Операции комбинирования вероятностных моделей содержания Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 004.8

ОПЕРАЦИИ КОМБИНИРОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ

СОДЕРЖАНИЯ

© 2016 В. Г. Василевский

аспирант кафедры программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: vw17@mail.ru

Курский государственный университет

Статья посвящена исследованию вероятностных средств моделирования, ориентированных на соответствие требованиям и нормам Логики. Достигнутые результаты собираются воедино в вероятностном подходе к моделированию рассуждений. Статья начинается с краткого описания принципов и обстоятельств подготовки подхода. Цель исследований: развитие средств моделирования рассуждений, позволяющих исполнить логические нормы и правила в условиях применения вероятностных мер. Описанный этап исследований направлен на получение вероятностного инструментария, предназначенного для построения эквивалента логических высказываний. Ведущее место отведено средствам, комбинирующим вероятностные модели содержания понятий, на роль которых предложены три операции: «совмещение», «разобщение» и «исключение». Для каждой из них приведены разъяснения и математические формулировки выявленных или закреплённых закономерностей. В целях демонстрации применимости подхода, в заключительной части статьи приведён пример использования предложенных средств для вероятностного ремоделирования логических основ силлогистики.

Ключевые слова: моделирование рассуждений, вероятностный эквивалент высказывания, совмещение, разобщение, исключение, вероятностная модель содержания понятия.

Отрасль информационных технологий является наиболее заметной из числа научных направлений, в которых информация и связанные с ней явления выступают как объекты изучения. Об их популярности позволяют судить библиотечные подборки книг и журналов, витрины книжных магазинов, периодические публицистические издания, в том числе научные, потоки сообщений в интернете и многие другие факторы. В информационных технологиях отношение к информации как к объекту изучения необходимо уже потому, что вся деятельность этого направления так или иначе строится вокруг этого термина. При этом само понятие «информация» регулярно встречается в самых разных областях, вовлекается во многие отрасли деятельности, а иногда появляется даже в описании общенаучных интеллектуально ориентирующих методов. Такие обстоятельства обязывают относиться к нему с особой ответственностью, учитывать обширность присутствия и масштабность использования понятия «информация».

Исследования информационного направления проходят в тесном контакте с изучением интеллектуальной и мыслительной деятельности. Провести чёткую границу между информационной и интеллектуальной сферами вряд ли возможно - во многих контекстах было бы уместно рассматривать их как единый информационно-интеллектуальный научный блок. Внушительный арсенал знаний о правильности ведения мыслительной деятельности и присущих ей закономерностях собран в логике. В ней

накапливаются результаты поиска возможностей охарактеризовать правильные рассуждения и мышление в целом. В её рамках формируются трудно оспоримые объяснения порядка интеллектуальной деятельности, которые предоставляют хороший методологический инструментарий для работы над вопросами интеллектуального характера. Трудно оспоримые во многом благодаря обилию усилий и времени, потраченных на их обсуждение и осмысление многими поколениями сопричастных личностей. Логические комментарии затрагивают и тему информационности, начиная с формальных сторон восприятия, освещая правила и методы распоряжения информацией, затрагивая языковые явления и проникая своей остротой во многие сопутствующие и зависимые отрасли.

Стоит отметить значение формализации в информационно-интеллектуальном развитии, для осуществления которой обширно привлекаются средства моделирования, позволяющие очерчивать линии непротиворечивых рассуждений, устойчиво удерживая высокий уровень исполнения логических требований. Для поддержки ведения продуктивной интеллектуальной деятельности в инструментарии моделирования логических схем собрано много различных и в целом дополняющих друг друга рекомендаций, предписаний, приёмов и средств, ограждающих рассуждения от противоречий.

