CC BY
40
УДК 539.376
В. Н. Анисимов
СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
ТВЁРДЫХ ТЕЛ, УЧИТЫВАЮЩАЯ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Предложена структурная модель для описания напряжённо-деформированного состояния твёрдых тел с позиции межмолекулярного взаимодействия. С помощью модели получены нелинейные соотношения между деформациями и напряжениями в упругой области.
Физические модели механики деформируемого твёрдого тела предполагают представление реального твёрдого тела как совокупность большого числа неделимых частиц, взаимодействующих между собой определённым образом, отождествляя их с реальными молекулами или атомами.
Считая, что силы взаимодействия между частицами направлены по прямой, соединяющей их центры (гипотеза центральных сил), и зависят только от расстояния, можно получить следующие уравнения равновесия, записанные в декартовой системе координат (x\, Х2, Х3):
^ F(rij) ■ nkij = &ki, (1)
j=i
где k = 1, 2, 3; i, j = 1, 2, ..., M; M — число частиц; = л/(жу - хц)2 + (x2j - x2i)'2 + (хзj ~ )2 —
расстояние между i-той и j-той частицами; xii, X2i, Х3i — координаты центра i-той частицы; Пщ =
Xkj —Xki ■
= —----:--направляющие косинусы вектора, соединяющего центры г-тои и 7-тои неделимых частиц;
rij
F(r) —сила взаимодействия между частицами, находящимися на расстоянии г; Ф^, Ф2i, $3i — компоненты внешней силы, действующей на частицу. Систему (1) необходимо разрешить относительно координат центров неделимых частиц, т. е. относительно Xii, Х2i, Х3i.
Даже если ограничиться суммированием только в ближайшей к i-той частице области (силы взаимодействия быстро убывают с увеличением расстояния), то всё равно решение системы затруднительно, т. к. число уравнений очень велико. Система (1) может быть полезна только для описания среды в узкоограниченном объёме, например, в пределах нескольких кристаллов.
В данной работе предложена интегральная модель для описания взаимодействия частиц. Предлагается выделить одну неделимую частицу (структурный элемент) — шар радиуса Го с центром в точке M (xi, Х2, Х3), а остальные частицы интегрально распределить вокруг неё, заменив их сплошной средой с объёмной концентрацией частиц N. При этом, в окружающей частицу среде можно ввести понятия деформаций и напряжений. Схема структурной модели представлена на рисунке.
Если считать силы взаимодействия между частицами радиальными, то уравнения равновесия в точке M(Х1, Х2, Х3) будут иметь вид:
У0Фг(х1, х2, Хз) = JJJ F (г + Дг) • N • ^ ^ ^ dV, г = 1, 2, 3. (2)
V
Здесь dV = d^id^2d^3 —элемент объёма; V0 —объём неделимой частицы; Фi (Х1, Х2, Х3) —проекция на ось Xi объёмной силы; NF (г + Дг) dV — радиальная сила взаимодействия между частицей и объёмом dV; Ui (Х1, Х2, Х3) —перемещение точек среды в результате деформирования; Дщ = и(Х1 + £1,
Х‘2 + Х'з + £3) — и(х 1, Х‘2, Хз)', г = \JCi + Cl + £з—расстояние между частицей и объёмом d,V в недеформированном состоянии; Дг = ( \/(£i+ А г/,i)2 + (£2+ A U2)2 + (£з + А г/,3)2 — г)—изменение
г в результате деформации; щ = у; п* = —направляющие косинусы вектора, соединяющего
центры частицы и объёма dV, до и после деформации. Тело V представляет собой внешность сферы радиуса го, равного радиусу структурного элемента (закрашенная область на рисунке).
Введём функцию Fo(r) = и разложим подынтегральное выражение в ряд относительно Ащ в точке А- = 0 с точностью до членов второго порядка:
FoV(& + A«j)(£j + Ащ) ■ ({<? + Aus) = rF0(r)ns + (гР^{г)пкп3 + F0(r)5sk)Auk+
+ 0,5((rFo(r) - Fq(г))ninkns + Fq(г)(fen + 5sink + 5skni) AukАщ,
где Sij —тензор Кронекера. Здесь и далее используется свёртывание по повторяющимся индексам. Функцию А^также разложим в ряд:
Aui = u(xi + £1, X2 + £2, X3 + £3) - u(xi, Х2, Хз) К rUijnj + 0,5r2Ui;jknjnk.
