Логико-вероятностная модель для расчета риска неуспеха менеджмента на основе ортогонального базиса силлогистики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 510.63 Ю.М. Сметанин

ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА РИСКА НЕУСПЕХА МЕНЕДЖМЕНТА НА ОСНОВЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО БАЗИСА СИЛЛОГИСТИКИ

Рассматривается алгебра случайных событий и её интерпретация в невырожденной булевой алгебре на основе множеств. Показано, что классическое использование понятий «логика» и «вероятность» вполне совместимо с инженерными логико-вероятностными исчислениями и вероятностной логикой, начало которой восходит к классическим работам в области искусственного интеллекта, связанными с принятием решений. Показано, что некоторые весьма трудные задачи расчетов вероятности неуспеха могут быть решены с помощью предлагаемого логического описания на основе ортогонального базиса силлогистики и точной интерпретации.

Ключевые слова: алгебраическая система, исчисление конституентных множеств, вероятность, ортогональный базис силлогистики, математические модели в менеджменте.

Введение

В результате анализа работ по стратегическому менеджменту выявлено [19-21], что практически отсутствуют математические методы и модели по управлению бизнесом на основе риска, что здравый смысл не трансформируется в логику и модели риска неуспеха, не используется сценарное управление бизнесом, рассматриваются стратегии управления по отдельности, а не в целом, отсутствуют обоснованные математические модели расчета вероятностей. Исторически сложились три точки зрения на совместное использование понятий «логика» и «вероятность»:

1) классическая [4];

2) инженерная (логико-вероятностное исчисление - ЛВИ) [5];

3) исследователей искусственного интеллекта (вероятностная логика) [16].

Под термином «вероятностная логика» в данной работе понимается классическая алгебра случайных событий с исключенным двусмысловым отношением X ^ У между случайными событиями

X и У. В статье показано, что различие во взглядах и «трудности» совмещения понятий «логика» и «вероятность» исходят из того, что колмогоровский подход к исчислению вероятностей случайных событий использует невырожденную булеву алгебру на основе множеств [3], а инженерный подход и подход искусственного интеллекта используют вырожденную булеву алгебру на основе множеств индикаторов случайных событий, которая по сути своей есть неадекватная модель объективной реальности [9-11].

Постановка задачи

В работах [7-8] предложен ортогональный базис силлогистики, имеющий выгодное отличие от системы простых суждений Аристотеля, его определение дано в работе [9].

Семь расширенных Жергонновых отношений между множествами (случайными событиями) изображены на фоне универсума (рис. 1).

Рис. 1. Расширенные Жергонновы отношения

Gll, Gl3, - правостороннее и левостороннее включение; G9 - равенство (равносильность);

- независимая совместимость (независимость); G6 - противоречие (событие X выполняется когда, не происходит Y при этом дополнение X до универсума - X’ совпадает с Y); G14 - неполное противоречие - соподчиненность (события несовместны и их объединение не равно универсуму; G7 -зависимая совместимость.

Последний термин явно не используется в теории вероятностей и не является отрицанием термина «независимость» (независимая совместимость). Все пары множеств, кроме тех, которые находятся в отношении G15, являются зависимыми, если их интерпретировать как случайные события. Остальные восемь отношений являются вырожденными в том смысле, что допускают равенство универсуму сравниваемых множеств или их дополнений. Аристотель не допускал пустых терминов в рассуждениях [15]. На рис. 2 показано, как соотносятся отношение между множествами X и У и отношения между их индикаторами х и у. В столбце «Кон.» показано, какие конституенты в данном отношении являются пустыми либо непустыми множествами. В столбце «Соотн./мера» показано, как жергонново соотношение межу множествами выражается через функторы ортогонального базиса силлогистики и дополнительные утверждения о равенстве (неравенстве) пустому множеству образующих соотношение множеств. Из соотношений, рассмотренных на рис. 2, и результатов [9-11] следует отсутствие изоморфизма между ними.

