Вероятностное логическое понятие Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.676

В.Г. Василевский ВЕРОЯТНОСТНОЕ ЛОГИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ

Описано исследование подходов к моделированию процесса рассуждения и поиск фундаментальных средств для его реализации. Представлен процесс рассуждения, основополагающей частью которого является интерпретация содержания логических понятий. Изучается моделирование содержания понятий и их интерпретация из плотности вероятности. Предложено воссоздание модели содержания понятия путём обобщения сведений по средствам восстановления плотности вероятности. Описана интерпретация плотности вероятности в оценку отношения объекта и понятия.

Имитация процесса рассуждения, интерпретация понятия, моделирование содержания, плотность вероятности

V.G. Vasilevskiy A PROBABILISTIC LOGICAL CONCEPT

A research into approaches to the simulation of reasoning, and a search of the fundamental techniques for its implementation are described. The process of reasoning as a fundamental part to interpretation of the content of logical concepts is presented. Simulation of the content of concepts and their interpretation in terms of the probability density is under study. A reconstruction of the model to the content of a concept by synthesizing the data using the restoration of density probability technique is offered. Interpretation of the probability density in the assessment of the object and concept relation is described.

Imitation of process of a reasoning, interpretation of concept, modeling of the contents, probability density

Введение

Существует предположение, что любые рассуждения должны строиться в соответствии некоторыми правилами и законами, что в результате позволит всегда получать правильные выводы, пригодные для практического применения. Некоторые специалисты допускают возможность существования подхода к математическому моделированию, позволяющего реализацию искусственных средств имитации рассуждений. Но данная точка зрения на сегодняшний день не подтверждается и не опровергается имеющимися результатами. Именно это заставляет продолжать научные поиски в направлении имитационного моделирования процесса рассуждения, которое бы позволило решить эти и многие сопутствующие проблемы. Исследование структуры процесса рассуждений и поиск фундаментальных средств для его осуществления связанны с потребностью в решении ряда актуальных задач, таких как: распознавание образов, моделирование искусственных субъектов, проектирование систем поддержки принятия решений и многих других.

Предположительно, основой моделирования рассуждения может стать математическая реализация интерпретации (или истолкования) содержания понятий. В соответствии с ней может формироваться модель содержания, которая представляется под некоторым именем понятия. Саму интерпретацию может осуществлять математический интерпретатор, функции которого в естественной среде выполняет субъект. В таком случае интерпретация или толкование представляются фундаментальным средством для осуществления моделирования рассуждения, от неё зависит весь вывод, все правила и законы.

В контексте поставленной задачи стоит разделять явление естественного субъективного восприятия и рассуждения и попытку математической имитации этого процесса. То есть целью исследования нового подхода к моделированию является построение решения для существующих концепций и схем рассуждений. При этом отсутствует цель обогащения абстрактных общефилософских знаний о методах познания и размышления. Такие обстоятельства вводят необходимость использовать строгий конструктивный подход и минимум абстракции, чтобы все перечисленные действия были реализуемы, в том числе, на вычислительной технике. Это вынуждает прибегнуть к конструктивным концепциям, что выражается в применении таких базовых терминов и средств, как конструктивный объект [1], набор, данные и алгоритм [1, 2], на основе которых моделируется решение поставленной задачи.

Одним из направлений математики, существенно преуспевшим в области реализации средств для обработки массы исходных сведений и их статистического анализа, является теория вероятностей. Некоторые элементы этой теории могли бы лечь в основу интерпретации. Однако для утверждения в роли интерпретатора необходимо провести сопоставление возможностей элементов теории вероятностей с потребностями в интерпретации и толковании понятий.

Очевидно, что интерпретатор, основанный на применении элементов теории вероятности, мог бы адекватно применяться только в рамках применимости этой теории, то есть исходные данные должны соответствовать характеристикам вероятностного процесса. Чаще всего проблема может возникнуть с использованием в хаотических системах, которые считаются в чем-то похожими на вероятностные, но в целом сильно отличаются от них [3]. Некоторые хаотические процессы можно распознать на этапе предварительной обработки исходных данных и применять соответствующие методы [4].

Классическая и нечёткая интерпретации содержания логических понятий

Интерпретация логического понятия, осуществляемая экспертом при оценке отношения реальных объектов к понятиям, представляет собой весьма неоднозначное действие. Эксперт сам для себя решает, как лучше поступить. При этом встречаются случаи, когда не ясными остаются и содержание понятия, и методы интерпретации, и суть оценки отношения объекта к понятию. Прежде чем представить подходы к моделированию интерпретации, претендующие на фундаментальность и дальнейшее развитие, необходимо описать общую схему существующей интерпретации содержания понятия и обстоятельства её проявления.

