Таблицы решений и ортогонализация объектов алгебры кортежей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКОНОМИКА И ПРАВО

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 334:004(045)

Ю.М. Сметанин

ТАБЛИЦЫ РЕШЕНИЙ И ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ОБЪЕКТОВ АЛГЕБРЫ КОРТЕЖЕЙ

Предлагается способ моделирования рассуждений о предметной области деятельности (декларативной компоненты модели предметной области) на базе ортогонального базиса силлогистики и множеств, задаваемых в алгебре кортежей. При этом императивная компонента моделируется в форме взаимодействующих автоматов над памятью, описываемой объектами алгебры кортежей. Работа продолжает цикл наших публикаций, посвященных реинжинирингу бизнес-процессов и проектированию деятельности [3-5].

Ключевые слова: таблица решений, бизнес-процессы, автомат, автоматное проектирование, моделирование.

Главным способом действий в любом творческом процессе является спиралевидный целесообразный процесс накопления и верификации знаний в цикле перехода от оригинала к модели, исследования модели и получения новых знаний, переноса полученных знаний на оригинал, постановки новой цели и повторения цикла. При проектировании деятельности, например бизнес-процесса (ВР), его описание можно вести на трех уровнях:

- «черный ящик» - описывается реакциями «вход - выход» и спецификацией внешних событий и диалоговых состояний, вызываемых внешними событиями;

- «серый ящик» - ВР описывается как система управляющего и операционного автоматов [4; 5] и их функциональная декомпозиция. Здесь уже необходима спецификация внутренних событий и соответствующая их наступлению схема переключения режимов функционирования;

- «белый ящик» - осуществляется наполнение функциональных структур исполнителями предметных и интерфейсных библиотек стандартизованных процедур целостных (единиц) деятельности, составление управляющих спецификаций - таблиц управления для управляющих автоматов, описывающих процессы функционирования ВР.

Второй и третий уровень названы ниже К- и А- сценариями. Сценарий - это способ достижения поставленных целей с учетом ограничений окружающей среды и внутренних и внешних факторов влияния. Существуют два взаимодополняющих подхода к моделированию: процессо-

ориентированный и объектно-ориентированный. Более того, эффективное моделирование ВР может быть осуществлено на основе их интеграции. Сначала строится процессо-ориентированная концептуальная модель. При этом модель поведения ВР строится путем выстраивания и анализа сценария работы ВР на двух уровнях. Сценарий первого уровня является рамочным, он дает лишь общее (не загроможденное деталями) представление о ВР. Он удобен по форме представления и терминологии для специалистов предметной области. С другой стороны, он должен нести достаточно информации для проведения предварительной формальной проверки корректности исходных знаний о поведении ВР. Он назван нами концептуальным (К-сценарием). Можно назвать К-сценарий также концептуальной моделью ВР. Такой сценарий не исходит из архитектуры системы, а является ее прообразом. Таким образом, К-сценарий - это процессо-ориентированная концептуальная модель деятельности (функционирования) ВР. Вторичным по отношению к нему является сценарий создания (сборки, инжиниринга) либо перестройки (реинжиниринга). Он основан на выделении внешних и внутренних единиц деятельности и, по необходимости, является формализованным, объектно-ориентированным, автоматным (формально-алгоритмическим). Этот сценарий будем называть А-сценарием. Факторы, цели и характеризующие степень их достижения показатели в совокупности образуют «память», состояние которой характеризует состояние моделируемой системы. Таблицы решений являются средством для формализованного описания деятельности. В работе [4] даны основные определения и классификация таблиц. Непротиворечивая и однозначно реализуемая целенаправленная деятельность описывается логически полными, совершенными таблицами (комплексами таблиц), у которых все непротиворечивые ситуации сопоставлены с решениями и в состав правил принятия решений входят непересекающиеся попарно множества ситуаций. В работе [5] показано, что при описании последовательных взаимодействующих процессов в автоматной форме удобнее всего состояния автомата задавать как таблицу решений с расширенными входами, в качестве которых выступают объекты алгебры кортежей. Алгебра кортежей (АК) - это разработанная Б.А. Куликом математическая система

2010. Вып. 4 ЭКОНОМИКА И ПРАВО

для моделирования и анализа многоместных отношений, но в отличие от реляционной алгебры, применяющейся для формализации БД, в ней можно использовать все известные средства логического моделирования и анализа систем, входящие в математическую логику. В основе АК использованы известные свойства декартова (прямого) произведения множеств, которые, как показали исследования [1; 2], соответствуют основополагающим законам математической логики.