Алгебра множеств является булевой алгеброй относительно строгого и нестрогого включения как естественного упорядочения. С каждой такой алгеброй автоматически связывается (в случае частичного упорядочения на основе нестрогого включения) изоморфная ей булева алгебра соответствующих характеристических функций (индикаторов) [8-11]. В случае частичного упорядочения на основе строгого включения между алгеброй множеств и алгеброй характеристических функций устанавливается неизоморфное отображение. Случай нестрогого включения не обеспечивает односмысловость суждений, вследствие чего был введен ортогональный базис силлогистики [7-9]. Таким образом, поскольку случайное событие имеет интерпретацию в форме множества, а высказывание интерпретируется как пропозициональная переменная с двумя возможными значениями «истина» и «ложь», то изоморфизм между алгеброй событий и алгеброй их индикаторов возможен только в случае, если множества - события в универсуме (достоверном событии) упорядочены отношением нестрогого порядка. Для случая строгого частичного порядка показано, что изоморфизма нет, а есть гомоморфизм. С точки зрения просто частичного порядка безразлично, что рассматривать - алгебраическую систему множеств или изоморфную ей алгебраическую систему характеристических функций этих множеств. Это отражено в теореме Стоуна. Для случая строгого частичного порядка справедлива

Теорема 1. Алгебраическая система (Хг.}, задаваемая системой множеств с определенным на них отношением строгого частичного порядка (строгое включение), не изоморфна алгебраической системе £ их индикаторов, на которой строгий частичный порядок из ^ = (Хг.} отражается в частичный порядок.

В случае рассмотрения строгого частичного порядка изоморфизма между этими системами нет, а есть гомоморфное отображение первой во вторую. Проекционная модель [2] на основе индикаторов настолько грубая, что любое непустое подмножество универсума алгебраической системы множеств отражается в ней как ноль либо единица. Это, в свою очередь, является одной из причин парадоксов материальной импликации. Булевой алгеброй называется дистрибутивная структура с неравными друг другу нулем (0) и единицей (1), в которой всякий элемент имеет дополнение. Таким образом, булева алгебра всегда содержит не менее двух элементов. Алгебра, содержащая только 0 и 1 , называется вырожденной [3. С. 19]. Классическая логика построена на основе вырожденной булевой алгебры, в которой 0 отождествлен с абстрактной ложью, а 1 с абстрактной истиной. То есть она отражает существующую в реальности систему событий даже не в систему характеристических функции этих множеств, а в абстрактные, по Гильберту, пропозициональные переменные.

В работах [7-11] в качестве модели суждения (высказывания) предлагается рассматривать множество. Значение же высказывания определяется индикатором этого множества - высказывательной переменной. Эта идея восходит к самому Аристотелю, особенно наглядно ее представил Жергонн, однако алгебраический подход не получил развития в математической логике, и только в работах [9-13] получены существенные результаты. Причин здесь несколько, и одна из наиболее веских -многосмысловость простых суждений Аристотеля (см.: [9]). Рассмотрение суждений как множеств позволяет сопоставить терминологию элементарной теории вероятностей и суждений ортогонального базиса. Здесь имеет место однооднозначное соответствие.

Испытание (опыт) - алгебраическая система с образующими ^ = (Хг.}. Х{ - случайное событие и одновременно термин, понятие, используемое в простых односмысловых суждениях (А(Х^), Eq(XY), Ю(Х^)) ортогонального базиса. В случае составного (с использованием связок) события с ним сопоставляется сложное суждение на основе простых суждений ОБ.

Имя Кон. Соотн./мера Образ

Н- ху-Л Л(Х',У)<Х- 0)(У-0) (х'<у)(у'-0)

X Т-0

С1 АТ - Й

ау*й Р(ХУ)=1

X ХУ-0 А(Х\У)<Х'= Й)(У=Й) (х'<у')(х'=0)(у=0)

У ХУ-0

С2 хг± й Р(ХУ)-1

АТ-Й

— ат-й Л(Х У)(Х’ - Й)(А(Х’,У’)) (х '<у)(х ’-0)(х ■<! ’)

лгтй -

из АГ*Й Р(ХУ)=Р(У)

хг* й Р(Х)’>=Р(\)

АТ-Й аіх.піу-0 н(Х-й) (х<у)(х-0)(у'-0)

АТ*Й Р(Х'У)=1

АТ'-Й

АТ-0 (х <У)(у'ш0)<х'<у)

ху-0 Л(Х,У)(У= Й)А(Х'У)

- Х'Уфд Р(Х’У)=Р(Х’)

V ХУ- й

АТ* Й Р(ХУ)=Р(Х)

хг- й Еч<Х.У')(Хт&)0’~в) х=у

Г АТ* Й Р(Х'У)=Р(У)

XГ*Й Р(ХУ)=Р(Х)

АТ* Й Р(ХУ)=0

XV— й АМ’.жхївнгФд) х‘<у

И А Т* Й Р(Х’У)=Р(Х')

