Достаточные условия замкнутости молекул ДНК Текст научной статьи по специальности «Математика»

п . п +

1ш1

2

г-,

= 0

(3)

п у;

где 2: =-. Но (3) следует из леммы 2.2.. Таким образом, (2) доказано.

Г

Далее, так как

то

—I-

2

является прилипающеи точ-

кой, что невозможно. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

Боровков И.Н. О некоторых вариантах проблемы Хоффмана-Йоргенсена // РГПУ, Мин. обр. РФ; СПб., 1993. Рук. деп. в ВИНИТИ 14.01.93, № 67-В 93.

Боровков И.Н. О некоторых вопросах аппроксимации множеств в банаховых пространствах // РГПУ, Мин. обр. РФ; СПб., 1993. Рук. деп. в ВИНИТИ 11.10.93, № 2557-В 93. Рисс Е.А. Меры, совпадающие на малых шарах // Курский гос. пед. ин-т. Мин. нар. обр. РСФСР; Курск, 1989. Рук. деп. в ВИНИТИ 05.02.90, № 650-В90.

1

п

А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАМКНУТОСТИ МОЛЕКУЛ ДНК

Работа посвящена изучению крупномасштабных конформаций молекул дезоксирибонук-леиновой кислоты (ДНК) с использованием модели тонкого гибкого стержня в естественной для молекулы водной био-среде, окружающей её в околоядерной области клетки. Радиус двойной спирали правоориентированной ДНК составляет приблизительно 1 нанометр а длина может достигать 1000 более нанометров.

Специфические конформации ДНК могут способствовать или препятствовать различным биохимическим процессам, включая репликацию, транскрипцию и рекомбинацию [5]. Участки молекулы длиной около 150-200 пар оснований являются относительно жёсткими и могут быть смоделированы на основе теории гибких стержней.

Под воздействием сил межатомного взаимодействия молекула ДНК подвергается упругим деформациям, что в рамках рассматриваемой стержневой модели приводит к существенным отличиям конфигурации стержня в деформированном состоянии от первоначальной и почти полностью исключает прямое применение приближённого анализа, основанного на линеаризации исходной системы дифференциальных уравнений, описывающей состояние равновесия стержня. В связи с этим большое значение приобретают известные точные решения указанной системы. С их помощью можно провести качественный анализ как при тех ограничениях, при которых эти решения получены, так и в их окрестности.

Точные решения в теории тонких упругих стержней можно получить, воспользовавшись аналогией между задачей об изгибе и кручении тонких стержней концевыми нагрузками и задачей о движении тяжёлого гиростата, имеющего неподвижную точку. Для последней задачи известно более двадцати общих и частных решений.

Главная цель работы - нахождение условий, при которых осуществляются замкнутые кон-формации молекулы ДНК. Интерес к этому вопросу вызван тем, что данное состояние является наиболее вероятным и наиболее устойчивым состоянием ДНК в биологической системе. Для решения данной задачи используется одно решение системы дифференциальных уравнений, описывающих трансформации молекулы, а именно, решение А.И. Докшевича [1]. Приэтом под условия-48

ми замкнутости молекулы будут пониматься ограничения, полученные для параметров, входящих в используемое решение.

Система уравнений, описывающих трансформации молекулы ДНК под воздействием сил межатомного взаимодействия, имеет вид [2]:

(х + А/)* = (х +1) х ш + Р(е XV), v=vxa. (1)

ш С>1, со2, соъ - вектор Дарбу оси молекулы, Р - равнодействующая внутренних сил, X , Х2, Х3 - вектор-момент внутренних сил, v ^,1,v2,v3 - единичный вектор силы тяжести,

С - единичный вектор касательной к оси молекулы, Л Q, Л2, Л3 ^ - вектор, характеризующий

первоначальную геометрию молекулы.

