CC BY
27
2 2AqnaEt
u + 2рu + со u =-° . (8)
Р^Р t„
В зависимости от соотношения между величинами о „ р уравнение (4) „меет различные решения. Для железа „ сталей Е = 2х 1011 Па, р = 7,8х 103 кг/м3 [5], г) = 4х 105 Па-с [6], для условий лазерного воздействия l составляет величину порядка 10-4 м [4].
Так как в нашем случае Р2>> со2, то общее решение уравнения (4) „меет в„д
u = ^ ехр(—^) + C2 exp(-k2t) + At + B, (9)
7 2 2 /22
Р + о , k2 = Р + д/ р — о , С1, С2 - константы, определяемые „з начальных ус-лов„й, а вел„ч„ны А „ В частного решен„я определяются стандартным образом. Уч„тывая, что начальное смещен„е „ начальная скорость равны нулю, а также „спользуя соотношения Р2 >> о2 „ ^ >> ^, после упрощен„й получаем
и=
( 2Aq0alh Л1 EyfpIcpF
( ( EtЛ Et лЛ
exp I------I +-------1
I h) h
(10)
h
Из выражения (10) видно, что при t =— смещение u будет в е раз меньше, чем в случае
E
h
свободного термического расширения. Характерное время tp = e п0 аналогии с процессами
движения в вязкой среде можно назвать временем релаксации.
Для железа и сталей - tF ~ 1-2 мкс. Таким образом, если 4 < tF , то в системе будут накапливаться очень высокие значения средних напряжений. Более тщательный анализ показывает необходимость учёта релаксационных процессов уже при временах нагрева 4 ~ 1x10-4 с.
Выводы.
1. Показана необходимость учета релаксационных процессов при длительности лазерного имппульса менее 10- с.
2. Показано, что время релаксации напряжений при ипульсном нагружении определяется отношением двух макропараметров, характеризующих вязкостные и упругие свойства материала.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Иванова В.С., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383с.
2. Бекренев А.Н., Камашев А.В. О фазовых превращениях в сталях при быстром нагреве.// Письма в ЖТФ, 1993. Т.19. В.22, С.58-61.
3. Bekrenev A.N., Kamashev A.V. Features of phase transformations passing and mass transport in metals under intensive external reactions.//Journal of Physics and Chemistry of Solids V.62. 2001, P.647-651.
4. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Зуев И.В., Кокора А.Н. Лазерная и электронно-лучевая обработка материалов. Справочник. М.: Машиностроение, 1985, 496 с.
5. Кикоин И.К. Таблицы физических величин.Справочник. М.:Атомиздат, 1976, 1004 с.
6. Дерибас А.А. Физика упрочнения и сварки взрывом. Новосибирск: Наука, 1980, 188 с.
Поступила 20.01.2006г.
УДК 539.376 В.Н. Анисимов
ОПИСАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОЗИЦИИ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Построена нелинейная модель упругого деформирования материалов, основанная на взаимодействии между молекулами.
Прочностные свойства любого материала складываются из взаимодействия между молекулами. Пусть F ( г ) - сила взаимодействия двух молекул, направленная по прямой, соеди-
няющей „х центры. Здесь г - расстоян„е между центрам„. Межмолекулярные с„лы складываются „з с„л пр„тяжен„я „ отталкнвання. В работе [1] для F ( г ) предложена следующая функ-ц„я:
\ a b
F (r ) = — - — • r r
(1)
Найдем выражение для силы, действующей на молекулу, расположенную в точке M (x1, x2, x3) со стороны других молекул (см. рис. 1).
VF, (a x2, x3 )=/Л F ( ^( Ax + Du) + (( + Du 2) + (Ax^ + Au)
V ^
Dx
N A + Ax x2 + Ax2, x3 + Ax3)---L dV. (2)
r
Здесь Фi (x1,x2,x3) — проекция на ось xi силы, действующей на единицу объема молекулы; ut (x1, x2, x3)— перемещение точки сплошной среды в результате деформирования;
Au;- = ut (x1 + Ax15 x2 + Ax2, x3 + Ax3) — ut (x 1, x2, x3); V0 — объем среды, соответствующий одной молекуле; N ( x1, x2, x3) — объемная концентрация центров
молекул; r =yjAx1 + Ax^ + Ax^ — расстояние между центрами в недеформированном состоянии. Тело V представляет собой внешность сферы радиуса
d0 = 2r0 •
Уравнения равновесия (2) обладают большой общностью. С помощью соответствующего выбора функции N можно описывать анизотропию, объемную неоднородность материалов. Если позволяют вычислительные мощности, то можно рассматривать деформацию сред с точки зрения перемещения отдельно взятых молекул.
В данной статье рассмотрим случай изотропного материала, т.е. N (x1, x2, x3) = N = const.
Сделаем также допущение, что Dui малы по сравнению с r , тогда, используя разложение в ряд, получим
^j( Ax1 + Au1 )2 + (Ax2 + Au2 )2 + (Ax3 + Au3 )2 = r + Auj ■ nj. (3)
В данной формуле и в дальнейшем используется суммирование по повторяющемуся ин-
_ Ax
дексу. Через nj обозначена проекция единичного вектора n на ось Axj, т.е. nj = —-.
Уравнение (2) с учетом (3) в случае изотропного тела в сферических координатах примет следующий вид:
Р и с. 1.
A • I dpjd&jF(r + Aujnj). ■ r2 sindr = Ф; (x), (4)
где A=VN; Ф (x)=Ф(Xl,^x3).
