Верификация логического следования с использованием исчисления конституентных множеств и соответствий Галуа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2079-3316 ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ №2(33), 2017, с. 69-93

УДК 519.766.2

Ю. М. Сметанин

Верификация логического следования с использованием исчисления конституентных множеств и соответствий Галуа

Аннотация. В работе обосновывается, что, в случае, когда постановка задач верификации рассуждений использует понятие соответствия, можно проверять логическое следование, не применяя логический вывод. При этом удобно использовать исчисление конституентных множеств и постановку задач в логике Ь32 [1]. На примерах показано, что для логики предикатов, верификацию логического следования можно проводить с использованием простых рассуждений с на основе соответствия Галуа.

Ключевые слова и фразы: логические уравнения, силлогистика, алгебраическая онтология, алгебраическая система, непарадоксальное логическое следование, булева алгебра, соответствие Галуа.

Введение

Рассматриваются вопросы верификации логического следования в семантическом смысле между ППФ неклассической пропозициональной многозначной логики Ь82 [1,2], атомарные суждения которой представлены (1).

(1) {А(Х, У),Ед(Х, У), Ю(Х, У),Х с и,Х = и),

где и-универсум. При этом равносильности (2-4) выражают семантику трех первых атомарных суждений.

(2) А(Х, У) = (X с У) • (X с и) • (X' с и) • (У с и) • (У' с и),

(3) Ед(Х, У) = (X = У) • (X с и) • (X' с и) • (У с и) • (У' с и),

(4)

Ю(Х, У) = (X • У с и) • (X • У' с и) • (X' • У с и) • (X' • У' с и).

© Ю. М. Сметанин, 2017

© Удмуртский государственный университет, 2017 © Программные системы: теория и приложения, 2017

Здесь множество X ■ Y' — пересечение X и дополнения Y' до универсума. Вместо X и Y можно подставить любые ППФ Fi(Xn), F^(Хп) алгебры множеств.

В работе обосновывается, что для некоторых случаев, когда постановка задач верификации рассуждений на естественном языке использует понятие соответствия, можно проверять логическое следование, без логического вывода в формальных исчислениях. При этом удобно использовать исчисление конституентных множеств и постановку задач в логике LS2 [4]. На примерах показано, что для логики предикатов с предикатами местности не менее чем два верификацию логического следования можно проводить с использованием простых рассуждений в терминах соответствий Галуа.

Введено новое понятие — непарадоксальное логическое следование в семантическом смысле (НЛССС), позволяющее построить логику (силлогистику) на основе нового базиса силлогистики

(5) NOBs = (А(Х, Y), Eq(X, Y), IO(X, Y), X = U, X с U)

с интерпретацией в алгебре множеств. Ортогональный базис силлогистики

(6) OBs = {А(Х, Y), Eq(X, Y), IO(X, Y))

введен автором в работах [2,3] как альтернатива базису Аристотеля для традиционной силлогистики (ТС)

As = {AXY, EXY, IXY, OXY),

состоящему из четырех категорических суждений [5] и имеющему неоднозначную интерпретацию даже в семи расширенных Жергонно-вых отношениях, входящих в состав 15 модельных схем, введенных в работе [5] и представленных на рисунке 1). Например, в OBs общеутвердительное суждение AXY = «все X есть Y» имеет 2 смысла:

AXY = Eq(X, Y) + А(Х, Y).

Gg G13

X Y

х н ^ н

* м

^ =н

G2: X —

^ Н

а7: X

^ W

G12: X ===

^ М

G3: X —

^ н

Ge: X == ^ ==

G13: X ==^

^ м

G4: X ==

^ н

Gg: X Ц

^ Н

G14: X | ^

^ Ь==

G5: X Ц

^ н

G10: X

^ ==

G15:X ==^

Г ^

Рис. 1: Модельные схемы отражающие отношения между объемами терминов X, У

G

G

6

G

Это же суждение в пятнадцати модельных схемах имеет семь смыслов которые выражаются в NOBs следующим образом:

АХУ = (X = У) • (X = U) + (X' = U) • (Y = U)

"V" V

G1 G4

+ (Х = Y) • (X' = и) + (X С и) • (X' С и) • (Y = и)

"V" "V

Ge G5

+ (Х' = U) • (Y С и) • (Y' С и) + Eg(X,Y) + A(X,Y).

G12 Gg G13

В новом базисе силлогистики NOBs (5) можно выразить все пятнадцать модельных схем рисунка 1. Например, Gio(X,Y) = (X С U) • (X' С U) • (Y' = U). Суждения A(X,Y) и Eq(X,Y) выражают смысл Жергонновых отношений Gis(X,Y) и Gg(X,Y), а суждение IO(X, Y) «некоторые X есть Y и некоторые не X есть Y и некоторые не X есть Y и некоторые не X есть не Y» выражает Жергонново отношение Gi5(X, Y).

Схемы с непустыми и неуниверсальными модельными множествами уместно назвать невырожденными, а остальные схемы — вырожденными Жергонновыми отношениями. Невырожденные отношения выражаются в OBs, а вырожденные — в NOBs.

Определение 1. Непарадоксальным логическим следованием в семантическом смысле (НЛССС) называется отношение между высказываниями в виде формул G и В, отображающее тот факт, что если G и В выполнимые формулы (не законы и не противоречия), то в силу только их логической структуры нельзя приписать высказыванию G значение «истинно» (выполнено), не будучи быть

вынужденным приписать значение «истинно» (выполнено) формуле В. Обозначим НЛССС как , его отсутствие как ¥ 1

Рассматривается семантическое следование между ППФ пропозициональной многозначной логики Ь82 (силлогистики) с атомарными суждениями (1).

В работе [4] предложено решение задачи верификации следствий МЛ-уравнений (нетождественных равенств) вида (7).

(7) ^ (Хх, Х2,..., Хп) = и,

в которых левая часть есть ППФ алгебры множеств, построенная на модельных множествах, а правая есть универсум. К виду (7) также сводится нетождественное равенство вида (8)

(8) Р-1(Хп)= Г2(Хп), Хп = [Х1,Х2,...,Хп].