АТ'* Й Р(ХУ)=Р(У)

АТ* Й Р(ХУ)=!-Р<Х')-Р(У)

X У ХУ г й Р(Х’У)=1

АТ-Й А(Х.У)(Х- 0)(У- е» (х=у)(х=0)(у~0)

СН Х У- Й

АТ- Й

I н АТ'* Й Р(Х'У)=Р(Х)=Р(У)

А Т- Й Ец(Х, У/(Хт й)( К* Й) І-У

1 г 1 АТ'— Й

АТ* Й РСХУ)=Р(Х/=Р(У)

1 ГІ с/о АТ'* Й Р(Х'У)=Р(Х‘)

А Т- Й А(Х,У\ /Хтд)(У= Й) <х<у'Ну-0)(х'<у-)

АТ'*Й Р/ХУ)=Р/Х)

АТ- Й

т с// Л">'= й Р(Х'У)=Р(Х')

А Т- Й Агх\У)/х*дмУ~д) т‘<у-

АТ'*Й Р(ХУ’)=1-Р(Х')-Р(У)

АТ* Й Р(ХУ)=Р(У)

1 V 1 АТ'*Й Р(Х’У)=Р(У)

АТ* Й Р(Х'У)=Р(У)

1 ^ 1 С/2 АТ'-Й А(Х,У)(Х=0)(У*0) (х<у)(х-Ч)(х<\')

АТ- Й

1 А1 АТ'* Й Р(Х'У)-Р(У)

АТ* Й Р(Х'У)=1-Р(Х>-Р(Г)

I V I СІЗ АТ - Й л<х,У) (Хт-<г»(У*е> і

АТ* Й Р(ХУ)=Р(Х)

АТ'* Й РіХ'Уі-і-Р(Х)-РгУ)

I т1 С/4 АТ* Й Р(Х'У)=Р(У)

АТ'*Й Р(ХУ)=Р<Х)

ЛУ- 0 А(Х,У) а*Й)(Г#Й)

і;і СІ5 АТ'*Й Л'Т'+Л’Т+АГГ'+ У'*УиуЧ

АТ* Й +ЛУ=[/ +.х>'=/

АТ'*Й'

АТ* Й

Рис. 2. Проекция Жергонновых отношений в отношения их индикаторов

Основные отношения между случайными событиями X и Y - влечет, равносильность, независимость (независимая совместимость), несовместность, противоположность. Они выражаются соотношениями X с У, X = У, Р(ХУ) = Р(X)Р(У), [Р(ХУ) = 0 и X + У с и], £#(X, У') и однооднозначно соотносятся с пятью расширенными жергонновыми отношениями G13, G9 ,Gl5, Gы ,G6. Из оставшихся двух (G11, G7) первое есть отношение влечет, а второе, которое естественно назвать зависимой совместимостью, явно в теории вероятностей не рассматривается, так как легко выражается отношением влечет G7(X, У) = X' с У = А(X', У) и соответствующим функтором ортогонального базиса.

Устранение многосмысловости за счет введения ортогонального базиса силлогистики (ОБ) сразу позволило значительно продвинуться вперед:

1) построить точную интерпретацию рассуждений в форме алгебраической системы;

2) построить эффективный алгоритм проверки логического следования заключений из посылок силлогизма;

3) доказать отсутствие парадоксов материальной импликации , а также установить причину, по которой, анализируя словесную продукцию со связкой «если... то» логики, используя вырожденную булеву алгебру, вынуждены признавать наличие парадоксов [9];

4) свести воедино три означенные в начале публикации точки зрения и упростить решение прикладных задач теории надежности, расчетов рисков и искусственного интеллекта.

Таким образом, отношения между случайными событиями Xi (влечет, равносильно, независимость, несовместность, противоречие - событие противоположное данному) находятся во взаимно однозначном соответствии с семью расширенными жергонновыми отношениями и тремя функторами ОБ. Рассмотрение набора суждений и логического следования одних суждений (событий) из комплек-

са других приводит к необходимости рассмотрения многоместных отношений (предикатов). Наглядная форма представления таких отношений - линейные диаграммы Лобанова [6], которыми можно иллюстрировать интерпретацию алгебраических систем, выражающих постановку задач полисиллогистики и вероятностной логики. Ввиду недостатка места автор не будет далее углубляться в теорию.

Приведем важную теорему, которая позволяет распознавать многомерные отношения, содержащие независимые в совокупности случайные события.