Обозначим понятие как пару <к, С>, где к - наименование понятия, С - содержание понятия. Содержание понятия представляет собой описание, которое можно интерпретировать в оценку отношения объекта и понятия х п к. Содержание понятия задаётся дефиницией, в которой обязательно должны быть учтены особенности интерпретации содержания, чтобы оно адекватно использовалось и могло бы дать результаты, соответствующие ожидаемым.

Объекты х относятся к различным понятиям к. Отношение объекта и понятия х п к играет важную роль в практическом применении рассуждений. Субъект соотносит новый объект с понятия-

ми, содержание которых ему известно, и только потом делает выводы и принимает решения, уже на основе отношений, определённых на самих понятиях.

Отношение х п к оценивается некоторым набором величин, которые называются оценкой отношения х п к. Таким образом, оценка отношения объекта и понятия имеет важную прикладную ценность. Также с её помощью можно узнать объем понятия.

Объем понятия - всевозможные объекты, оценка отношения которых к понятию больше некоторого порогового значения р. Объем может быть выражен в виде ряда пар <объект х, оценка х п к>. При р = 0 имеем полный набор оценок объёма.

Объем понятия зависит от оценки х п к, которая зависит от интерпретации содержания. Таким образом, объем понятия зависит от его содержания. Согласно закону обратного отношения объёма и содержания понятия, увеличение или усложнение содержания понятия уменьшает его объем, а увеличение объёма понятия уменьшает или упрощает его содержание [5, с. 397]. Предположительно, при использовании исследуемых подходов к моделированию содержания закон должен выполняться.

На рис. 1 изображено представление понятия в виде двух пересекающихся блоков: содержания и объёма. Содержание может быть интерпретировано в оценку отношения объекта и понятия, на основе которого может быть установлен его объём.

Рис. 1. Представление понятия в виде двух пересекающихся блоков: объёма и содержания, интерпретация последнего в оценку отношения объекта и понятия, установление объёма по полученной оценке

В классической и нечёткой интерпретациях отношение объекта рассуждения и понятия задаётся самим субъектом рассуждения, оценивается критерием принадлежность и обозначается знаком «е» (х е к). Эксперт руководствуется некоторым описанием и опытом, которые интерпретирует в оценку отношения. Нечёткая обозначает, что отношение принадлежности оценивается диапазоном значений от 0 до 1; классическая - только двумя значениями: 0, 1. Для решения задач повторяющихся на одном и том же универсуме могут использоваться заранее собранные экспертные сведения оценки такого отношения.

Оценка в диапазоне от 0 до 1 связана с неопределённостью содержания используемых понятий. Так, например, температура измеряется по строго определённой шкале, но несмотря на это, понятия тёплый, горячий, холодный оценить с достаточной точностью не удаётся. То есть неопределённость связана не столько с самими объектами, сколько с отсутствием чёткого представления содержания, и как такового способа его интерпретации. Все опирается на субъективное мнение эксперта, на его способность понимать и интерпретировать содержание.

Определение содержания понятия называется дефиницией.

«Определение, дефиниция (от лат. definitio), указание или объяснение значения (смысла) термина и (или) объёма (содержания) выражаемого данным термином понятия; этот термин (понятие) называется определяемым (лат. defmiendum, сокращенно Dfd), а совокупность действий (слов), осуществляющих его Определение (объяснение значения), - определяющим (лат. definiens, сокращение Б£п). Dfd Определение (объяснение значения) всегда является словом (термином, именем понятия). Б£п же может быть как словом, так и некоторым конкретным, совершенно реальным предметом - и в

этом последнем случае Определение (объяснение значения) состоит в указании на этот предмет в самом буквальном смысле, например жестом или каким-либо другим способом «предъявления» этого предмета. Такие Определения (объяснение значения), по самой сути несущие информацию лишь об объёме (или даже части объёма) определяемого понятия, называются остенсивными. Они играют важную роль в процессе познания и в повседневной практике: именно с их помощью происходит то «первоначальное накопление» понятий, без которого было бы вообще невозможно познание», - говориться о дефиниции в Большой Советской энциклопедии [6].