К задаче поиска общего решения МЛ-уравнения сводится задача верификации НЛССС для посылок и следствия выраженных суждениями ХОВз и задача решения логических уравнений

^ (Ж1, Х2, .. ., Хп) = 1.

Переменные хп в логическом уравнении являются характеристическими функциями для множеств Хп из уравнения (7).

1. Исчисление конституентных множеств

Посредством конъюнкции (•), дизъюнкции (+) и отрицания (') из атомов логики Ь82 можно построить ППФ двух типов — конъюнктивные и неконъюнктивные. Конъюнктивные ППФ являются конъюнкциями атомов. Неконъюнктивные ППФ включают дизъюнкцию конъюнктивных и их отрицание. Они могут быть приведены к дизъюнкции конъюнктивных.

Область интерпретации ППФ построена из образов п-арных модельных схем вида Мв = {П, Н, Н2,..., Н„), где П — универсум, Н ^ П —модельные множества [5]. Число таких схем не более 2(2 ). Множество непустых конституент модельной схемы назовем характеристическим. Каждой конъюнктивной ППФ логики Ь82 ставится в соответствие множество номеров непустых конституент, которое

1Из девяти возможных комбинаций (закон Т, противоречие ^, выполнимость Р) между посылкой и следствием в отношении НЛССС может находиться только одна комбинация Р И^ Р.

0 1 2 3 4 6

«1 «2 «з

Рис. 2: Преобразование модельной схемы в А-онтологию

называется семантическим значением этой! ППФ. Каждому множеству конституентных номеров соответствует одна модельная схема. Бинарные схемы обоз начим С?1 (Н: 1, Н2 ),■■., 6*15(^1, Н2). По единицам в двоичном изображении номера схемы восстанаеливаются номера конституэнт, которые являются непустыми в данной схеме, и сама схема.

Например, для 6=15 имеем 15(=) = 1111(2), поэтому • Н2 =3 0,

Н1 • 12' = 0, Н/ • Н2 = 0, Н1' • Н2' = 0 и е?15 = /0(НьНз). В схемах

(бе, С?2, СЗ, С?4, а5у, 6*81, С?10, СЗ12 одно или оба модельных мнижесте либо совпадают с универсумом, либо пустые. В остальных схемях модельные мняжества непусты и неуниверсальны. При этом Сд =

Если занумеровать надлежащим образом конзтитуенты, то универсум можно рассматривать как множество номеров конституент. Нумерацию конституент

удобно производить, зафиксировав порядок индексов модельных множеств. При заданном порядке каждой конституенте (полной конъюнкции) можно сопоставить набор из нулей и единиц (ое, <72,..., &п) и соответствующее ему десятичное число, которое будем называть индикатором (номером) конституенты.

Характеристическому множеству п-арной модельной схемы и самой модельной схеме однозначно сопоставим универсум и и кортеж (и, X1, Х2,..., Хп), в катором все множества называются конституент-ными и составлены ио номеров нвпустых конституент. Будем называте его алгебраической онтологией (А-онтологией). Формальное определение приводився нижг (определение 3).

На рисунке 2 показана А-онтология

1м3 = (и = {0, 1, 2, 3, 4, 6}, = {4, 6}, X = {2, 3, 6}, Хз = {1, 3}) .

Д<7(Н1,Н2) и(Узз = Л(Н1,Н2).

иг =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 28

Хг = Т Х2 = X Хз = М Х4 = В

Х5 = С

ч

Рис. 3: Контекст понятия «тигры» Т С X П М П В' П С' Обозначим К (г) конституенту с номером г € и .К примеру, К (4) =

А-онтология является неаристотелевой моделью понятия [6]. Например, понятие «все тигры хищные млекопитающие, не живущие в воде и не приспособленные к жизни в условиях Крайнего Севера» моделируется А(Т, X ■ М ■ В' ■ С'). А-онтология на рисунке 3 иллюстрирует неаристотелевское строение понятия [6]. Достоинством такой модели понятия является то, что оно содержит контекст (хотя и ограниченный); ему можно сопоставить алгоритм вычисления объема по логическому содержанию. Контекст можно изменять.

Рассмотрим модель для представления п-арного логического отношения между модельными множествами. Обозначим через В(Хп) семейство из всех конституентных подмножеств универсума, которые могут быть построены из конечной системы Хп = [Х±, X2,..., Хп} образующих конституентных множеств, являющихся подмножествами универсума, посредством операций объединения, пересечения и дополнения до универсума. Семейство В(Хп) включает также универсум и пустое множество. Всего можно составить не более чем 2п конституентных номеров. Конституентные номера являются элементарными «кирпичиками», из которых составляются подмножества основы. Рассмотрим алгебраическую систему (9)

где Wр={+, ■,' }, Ш^={=, С} 2. В алгебре логики конституенты

К(4ю) = к(1002) = Н ■ Н2 ■нз

(9)

(В(Хп), WF, WR),

1

={+, •,' }-операции объединение, пересечение, дополнение до универсума алгебры множеств

принято называть полными конъюнкциями. Операции {+, •,'}, в этом случае, есть логические операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Полным конъюнкциям можно сопоставить номера также, как конституентам.

Определение 2. Единицей M алгебраической системы (9), или характеристическим множеством, называется семейство непустых конституент данной системы.

Базовой системой номеров BSN(U) универсума называется множество номеров конституент единицы алгебраической системы. Базовую систему номеров также будем называть единицей, если это не приводит к путанице.

Нулем N алгебраической системы (9) или дополнением единицы, будем называть семейство ее пустых конституент.

Базовой системой номеров BSN(X) любого непустого множества X из В(Хп), будем называть множество номеров (индикаторов) непустых конституент из характеристического множества, таких, что объединение этих конституент совпадает с данным множеством.3

Определение 3. Алгебраическая система (9) с фиксированным, порядком индексов модельных множеств полностью определяется кортежом (10)

(10) I = (и,ХиХъ ••• ,Хп), M(I) = и,

который мы будем называть n-арным логическим отношением между модельными множествами или алгебраической онтологией (А-он-тологией)4. А-онтология

I = {и,ХъХъ...,Хп)

называется канонической, если U = {0, 1,..., 2" — 1}, то есть все конституенты соответствующей ей модельной схемы непусты (рисунок 4). Отношение, задаваемое канонической А-онтологией, будем называть отношением независимости в совокупности n-модельных множеств.