Теорема 2. Система ^= (X- }из п множеств, являющаяся образующей алгебраической системы с заданным отношением строгого порядка (строгое включение) может быть взаимно однозначно сопоставлена системе случайных событий независимых в совокупности тогда и только тогда, когда БМН(X) = [0..2п-1] (см.: [9-11]). Другими словами, тогда и только тогда, когда все 2П конституент, построенных из {X}, являются непустыми множествами. Теорема доказывается по индукции.

Пример решения задачи расчета риска неуспеха

Задача. (Пример взят из работы [21].)

Рассмотрим один из примеров оценки риска и эффективности при борьбе двух компаний за заказ при противодействии третьей компании. Дружественные компании А и В хотят получить выгодный заказ. Компания С может помешать им. Компания С (событие Х3 с вероятностью р3) вступит в борьбу за получение заказа и будет противодействовать компаниям А и В. Противодействие компании С могут заставить компанию А (событие X5 с условной вероятностьюp5=P(X5/X3) при Р^З^З)^) и компанию В (событиеX4 с условной вероятностьюp4=P(X4/X3) при P(X4/X3’)=0) отказаться от намерений. Если же компания В (событиеXI с вероятностьюр! =P(X1/XЗ’) при P(X1/XЗ)=0)) и компания А (событие X2 с условной вероятностью p2=P(X2/X4’) при P(X2/X4)=0) смогут получить заказ, то прибыль компании А составит Е=6 млрд. и прибыль компании В составит Е=2 млрд.

Вероятности р1, р2, р3, р4, р5 назначены методом экспертной оценки с учетом внешних факторов и капитала фирм А, В и С. Определить вероятность получения заказа компанией А или В и ожидаемый выигрыш двух компаний А и В.

Решим задачу традиционным способом. Примем вероятности событий.

р1=0,8З; р2=0,9З; р3=0,7; р4=0,4; рЗ=0, З.

Целевое событие Z=X1+X2. Обозначим вероятности Xi через г-.

Вероятностный полином (функция) достижения цели Р^) =г1+ г2 - г1*г2 = (1-р3*р5) *р1 + (1-р3*р4) *р2 - (1-р3*р5) *р1*( 1-р3*р4) *р2=0,8З8З9.

Введем в условия примера показатели эффективности достижения

трех разных целей:

Е1 = 6 , если свою цель достигнет только компания А P1=P(X1X2') = 0,17459;

Е2 = 2 , если свою цель достигнет только компания В P2=P(X1'X2) = 0,30609;

Е3 = 8, если свои цели достигнут обе компании, P3=P(X1X2)=0,37791;

Используя вычисленные вероятности, определяем суммарную эффективность достижения трех (математическое ожидание) целей:

Т = Е1*Р1 + Е2*Р2 + Е3*Р3 = 6*0,17459+2*0,30609+8*0,37791= 4,683.

Решим задачу способом, ориентированным на применение компьютера, используя описание взаимосвязей между случайными событиями посредством функторов ортогонального базиса.

Построим систему случайных событий (алгебру), отражающую логическую структуру задачи.

Причинно-следственные связи явлений (событий) процесса борьбы за заказ можно описать в виде четырех утверждений:

1) событие X1 влечет событие противоположное XЗ;

2) событие X2 влечет событие противоположное X4;

3) событие, противоположное X3, влечет не наступление X5;

4) событие, противоположное X3, влечет не наступление X4.

Тот же результат получается, если описать логику задачи в виде равенств, равносильных отношению включения: X1=X1XЗ'; XЗ=XЗX3; X2=X2X4'; X4=X4X3.

Для системы с заданными соотношениями включения в виде равенств, с помощью программы построена линейная диаграмма (рис. 3), которая визуализирует 5-местное отношение между случайными событиями задачи.

иг= 0 4 5 6 7 812131620222428 XI = Х2 =

ХЗ -Х4 =

Х5 =

10(XI,Х2) 10(Х1,ХЗ) 10(XI,Х4

А(XI,Х5Л) 10(Х2,ХЗ)

А (Х2, Х4Л) 10 (Х2, Х5) А(ХЗЛ,Х4Л) А(ХЗ/Ч,Х5Л) 10(Х4,Х5)

