется из следующей системы уравнений для двухканальной системы (см. рис.1):
С2хА1 - СхА1 (К.Д) *
й, —2*1 - к(1 + = (К^(хА1 - х*),
1 С!? Т, С^ V А1
ЬхАб + КЬхАйб - (1 + К)1_х, = (КхД)(х, - х*), ( )
2Х, , /«х л \ (15)
й2хА2 - СхА2 (К.Д) *
й —^- (1 - к)(1 + К)——^ = (КхД)(хА2 - х*),
1 с112 Т2 С12 V А2
к(1 + К)Ьх*! + (1 - к)(1 + ^х* 2 = (1 + К)1-хАйо + (КхД)(хАйб - х*),
где (КуД) - объемный коэффициент массопередачи; V - объем жидкости на тарелке; 11, 12
- длины диффузионных зон.
Коэффициент (КхД) рассчитывается по формулам [12,13].
Решая систему уравнений (15) с граничными условиями Данквертса, найдем значение конечной концентрации жидкости Ок и эффективность тарелки птх .
Изложенный алгоритм синтеза математической модели можно реализовать в виде подсистемы моделирования САПР технологических аппаратов и химико-технологических систем (ХТС). Подсистема моделирования аппарата включает (рис.3): 1) исполнительный модуль (ИМ), содержащий алгоритмы выбора из банка базисных функций (ББФ) и теплофизических характеристик из банка физико-химических свойств веществ (БФС), а также алгоритмы управления работой подсистемы; 2) модуль сопряжения областей (МС) аппарата, включающий алгоритм построения локального потенциала для сопряжения областей; 3)
модуль масштабного перехода (ММП), содержащий алгоритм расчета базисных функций, погрешности 8ui6 и потенциала Ei6 для физической модели аппарата, алгоритм определения точности и решения уравнений Эйлера-Лагранжа, алгоритм расчета потенциала Ei{ и приращения AEi6 для заданных конструктивных и режимных возмущений, алгоритмы подстройки параметров и сравнения значения Ei{ с величиной Ei6 ; 4) модуль расчета полей (МРП), включающий алгоритм расчета базисных функций промышленного аппарата и проверки сопряжения их на границах областей рабочей зоны; 5) банк базисных функций, содержащий библиотеку описаний характерных областей в аппаратах с соответствующими базисными функциями, погрешностями их определения и локальными потенциалами.
По результатам расчета полей в МРП определяются значения показателей функционирования аппарата.
В том случае, когда значения показателей функционирования или критерия оптимизации не удовлетворяют требованиям технического задания, подсистема поиска или оптимизации САПР рассчитывает новые значения конструктивных и технологических параметров или же проектировщик меняет конструкцию аппарата, изменяя число и характерные особенности областей его рабочей зоны. На основе этой исходной информации подсистема моделирования повторяет расчет полей и показателей функционирования аппарата.
_ _ 1 г
Банк базисных функций (ББФ) ► Исполнительный модуль (ИМ) Банк физ.-хим. свойств (БФС)
<
Модуль сопряжения Модуль масштабного Модуль расчета
областей (MC) перехода (ММП) полей (МРП)
Рис. 3- Структурная схема подсистемы моделирования
Рассмотренный метод моделирования позволяет разработать систему оптимального проектирования и предпроектной проработки реконструкции аппаратов химической технологии, исключающую промежуточные этапы создания и исследования пилотных, полупромышленных и промышленных образцов, и тем самым ликвидировать затраты на их разработку, сократить сроки проектирования. Для отработки конструкции аппарата используются физические и математические модели характерных областей и вычислительные комплексы, объединенные в систему автоматизированного проектирования.
Литература
1. Кафаров, В.В. Системный анализ процессов химической технологии. Энтропийный и вариационный методы неравновесной термодинамики в задачах химической технологии / В.В. Кафаров, И.Н. Дорохов. - М.: Наука, 1988. - 362 с.
2. Кафаров, В.В. Системный анализ процессов химической технологии / В.В. Кафаров, И.Н. Дорохов. - М. : Наука, 1976. - 499 с.
3. Слинько, М.Г. Моделирование химических реакторов / М.Г. Слинько // В кн.: Моделирование и оптимизация каталитических процессов. - М.: Наука, 1965. - С. 3-15.
4. Кузнецов, С.П. Динамический хаос (курс лекций)/ С.П. Кузнецов - М.: Физматлит., 2006. -355с.
5. Гленсдорф, П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций / П. Гленс-дорф, И. Пригожин. - М.: Мир, 1975. - 280 с.
6. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа /Л.В. Канторович, В.И. Крылов -М.: Физматгиз, 1962. -348с.
7. Дьяконов, С.Г. Сопряженное физическое и математическое моделирование диффузионного пограничного слоя / С.Г. Дьяконов, В.И. Елизаров, Б.М. Израйлев // Массообменные процессы и аппараты химической технологии: межвуз. сб. науч. тр. — Казань, 1987. - С. 53-57.
8. Кафаров, В.В. Исследование структуры потоков жидкости на ситчатых тарелках при масштабных переходах / В.В. Кафаров [и др.] // Тр. Моск. хим.- технол. ин-та. - 1975. - Вып. 88. -С. 121 - 126.
9. Комиссаров, Ю.А. Исследование влияния деформации параметров структуры потоков газа и жидкости на эффективность тарельчатых массообменных аппаратов / Ю.А. Комиссаров, В.В. Кафаров, В.Н. Ветохин // Журн. прикл. химии. - 1990. - Т.63. - №9. - С.1994 - 1996.
10. Дьяконов, С.Г. Сопряженное физическое и математическое моделирование структуры потока на ситчатой тарелке / С.Г. Дьяконов, В.И. Елизаров, Ф.А. Абдулкашапова // Массообменные процессы и аппараты химической технологии: межвуз. сб. науч. тр.- Казань: КХТИ, 1989. -С. 36 - 44.
11. Дьяконов, С.Г. Определение параметров комбинированных моделей структуры потока вариационным методом / С.Г. Дьяконов, В.И. Елизаров, Ф.А. Абдулкашапова // ТОХТ. - 1992. - Т.26.
- №6. - С. 771 - 778.
12. Дьяконов, С.Г. Теоретические основы и моделирование процессов разделения веществ / С.Г. Дьяконов, В.И. Елизаров, А.Г. Лаптев. - Казань: КГТУ, 1993. - 437 с.
13. Дьяконов, С. Г. Теоретические основы проектирования промышленных аппаратов химической технологии на базе сопряженного физического и математического моделирования: монография / С.Г. Дьяконов, В.В. Елизаров, В.И. Елизаров. - Казань: КГТУ, 2009. - 456 с.
© С. Г. Дьяконов - д-р техн. наук, проф., академик АН РТ, советник ректора КГТУ, [email protected]; В. И. Елизаров - д-р техн. наук, проф., дир. Нижнекамского химикотехнологического института (филиала) КГТУ.