Алгебра кортежей - это алгебраическая система, носителем которой является произвольная совокупность многоместных отношений, выраженных в специфических структурах (элементарный кортеж, С-кортеж, С-система, D-кортеж, D-система), называемых АК-объектами. Она изоморфна алгебре множеств. Поэтому в ней выполняются все операции и проверяются все соотношения алгебры множеств. Кроме того, в состав операций АК, имеющих аналоги в реляционной алгебре и алгебре множеств, добавлены четыре операции с атрибутами: 1) переименование атрибутов; 2) перестановка атрибутов; 3) добавление нового фиктивного атрибута (+А^); 4) элиминация атрибута из АК-объекта (-А1т). С помощью АК-объектов моделируются произвольные многоместные отношения и устанавливается, если в этом есть необходимость, взаимосвязь отношений с формулами и законами математической логики. Известно, что система отношений, построенных как система подмножеств одного декартова произведения, изоморфна алгебре множеств. Предусмотренные операции с атрибутами позволяют распространить законы алгебры множеств на системы отношений, являющихся подмножествами разных декартовых произведений. В основе АК лежит понятие гибкого универсума. Пусть задана некоторая совокупность различных множеств, называемых сортами. Каждому сорту приписывается атрибут. Определен домен каждого атрибута. В математической логике доменам атрибутов соответствуют области определения переменных, в информационных системах - шкалы признаков. Гибкий универсум состоит из некоторой совокупности частных универсумов - декартовых произведений доменов для заданной последовательности атрибутов. Последовательность имен атрибутов, определяющих данный частный универсум, называется схемой отношения. АК-объекты, сформированные в одной и той же схеме отношения, называются однотипными.

Операции и соотношения между множествами, задаваемыми АК-объектами, определены в работах [1; 2] исходя из соотношения ^ и выражаются с помощью не ортогональной системы множеств, хотя в диссертации [1] приведены способы ортогонализации. Как показано в работе, ортогональный базис силлогистики позволяет устранить неоднозначность базовых суждений и снять неоднозначность отношения ^ [5]. Использование ортогонального базиса, как показано в данной работе, позволяет разработать более эффективные алгоритмы для выполнения основных операций АК и проверки базовых соотношений между множествами, составленными из АК-объектов. Напомним коротко результаты работы [3] в которой был введен ортогональный базис силлогистики в форме следующих суждений (функторов):

1) А(Х,У) - все X есть У в смысле X ^ У (общеутвердительное суждение);

2) Eq(X, У) - множество X совпадает с множеством Y;

3) Е(Х, У) - ни один элемент множества X не является элементом множества Y (все X не есть Y). Это общеотрицательное суждение может быть выражено через общеутвердительные А(X, У) или

А (У, X);

4) Ю^У) - (некоторые X есть Y) и (некоторые X не есть Y) и (X объединенное с Y не есть универсум)

5) Ю2(X, У) - (некоторые X есть Y) и (некоторые X не есть Y) и (X объединенное с Y совпадает с универсумом). Это суждение можно выразить как А(XУ) или А(УX). Таким образом, в качестве базиса можно использовать только три функтора: А(ХУ), Eq(X,Y), Ю1(К,У). Далее Ю1(К,У) обозначается как Ю(К,У) Как показано в работе [3], использование ортогонального базиса исключает подмену терминов и неоднозначное толкование посылок. Основные термины - это всегда некоторые множества в заданном универсуме. В полисиллогизмах этим множествам приписываются некоторые свойства. При этом подразумевается, что эти свойства однозначно привязаны к имени множества. Чаще всего в исходных посылках имена определяют одно свойство, однако неявно подразумевается, что множества, обладающие определенным в имени свойством, могут обладать и свойствами других множеств или их подмножеств. Указание на то, что множество может обладать свойствами других мно-

Таблицы решений и ортогонализация объектов алгебры кортежей ЭКОНОМИКА И ПРАВО

жеств, задается явно в посылках с помощью суждений выбранного базиса. В работе [5] проведена формализация А-сценария в терминах алгебры кортежей и таблиц решений.