Тройной интеграл (2) удобно проинтегрировать в сферических координатах. Более подробно процесс интегрирования рассмотрен в работе [1]. После интегрирования получим уравнения равновесия с точностью до членов 2-го порядка относительно перемещения u и его производных:
Фз(Ж1,Ж2,Жз) = 5Ai(U3,ii + U3,22 + -3,33) + ££(3-3,33 + U311 + U3,22 + 2-1,13 + 2-2,23) +
-3,3(15-3,33 + 3U3,11 + 3U3,22 + 6U1,13 + 6U2,23) + U1,1(3U3,33 + 3U3,11 + U3,22 + 6-1,13 + 2U2,23) +
ci-bi
' 7
+ -2,2(3-3,33 + 3-3,22 + U311 + 6-2,23 + 2-1,13) + (-1,3 + U3,1)(3-1,33 + 3-1,11 + -1,22 + 6-3,13 + 2-2,12) + + (-2,3 + U3,2)(3-2,33 + 3-2,22 + -2,11 + 6-3,23 + 2-1,12) + (-1,2 + U2,1)(2-1,23 + 2-2,13 + 2-3,12) +
+ £1 -3,3(9-3,33 + 3-3,11 + 3-3,22 + 2-1,13 + 2-2,23) + -2,2(2-2,23 + 3-3,22 + U3,11 + -3,33) +
+ -1,1(2-1,13 + 3-3,11 + U3,22 + -3,33) + -3,1(6-3,13 + 3-1,11 + U1,22 + U1,33 + 2-2,12) +
+ -1,3(-1,11 + U1,22 + 3-1,33 + 2-3,13) + -3,2(6-3,23 + 2-1,12 + 3-2,22 + -2,11 + -2,33) +
+ U2,3(-2,11 + -2,22 + 3-2,33 + 2-3,23) + -1,2(2-1,23 + 2-3,12) + -2,1(2-2,13 + 2-3,12) , (3)
где
OO OO
А* = ТЩ / Р°(^г4(1г' в* = / ро(г)г5(1г] С1 = I Р^{г)гЫг.
го го го
Уравнения равновесия в проекции на оси Ж1 и Ж2 получаются заменой индексов 1 ^ 3, 2 ^ 3. Разлагая силы, действующие по поверхности структурного элемента, по трем взаимно перпендикулярным плоскостям, получим выражения для напряжений:
2п п/2
2
~^a*st = j dip j | j rF0(r)ns + F0(r)rus>ini + r2FQ(r)(ukyinink)ns+
4ro
+ 0,5( rFo(r) - Fq (г)) (r-k,inink )2Us + 0,5Fq (г) ( fen + fenk + fe ni) r2(Uk,ini)(Ui,ini)r2drJ nt sin в de,
где So — площадь сечения, приходящаяся на структурный элемент.
После интегрирования получим:
0'33 = 5A2 + 5A2-3,3 + £2 (3-3,3 + -1,1 + -2,2) + 0,5В3 (9u2,3 + u2,1 + u2,2 + 2-1,1-3,3 + 2-2,2-3,3 + 3u2,3+ + 3u2,1 + 3-2,3 + 3-3,2 + u2,2 + U2,1 + 2-3,1-1,3 + 2-3,2-2,3) +
+ XJ(C*2 — F>2) g + Зц2д + ЗИ2 2 + 6-Ui,i-U3,3 + 6u2t2u3,3 + 2-Ui,i-U2,2 +
+ 3(U1,3 + U3,1)2 + 3(U2,3 + U3,2)2 + (-1,2 + -2д)2); (4)
°з 1 = 5A2u3,l + B2(U1,3 + U3,l) + 0,5B2 (ui,i + U3)3)(2ul,3 + 6u3,l) + 2u2;2U3;l +
+ 2Ul 2U3,2 + 2U2.1U3,2 + 2U2,lU2,3
+
7 где
+ 7(^2 — -^2) (3«1,1 + 3^3,3 + «2,2)(«1,3 + «3,1) + («1,2 + «2,l)(«2,3 + «3,2) j (5)
СО СО СО
Л*2=Щ1 в*2=Щ/ {г)гЧг] с*2=Щ/ р№>Чг- ^
го го го
Остальные компоненты тензора напряжения получаются заменой индексов 1 ^ 3, 2 ^ 3.
В дальнейшем будем считать, что тензор деформации симметричен, т. е. = и^. Заметим, что при отсутствии деформации напряжения не равны нулю, т. е. находятся с точностью до напряжений всестороннего напряжённого состояния.