Звёздочка означает дифференцирование по дуговой координате S в главных осях изгиба и кручения. Ось молекулы изучается в цилиндрических координатах ОС, р , ¿¡ и представляется как линия пересечения двух поверхностей: цилиндрической и поверхности вращения [2]. Направляющая цилиндрической поверхности (кривая П) определяется следующими уравнениями [2]:

+ Á¡ 2 + С2 + Л2 2 + С3 + лз 2 - к1 da _ ку1 -х1-Л1 (2)

Р =

Р2 ds Рр2

Образующую цилиндрической поверхности направим параллельно неподвижному вектору V . Проведём через оси и Ор плоскость. Построим в этой плоскости кривую N (меридиан поверхности вращения), заданную уравнениями [2]:

2 4(1++4с2++4съ+Л,ъ^-к2 di^ р)

Т2 ' ~J¡~Y''

р =-"-W--' — = Гг

Вторую поверхность получаем вращением кривой N вокруг оси О^ с угловой скоростью

йа „ „ .. -. Линия пересечения этих двух поверхностей и дает ось молекулы.

В работе рассматривается новое решение системы уравнений трансформации (1), имеющее следующий вид [2]:

2

ах + а,

У =

(1 - а2)2

2 - а2хл - a(/4t +1 Jfe - 3 jr 2al x2 - al + 2aal4i + \

Yfi =

i-a2l

- aif + lj:2 + at + 2ait + (4)

i

ax3 + a.x-2ai} + \ x

rr 2=-—^-,

\—a

хг

Пъ=--г '

1 — а

, 4/, -2а(, + 1~*г . Г =

Если подставить соотношения (4) в первое из скалярных уравнений системы (1), то можно получить соотношение

— = zi;" или 5 = . (5)

ds '

*о

Область изменения X естественно определяется из условия неотрицательности правой части второго равенства в (4).

Для данного решения имеет место случай, когда в качестве области определения выступает

промежуток , концами которого служат действительные корни многочлена г2 Мно-

гочлен г 2 (х) имеет два действительных корня в следующих областях значений параметров [2]:

а<-\,0<а<\,а>2,0<а1<2а4} + \. (6)

Отметим, что для замкнутости кривой, описывающей ось молекулы, необходима и достаточна замкнутость обеих её проекций.

В указанном случае замкнутость проекции Ос4р направляющей цилиндрической поверхности обеспечивается леммой 1 монографии [2]. Проекция имеет вид, изображённый на рис. 1.

Хотя кривая на рис. 1 формально не является замкнутой, изменение угла СС осуществляется периодически по

кривой АВ. При изменении переменной X от Хх до х2 точка на кривой движется от точки О к точке А и обратно. При изменении х от Х2 до Л', точка на кривой движется от точки О к точке В и обратно. Таким

образом, за два периода дуговой координаты £ точка проекции ОС ^ возвращается в исходное положение (в точку О), что обеспечивает замкнутость проекции.

Необходимым и достаточным условием замкнутости меридиана С, 4р ^ является равенство £

а

——Ам*

Ч / А \

\ о р

\ \ 'шш В у

Рис. 1

нулю приращения (-, за один период:

^ = с/х =

о

(7)

Рис. 2

разложим на простейшие множители:

При этом замыкание осуществляется, как и в случае Ос4р , за два периода дуговой координаты S (рис. 2). Выделенный участок на рис. 2 соответствует одному периоду дуговой координаты.

Перейдём к исследованию частного случая решения Докшевича системы уравнений Кирхгофа (1) на предмет нахождения условий замкнутости молекул ДНК, а именно: найдём достаточные условия осуществления замкнутости в виде ограничений на параметры решения (необходимые условия указаны в работе [3]). Идея дальнейших рассуждений состоит в том, чтобы привести выражение (7) к канонической форме эллиптического интеграла, либо к их комбинации, для чего знаменатель подынтегрального выражения

22=-аЧ2-«2>2 + /?27<-«2^, (8)

где а2 — х*, — Р 2 = . X*, х:; - корни соответствующего квадратного уравнения;

X = — (—[а(а + 1)(а — 3) + 2а] — д/а(а + 1)(а — 3)2 +4^ (а — 1)) , 2 а

х* =— (—[а(а +1)(а - 3) + 2а ] + л/а(а + 1)(а - 3)2 + 4а (а -1)) • 2 а

В областях (6), где многочлен 2 (х) имеет два действительных корня, выполняется соот-

ношение: X* < 0, х > 0. Положим X,

= —\1Х, х = .