В работе [4] таблица решений с расширенным входом определена как упорядоченный список правил (продукций). В работе [5] показано, что множество состояний, являющихся предусловием правила-продукции, состоящее из списка подмножеств доменов значений управляющих переменных, является, по сути, АК-объектом.

Далее будем обозначать предусловие правила Ri как Ci, а упорядоченный набор действий с параметрами - NDi, тогда таблицу можно записать в виде скобочной структуры.

TR=((C1, ND1), (C2, ND2), ..., (Cn, NDn)).

Рассмотрим расширенные Жергонновы отношения, и их дополнение введенные в работе [3].

G9 G13 G15 G11 G14 G7 Ge

Y

Рис. 1. Расширенные Жергонновы отношения Ge G4 G2 Gi G10 G5 G12 G3

Рис 2. Дополнение расширенных Жергонновых отношений

Остальные возможные соотношения для пустых и совпадающих с универсумом множеств X и

Y показаны на рис. 3

Они определены в одномерном частном универсуме и. Рассмотрим эти отношения в двумерном частном универсуме и1 х и2 (см. табл. 1).

Таблица 1

Отношения включения и равенства в двумерном универсуме

Кп Соотн. между A и С Соотн. между A и С Соотн. между [A,C] и [B,D].

1 Eq(A,B) Eq(C,D) Eq([A,C], [B,D])

2 Eq(A,B) A(C,D) A([A,C], [B,D])

3 A(A,B) Eq(C,D) A([A,C], [B,D])

4 Eq(A,B) IO(C,D) IO([A,C], [B,D])

5 IO(A,B) Eq(C,D) IO([A,C], [B,D])

6 A(A,B) A(C,D) A([A,C], [B,D])

7 A(A,B) IO(C,D) IO([A,C], [B,D])

8 IO(A,B) A(C,D) IO([A,C], [B,D])

9 IO(A,B) IO(C,D) IO([A,C], [B,D])

В табл. 1 принято, что А, В ^ и1; С, D ^ и2. В ней приведены различные варианты сочетаний

суждений ортогонального базиса для пар А,В и С^ и соответствующее этому сочетанию соотношение между С-кортежами [А,С] и [В^]. В справедливости соотношений в третьем столбце табл. 1 можно убедиться непосредственной проверкой. На основании табл. 1 возможно рассмотреть различные варианты соотношений G9 , G13, G15, G11, G14, G7, G6 между парами Xl,X2, и Yl,Y2 и соответствующие им отношения между С-кортежами и ^^2], выраженные в ортогональном базисе.

Они устанавливаются на основе соотношений, задаваемых в табл. 1.

2010. Вып. 4 ЭКОНОМИКА И ПРАВО

Таким образом, табл. 2 дает возможность установить отношения между декартовыми произведениями множеств на основе соотношений между соответствующими компонентами сомножителей. Рассмотрим под тем же углом зрения операции дополнения, сложения и умножения для двумерного частного универсума. Выражения данных операций производятся с помощью непересекающихся множеств, что очень важно с вычислительной и прикладной точек зрения [1].

1. Операция дополнения до универсума, выраженная в алгебре кортежей

Г X' *"

[ X, Y ]' =[ X ',*] + [ X, Y ']= , здесь X с и„ Y с и2.

2. Операция объединения (сложения) двух множеств

[X,,!;]+[X2,Y2] = [XI • X2,Y2] + [X, • X2,Y¡ + YJ] + ГX, • X„Y¡].

3. Операция пересечения (умножения) двух множеств

[X,,Y¡]•[*„YJ] = [X1 • X2,11 • Y2] , здесь X,,X2 с{/„^,Yг си2.

Справедливость формул, выражающих эти операции через операции над компонентами сомножителей декартова произведения, следует из нижеприведенных рисунков. Напомним, что * означает множество, равное соответствующему домену [1; 2].

------------ Х1

----------- Х2

Формулы для двумерного случая можно обобщить на случай 3- и более мерных множеств. Полученные результаты позволяют унифицировано представлять императивную и декларативную компоненты знаний в информационно-логических системах и при проектировании сложносоставной деятельности.