Рис. 3. Диаграмма логических связей задачи

Номера, входящие в множество иг, - это номера непустых конституент упорядоченной (перенумерованной) системы множеств X1, X2, X3, X4, XЗ. Сопоставление конституент номерам и наоборот осуществляется очень просто. Например, номер 28 переводится в двоичную систему счисления как 11100 и ему ставится в соответствие конституента X1X2X3X4'XЗ', где единица на --м месте сопоставляется с множеством X-, а ноль на]-м месте - дополнению множестваX], то есть множеству и\ Xj=Xj'. На диаграмме (рис. 3) случайным событиям, которые могут произойти, соответствуют подмножества номеров универсума иг. Например, событию X1=(X1XЗ') с вероятностью г1 соответствует множество номеров X1=X1XЗ'=[16, 20, 22, 24, 28], при этом вероятность P(X1XЗ')=P(XЗ')*P(X1/XЗ') = (1-г3)*р1=(1-р3*р5)*р1=г1. Последовательно, с учетом логических связей вычислим вероятность всех конституент, составляющих базовое множество номеров иг=[4,З,6,7,8, 12,13,16,20,22,24,28]. Используя логическое описание задачи и таблицу из рис. 2 , получим:

[28]=X1X2X3X4'XЗ' = X1X2X3 в силу 1 и 2. В силу независимостиX1,X2,X3 Р[28]=г1*г2*г3;

[24]= X1X2X3'X4'XЗ' = X1X2X3' в силу 1 и 2, Р[24]= г1*г2*(1-г3);

[22]= X1X2'X3X4XЗ'= X1X2'X4 в силу 1 и 3, Р[22]= г1*(1-г2)*г4;

[20]= X1X2'X3X4'XЗ'= X1X2'X3X4' в силу 1 и 3 Р[20]= г1*(1-г2)*(г3-г4);

[16]= X1X2'X3'X4'XЗ' = X1X2X3' в силу 3 и 4, Р[16]= г1*(1-г2)*(1-г3);

[13] =X1'X2X3X4'XЗ=X1'X2XЗ в силу 2 и 4, Р[13]= (1-г1)*(г2) *(гЗ);

[12] =X1'X2X3X4'XЗ'= X1'X2X3XЗ' в силу 2 и 4 Р[12]= (1-г1)*(г2)*(г3-г5);

[8]=X1'X2X3'X4'XЗ' = X1'X2X3'XЗ' в силу 2 и 4 Р[8]= (1-г1)*(г2) *(1-г3);

[7]=X1'X2'X3X4XЗ=X1'X2'X4XЗ в силу 3 и 4, Р[7]= (1-г1)*(1-г2) *г4*гЗ;

[6]=X1'X2'X3X4XЗ' = X1 'X2X4XЗ' в силу 3, Р[6]= (1-г1)*(1-г2) *г4*(1-гЗ);

[3]=^1'^2'^4'^З в силу 1, Р[З]=(1-г1) *(1-г2) *(1-г4)*гЗ;

[4]=X1'X2'X3X4'XЗ ’ в силу 3 и 4 и независимостиX4 иXЗ, Р[4]= (1-г1)*(1-г2)*(г3-г4-гЗ+г4*гЗ);

[0]=X1'X2'X3'X4'XЗ'=X1'X2'X3' в силу 3 и 4 Р[0]= (1-г1)*(1-г2) *(1-г3).

Легко проверить, что

P[16..28]=P[16]+P[20]+P[22]+P[24]+P[28]=P(X1)=r1*(1-r2) *(1-г3)+ г1 *(1-г2) *(г3-г4)+ г1*(1-г2)*г4+ г1*г2*г3=г1;

Р[8..13]+р[24,28]=Р(^2)=(1-г1)*(г2) *(гЗ)+(1-г1) *(г2) *(г3-г5) +(1-г1) *(г2) *(1-г3)+г1*(1-г2) *г4+ г1*г2*г3 = г2;

P[4..7]+P[12,13]+P[20,22]+P[28]=P(X3)=(1-r1)*(1-r2)*(r3-r4-rЗ+r4*rЗ)+(1-r1)*(1-r2)*(1-г4) *гЗ+ (1-г1) *(1-г2) *г4*гЗ+(1-г1)*(1-г2) *г4*(1-гЗ)+ (1-г1)*(г2) *(г3-г5)+(1-г1)*(г2) *(гЗ)+г1*(1-г2)*(г3-г4)+г1*(1-г2)*г4 + г1*г2*г3 =г3;

Р[6,7]+Р[22]=Р(^4) = (1-г1)*(1-г2)*г4*гЗ+(1-г1)*(1-г2)*г4*(1-гЗ)+ г1*(1-г2)*г4=(1-г1)*(1-г2)*[ г4*гЗ +г4 - г4*гЗ]+ г1*(1-г2)*г4 =(1-г1)*(1-г2)*г4+ г1*(1-г2)*г4 =г4*(1-г2);

Р[3,7,13]= (1-г1)*(1-г2)*(1-г4)*гЗ+(1-г1)*(1-г2)*г4*гЗ+(1-г1)*(г2)*(гЗ) =(1-г1)*гЗ;

Этот и предыдущий результат указывают на детерминированную связь случайных событий Х1 и Х5', Х2 и Х4', одно не может произойти без другого.