X . Перепишем интеграл (7) с учётом

представления (8), выражения для компонент решения Докшевича, а также того, что интегрирова-

I I

ние производится по отрезку [ — V X ; л! X ]:

-аф + 13:2 +ах +2а^ + \\ , г =— Р

^х II 1

Р2

Их' ^ у 2

Разобьём полученный интеграл на сумму двух интегралов и во втором интеграле поменяем местами пределы интегрирования:

ы

Сделаем в каждом из интегралов замену переменных.

Для первого интеграла положим х - У . Чтобы замена была монотонной, по-

ложим в качестве верхнего предела у = 1. Первый интеграл примет вид:

а

.2 , п2

х

'г-аф + ^-у2 х*+а1+2а<г + 1"^ , где & = ■ „

]-р:——¡- _ ^ а2 + ^ X - X»

- 11 -->/<-/л-*у;

Для второго интеграла положим х — _)/ , в качестве верхнего предела также

положим = 1, тогда замена станет монотонной: Второй интеграл примет вид:

V-+у2 х* + а, ++1 .

- -, —^-1-^ау

11

-Ч<-у 21~ к2 у \

В результате приращение С запишется следующим образом:

д = 2д0 V-а^1 + \\-у2 + + 0

с-ад +

^ П Г

2 у2

Разобьём полученный интеграл на сумму двух:

1

га +1 X

И-у г1~ к2 у 2

(-аа+1 *+2аа+О а

йу

л/^ у г1-к2 у2,

2 « 2

а я—а

1

2

х

*

ж

2

0

В скобках стоит линейная комбинация эллиптических интегралов, каждый из которых имеет особенность в точке у = 1, которую можно устранить с помощью замены У = БИ! ф,

Ф-

. В результате замены получим:

S" = 2ío

2

«a+1 x J-

sin1 ф

yji-к2 sin2 ф

+ +2a4f + 1 j- a1 T

д/<-к2 sin2 ф

(9)

Итак, в результате проделанных преобразований получили линейную комбинацию определённых эллиптических интегралов, не имеющих особенностей. Выясним, при каких условиях возможно равенство нулю выражения (9). Отметим, что каждый из указанных интегралов является неотрицательным (как интегралы от неотрицательных функций), поэтому равенство нулю возможно лишь в случае, когда коэффициенты при интегралах имеют противоположные знаки (случай одновременного равенства нулю обоих коэффициентов места не имеет, поскольку в рассматриваемых областях значений параметров (9) коэффициент перед первым интегралом

и + 1 X >0). Равенство нулю рассматриваемой комбинации возможно лишь на множестве, где

(10)

Данное условие является одним из необходимых условий замкнутости меридиана, а следовательно, молекулы в целом.

Опуская соответствующие рассуждения, укажем ограничения, налагаемые на параметр неравенством (10):

а, <а<-а2+2а + 1^<г + Г. (11)

Пересечение области (11) с областями (6), даёт множество значений параметров

0 < а, <

а\а2 + 2а + \ „ ,, , гт —-«-, 0<а<1, 2 < а < 1 + л/2 .

а +1

(12)

на котором возможна замкнутость меридиана. Переходя к отысканию достаточных условий замкнутости, предположим, что

ta+1 x J-

2 • 2 »Г Sin (р

к 2sr2

Sin (р

-d(p + С +13"* +2а4} +1 j- ^

d(p

к 2sr2

= 0-

(13)

sin (p

Для получения явной зависимости одного параметра от другого и доказательства того, что кривая = й^ К/ принадлежит области (12), заменим подынтегральные выражения их разложением в ряды по степеням sin ф.

1

дД-к2 sin2 ф sin2 ф

2n!!

4l- к2 si

2 • 2 Sin (

= sin2^ + У ^Ljlk2" зт2^ф.

tt 2 я!! V

0

0

0

0

я=1

Подставив разложения (14) в уравнение (13), после почленного интегрирования получим

-ЛЯ,, I „ (15)

* -> *1 ж Ъл 2

ащ/ +1 х —I--к

^ \ 4 32

{-аС + 1]*"* + С—1—+••• = О

2 8

Найдём решение уравнения (15) в первом приближении, для этого рассмотрим первые члены в каждом из рядов.