Таблица 2

Представление соотношений между двумерными множествами на основе соотношений между их компонентами

G6 G7 G9 G11 G13 G14 G15

Eq(X1,X’2) А^’^) ЕКХЛ) A(X’l,X’2) A(Xl,X2) A(Xl,X’2) Ю(Xl,X2)

G6 ЕКУь^) Eq А Eq А А Eq ю

(К,^], ([X’l,Yl], (К,^], ([Уь^], ([Xl,Yl], ([Xl,Yl], ([Xl,Yl],

[X’2,Y’2]) [X’2,Y’2]) [X’2,Y’2]) [X2,Y’2])

G7 А^’^) А А А А А А Ю

(КД’а ([X’l,Y’l], ([Xl,Y’l], ([X’l,Y’l], (К/П], (К^], ([Xl,Y’l],

^’Л]) ^Л]) ^Л]) [X’2,Y’2]) [X2,Y2]) [X’2,Y2]) ^Л])

G9 ЕяСВД) Eq А Eq А ([X’l,Yl], А А Ю

(К,^], ([X’l,Yl], (К,^], [X’2,Y2]) (К,^], ([Xl,Yl], ([Xl,Yl],

[Х’Л]) ^’Л]) ГСъЪ]) [X2,Y2]) ^’Л]) [X2,Y2])

G11 С’ к >н < А А А А Eq А ([Xl,Y’l], Ю

([Xl,Y’l], ([X’l,Y’l], (К/П], ([X’l,Y’l], (К/П], [X’2,Y’2]) «ад’а

[X’2,Y’2]) [X’2,Y’2]) [X2,Y’2]) [X2,Y’2])

G13 А А А А А А ю

([Хь^], ([X’l,Yl], ([Xl,Yl], ([Уь^], ([Xl,Yl], ([М], ([Xl,Yl],

^’Л]) ^Л]) [X2,Y2]) [X’2,Y2]) [X2,Y2]) [X’2,Y2]) [X2,Y2])

G14 А^Д^) А А А А А А Ю

(К,^], ([X’l,Yl], ([Xl,Yl], ([Уь^], (К,^], ([Xl,Yl], ([Xl,Yl],

[X’2,Y’2]) 1X2^2]) [X’2,Y’2]) [X’2,Y’2]) [X2,Y’2])

G15 ЮСВД) Ю ю Ю Ю Ю Ю Ю

(К,^], ([X’l,Yl], ([Xl,Yl], ([Уь^], ([Xl,Yl], ([Xl,Yl], ([Xl,Yl],

^’Л]) ^Л]) [X’2,Y2]) [X2,Y2]) [X’2,Y2]) ^Л])

2010. Вып. 4 ЭКОНОМИКА И ПРАВО

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кулик Б.А. Логический анализ систем на основе алгебраического подхода: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. СПб., 2008.

2. Кулик Б.А. Логические основы здравого смысла / под ред. Д.А. Поспелова. СПб.: Политехника, 1997. 131 с.

3. Сметанин Ю.М. Ортогональный базис силлогистики // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 4. С .155-166.

4. Сметанин Ю.М. Таблицы решений как частный случай продукционных систем и их применение для фиксации принципа действия и ООД при обучении экономистов // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Экономика и право. 2009. Вып. 1. С. 85-96.

5. Сметанин Ю.М., Сметанина Е.Ю., Бусоргин А.В. Таблицы решений и автоматное моделирование бизнес-процессов // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Экономика и право. 2009. Вып. 2. С. 126-143.

Поступила в редакцию 10.09.10

Yu.M. Smetanin

Decision matrices and orthogonalization of tuple algebra objects

The author presents the method of argument modeling about the object domain of activity (declarative component of the object domain model) based on the orthogonal basis of syllogistics and sets, specified in tuple algebra. At that, imperative component is modeled in the form of interacting automations over memory described by the objects of tuple algebra. The work continues our series of published works devoted to reengineering of business processes and design of activity [3-5].

Keywords: decision matrix, business processes, automation, automation design, modeling.

Сметанин Юрий Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент Институт экономики и управления ГОУВПО «УдГУ»

426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4)

Smetanin Yu.M., candidate of physical and mathematical sciences, associate professor Institute of Economics and Management GOUVPO « Udmurt State University» 462034, Russia, Izhevsk, Universitetskaya str., 1/4