Р[8..28]= P(X1+X2)=r1+r2-r1*r2. Кроме того, имеют место еще 2 равенства.

Р[0.. 7]=P(X1'X2')=(1-r1)*(1-r2) = 1-P(X1+X2) =(1-г1-г2+г1*г2);

Р[0, 4, З, 6, 7, 8,12,13,16,20,22,24, 28] =1.

Произведем декомпозицию исходной логико-алгебраической модели задачи (рис. 4).

В системе событий можно выделить два кластера на основе силы логических связей между ними - это системы {X.1, X3, XЗ} и {X.2, X3, X4}. Их линейные диаграммы показаны на рис. 4.

Ur=

XI

Х2

ХЗ

Х4

Х5

0 4

6 7 812131620222428

10

А(

0 2 3 0 2 2 (XI,Х2) Х2,Х4Л)

2 3 0 2 3

3 3 4 6 6 10(Х1,ХЗ) 10(Х2,Х5)

4 6 6 4 6 0 2 3 4 6 10(XI,Х4) А(ХЗЛ,Х4Л)

(XI, ХЗ,Х5) (Х2,ХЗ,Х4)

А(XI,х5л) А(ХЗЛ,Х5'

10 (Х2, ХЗ)

) 10(Х4,Х5)

Рис. 4. Декомпозиция исходной задачи

Исходную задачу можно решать, разбив ее на две подзадачи. Решение приведено ниже. Разбиение можно осуществить на исходной диаграмме, удалив из нее сначала множества X2 и X4, затем X1 и XЗ, при этом перевычисляется множество базовых номеров либо заново строится линейная диаграмма (см. рис. 5).

Ur= Ur= XI = ХЗ = Х5 =

0 4 5 6 7 812131620222428 0232302346646

Ur= 0 2 3 4 6

XI = ======^^ А

ХЗ = = =ШШЯ==Ш С

Х5 = ====■■==== Е

IO(Xl,X3) А (XI, Х5' ) А(ХЗ',Х5')

Рис. 5. Иллюстрация способа вычисления БМН систем {X1, X3, X5} и {X2, X3, X4}

БМН для обеих систем совпадают, однако их образы в исходной системе из пяти множеств различные (см. рис.5, 6).

Рис. 6. Иллюстрация зависимости X3, X5 (X3,X4) и попарной независимости X1 и {X3, X5} (X2 и {X3,X4})

На рис. 6 также показано соответствие между конституентами исходной и подзадачами декомпозированной задачи. Ниже соответствие между номерами и вероятностями для декомпозиций задачи выписано аналитически, причем номера конституент и соответствующие им множества для составляющих большую задачу задач показаны мелким шрифтом.

Для {X1, X3, X5} p[0]=(1-r1)(1-r3)]=P[0,8], p[2]=(1-r1)(r3-r5)=P[4,6,12], p[3]=(1-r1)r5=P[5,7,13], p[4]=r1(1-r3)=P[16,24],

p[6]=r1r3=P[20,22,28].

Для {X2, X3, X4} p[0]=(1-r2)(1-r3)=P[0,16], p[2]=(1-r2)(r3-r4)=P[4,5,20], p[3]=(1-r2)r4=P[6,7,22], p[4]=r2(1-r3)=P[8,24],

p[6]=r2r3=P[12,13,28].

Теперь будем осуществлять композицию подзадач, то есть произведем вычисление конститу-ентных множеств и их вероятностных мер основной задачи посредством выражения их через консти-туентные множества подзадач.