Вектор исследований, первые результаты которых описаны в предшествующей статье «Вероятностное логическое понятие» [Василевский 2015], стоит охарактеризовать как продолжение направления конструктивного математического моделирования. Целью работы является поиск возможностей приложения положительных сторон общепризнанных конструктивных методов в задачах моделирования рассуждений. Фундаментальным контекстом работы является алгоритмический подход к математическим решениям, который поддерживал один из ведущих последователей конструктивного направления — А. А. Марков (младший) [2003]. По компетентному коллегиальному мнению выдающихся учёных-математиков конца XX века, собиравшихся на исторической, как в научном, так и в культурном отношении, конференции в городе Ургенч (Хорезмская область, конференция «Аль-Хорезми»), теория алгоритмов и исчислений имеет особое значение не только для осуществления многих математических решений, но и для всех отраслей научной деятельности в целом [Успенский, Семенов 1987]. Алгоритмические обстоятельства проводимых исследований оказывают незначительное воздействие на воплощение привлекаемых математических концепций, но при этом нисколько не искажают их суть.

При углубленном исследовании вероятностных приёмов имитации рассуждений непременно обнаруживается потребность в средствах, позволяющих комбинировать модели содержания понятий, чтобы описывать цепочки рассуждений. Такая возможность позволит перейти к работе над моделями высказываний, формальная структура которых устанавливается соответствующими логическими требованиями: последовательное соединение нескольких понятий с помощью специальных связующих средств (логических операций). Представленного в статье «Вероятностное логическое понятие» описания только фундаментальных позиций подхода к моделированию оказывается недостаточно для установления общего порядка вероятностного воспроизведения рассуждений, так как требуются дополнительные операции, позволяющие комбинировать несколько моделей содержания понятий и сформировать вероятностный эквивалент логических высказываний.

Существующие подходы к моделированию не позволяют исполнить логические требования на затронутом уровне детализации с применением вероятностных мер. В них либо высказывание целиком оценивается вероятностью истинности, а вопрос его детальной структуры не освещается [Филос. энцикл.]; либо строится переоценивающее отображение вероятностных мер к степеням принадлежности, чтобы воссоздать формальную структуру высказывания посредством операций над ними [Орлов 2002]. Проводимая работа нацелена на воссоздание вероятностных моделей, эквивалентных высказываниям, структура которых детализирована до моделей содержания отдельных понятий и конструкций, собранных на их основе. В роли связующих средств предлагается использовать три операции, названные «исключение», «совмещение» и «разобщение». Именно они открывают возможности моделирования цепочек рассуждений в рамках применения теории вероятностей, не переходя в область других направлений многозначной логики.

Ожидается, что формулировка вероятностного эквивалента логических операций, соответствующего формальным логическим нормам, позволит достигнуть достаточного уровня, чтобы выйти к непосредственному практическому применению в решении таких актуальных задач, как моделирование рассуждений, распознавание образов, создание систем поддержки принятия решений и многих других. Такой научный оптимизм основан на тех фактах, что математизированные логические схемы уже сейчас достаточно успешно применяются в решении подобных задач [Моросанова, Соловьёв 2012; Кочеткова и соавт.]. При этом расширение возможностей применения вероятностных мер в этом направлении моделирования может дать принципиально новые результаты.

Вероятностный подход к моделированию рассуждений опирается на общий принцип интерпретации содержания понятий. Термин «понятие» схож с логическим пониманием: имя, позволяющее обратиться к некоторому указываемому объёму, охваченному несколькими признаками-свойствами в соответствии с содержанием понятия. С позиции конструктивизма исключительная значимость понятийных средств для интеллектуальной деятельности обязывает прорабатывать для понятия особую алгоритмическую модель содержания. Подготовка вероятностного подхода велась для предоставления возможности воссоздавать более строгие модели рассуждений, с повышенной степенью их конструктивности.

Связываемое одновременно с двумя отраслями - логической и алгоритмической, понятие предлагается рассматривать как пару <формальное имя, модель содержания>, что отражает соединение логических требований с их конструктивным исполнением. Интерпретацию модели содержания осуществляет интерпретатор, который в строгом случае представлен некоторым центральным алгоритмом. Допускаются и другие механизмы интерпретации, в том числе возможность участия субъектов (экспертов, уполномоченных лиц и др.).

Реализация вероятностного подхода в рамках частотной концепции [Mises 1964] предусматривает наличие накопленных сведений, хранящихся в базе данных. В ней перечисляются имена всех понятий, участвующих в процессе рассуждения, и связь понятий с зафиксированными объектами. Участвующие в рассуждении объекты обозначаются как кортежи <x,y1,y2, ...,yn>, в которых обязательно присутствует уникальное имя x, однозначно идентифицирующее объект. Объекты x входят в объём различных понятий K. В настоящей статье под термином «объём понятия» понимается ряд соответствующих объектов: lK = [x1, x2, x3, ..., xm].