Очевидое равенство M(I0) = U0 = {0,1,..., 2п — 1} иллюстрируется рисунком 4.

3 Далее, если это специально не оговорено будем считать, что в алгебраической системе (9) все множества и универсум заданы в виде BSN, то есть как конституентные множества.

4Наглядно А-онтологию будем изображать в виде линейной диаграммы (рисунки 2, 3, 4, 5), которая является дискретным аналогом диаграммы Венна.

Ur = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис. 4: Каноническая А-онтология для п = 4

Теорема 1. Для А-онтологии I с п модельными множествами Xi и универсумом U (I) выполняются соотношения (11)

(11) Xi =U (I) ■ = М (I) ■ Xi0, г = 1,... п;

D(i') =К(i)',i' = 2п - 1 - i

здесь Х° — модельные множества канонической А-онтологии, D(i') — дизституента двойственная i-ой конституенте5.

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что множество D(i') = U \ {г}. Здесь U0 = М(/°)-единица канонической А-онтологии. □

Из соотношения (11) теоремы 1 следует, что объемы модельных множеств А-онтологии I полностью определяются ее единицей М (I).

Определение 4. Полный набор (множество всех) бинарных отношений между модельными множествами для заданной А-он-тологии I будем называть полным бинарным инвариантом BIN(I), определяемого А-онтологией п-арного логического отношения. Если набор неполный (входящие в него бинарные отношения заданы не для всех возможных сочетаний модельных множеств), то такой набор называется неполным бинарным инвариантом nBIN(I).

Доказано, что в каждый BIN, входит максимальная по числу конституент А-онтология, при этом добавление к ее единице любой непустой конституенты выводит максимальную А-онтологию из данного BIN.

5Принцип нумерации дизституент такой же как у конституент. К(2)' = (Х[ ■ Х2 ■ Х'3)' = D(5) = X! + Х'2 + X3

Ur = 5 7 8 9 12 13 15 Xi = | |

Хз =| — —

X4 =

Ur = 5 7 8 9 12 15 Xi = = |

Хз = ' '

Xs = X4 =

Рис. 5: Иллюстрация понятия бинарный инвариант

Замечание 1. Логическое содержание максимальной А-онтоло-гии выражается ее BIN. Логическое содержание немаксимальной А-онтологии с данным BIN выражается конъюнкцией суждений ее BIN в совокупности с суждениями NOBs, выражающими пустоту констиуент, которые не входят в данную А-онтологию по сравнению с максимальной.

На рисунке 5 представлены обе А-онтологии, опредляемые бинарным инвариантом BIN = {А(Х[, Х2); IO(X\, Х2); А(Х[, Х4); А(Х2,Х3); IO(X2, Х4); А(Хз, Х4)}. Одна из них максимальная.

А-онтология I позволяет выразить n-арное логическое отношение в виде суждения NOBs

F (Хп) = М (I),

называемого далее МЛ-уравнением, где F(Х„)-ППФ алгебры множеств.

Модельные множества, выраженные номерами конституент, и вся А-онтология могут быть представлены совершенной нормальной формой Кантора (SNFK). Например, левая А-онтология рисунка 5 представляется как МЛ-уравнение (12) с левой частью в форме SNFK

(12) Х\ ■ Х2 ■ Х3' ■ Х4 + Х\ ■ Х2 ■ Х3 ■ Х4 + Х\ ■ Х2' ■ Х3' ■ Х4'+ Х\ ■ X2 ■ Х3' ■ Х4 + Х\ ■ Х2 ■ X3 ■ Х4' + Х\ ■ Х2 ■ Х3' ■ Х4+

Х\ ■ Х2 ■ Х3 ■ Х4 =U,

либо через равносильную левой части этого равенства ППФ, например, Х\ ■ Х3' + Х2 ■ Х4 = U.

Для того, чтобы доказать функциональную полноту NOBs и иметь возможность построения А-онтологии с наперед заданными свойствами, построено исчисление конституентных множеств. Теорема 2 позволяет последовательно вводить в исходную А-онтологию бинарные отношения (суждения NOBs).

Теорема 2.

(1) Чтобы ввести в п-арную А-онтологию отношение X С U, достаточно добавить к ее единице хотя бы одну конституенту с номером из множества номеров конституент, образующих множество X ' = U0 \ X, где U0-универсум п-арной канонической А-онтологии.

(2) Чтобы ввести в А-онтологию отношение X = U, необходимо и достаточно убрать из нее все конституенты с номерами из множества конституент образующих множество X ' = U \ X.

(3) Чтобы ввести в А-онтологию отношение X С Y необходимо и достаточно убрать из нее все конституенты с номерами из множества конституент образующих множество X ■ Y '.

(4) Чтобы ввести в А-онтологию отношение X = Y, необходимо и достаточно убрать из нее все конституенты с номерами из множества конституент образующих множество X '■Y+X■Y '.

(5) Чтобы ввести в А-онтологию отношение IO(X,Y), достаточно добавить в нее хотя бы по одной конституенте с номерами из тех множеств X ' ■ Y ', X ' ■ Y, X ■ Y ', X ■ Y, которые являются в ней пустыми.

На основе теорем исчисления конституентных множеств разработан M-алгоритм вычисления А-онтологии I и ее универсума (единицы М(I)) для конъюнкции суждений NOBs [3].

Следствие 1. Доказано, что модифицированная онтология, получаемая в результате удаления необходимого и достаточного числа конституент, посредством М-алгоритма, для выполнения требуемого логического отношения, является максимальной из возможных по числу непустых конституент.

Теорема 3. Имеет место функциональная полнота простых суждений нового базиса силлогистики, то есть любая А-онто-логия может быть выражена конъюнкцией суждений NOBs.