[0]=[0][0]=[0,8][0,16]=(X1'X3'X5)(X2'X3'X4) =(X1 'X3') (X2'X3')=X1'X2'X3';

P[0]=(1-r1)*(1-r2)*(1-r3) в силу независимостиX1, X2, X3;

[4] =[2][2] =[4,6,12][4,З,20]=X1'3XЗ'X2'X3X4' =X1'X2'X3X4'XЗ'=X1'X2'X3X4'XЗ'= X1'X2'X3(X4+XЗ)'= X1'X2'X3\(X4+XЗ) в силу независимостиX1, X2, X3 и зависимостиX3, X4, XЗ имеем Р[4]= Р^Г) *P(X2') *[P(X3)-P(X1)-P(X2)+P(X1)*P(X2)]=(1-r1)*(1-r2) *(г3-г4-г3+г4*г5);

[5]=[3][2]=[З,7,13][4,З,20]=X1'XЗX2'X3X4'= X1'X2'X3X4'XЗ=X1'X2'X4'XЗ в силу того, чтоXЗ=X3XЗ, так как X4 и XЗ независимы, то

Р[З]=(1-г1)*(1-г2) *(1-г4) *гЗ;

[6]=[2][3] = [4,6,12] [6,7,22]=X1'X3XЗ'X2'X4 = X1'X2'X4XЗ' в силу того, чтоX4=X3X4, так какX4 иX5 независимы, то Р[6]= (1-г1)*(1-г2)*г4*(1-гЗ);

[7]=[3][3]=[3,7,13] [6,7,22]=X1'XЗX2'X4, отсюда Р[7]=(1-г1) *(1-г2) *г4*гЗ;

[8]=[0][4]=[0,8] [8,24]=^1'^3'^2^3'=^1'^2^3', отсюда в силу независимостиXI ^2, X3 Р[8]=(1-г1)*г2*(1-г3);

[12]=[2][б]=^1'^3^3'^2^3=^1 'X2X3XЗ'=X1 'X2X3XЗ'

Р[12]=(1-г1)*г2*(г3-г5);

[13]=[3][6]=[5,7,13] [12,13,28] =^1'^5^2^3 = ^1'^2^З;

Р[13]=(1-г1)*г2*г5;

[16]=[4][0]=X1X3'X2'X3'=X1X2'X3', отсюда Р[16]=г 1*(1 -г2) *(1 -г3);

[20]=[б][2]=X1X3X2'X3X4'= X1X2'X3X4', отсюда Р[20]=г1*(1-г2) *(г3-г4);

[22]=[6][3] =[20,22,28] [6,7,22]=X1X3X2'X4 = X1X2'X4, отсюда Р[22]=г1*(1-г2)*г4;

[24]=[4][4]=[16,24][8,24]= X1X3'X2X3'=X1X2X3', отсюда Р[24]=г1*г2*(1-г3);

[28]=[6][6]=[20,22,28] [12,13,28] = X1X3X2X3 =X1X2X3, Р[28]=г1*г2*г3.

Таким образом, мы получили тот же самый результат, что и при решении не декомпозированной задачи. Рассмотренный пример решения задач вероятностной логики, то есть задач теории вероятностей, описанных в форме односмысловых логических суждений на основе функторов ортогонального базиса, позволяет ставить и решать задачи компьютеризации интеллектуальной деятельности. По существу программная реализация точной интерпретации комплекса суждений является своеобразным усилителем естественного интеллекта.

Заключение

В статье анализируется актуальная для различных приложений проблема - совместное использование логики и вероятности при решении прикладных задач. Как отмечается в работе [13], это является нетривиальной задачей. Автором предлагается алгебраическая (на основе алгебры множеств) интерпретация аристотелевской силлогистики, изоморфная алгебре случайных событий относительно отношения строгого включения одного множества в другое, которая позволяет решать задачи проверки гипотез о логическом следовании суждения из множества посылочных суждений, то есть устанавливать правильность рассуждений в форме полисиллогизмов. По свидетельству профессора Н.Н. Не-пейводы, количество работ в мировой науке, посвященных этому вопросу, превышает 500, что указывает на сложность проблемы. Для ее решения самыми авторитетными логиками предложен целый ряд расходящихся решений. В работах [7-9] предложена точная и непротиворечивая модель традиционной силлогистики, которая в данной публикации естественным образом «погружена» в вероятностную меру. В таком случае возникает вопрос об адекватности этой модели содержательному смыслу. Наш анализ показывает, что эта модель не менее адекватна, чем лучшие из предложенных решений. Предлагаемый подход к компьютеризации решения задач является новым. Развитие предлагаемого подхода видится в создании формального исчисления конституентных множеств и построения системы искусственного интеллекта для решения вероятностных и логических задач, в частности возможно получить новые научно обоснованные результаты в теории байесовских сетей [17] и вероятностных выводов. В заключение автор обращается к научным работникам с предложением о партнерстве. Предлагается рассмотреть возможности совместных разработок для компьютеризации решения задач инжиниринга и реинжиниринга бизнес-процессов (ВР), задач искусственного интеллекта, задач расчета надежности систем и безопасности бизнеса, задач анализа законодательных актов, задач модернизации и компьютеризации сложившейся в ХХ в. дидактической системы обучения логике. Все это можно сделать на основе новой модели анализа рассуждений при решении задач полисиллогистики и ве-