Центральным механизмом вероятностной интерпретации является оценивание степени вероятностного отношения кортежа фиксируемых за объектами значений <yi,y2, ...,yn> к понятию K. Необходимость оценивания степени вероятностного отношения кортежа <yi, y2, ..., yn> к понятию K является ключевым фактором интерпретации содержания понятий. Вероятностное отношение <yi, y2, ..., yn> к K обозначается символом «А»:

<yi,y2, ...,Уп> а K.

Для краткости кортеж <y1s y2, ..., yn> записывается как ys:

ys = <yi, y2, ..., yn>;

<yi, y2, ..., yn> А K = ys А K.

Отдельного внимания требуют модели содержания понятий «область рассуждения» (U) и «пустое понятие» (0). Вероятностное моделирование рассуждений начинается с установки ограничивающих рамок области рассуждений U. В процессе поиска востребованной последовательности рассуждений рамки области U могут пересматриваться. Оценивание ys А K без предварительной установки области U недопустимо. В рамках выбранной области рассуждений U оценка ys А U для любого ys является максимально возможной:

ys А K < ys А U.

Пустое понятие 0 противопоставляется области рассуждений U. Оценка ys А 0 всегда равна нулю (ys А 0 = 0).

В качестве измерения степени вероятностного отношения ys к понятию K предлагается использовать значения функции плотности вероятности: <yi, y2, yn> а k=pky 1, y2, yn);

ys А K = pKys).

Таким образом, в контексте установленной области рассуждений U происходит моделирование рассуждений путём оперирования оценкой плотности вероятности отношения кортежа ys к понятию K, или, кратко, плотностью понятия K.

Использование плотности вероятности в качестве измерения степени вероятностного отношения кортежа ys к понятию K связано с преодолением конструктивных рамок теории алгоритмов. Так, в случае априорной вероятности не допускается наличие завершённого бесконечного непрерывного множества оценок, который бы задавался функцией распределения, — есть лишь алгоритмическое воплощение этой функции, посредством интерпретации которого можно получить значение вероятностной оценки для конкретной запрошенной точки. С другой стороны, в рамках частотной концепции модель содержания может являться декларативной конструкцией, представляющей перечень накопленных сведений, хранящихся в базе данных, интерпретация которых происходит путём оценивания на их основе значений плотности вероятности [Schuster i969]. То есть сама плотность не является предопределённой в моделях содержания - она вычисляется по запросу для конкретной точки области определения ys и оказывается результатом деятельности интерпретатора.

Предполагается, что при проведении процедуры оценивания интерпретатор не ограничивается только приёмами оценивания на основе данных, накопленных в базе, но и может принимать как более примитивные, так и достаточно сложные конструкции содержания, вплоть до самостоятельных оценочных алгоритмов. Актуальность таких возможностей объясняется необходимостью построения моделей априорной вероятностной оценки, а также методологическими требованиями, которые указывают на

необходимость наличия возможности участия в процессе рассуждения субъектов, для чего предусматривается использование прямой экспертной оценки.

Операция «совмещение» Совмещение — операция, определённая на паре вероятностных моделей содержания совмещаемых понятий, возвращающая модель содержания совмещённого понятия, указывающего на часть объёма одного совмещаемого понятия, входящую в объём другого совмещаемого понятия.

По исходным значенияу плотности совмещаемых понятий в общем случае значение плотности совмещённого понятия не определяется. Для операции «совмещение» принципиально не может быть задана универсальная формула получения результирующей степени вероятностного отношения ys к совмещенному понятию из степеней отношения к совмещаемым понятиям. Действие совмещения в рамках частотной концепции вероятностных мер может быть реализовано путём оценивания плотности по объему понятия A, входящему в объём понятия B (что в некотором отношении представляет аналогию операции пересечения множеств).