На рисунке 5 левая А-онтология — максимальная (добавление к ее единице нового конституентного номера изменяет BIN). М-алго-ритм строит максимальную А-онтологию по конъюнкции суждений NOBs, поэтому ее логическое содержание может быть выражено конъюнкцией суждений BIN вида

А(Х[,Х2) ■ Ю(ХиХз) ■ А(Х1,Х3) ■ А(Х2,Х') ■ IO(X2, ХА) ■ А(Хъ, ХА).

Ur = 0 2 4 6 7 Хг =| '

Х2 =j i

Рис. 6: А-онтология соответствующая суждению (14)

Для того, чтобы выразить логическое содержание правой А-онтологии в NOBs, нужно добавить к данной конъюнкции еще один множитель D(2) = U, который утверждает пустоту конституенты с номером 13, 13 ' = 24 - 13 - 1 = 2, D(2) = (Х[ + Х2 + Х3 + Х4) = U.

Рассмотрим совершенную нормальную форму Кантора (СНФК), представленную объединением семейства конституент

(13) Х\ • Х2 • X' + Х[ • Х2 • X' + Х\ • • Хз + Х[ • Х2 • Xз

+ Х\ • Х2 • х

Если число составляющих ее конституент меньше 2п, то ей можно сопоставить нетождественное равенство (МЛ-уравнение)

(14) Ai • Х2 • X' + Х[ • А2 • X' + Ai • А2 • Х3 + Х[ • А2 • X'

4 0 7 2

+ Ai • А2 • A3 = U,

в котором левую часть нельзя тождественно привести к правой. МЛ-уравнение как суждение NOBs характеризуется сопоставленной ему посредством М-алгоритма единицей М = U = {0, 2, 4, 6, 7}. Этой единице соответствует А-онтология изображенная на рисунке 6. Рассмотрим СНФК

SNFK = У К(г),

ieM (I )c{0,i,2,...,2"-i>

построенную по единице М (I) неканонической А-онтологии I. Все ППФ алгебры множеств Fi(Xn) такие, что Fi(Xn) = SNFK, i = 1,т образуют класс эквивалентности. Из них можно составить т МЛ-уравнений вида (15)

(15) Ъ(Хп) = U, i €{1, 2,...,т}

Каждое утверждение из NOBs (15) выполняется тогда и только тогда, когда М(Fi(Хп) = U)= М(I).

Класс эквивалентности (15) называется общим решением, определяющим все равносильные следствия исходного МЛ-уравнения.

Частным решением называются его нетождественные следствия (МЛ-уравнения), которые не равносильны исходному и несут только нетождественную часть логического содержания исходного. 6 А-онтологии I можно сопоставить МЛ-урав-нение БЫРК(I) = и. Выразим равносильное ему МЛ-уравнение через нуль N(I).

Определение 5. N(I) = и0 \ М(I) можно представить в виде конъюнкции утверждений (16) из суждений МОВв.

(16) (В^) = и) • (Б(г'2) = и) • ... • (В(г'к) = и),

где {¿1, «2,.. ., Ък\ = N(I), = 2п — 1 — г'^; ] = 1, к. Каждый «множитель» этой конъюнкции выражает пустоту одной из конституент, входящих в N(I). Будем называть конъюнкцию (16) канонической формой логического содержания А-онтологии I.

Конъюнкция утверждений МОВв (16) равносильна одному утверждению (17).

(17) ( П Б(г')) = и;

где г' = 2п — г — 1. Левая часть этого равенства выражает единицу А-онтологии I.

(18) М (1) = П В(г').

геи (I)

Теорема 4. Логическое содержание А-онтологии /2 - Ьод(12) является частью логического содержания А-онтологии /1 - Вод(1\) тогда и только тогда, когда их единицы (объемы универсумов) находятся в соотношении М(/1) С М(12). При этом строгое включение выполняется только тогда, когда

(Ьод(11) И* Ьод(12)) • (Ьод^) Р Вод(В)).

^Логическое содержание можно выразить различными способами, например на основе BIN(/).

Теорема 4 позволяет находить частные решения для МЛ-уравнения с набором п переменных Хп в виде МЛ-уравнения тоже с набором п переменных, а также проверять, является ли данное МЛ-уравнение частным решением МЛ-уравнения с таким же числом переменных. Для проверки является ли МЛ-уравнение Р2(Хт) = и следствием МЛ-уравнения Р\(Хп) в случае, когда (Хп) и (Хт) являются несовпадающими, их приводят к одной системе образующих множеств.

2. Решение логического уравнения путем вычисления единицы соответственного МЛ-уравнения

МЛ-уравнению Р(Х\, X2,..., Хп) = и можно однооднозначно сопоставить логическое уравнение Р(хп) = 1. Здесь булевы переменные Хг, г = 1, ..,п являются характеристическими функциями модельных множеств Х^. Разработан М-алгоритм поиска поиска всех выполняющих подстановок для Р(хп) = 1 посредством применения М-алгоритма для вычисления единицы М^Р(Хп) = и^ МЛ-уравнения Р(Хп) = и. М-алгоритм можно эффективно распараллелить. При этом доказано, что

(19) М (ХиХ2, ...,Хп) = и) = ^ (Х0, Х0,..., Х°),

где А0, X0,..., X0 модельные множества канонической п-арной А-он-тологии [4].

3. Примеры верификации логического следования в логике предикатов

В работе развивается подход П. С. Порецкого из [7]. В качестве ППФ в своей силлогистике, Порецкий использовал конъюнкции утверждений трех типов

Р! (К) С Р2(Нп), ^ (Яп) С Р2(Хп)', К (г) = 0; (2) первые два соответствуют категорическим сужениям Аристотеля Р\С&„)аР2(&п) и Р\(^п)еР2(^п) [5], а третье утверждает пустоту кон-ституенты с номером г. Полученные результаты позволяют строить и рассчитывать логико-семантические модели для решения прикладных задач, заменяя логический вывод верификацией НЛССС, которая сводится к проверке отношения включения конституентных множеств. Алгоритм вычисления семантического значения ППФ обладает высоким уровнем параллелизма [4]. Каждое непустое конституентное

множество является семантическим значением для множества равносильных ППФ логики Ь82, пустое конституентное множество есть семантическое значение ППФ являющихся противоречиями в Ь82 полное контитуентное множество моделирует универсум и является семантическим значением закона в Ь32. В качестве примеров верификации логического следования заключения из посылок (смотри примеры 1, 2, 3, 4). В примере 4 явно используется соответствие Галуа.