Дефиниция зависит от способа интерпретации, так как полученное в результате дефиниции содержание понятия, в первую очередь, должно быть правильно истолковано. Дефиниция содержания остенсивного понятия может быть представлена в виде соответствия по некоторым указателям на объекты. Таким образом, содержание остенсивного понятия задаётся через его объём, но сам объём этого понятия также оценивается на основании интерпретации содержания, как и объём любого другого понятия.

Обобщение можно назвать частным случаем дефиниции, так как с его помощью объясняется содержание. Понятие может быть определено как обобщение содержания некоторых других понятий. С другой стороны, понятие может быть определено как обобщение сведений о нескольких объектах, но не так, как в остенсивной дефиниции, а путём отображения сводных характеристик этих объектов в содержание.

Моделирование вероятностного содержания

Известен метод оценки высказывания, основанный на вероятности его истинности. Он представлен в вероятностной логике [7]. Такой подход позволяет нам рассуждать по средствам построения из простых высказываний более сложных и делать выводы. Однако структура простого высказывания остаётся не ясной. При этом в нечёткой логике структура высказывания очень точно разбирается и моделируется на основании используемых в нём понятий, модель которых представляется функцией принадлежности, и операций над ними, определённых на значениях этой принадлежности. В связи с этим возникает необходимость такой же последовательной реализации в случае использования средства теории вероятностей, иначе её применение может оказаться недостаточно конструктивным и, следовательно, недостаточно эффективным.

Вероятность имеет несколько различных объяснений. С учётом необходимости процедуры обобщения исходных данных для более точного имитирования индуктивной составляющей посредством элементов теории вероятностей наибольший интерес представляет использование частотной вероятности, предложенной Р. Мизесом [8]. При этом допустимо, что в рамках решения некоторой конкретной задачи эксперт может применять то объяснение вероятности, которое будет соответствовать стоящим перед ним целям.

Использование вероятности как модели содержания понятия позволяет дать оценку отношения подмножества объектов и понятия. Это могло бы решить некоторые задачи логики, но в общем случае все же не соответствует привычному способу применения её правил и законов. Это связано с тем, что вероятность определена на подмножествах, и, несмотря на возможность получить значение от подмножества, состоящего всего из одного элемента, это все же не то же самое, что операция, определённая на объектах, принимающая на входе отдельный элемент. А именно такое отношение между объектом и понятием является фундаментальным, на основе него строятся последующие рассуждения. По этой причине для дальнейшего моделирования рассмотрим не саму вероятность, а плотность вероятности как модель содержания понятия, которую будем интерпретировать в оценку отношения объекта и понятия.

Перейти от накопленных сведений к плотности вероятности можно с помощью восстановления функции плотности вероятности [9]. Таким образом, происходит попытка воссоздать модель содержание понятия по его объём, то есть попытка реализовать обратную процедуру: не оценить объём по содержанию, а по объёму установить содержание (на сколько это возможно). Стоит учитывать, что в результате получается модель вероятностного содержания - понятие, которое может не совсем соответствовать ожидаемому, так как на неё накладываются особенности моделирования вероятностного содержания и его интерпретации.

В этом случае модель содержания понятия представляет собой плотность вероятности, обобщение сведений - восстановление функции плотности вероятности, а интерпретация вероятностного содержания - операции над значениями этой функции, в том числе оценку отношения объекта и понятия.

В логике также возможны так называемые первичные термины, которые определяются, соответственно, первичными утверждениями или аксиомами [10]. Подобно этому у экспертов, использующих представленный подход к моделированию, есть возможность задать модель вероятностного содержания

на своё усмотрение, как априорную плотность вероятности. Именно поэтому трактовку термина «вероятность» эксперт может задавать на своё усмотрение, а при возможности достижения большей результативности - даже совмещать различные вероятностные концепции.

Моделирование содержания путём обобщения и его интерпретация

Предположим, что исходные данные представляют собой:

— ряд пар <х, уъ> представляющих объекты (х - неповторяющиеся имена,уъ = <у1, у2, ...,уп> -набор величин, соответствующих некоторым измерениям объектов <71, У2, ..., У„>);

— набор неповторяющихся имён понятий к;

— ряд неповторяющихся пар <х, к>, относящих объект х к понятию к.

На рис. 2 изображена схема исходных данных с комментариями, построенная по принципу реляционных таблиц. Таблица объектов <х, уъ>, таблица имен понятий к, таблица отношений объектов и понятий <х, к>, связанная с таблицей объектов и таблицей понятий.