Несмотря на отсутствие алгоритма получения плотности совмещённого понятия из плотности совмещаемых понятий, допустимо утверждение математической формулировки такого действия, функционирующей в рамках некоторых конкретизированных задач. Эта возможность актуальна в случае априорного оценивания плотности понятий или в случае затруднений при оценивании плотности совмещённого понятия по накопленным данным. Ответственность за применение искусственной математической формулировки получения плотности совмещённого понятия из плотности совмещаемых понятий лежит на эксперте, использующем такие средства.

Среди представленных в статье действий совмещение играет связующую роль между средствами оценивания степени вероятностного отношения и логическими схемами рассуждений. С одной стороны, эта операция носит формальный характер и предназначена для выражения понятий с усложнённым логическим содержанием; с другой стороны, она непосредственно связана с воссозданием модели содержания понятия и механизмами её интерпретации. Использование этой операции предполагает охват не только формальных логических норм, но и конструктивных возможностей.

Обозначим операцию «совмещение» символом «©» (Л © B) и примем её как операцию по умолчанию (Л B). Приоритет совмещения ниже, чем приоритет исключения, но выше, чем приоритет разобщения. Для совмещения свойственно, что плотность совмещённого понятия не превышает плотности ни одного из совмещаемых понятий: ys о A B <ys о A, ys о A B < ys о B.

Совмещение обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, а также для него выполняется правило поглощения. Кроме того, предопределены:

• результаты совмещения от области рассуждений U и от пустого понятия 0:

ys о U 0 = ys о 0; ys о U K=ys о К; ys о K 0 = ys о 0;

• коммутативность — ys о A B = ys о B A;

• ассоциативность —

ys Q A (B C) = ys ü (A B) C;

• правило поглощения —

ys Q A A = ys Q A.

Дистрибутивность совмещения описана ниже, в дистрибутивности разобщения относительно совмещения.

Рассмотрим пример совмещения понятий. Допустим, мы имеем исходные сведения о лицах, занимающихся научной деятельностью в некотором вузе (лица, занимающиеся научной деятельностью, как область рассуждений U). Пусть из имеющихся сведений можно выделить в отдельное понятие тех, кто относится к филологическому факультету. И предположим, что можно получить список лиц, успешно защитивших докторскую диссертацию. Так у нас образовалось два готовых к совмещению понятия: «представители филологического факультета» и «доктора наук». Совмещая их в одном понятии, мы обращаемся к модели нового совмещённого понятия, которое можно назвать «доктор наук филологического факультета». Очевидно, что его численность никогда не превышает ни представителей филологического факультета, ни докторов наук. Соответственно, плотность вероятности совмещённого понятия (доктора наук филологического факультета) не превысит плотности ни первого (представитель филологического факультета), ни второго (доктор наук) понятия.

Другой пример. Предположим, что на той же области рассуждений U (лица, занимающиеся научной деятельностью) мы рассматриваем представителей вуза с точки зрения их возраста (возраст - единственная величина в кортеже ys). Предположим, что у нас достаточно сведений, чтобы выделить в отдельное понятие лиц, начинающих свою научную карьеру, а именно имеющих число публикаций, не превышающее некоторое пороговое значение; а лиц, имеющих равное или превышающее количество работ, отнесём к «опытным». Объём понятия «начинающие» не пересекается с объёмом понятия «опытные». Однако, продолжая рассматривать плотность понятий на области определения «возраст», сталкиваемся с тем, что в одной и той же возрастной точке могут быть представлены и одно и другое понятия, каждое со своей ненулевой плотностью. То есть возраст представителей взаимоисключающих понятий может совпадать, но плотность совмещённого понятия при этом будет равна нулю, так как одно и то же лицо не может быть одновременно «начинающим» и «опытным».

Из второго примера видно, что плотность совмещённого понятия не зависит от плотности понятий, образующих его. Такое явление вызвано неразрывной связью характеристик ys с объектами-носителями и наложением их распределения на области определения.

Операция «разобщение»

Разобщение — операция, определённая на паре вероятностных моделей содержания разобщаемых понятий, возвращающая модель содержания разобщённого понятия, в объём которого однократно входят все элементы объёмов обоих разобщаемых понятий. Обозначим операцию разобщение символом «°°» (A 00 B). Приоритет разобщения ниже приоритетов, как исключения, так и совмещения. Разобщение имеет общую математическую формулировку получения результирующей плотности из плотности разобщаемых понятий:

ys Q A °° B = ys Q A + ys Q B - ys Q A B.