3.1. Соответствие Галуа

Рассмотрим соответствие Галуа, следуя математической энциклопедии. Соответствие К между множествами X С Их и У С Иу есть любое подмножество их декартова произведения, обозначается как (К,Х,У) или К(Х,У). Для конечных множеств соответствия задаются также, как бинарные отношения, посредством матриц и ориентированных графов. Все соответствия между X и У образуют алгебру Буля с нулем в виде пустого множества и единицей в виде полного соответствия - декартова произведения X х У. Множество Ои(Х) = {х € X | Зу € У {х,у) € К} называется областью определения соответствия К, а множество Вд(Х) = {у € У | Зх € X {х,у) € К} — областью значений для соответствия К. Также К называется полностью определенным, если Ид^) = X, иначе частично определенным. К(^,У) называется сюръективным (полнозначным), если В^^) = У. Для каждого элемента множество

!тпх = ( {У€У У)€Щ

П 1 0, Уу€У {х,у)/К

называется образом элемента х относительно К.

Для каждого € У множество

СоШЕу- > {х €X 1{х,У)€К}

{

0,

0, Ух € X {х,у)/К

называется прообразом элемента у относительно К. Выполняются соотношения

Оп (X) = У Со1шпу = У Со1шп у,

уег уевн(х)

Вп (X )=у1шдх ^ У 1тпх хех хеин (х)

и

Вп(X) = X \{х\Уу е У (х,у)/В], Вн (X ) = У \{у\Чх е X (х,у)/В].

Каждое соответствие В(Х, У) определяет соответствие Галуа между подмножествами множества X и множества У. Соответствие Галуа каждому подмножеству А С X сопоставляет множество

В = У 1шпх С У,

хЕА

если А = 0, то В = 0 . Обозначим соответствие Галуа как С(В, Х,У) = { (А, В) \ А С Х,В = У 1шдж С У |

хеА

Вместе с дуальным соответствием, которое каждому подмножеству В С У сопоставляет множество

А = У СоШ у С X,

уев

соответствие Галуа задает на каждом из множеств X и У оператор замыкания.

Инволюция К —К-1 —это соответствие В-1(У,Х) определяемое

как

В-1(У,Х) = {(у,х) \ (х,у) е В].

Инволюция устанавливает биекцию между К(Х,У) и К-1(У,Х), которая является изоморфизмом булевых алгебр. Для В(Х, У) и Б(У, Z) их произведение (композиция) В ■ Б определяется следующим образом

В ■ Б(Х,г) = {(х,г) Зу е У\((х,у)е В) А ((у,г)е Б)].

Умножение ассоциативно. Единицами для него служат диагональные соответствия в узком смысле (бинарные отношения) (Вх = иу). Кроме того (В ■ Б)-1 = Б-1 ■ Д-1 и из Д1 С Д2 следует Д1-1 С Д2-1 Полностью определенное и сюръективное соответствие В(Х, У), для которого В^(Х) = X, Дд (X) = У будем обозначать как (X, У). Каждая пара непустых множеств (А, В), А С X из соответствия Галуа С(В% ,Х,У) определяет сужение соответствия (Х,У) С X х У обозначаемое как (А, В). При этом В^ (А, В) С (Х,У).

Любое соответствие К(X1,У1), такое, что {X1,У1) € С(К% ^,У) и К(А, В) С К(Xl,Уl) = (А С Xl) называется расширением для К(А,В) относительно соответствия К^ (X,У). При этом данное расширение будет полностью определенным и сюръективным. Сужением для соответствия К(Xl,Уl) относительно К^ (X,У) называется полностью определенное и сюръективное соответствие

Щ (А, В) СК^У), )€ С(К% ^,У).

Последнее назовем максимальным расширением любого элемента соответствия Галуа ^,У).

Понятие соответствия Галуа и его свойства позволяют вычислять непарадоксальное логическое следование в семантическом смысле, не используя логический вывод, посредством исчисления конститу-ентных множеств и интерпретации рассуждений логики предикатов в терминах соответствий.

3.2. Примеры верификации рассуждений

Пример 1 (Задача о паровом катке [9,10] для испытания метода резолюций). Волки (V), лисицы (Ь), птицы (Р), гусеницы (С) и улитки (и) являются животными и существует хотя бы один экземпляр каждого из них. Также, существует злак (^), и злаки являются растениями (К). Каждое животное любит есть либо все растения, либо всех травоядных животных, которые намного меньше его. Гусеницы и улитки намного меньше птиц, которые намного меньше лисиц, которые, в свою очередь, намного меньше волков. Волки не любят есть лисиц или злаки, а птицы любят есть гусениц, но не любят улиток. Гусеницы и улитки любят есть некоторые растения. Доказать, что существует животное, которое любит есть животных, поедающих злаки.

Обозначим: Xo = Иг — универсум (растения и животные), Xl = А — животные, X2 = V — волки, Xз = Ь — лисицы, X4 = Р — птицы, X5 = С — гусеницы, X6 = и — улитки, X7 = К — растения, X8 = Z — злаки.