Элементы

X

У] уа1ие_1

У 2 уа1ие_2

Уп уа1ие_п

Понятия

к

<ос, к>

х_1с1

к [а

Рис. 2. Схема исходных данных

Один объект х может быть отнесён к нескольким понятиям к. Из исходных данных по имени понятия к можно получить набор объектов х, отнесённых к нему, а по имени объекта х - набор понятий к. Можно строить более сложные запросы, которые будут возвращать объекты х, отнесённые сразу к нескольким понятиям к, или же отнесённые к одному, но не к другому.

Каждому х соответствует один набор зафиксированных за ним значений уъ. При этом возможен одинаковый набор уъ для нескольких разных х. Представление х через зафиксированные о нём значения вызывает неоднозначность, так как в общем случае по имеющемуся набору значений уъ нельзя с полной уверенностью сказать, о каком именно объекте х идёт речь.

Модель содержания понятия к воссоздаётся по средствам обобщения отнесённых к нему исходных объектов х и представляется в виде плотности вероятности, определённой на значениях уъ. Процесс обобщения реализуется восстановлением функции плотности вероятности. Такая модель интерпретируется в оценку отношения нового объекта хо и понятия к следующим образом: по уъо нового объекта х0 получаем значение плотности р(уъ0), которое было определено обобщением предварительно собранных сведений.

Рассмотрим пример обобщения исходных данных в модель вероятностного содержания и его интерпретацию в оценку. Предположим, что уъ = у(х), то есть зафиксированы сведения всего об одном измерении У. Рис. 3 иллюстрирует данный пример, на нём изображены:

— график у(х), объекты х расположены в порядке возрастания значений у,

— график плотности вероятности р(у),

— график плотности вероятности ру(х), как отображение плотности р(у) на объекты х.

Отношение, которое оценивается критерием плотности вероятности, обозначим символом

«й»: х й к, уъ й к. Оценка отношения х й к представляет собой отображение результата оценки уъ й к на объекты х.

Сумма интегралов плотностей вероятности отношения уъ к понятию к на всех измерениях по всей области определения, где учтены все понятия к, равна 1. Так задаётся область рассуждений и, которая представляет собой все участвующие в ней понятия. Вероятность отношения любого исходного объекта к области рассуждения и равна единице.

У

Ру

Рис. 3. График значений элементов у(х) в порядке возрастания у, график плотности р(у), график плотности ру(х) как отображение плотности р(у) на х

Заключение

Подход к интерпретации, реализованный посредством применения элементов теории вероятностей позволяет моделировать вероятностное содержание понятия: либо обобщённое из исходных сведений, либо заданное осведомлённым субъектом. Предполагается, что есть ряд достоверных сведений, в рамках которых происходит рассуждение, однако не отрицается возможность существования объектов, которые могут несколько менять толкование данного понятия. Это является особенностью применения элементов теории вероятностей для интерпретации.

Применение вероятностного содержания понятия и его интерпретация наиболее уместны в задачах, где уже собраны достаточно полные исходные сведения о рассматриваемых логических понятиях, которые можно было бы представить в вероятностном виде. К сожалению, не всегда возможно воспользоваться собранными сведениями в описанном контексте, так как некоторые объекты могут представлять собой такую конструкцию, которую невозможно описать в виде набора значений соответствующих измерений. Однако можно с уверенностью заявить, что там, где это возможно (где оправданно применение плотности вероятности и имитация рассуждений может дать ожидаемый результат), применение вероятностного содержания понятия будет уместным и весьма эффективным.

Плотность вероятности позволяет производить разграничение между понятиями. Однако при пересечении заданных моделей содержания понятий, объёмы которых не должны пересекаться, неизбежно будут возникать ошибки. В некоторых случаях это может быть связано с недостаточно хорошим выбором параметров модели, например набора измерений исходных объектов. Это ещё один вид неоднозначности и неопределённости наряду с неясным содержанием понятий. То есть не только понятия могут быть представлены неточно, но и объекты могут быть описаны тем набором величин, который оказался собран, и соответственно рассматривается на столько, насколько это позволяют собранные о них сведения. Это позволяет обрабатывать данные и предпринимать действия по минимизации ошибок даже в тех случаях, когда другие методы оказываются просто неприменимыми. Стоит учитывать, что такая гибкость провоцирует случаи явных противоречий, когда заведомо известно, что объект относится к одному понятию, а оценка отношения - к другому понятию, и при автоматизированном распознавании произойдёт ошибка.