Вычитание плотности совпавших элементов связано с тем, что в понятии один и тот же элемент может быть учтён только единожды, а при суммировании плотностей учёт совпавших элементов удваивается. Таким образом, чтобы удалить повторное влияние уже учтенных элементов, из суммы однократно вычитается плотность совмещённого понятия.

Разобщение обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности относительно совмещения, а также в нем учитывается правило поглощения:

• коммутативность — ys о A оо B = ys о B °° A;

• ассоциативность —

ys о A оо (В оо О) = ys о (A оо B) оо C;

• дистрибутивность —

ys о А (В оо С) = ys о А В оо А С;

• правило поглощения — ys о А оо А = ys о А,

ys о А оо А = ys о А + ys о А - ys о А А = =ys о А + ys о А -ys о А = ys о А;

• разобщение от области рассуждений и и от пустого понятия 0:

ys о и оо 0 = ys о и,

ys о и оо 0 = ys о и + ys о 0 - ys о и 0 = = ys о и + ys о 0 - ys о 0 = ys о и; ys о и оо К=ys о и,

ys о и оо К=ys о и+ys о К - ys о и К = = ys о и + ys о К - ys о К = ys о и; ys о К оо 0 = ys о К,

ys о К оо 0 = ys о К+ys о 0 - ys о К 0 = = ys о К + ys о 0 - ys о 0 = ys о К.

Операция «исключение» Исключение — унарная операция, определённая на вероятностной модели содержания исключаемого понятия, возвращающая вероятностную модель содержания понятия, объём которого равен объёму области исключения без элементов объёма исключаемого понятия. Обозначим исключаемое понятие префиксом «п» (пК). Приоритет операции «исключение» выше приоритетов, как совмещения, так и разобщения. Исключение предназначено для обозначения содержания вне указанного понятия и для обращения к объёму вокруг него, но в границах области исключения, поэтому в расширенном виде оно записывается как совмещение области исключения и исключаемого понятия:

ys о А © пВ.

Исключение имеет общую математическую формулировку получения результирующей плотности из плотностей области исключения и исключаемого понятия, расширенная формула которой

ys о А © пВ = ys о А -ys о А © В.

По умолчанию область исключения равна области рассуждений и:

ys о и пК = ys о и - ys о и К = ys о и - ys о К.

Так получаем формулу исключения в упрощённом виде:

уя о аК = уя о и - уя о К.

Для этой операции выполняется «закон исключения третьего»: уя о П(ПК) = уя о К,

уя о П(ПК) = уя о и - уя о ПК=уя о и - уя о и+уя о К=уя о К. Совмещение и разобщение понятия и его исключения: уя о К ПК=уя о 0,

уя о К ПК=уя о К -уя о К = 0 = уя о 0; уя о К °° ПК=уя о и,

уя о К °° ПК=уя о К + уя о ПК - уя о К ПК = = уя о К + уя о и - уя о К - уя о 0 = уя о и.

Исключение от области рассуждений и или от пустого понятия 0:

уя о пи=уя о 0,

уя о пи=уя о и - уя о и = 0 = уя о 0; уя о п0 = уя о и,

уя о п0 = уя о и - уБ о 0 = уя о и.

Пример использования исключения при совмещении трёх понятий:

уя о А В пС = уя о (А В) пС = уя о А В - уя о А В С. Пример разобщения от исключённого понятия:

уя о А °° пВ = уя о и - уя о В + уя о А В, уя о А °° пВ = уя о А + уя о пВ - уя о А пВ = = уя о А + уя о и - уя о В - уя о А + уя о А В = = уя о и - уя о В + уя о А В.

Имеет место формула, соответствующая закону Де Моргана:

уя о пА пВ = уя о п(А ◦◦ В),

уя о пА пВ = уя о пА - уя о пА В = уя о и - уя о А - уя о В + уя о А В = = уя о и - (уя о А + уя о В - уя о А В) = уя о и - уя о А °° В = = уя о п(А ◦◦ В). И её другая формулировка: уя о пА °° пВ = уя о п(А В), уя о пА ◦◦ пВ = уя о пА + уя о пВ - уя о пА пВ = = уя о и - уя о А + уя о и - уя о В - уя о п(А ◦◦ В) = = уя о и - уя о А + уя о и - уя о В - уя о и+уя о А °° В = = уя о и - уя о А + уя о и - уя о В - уя о и+уя о А + уя о В - уя о А В = = уя о и - уя о А В = уя о п(А В).