По условиям задачи, некоторые из которых явно не сформулированы, XiXj = 0 при % = з, 1,з = 2,..., 6, 7; X2 +Xз +X4 +X5 +X6 = Xl; А(^8, X7). Доказываем, что существует животное, которое любит есть животных, поедающих злаки:

З(х)З(у)З(г)З(1)(х,у, г € Xl)•(t € X8)•(LE (х, у))^(ЬЕ(у, г))^(ЬЕ (г,

Таблица 1: Отношения «много больше» (МО) и «любит есть» (ЬЕ)

(а) «много больше» (ь) «любит есть»

МО V Ь р О и ЬЕ V Ь р О и И Z

V 0 1 1 1 1 V 0 0 1 1 1 10

Ь 0 0 1 1 1 Ь 0 0 1 1 1 11

р 0 0 0 1 1 р 0 0 0 1 0 11

О 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 11

и 0 0 0 0 0 и 0 0 0 0 0 11

Строим А-онтологию, удовлетворяющую логическим отношениям:

+ Х7 = Хо,

V . V V животные и растения составляют

А1 + А 7 = Ао

универсум животные — это волки или Рд(Х1, Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х6) лисицы или птицы или гусеницы

или улитки

А(Х8, Х7) злаки являются растениями

Х5 ■ Хб = Хо',

Х2 ■ (Х3 + Х4 + Х5 + Х6) = Х0', 2 V 3 1 41 51 6 / о ; виды животных не пересекаются

Х3 ■ (Х4 + Х5 + Хб) = Хо , Х4 ■ (Х5 + Хб) = Хо

Х7 ■ Х1 = Хо' растения не бывают животными

Введем в рассмотрение множества Хд — Х15, построенные исходя из условий задачи.

Хд = Х1 ■ Х2' множество животных, много меньших волков

Хю = Х1 ■ X' ■ Х3' — животных, много меньших лис

Хц = Х1 ■ Х2 ■ Х3' ■ Х4' — животных, много меньших птиц

Х12 = (Х1 + Х7) ■ Х2' ■ Х3' ■ Х8 ' любимая еда волков

Х13 = (Х1 + Х7) ■ Х2' ■ Х3' любимая еда лисиц

Х14 = (Х1 + Х7) ■ Х2' ■ Х3' ■ Х4' ■ Хб' любимая еда птиц

Х15 = Х7' любимая еда улиток и гусениц

Каждое животное любит есть либо все растения, либо всех травоядных животных, которые намного меньше его. Отношение «любит есть» отчасти повторяет отношение «много больше» (смотри таблицы 1а, 1Ь) дополнено парами (С, К), ), (и, К), (и,2) и убраны исключения-пары (V., Ь), (V, 2), (Р, и).

XI Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10 Х11 Х12 Х13 Х14 Х15

Рис. 7: А-онтология для решения задачи «паровой каток»

Добавим равенства, определяющие множества Xg — Xl5 в А-онто-логию (рисунок 7). Ед(Xg,Xl ■ X2)' множество животных, которые меньше волков Ед(^ю^! ■ X' ■ Xз)' — животных, которые меньше лисы

Ед(^ц, Xl ■ X2 ■ X3 ■ X4)' — животных, которые меньше птиц

Ед(X12, X + X7) ■ X'2 ■ X'3 ■ XII) любимая еда волков

Ед(^13, (X1 + X7) ■ X2 ■ X3) любимая еда лисиц

Ед^и, (X1 + X7) ■ X'2 ■ X'3 ■ X4' ■ X6') любимая еда птиц

Ед(Xl5,X7) любимая еда улиток и гусениц

Для решения задачи нужно перебрать всех животных, конструируя на А-онтологии с рисунка 7 допустимые пищевые цепочки из трех звеньев «х любит есть у» и «у любит есть ,г» и «г любит есть ¿», где х, у, г -животные, Ь -растение.

Если найдется хотя бы одна трехзвенная цепочка, то будет доказана возможность выполнения целевого утверждения задачи. Напри-мер,«волки (х) любят кушать птиц (у)» и «птицы (у) любят кушать гусениц (-г)», и «гусеницы (г) любят кушать все растения (£)».

Поскольку растения включают злаки, то нами доказана возможность существования животного, которое любит есть животных, которые любят есть злаки.

Для того, чтобы с необходимостью выполнялось доказываемое утверждений, достаточно найти хотя бы одну трехзвенную цепочку, в которой предметная переменная Ь должна принадлежать множеству злаков. Для этого достаточно изменить условие задачи, указав, например, что гусеницы любят есть только злаки.

Пример 2 (из работы [8]). Пусть требуется доказать, что справедлива импликация

А = р ■ (р ^ д) ■ (в ^ г) ■ (г ^ т) ^ т.

Через и обозначим, универсум моделируемый конституентным множеством. Пусть

В = р ■ (р ^ д) ■ (в ^ г) ■ (г ^ т) есть посылка. Заключение есть С = т. Верифицировать следствие.

Исключим импликацию из посылки

В = р ■ (р ^ д) ■ (в ^ г) ■ (г ^ т) = В = р ■ (р' + д) ■ (в + г) ■ (г' + т).

Проверим, согласно Теореме 4, имеет ли место непарадоксальное логическое следование

С.

Для этого перейдем к соответственным МЛ-уравнениям, которые являются ППФ логики Ьз2, и найдем единицы С : (Ш = и) и В : Р ■ (Р' + д) ■ (Я' + Т) ■ (Т' + Ж) = и. Для верификации НЛССС достаточно вычислить единицы (семантические значения) этих базовых конъюнктов (логических отношений) и проверить выполнение отношения включения для соответствующих им конституентных множеств

М(Р ■ (Р' + (Э) ■ (Б' + Т) ■ (Т' + Ж) = и) = {24, 25, 27, 31]

С {1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17,19, 21, 23, 25, 27, 29, 31] = (Ш = и).

Соотношение включения не имеет места, следовательно импликация А не является тавтологией. Единица для EQ(P ■ (Р' + Q) ■ (Б' + Т) ■ (Т' + Ш), и) изображена на Рисунке 8. При этом единица

М(Ш = и) = {1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17,19, 21, 23, 25, 27, 29, 31]

Из этого следует, что логического следования нет. Для того, чтобы заключение имело место, достаточно добавить к посылке утверждение о пустоте конституенты с номером 24 или утверждение о полноте двойственной к ней дизституенты с номером 7 = 25 — 24 — 1.