Примечательно, что в рамках описанного подхода к моделированию содержания понятия появляется возможность реализовать такую операцию, как обобщение, которая является одной из разновидностей дефиниции. То есть при наличии собранных исходных сведений способ вероятностной интерпретации содержания позволяет определить понятие более конструктивно, не прибегая к помощи экспертов изучаемой области. Несмотря на то, что исходный набор все-таки задаётся экспертами многократным отнесением отдельных объектов к понятиям, можно предположить, что восстановление плотности вероятности все же объективнее, чем описание, основанное на безоговорочном доверии экспертному мнению. Применение плотности вероятности в процессе рассуждений стоит воспринимать как инструмент, который позволяет экспертам увеличить эффективность и точность, опираясь на вероятностную схему рассуждений. То есть описанный подход может облегчить работу людей, формализующих и обобщающих данные в логические понятия для дальнейшего использования в рассуждениях. Также сам процесс рассуждения становится более

ясным, что предполагает возможность более объективного решения конфликтных или противоречивых ситуаций.

В случаях, когда в качестве исходных данных выступают результаты работы математического вероятностного процесса, использование модели вероятностного содержания может быть ещё более объективно. Однако даже такое использование исходного набора для дефиниции понятия по средствам восстановления плотности вероятности порождает вопрос полноты исходных данных. Принять решение о её применении в том или ином виде может только эксперт. Это связанно с тем, что ожидаемый итог известен только ему, и только он может предполагать, что конструкция достаточно хороша для достижения поставленной им цели.

Ясность и конструктивность процесса, которая достигается применением элементов теории вероятностей к имитации рассуждений, не только означает уместность и приемлемость предложенного подхода к моделированию рассуждений, но и оказывает положительное влияние на решение проблемы моделирования процесса рассуждений в целом, причем исследование, описанное в статье, принципиально не касается абстрактных общефилософских суждений о логических методах интеллектуальной познавательной деятельности. Не привносится утверждений или замечаний о том, как субъект производит свои рассуждения, вместо этого за основу берутся принципы, уже описанные в логике, и известные примеры их математизации, а именно классическая и нечёткая интерпретации логических понятий.

Моделирование имитации процесса рассуждения остаётся актуальной задачей, так как ещё многое до конца не изучено. Так, например, актуальна тема - исследование более сложных, чем основанное на элементах теории вероятностей, чьё применение ограничивается вероятностными процессами, направлений моделирования. Одним из них является полностью конструктивный подход к имитации рассуждения, который предполагает не только собственную реализуемость, но и реализуемость процесса рассуждения для достижения правильных выводов, пригодных к применению, то есть моделирование явления, в некотором смысле схожего с языком, так как предполагается, что конструкция должна быть способна описать сама себя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Марков А. А. Избранные труды. Т. II. Теория алгоритмов и конструктивная математика, математическая логика, информатика и смежные вопросы / А. А. Марков. М.: Изд-во МЦНМО, 2003. 626 с.

2. Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов / А.А. Марков, Н.М. Нагорный. 2-е изд. М.: ФАЗИС, 1996.

3. Паркер Т.С, Чжуа Л.О. Введение в теорию хаотических систем для инженеров / Т.С. Паркер, Л.О. Чжуа // ТИИЭР, 1987. Т. 75. № 8. С. 6-40.

4. Автоматизация научных исследований систем с хаотическим поведением / Василевский В.Г., Лисицин А.Л., Гордиенко В.В., Ковтун Д.Р // Информационные системы Теория и практика. Курский государственный университет. Курск, 2013. С. 13-18

5. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник / Н.И. Кондаков. 2-е изд. М.: Наука, 1975.

6. Большая Советская энциклопедия. 3-е изд. М., 1974.

7. Философская Энциклопедия: в 5 т. / под ред. Ф.В. Константинова. М.: Сов. Энциклопедия, 1960-1970.

8. von Mises R. Mathematical Theory of Probability and Statistics / Richard von Mises. New York: Academic Press, 1964.

9. Schuster E.F. Estimation of a probability density function and its derivatives / E.F. Schuster // Ann. Math. Statist. 1969. V. 40. № 4. P.

10. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук: пер. с англ. / А. Тарский. М., 1948.

Василевский Валентин Германович -

аспирант кафедры программного обеспечения и администрирования информационных систем Курского государственного университета

Valentin G. Vasilevski -

Postgraduate

Department of Software

and of Information Systems Administration,

Kursk State University

Статья поступила в редакцию 20.01.15, принята к опубликованию 11.05.15