V0
Расположение сферических углов показано на рис. 2. Направляющие косинусы через сферические углы выражаются следующим образом:
n1 = sin в • cos р; n2 = sin d • sin p; n3 = cos d . (5)
Разложим функцию F (r + Aujnj) и функцию Auj в ряд
Тейлора и удержим члены до второго порядка включительно. В результате уравнение (4) примет вид:
+- Г" (г)(uJ.knkn.,■ •г+- )2]п •г2 •8іпвйг = ф (х )• (6)
¥
Здесь учтено, что | Г (г) г2 йг = 0, так как силы взаимодействия относительно молекулы в не-
й0
деформированном состоянии находятся в положении равновесия.
Проинтегрируем выражение (6) с учетом (5). После преобразований получим
фз = т {л^ + 2в,з + т— (6Uз із + 3^ зз + 3^ п + 2u212 + ^ 22) +
+Є23 (6^,2з + 3u2,33 + 3u2,22 + 2U1,12 + U2,11 ) + —Є12 (U1,23 + U2,13 + ^,12 ) +
+3Uз з зз + 2( 1з + 2U2 23 + Uз ц + ^ 22) + U2 2 ^6^ 2з + 3Uз 22 + 3^ зз + 2Ul 1з + Uз 11) + (7)
^ 1 (6Ul 1з + 3^ 11 + 3Uз зз + 2U2 2з + ^ 22 )]},
где
¥
| Г "(г )• г 5йг
т = Г(г)г4йг; т = йо¥-;Лu,■ = ^; в=uм; е = -( + г—)• --
15Ко йо 7|Г '(г )г 4йг 2
йо
Условие равновесия по оси х1 получается из выражения (7) заменой индекса 3 на 1 и 1 на 3. Аналогично получается условие равновесия по оси х2.
Если пренебречь нелинейными членами, то данные уравнения будут соответствовать уравнениям Ламе при V = 0,25.
Найдем напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной оси Лхз:
1 2р 2 ¥ 1 2 \
Nаз* • \ = І 8іпвйв|(Г'(г)г3 •(и) + -Г"(г)г4(пп) )• ninзdг, (9)
^ 0 0 й0 2
где S0 - площадь сечения, приходящаяся на одну молекулу. Интегрирование производится по внешности полусферы, находящейся над плоскостью Лх15 Лх2.
После преобразований получим:
стзз = = т { ,з з, з + Ull + U2 2 + 0,5т2 \_9u-3 + 2u11 • u22 +
+з( ul,l + uз,з) + 3 {м- - + u3 ,3 ) + е12 + 3е13 + 3е23 ]}; (10)
СТ31 = т* [е13 з оГ + + ^зОц + з^,з + ]; (11)
°32 = т* [Є23 з + + ^зС3^,- + 3U3,3 + ^,1^ , (12)
Г F " (г )г4 ёг
и т ¥ 2 \ ’
* 2лИ г ( ■. 3 * ^
где т = ] ^(г)гёг; т =—-•
0 л° 7Г F ' (г) гЗёг
Разница между т и т , т2 и т2 незначительная. Она зависит от плотности и характера упаковки молекул. Заметим, что при подстановке равенств (10)-(12) в уравнение равновесия &Ъи = Ф3, получается уравнение (7).
Напряжения, действующие по плоскостям, перпендикулярным Ал- и Дл2, находятся из выражений (10)—(12) заменой индексов (1«3; 2 «3). Линейные части уравнений соответствуют классическим уравнениям при п = 0,25. Аналогичные уравнения были получены в работе
[2] при моделировании среды хаотически ориентированными локальными элементами (упругими стержнями).
Запишем полученные уравнения в главных осях:
3.5^2 (9и3з + 2щ 1^2 2 + 3(^11 + из) + 3(и 2 + М33) ;
: ті |^3и2 2 + ^і і + Ызз + 0.5т> (9и2 2 + 2ц и з + 3(ц1 + и2 2) + 3(и2 2 + Ц 3) ) ;
).5т (9^1 і + 2Ыз 3^2 2 + 3(^1 і + ^2 2) + 3(^1 і + М33) .
Рассмотрим одноосное напряженное состояние. Примем и1 = и2, ст11 = ст22 = 0, в результате получим
3ц і + и2 2 + и^з + 0.
стзз = ті
стіі = ті
3е3 + 2е,
і + 0.5т (і5е2 + 12е1е3 + 8е2 ;
4е1 + е3 + 0.5т2* (24е2 + 8е1е3 + 3е2 = 0.
(13)
Здесь: и22 = и11 = е1; и3 3 = е3.
(14)
После обозначения п0 =— система (13) примет вид:
е3
СТ33 = т [ез (3 + V ) + ^ (4^02 + V + 7-5)];
(4^0 +1) + т*е3 ( V2 + 4п +1.5) = о.
При малых деформациях п0 равен - 0,25. С увеличением е3 коэффициент Пуассона V незначительно увеличивается. Приняв п0 = -0,25, получим:
сг33 = 2,5т*е3 (1 + 2.5т2*е3).
Аппроксимируем кривую мгновенного деформирования параболой:
Стзз = Еез
( Е Л
1 е
4<г '
ч пр 0
(15)
(16)
Сопоставив выражения (15) и (16), найдем значения т , т2:
Е
т = 0,4 Е; т =_0,1--------.
апр
Здесь Е и стпр - соответственно модуль упругости материала и предел прочности. В заключении отметим, что
гоіа =
І І к
д д д
де1 де2 де3
стіі °22 стзз
= 0,
т.е. поле главных напряжений потенциально и полученная модель описывает только упругое поведение материала.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. БушмановБ.Н., ХромовЮ.А. Физика твердого тела. М.: Высшая школа, 1971. 224 с.
2. Радченко В.П., Еремин Ю.А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. М.: Машиностроение - 1, 2004. 264 с.
Поступила 27.12.2005 г.