К(24) = Р ■ д ■ ■ Т' ■ Ж' = 0 = В(7) = Р' + д' + 5 + т + ж = и

иг = 24 25 27 31

Рис. 8: Логические объемы А-онтологий для Б и С

Таким образом, мы доказали, что

А = р ■ (р ^ д) ■ (в ^ ^ ■ ^ ^ —) ■ (р' + д' + в + £ + —) ^ —

Пример 3 (Чень). Верифицировать следствие. Некоторые пациенты любят всех докторов. Ни один пациент не любит знахаря. Следовательно, никакой доктор не является знахарем.

Формализация этого текста (Васильев С.Н. [10] )

А1 ■ А2 ^ В,

где

А1 = Эх (Р (х) -Уу (Б (у) ^Ь(х,у)),

А2 = Ух (Р(х) ^УуЯ(у) ^ Ь(х, у)'),

В = Ух (Б(х) ^ Я(х)').

Наиболее компактное формальное доказательство предложено в [10] с использованием по-формул.

Рассмотрим верификацию логического следования. Введем в рассмотрение множества Р, Б, Q -одноименные с одноместными предикатами Р(х), Б(х), Q(х) и множество V, которое образует вместе с множеством Р пару {Р^} € С(Ь^,У), где соотношение Галуа построено на соответствии Ь(X, У), которое определяется предикатом Ь(х, у)-«любит х у-ка».

V = {у1 Ух(х € Р) Л (Ь(х, у)}.

Таким образом, множество V в данной нотации обозначает множество людей, которых любят пациенты. Очевидно, что вследствие условия А1 выполняется утверждение Б С V - «все доктора входят в множество тех кого любят пациенты» (А1 и Б С V равносильны).

Условие А2 переформулируем в равносильное V С ^ - «Множество тех, кого любят пациенты не включают знахарей».

иг = 0 1 2 5 8 9 1013 X1 =| | Р

Х4 =| ======== V

Рис. 9: Семантический смысл посылок задачи о пациентах

С помощью Теоремы 4 формально из утверждений В С V и V С Я' следует В С Я'-«Все врачи не знахари» равносильное В. А-онтология, выражающая семантику посылки

(в С V) ■ (V С Я'), изображена на рисунке 9.

Полисиллогизм, соответствующий данной задаче, выраженный в ортогональном базисе силлогистики, имеет вид

[(в с V) + (в = V)] ■ [(У с я') + (У = я')] Ы [(в с я') + (в = $)]

Пример 4 (взят из работы [11]). Пусть имеется общий универсум и для всех предметных переменных. Доказать, что имеет место следствие из трех посылок

Ух Зу В(х, у),

Ух Зу С(х, у),

Ух Зу (В (х, у) + С(х, у) ^ У г (Д (у, г) + С(у, г) ^ Н (х, г))

(20) И*

Ух ЗуН(х, у).

Перепишем в терминах соответствий. Множества У1,У2,^з,У4, являются непустыми подмножествами универсума и.

ЗУ (В(и,У{) = 0) ■ (Вр(и) = и), ЗУ2 (С(и,У2) = 0) ■ (Ва(и) = и),

ЗУз Д(и, У3) + С(и, Уз)= 0 ^ (в(Уз, и) + С(У3, и)= 0 ^

4-V-' ^-V-'

А В

(Н(и, и) = 0) ■ (Вн(и) = и))

(21) И*

ЗУ4 (Н(и,У4) = 0) ■ (Вн(и) = и).

Избавимся от одной импликации в третьей посылке

ЗУ (F(U,Yi) = 0) • (DF(U) = U), 3Y2 (G(U,Y2) = 0) • (Dg(U) = U),

3Y3 (F(U, Y3) + G(U, Y3) = 0) • (F(Y3, U) + G(Y^, U) = 0) ^

4-V-' 4-V-'

А В

(H(U,U) = 0) • (DH(U) = U)

(22)

3Y4 (H(U,Y4) = 0) • (DH(U) = U).

Доказательство. Пусть посылки рассуждения (21) выполняются. Выполнение третьей посылки возможно в случае, когда Y3 = U, либо в случае Y3 С U. Если Y3 = U, то из выполнения первых двух посылок следует выполнение утверждений А и В третьей посылки и, следовательно, истинность суждения (выполнение условия) ( H( U, U) = 0. В данном случае в качестве Y4 в соответствии H можно взять Y3 = U.

Если 0 С Y3 С U, то в этом случае вид множества Y3 зависит от того, в каком из семи невырожденных Жергонновых отношениях Gf¡, G7, G9, G11, G13, G\4, G15, изображенных на рисунке 1, находятся непустые множества Y\ и Y2. Их существование гарантируется первыми двумя посылками.

Выполнение суждений А и В для Gf¡, G14 будет иметь место, если в качестве Y3 взять множество Y\ +Y2, где 0 С Y\ С Y\, 0 С Y2 С Y2. Для случая G9, G13, Y3 = Y\ гарантирует выполнение А и В. Для Gn достаточно взять Y3 = Y2, для G7, G15 достаточно, чтобы Y3 = Yi • Y2.

Выполнение условий А и В гарантирует, что H(U,U) = 0, что, в свою очередь, обеспечивает выполнимость заключения

3Y4H (U,Y4) = 0.

□

4. Заключение

В работе на примерах показано, что верификация логического следования посредством исчисления конституентных множеств и соответствий Галуа может служить альтернативой методу резолюций и методу аналитических таблиц.