Подставляя в выражения для напряжений (4) и (5) значения деформаций:
еЧ = \(и3,г + иг,])’ е = е11 + е22 + 633; (J^j = (Ту — 5А*£у, получим следующие соотношения между деформациями и напряжениями:
<7зз = (ЗА + 2_В)езз + {В — 14)е + в7а (9е33 — е\\ — е|2 — 2ецезз — 2в22взз — Зецегг + Юе23 + 10е|3 + е22) + + п (15е§з + Зе^ + Зе^ + 6в22взз + бецвзз + 2ецв22 + 12в23 + 12е23 + 4е22) ; (7)
<7із = (ЗА + 2Б)еіз + Юецеіз + ЮЄ33Є13 + Є22Є13 + 9еі2в2з) +
7
+ ^г(3ецеіз + ЗЄ33Є13 + Є22Є13 + 2еі2еіз). (8)
7
Здесь A, B, C определяются следующими равенствами:
СО СО СО
А = [ F(r) ■ r2dr; В = [ F'(r) • r3dv, С = [ F"{r) ■ rAdr.
15So J 15So J 15So J
ro ro ro
Прежние параметры A£, £|, C| выражаются через A, £, C следующим образом:
A2 = A; £2* = £ - A; C2* = C - 2£ + 2A.
Данные соотношения получаются из (6) подстановкой Fo(r) = -р-.
Линейные части выражений для напряжений совпадают с классическими и имеют вид
°ij — Ae^ij + 2^Cij,
где 2^ = 3A + 2£, A = £ - A. Коэффициенты A и ^, через модуль упругости E и коэффициент Пуассона v, выражаются следующим образом:
Ev E
А = --------—--------2/х =
(1 + V) ■ (1 - 2^)’ ^ 1 + V *
Выразим А и В через Е и V:
В = Е • 4 = Е{1 ~4?/) (Я)
5(1-2 г/)’ 5(1 + г/)(1 — 2г/) ’
Для идентификации параметра С найдём энергию сублимации, т. е. работу, которую необходимо совершить при неограниченном расширении твёрдого тела. Для нахождения работы примем вц = = в22 = 0, а взз, определяемое выражением (7), будем увеличивать до тех пор, пока СТ33 не станет равна нулю. Работа при такой деформации (энергия сублимации) будет равна:
= 3,63(2А + ЗБ)3
(6Б-6А + 5С)2 [ }
Использование формул (9), (10) позволяет идентифицировать параметры А, В, С. В табл. приведены значения А, В, С для металлов. Значения Е, V, Ш взяты из [2]. Формула (7) при больших значениях езз может иметь значительную погрешность, поэтому приведённые в табл. значения Со значимы только в рамках модели (7), (8).
Идентификация параметров А, В, С
Материал Е, Н/м2 V W, Дж/ма В, Н/м2 А/В С/В
Железо Никель Алюминий Свинец 150 • 10у 204 • 109 67•109 16 • 109 0,27 0,28 0,33 0,4 56 • 109 65 • 109 32 • 109 11 • 109 65 • 109 93 • 109 39 • 109 16 • 109 -0,06 -0,09 -0,24 -0,45 -3,28 -3,56 -3,17 -3,26
Достоверность полученной модели подтверждается совпадением в линейной части уравнений равновесия (3) и выражений для напряжений (7), (8) с классическими.
Нелинейные части выражений (3), (7), (8) в настоящее время не могут быть сопоставлены с экспериментами из-за отсутствия таковых. Нелинейности проявляются при деформациях порядка 0,1. У реальных материалов максимальное значение упругих деформаций не превышает 0,01, а при больших деформациях наблюдается пластичность.
Описанная в данной статье структурная модель опирается на реальное строение вещества. Полученные из неё следствия хорошо согласуются с классической теорией. Модель может быть использована для описания напряжённо-деформированного состояния твёрдых тел при больших деформациях. Также она может быть полезна в физике твёрдого тела, например, при определении сил межмолекулярного взаимодействия.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Анисимов, В. Н. Описание напряжённо-деформированного состояния твёрдых тел с позиции межмолекулярного взаимодействия [Текст] / В. Н. Анисимов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2006. — № 42.— С. 197-200. — ISBN 5-7964-0815-1.
2. Смитлз, К. Д. Металлы [Текст] / К. Д. Смитлз.—М.: Металлургия, 1980.—447 с.
Сызранский филиал Самарского государственного Поступила 16.10.2007
технического университета, г. Сызрань anisimov170159@mail. ru
V. N. Anisimov
THE STRUCTURAL MODEL OF TENSE DEFORMATED CONDITION OF SOLIDS WHICH TAKE INTO ACCOUNT INTERMOLECULAR INTERACTION
The structural model to describe tense deformated condition of solids from the position of intermolecular interaction is offered. Nonlinear correlations between strains and tensions in the elastic sphere with the help of this model are received.
Samara State Technical University, Syzran Branch; Syzran, Russia Received 16.10.2007
anisimov170159@mail. ru