_____________7З

2012. Вып. З

роятностной логики, развиваемой в работах [7-11].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс - Традиция, 2010. 336 с.

2. Вальков К.И. Проекционное моделирование и автоматизация: учеб. пособие для факультета повышения квалификации. Л.: ЛИСИ, 1985. 86 с.

3. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. С. 320.

4. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: сб. ст. М.: Наука, 1986. 535 с.

5. Рябинин И.А. Логико-вероятностное исчисление как аппарат исследования надежности и безопасности структурно-сложных систем // АиТ, «Наука». М., 2003. № 7. С. 178-186.

6. Лобанов В.И. Русская вероятностная логика М.: Русская правда, 2009. 320 с.

7. Сметанин Ю.М. Ортогональный базис силлогистики // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 4. С .155-166.

8. Сметанин Ю.М. Алгоритм решения полисиллогизмов в ортогональном базисе посредством исчисления конституентных множеств // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 4. С. 172-185.

9. Сметанин Ю.М. Анализ парадоксов материальной импликации в ортогональном базисе силлогистики // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 4. С.144-162.

10. Сметанин Ю.М. Медицинская диагностика и ортогональный базис силлогистики // OSTIS. 2012.

11. Сметанин Ю.М. Вероятностная логика и ортогональный базис силлогистики // OSTIS. 2012.

12. Кулик Б.А. Логические основы здравого смысла / под ред. Д.А. Поспелова. СПб.: Политехника, 1997. 131 с.

13. Кулик Б.А., Зуенко А.А., Фридман А.Я. Алгебраический подход к интеллектуальной обработке данных и знаний. СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2010. 235 с.

14. Горбатов В.А. Теория частично упорядоченных систем. М.: Сов. радио, 1976. 336 с.

15. Брусенцов Н.П. Искусство достоверного рассуждения. Неформальная реконструкция аристотелевой силлогистики и булевой математики мысли. М.: Фонд «Новое тысячелетие», 1998.

16. Nilson N.J. Probabilistic Logic // Artificial Intelligense. 1986. №28. Р. 71-87.

17. Тулупьев А.Л., Николенко С.И., Сироткин А.В. Байесовские сети: Логико-вероятностный подход. СПб.: Наука, 2006. 607 с.

18. Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект: современный подход. 2-е изд. / пер. с англ. М.: Изд. дом «Вильямс», 2006. 1408 с.

19. Соложенцев Е.Д. Управление риском и эффективностью в экономике. Логико-вероятностный подход. СПб., 2009. 242с.

20. Соложенцев Е.Д. Сценарное логико-вероятностное управление риском в бизнесе и технике. СПб.: Изд. дом «Бизнес-пресса», 2004.

21. Лебедев Н.Ю, Соложенцев Е.Д. Логико-вероятностные модели риска неуспеха менеджмента // Управление финансовыми рисками. 2006. №1. С. 96-104.

Поступила в редакцию 25.05.12

Yu.M. Smetanin

Logical - and-probabilistic model to calculate the risk of the failure of management on the basis of orthogonal basis of of syllogistics

In this paper, we consider the algebra of random events and its interpretation in a non-degenerate Boolean algebra on the basis of sets. It is shown that the classical use of the concepts of logic and probability is quite compatible with the engineering logical -and- probabilistic estimate and probabilistic logic, the beginning of which goes back to classical works in the field of artificial intelligence. It is shown that some of the most labour-wide tasks can be solved with the help of the proposed logical description and accurate interpretation.

Keywords: algebraic system, the calculation of constituent sets, probability, orthogonaline basis of syllogistic.

Сметанин Юрий Михайлович,

кандидат физико-математических наук, доцент

ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»,

Институт экономики и управления

426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4) E-mail: [email protected]

Smetanin Yu.M., candidate of physics and mathematics, associate professor Udmurt State University

426034, Russia, Izhevsk, Universitetskaya st., 1/4 E-mail: [email protected]