+ —I- + + + а, — = 04 ^2

После преобразований имеем:

2а<г + 1^^±1^<г + 13(г-Р + 4«1<г-С>-«С + СС-3>2а1С + 1>8аС + 1>4а1. (16) Последнее равенство накладывает следующее ограничение на параметры решения:

(17)

ах >■

-а4 +а3 -За2 -5а

2ф + 3

Учитывая ограничения (12) и (17) для параметров а и ах, преобразуем (16) в квадратное уравнение относительно параметра а1 :

С + б^а2 + С + 2- С - = 0 .

(18)

Корни уравнения (18) и будут в первом приближении определять кривые, на которых осуществляется замкнутость меридиана. Отметим, что кривая, определяемая вторым корнем уравнения (18), лежит вне области (12) и поэтому не представляет интереса. Второй корень уравнения (18) определяет кривую, на которой выполняются достаточные условия замкнутости меридиана.

-4 + 2> + 2^+4 4 + 6^2 4-5-

2С + 63

На рис. 3 выделены участки кривой, на которых выполняются необходимые и достаточные условия замкнутости меридиана

с*:

Отметим, что построение в первом приближении множества, на котором выполняется замкнутость меридиана , не решает поставленной задачи полностью, поскольку остаётся открытым вопрос о поведении полученной кривой в случае учёта большего числа членов разложения интегралов в функциональные ряды. Для более точного построения множества, на котором может реализовываться замкнутость меридиана С воспользуемся аппроксимацией многочленами эллиптических интегралов, входящих в (13), которая приведена в [4]:

вт ср

'д/Л

2 ■ 2 вт (р

<1(р=

_0, Лт+Лт2

В+Бт+в,

2т2 ]п — ! + £•( ■ т,

2

2

'а/Л

2 ■ 2 sin <р

d(p= |i0+Hlm+H,m2 + J,r0 +И\т + И\т2 Jnf — ) + &, -

(19)

2 4 2 —5

где т=\ —к . |<?, ч <3-10 и коэффициенты А/. В/. Н.. Ж, -фиксированные

числа. Полезность указанных аппроксимаций определяется наличием оценки остаточного члена, что позволяет оценить точность условий замкнутости, построенных на основе первых членов разложения. Для построения кривой, на которой возможна замкнутость меридиана заменим интегралы в (13) их представлением (19) и рассмотрим выражение (13) как неявную функцию параметров

a и a •

На Рис. 4 представлен график этой функции в

области допустимых значений параметров а и а .

Как видно из расположения кривых, участок кривой, на котором осуществляется замкнутость меридиана С , принадлежит участку области (12):

0 < ах <

а^а2 +2^ + 1 а +1

0 < а < 1.

(20)

Откуда можно установить и область значений эллиптического модуля к: к е ^);0,75 . Приведённые оценки остаточных членов аппроксимаций справедливы для всех значений эллиптического модуля к2 из промежутка (0;1). Поэтому в данном случае интегралы в (13) принимают конечные значения (не возникает бесконечности при стремлении к' к 1). На основании сказанного можно сделать вывод, что в области (20) осуществляется замкнутость меридиана д 4р в случае, если параметры решения связаны соотношением (13).

Учитывая, что проекция ОС 4р замкнута, можно утверждать: условия (20) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы решение (4) системы уравнений (1) описывало замкнутую конфигурацию молекулы ДНК.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Докшевич А.И. Новое частное решение задачи о движении гиростата // Механика твёрдого тела. 1970. Вып. 2. С. 12-15.

2. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка, 1979.

3. Илюхин А.А., Тимошенко Д.В. Математический анализ условий замкнутости молекул ДНК // Сб. науч. тр. 11-й Международной конференции «Математические модели физических процессов». Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та. C. 179-183.

4. Абрамовиц М., Стиган А. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

5. Сабитов Д.И. Об идентификации параметров математической модели пространственных структур РНК. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 2004. № 19. С. 2-28.

2

1