Список литературы

[1] Yu. Smetanin. «Syllogistical system on the basis of the propositional multivalued logic», Proceedings of the 2015 International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V. I. Zubov (St. Petersburg, Russia, 5-9 Oct. 2015), IEEE, 2015, с. 596-599. t 69,92

[2] Ю. М. Сметанин. «Многозначная пропозициональная логика с непарадоксальным логическим следованием», Девятые Смирновские чтения по логике, Материалы Международной научной конференции (Москва, 19-21 июня 2015 г.), ред. Маркин В. И., Герасимова И. А., Зайцев Д. В., Карпенко А. С., Григорьев О. М., Томова Н. Е., «Современные тетради», 2015, с. 36-38. t 69,70,92

[3] Ю. М. Сметанин. «Алгоритм решения полисиллогизмов в ортогональном базисе посредством исчисления конституентных множеств», Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2010, №4, с. 172-185. t 70,78

[4] Ю. М. Сметанин. «Непарадоксальное логическое следование и проблема решения МЛ-уравнений», Программные системы: теория и приложения, 7:1(28) (2016), с. 99-115, URL: http: //psta.psiras.ru/read/psta2016_1_99-115.pdf t 70,72,81

[5] В. А. Бочаров, В. И. Маркин. Силллогистические теории, Прогресс-Традиция, М., 2010, 336 с. t 70,72,81

[6] В. К. Финн. «О неаристотелевском строении понятий», Логические исследования, 21:1 (2015), с. 9-48. t 74

[7] П. С. Порецкий, О способах решения логических равенств и об одном обратном способе математической логики, Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете, 1884, 170 с. t 81

[8] С. Н. Васильев. «Метод синтеза условий выводимости хорновских и некоторых других формул», Сиб. матем. журн., 38:5 (1997), с. 1034-1042. t 87

[9] C. Walther. «A mechanical solution of Schubert's steamroller by many-sorted resolution», Artificial Intelligence, 26:2 (1985), с. 217-224. t84

[10] С. Н. Васильев, Ф. Л. Жерлов, Е. А. Федосов, Б. Е. Федунов. Интеллектное управление динамическими системами, Физматлит, М., 2000, 352 с. t 84,88

[11] В. Н. Вагин, Зо Мьо Хтет. «Параллельный вывод в методе аналитических таблиц», Программные продукты и системы, 2011, №3, с. 8-13. t 89

Рекомендовал к публикации

д.ф.-м.н. Н. Н. Непейвода

Пример ссылки на эту публикацию:

Ю. М. Сметанин. «Верификация логического следования с использованием исчисления конституентных множеств и соответствий Галуа», Программные системы: теория и приложения, 2017, 8:2(33), с. 69-93. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2017_2_69-93.pdf

Об авторе:

Юрий Михайлович Сметанин

Область научных интересов: прикладная логика, силлоггисти-ка. Разработал исчисление констиуентных множеств, которое позволяет алгоритмически верифицировать логическое следование в неклассической пропозициональной логике, сводя его к проверке включения одного множества в другое. e-mail: [email protected]

Iurii Smetanin. Verification of logical consequence, using the calculus of constituent sets and correspondences of Galois.

Abstract. Abstract.The paper substantiates that, in the case where staged argument uses the concept of verification tasks of conformity can be checked logical consequence, without applying the logical conclusion. It is convenient to use the calculus of constituent sets and tasking logic LS2 [1, 2]. The example shows that the predicate logic, logical consequence verification can be performed using a simple reasoning based on Galois correspondence. (In Russian).

Key words and phrases: logical equations, syllogistic, algebraic ontology, algebraic system, nonparadoxical logical consequence, Boolean algebra, Galois correspondence.

References

[1] Yu. Smetanin. "Syllogistical system on the basis of the propositional multivalued logic", Proceedings of the 2015 International Conference "iStability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (St. Petersburg, Russia, 5—9 Oct. 2015), IEEE, 2015, pp. 596-599.

[2] Yu. M. Smetanin. "Polysemantic propositional logic with not paradoxical logical implication", Devyatyye Smirnovskiye chteniya po logike, Materialy Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii (Moskva, 19-21 iyunya 2015 g.), eds. Markin V. I., Gerasimova I. A., Zaytsev D. V., Karpenko A. S., Grigor'yev O. M., Tomova N. Ye., "Sovremennyye tetradi", 2015, pp. 36-38 (in Russian).

© I. M. Smetanin, 2017

© Udmurt State University, 2017

© Program systems: Theory and Applications, 2017

•jt ( :

[3] Yu. M. Smetanin. "Algorithm for Solving Polisillogizm in the Orthogonal Basis by Calculating the Constituent Sets", Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternyye nauki, 2010, no.4, pp. 172—185 (in Russian).

[4] Yu. M. Smetanin. "Non-paradoxical Logical Consequence and the Problem of Solving ML-Equations", Programmnyye sistemy: teoriya i prilozheniya, 7:1(28) (2016), pp. 99-115 (in Russian), URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2016_1_99-115.pdf

[5] V. A. Bocharov, V.I. Markin. Syllogistic theories, Progress-Traditsiya, M., 2010 (in Russian), 336 p.

[6] V. K. Finn. "On the Non-Aristotelian Concept Structure", Logicheskiye issledovaniya, 21:1 (2015), pp. 9-48 (in Russian).

[7] P. S. Poretskiy, On the ways to solve logical equation and one return method in mathematical logic, Sobraniye protokolov zasedaniy sektsii fiziko-matematicheskikh nauk obshchestva yestestvoispytateley pri Kazanskom universitete, 1884 (in Russian), 170 p.

[8] S. N. Vasil'yev. "A Method for the Synthesis of Deducibility Conditions for Horn and some other Formulas", Siberian Math. J., 38:5 (1997), pp. 896-906.

[9] C. Walther. "A mechanical solution of Schubert's steamroller by many-sorted resolution", Artificial Intelligence, 26:2 (1985), pp. 217-224.

[10] S.N. Vasil'yev, F. L. Zherlov, Ye. A. Fedosov, B. Ye. Fedunov. Intellektual control of dynamic systems, Fizmatlit, M., 2000 (in Russian), 352 p.

[11] V.N. Vagin, Zo M'o Khtet. "Parallel Inference in the Method of Analytical Tables", Programmnyye produkty i sistemy, 2011, no.3, pp. 8-13 (in Russian).

Sample citation of this publication:

Iurii Smetanin. "Verification of logical consequence, using the calculus of constituent sets and correspondences of Galois", Program systems: Theory and applications, 2017, 8:2(33), pp. 69-93. (In Russian). URL: http: //psta.psiras. ru/read/psta2017_2_69-93.pdf