Заключительные результаты и выводы В ходе исследования способов построения моделей логических высказываний вероятностными средствами моделирования был сформирован инструментарий, который позволяет комбинировать вероятностные модели содержания понятий в единый эквивалент логического высказывания. Тем самым реализуются действия, схожие с существующими логическими операциями, но исполняемые в условиях вероятностных мер. Это три операции над вероятностными моделями содержания понятий, названные «совмещение», «разобщение» и «исключение». В некоторой степени они сопоставимы с известными логическими операциями, соответственно: «конъюнкцией», «дизъюнкцией» и

«отрицанием», которые обеспечивают ход рассуждений в формальных схемах некоторых других видов многозначной логики.

Описанные вероятностные средства обеспечивают возможность вероятностного воплощения логических цепочек рассуждений и дают возможность имитировать соответствующий процесс, моделирование которого является целью проводимых исследований. Такое применение вероятностных мер открывает новые перспективы теоретической и прикладной деятельности, расширяя возможности как самой теории вероятностей, так и формальных логических схем.

С помощью описанных инструментов предполагается воссоздать ряд существующих логических средств формализации, лежащих в основе многих непротиворечивых схем рассуждений. Тем самым планируется продемонстрировать применимость подхода к моделированию, основанного на вероятностной интерпретации моделей содержания понятий. Одним из широко известных логических инструментариев моделирования схем рассуждения можно назвать силлогистику, предложенную в античные времена Аристотелем [Лукасевич 1959]. С помощью представленных вероятностных средств можно воспроизвести конфигурацию, воплощающую эти привычные формы:

Все А есть В — ys о А В = ys о А;

Все А есть не В — ys о А пВ = ys о А;

Некоторые А есть В — ys о А В > ys о 0;

Некоторые А есть не В — ys о А пВ > ys о 0.

Таким образом, схемы, построенные в соответствии с нормами силлогистики, можно осуществлять и использовать как вероятностные, тем самым по-новому воспринимать известные логические решения и задачи.

Сформулированные операции позволяют строить модели рассуждений, предназначенные для распознавания образов и поддержки принятия решений. Простейшим примером применения вероятностных приёмов является разграничение двух понятий по месту равенства их плотности. В дальнейшем предстоит детализировать тему применения представленных средств в практиках распознавания образов, поддержки принятия решений и других областей науки в качестве инструментального оснащения инновационных технологий автоматизации умственного труда.

Библиографический список

Василевский В. Г. Вероятностное логическое понятие // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2015. № 79. С. 96-102

Кочеткова И.А., Довгаль В.М., Никитин В.М., Липунова Е.А. Алгоритм диагностики состояния пациента на основе распознавания его виртуального образа // Материалы V Междунар. науч.-техн. конф. «Информационные технологии в науке, образовании и производстве — ИТНОП-2012». Сетевое издание «Информационные ресурсы, системы и технологии» ЭЛ № ФС 77 - 51946.

Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения формальной логики: пер. с англ. М., 1959.

Марков А. А. Избр. тр. М.: Изд-во МЦНМО, 2003. Т. 2. Теория алгоритмов и конструктивная математика, математическая логика, информатика и смежные вопросы.

Моросанова Н. А., Соловьев С. Ю. Формальные свойства схемы Шортлиффа // Управление большими системами. Вып. 36. М.: ИПУ РАН, 2012. С. 5-38. Орлов А.И. Эконометрика. М.: Экзамен, 2002.

Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука, 1987

Философская Энциклопедия: в 5 т. / под ред. Ф. В. Константинова. М.: Сов. энцикл., 1960—1970.

Mises Richard von. Mathematical Theory of Probability and Statistics. NY: Academic Press, 1964.

Schuster E.F. Estimation of a probability density function and its derivatives // Ann. Math. Statist. 1969. V. 40. №4. P. 1187-1195.