Вероятностные средства моделирования логических структур Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 004.8

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СРЕДСТВА МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ СТРУКТУР

© 2017 В.Г. Василевский

аспирант кафедры программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: vw17@mail.ru

Курский государственный университет

В статье описаны результаты логико-математического исследования средств моделирования рассуждений с привлечением элементов теории вероятностей. В рамках вероятностного подхода к моделированию рассуждений ставятся цели повышения конструктивности моделирования рассуждений и развития средств вероятностно-алгоритмического моделирования логических структур. Описываются особенности вероятностного формирования модели содержания понятия и предлагаются показатели для подбора конфигураций её интерпретации, неоднозначность и отчетливость, выявляющих обособляемость модели содержания понятия из модели области рассуждений. С опорой на представленные средства сформулирована вероятностная степень выраженности признака понятия, которая предназначена для обеспечения процедуры принятия решения по вероятностным моделям рассуждений. Рассматривается вероятностное осуществление основ логики естественных рассуждений.

Ключевые слова: вероятностный подход к моделированию рассуждений, вероятностные средства моделирования рассуждений, вероятностное оценивание, модель содержания понятия, неоднозначность, отчетливость, вероятностная степень выраженности признака понятия

Наука «Информатика» тесно связана с поддержкой интеллектуальной деятельности и её проблемами. Актуальными темами этого направления являются распознавание образов и классификация. Нормы и правила ведения самой интеллектуальной и мыслительной деятельности являются объектом многочисленных исследований в области логики. В её рамках разработан ряд схем и моделей рассуждений, позволяющих развивать мыслительный процесс и ограждать его от коллизий. В контексте стремления к обустройству информационно-интеллектуальной деятельности путём более обширного сближения процесса рассуждения с логическими рекомендациями проводится научная работа по развитию конструктивных средств моделирования с привлечением элементов теории вероятностей. Центральным тезисом является предположение о возможности получения пригодных для рассуждений вероятностных моделей содержания понятий. Цель исследования - проработать порядок развития рассуждений за счет оперирования вероятностными оценками, от восприятия многочисленных первичных частных соответствий, наполняющих объёмы понятий, до организации и воспроизведения логически-структурированных рассуждений.

Актуальность исследования средств и приёмов моделирования рассуждений заключается в востребованности повышения уровня продуктивности информационно-интеллектуальной деятельности за счет расширения и развитости схем и моделей рассуждений путем приумножения и совершенствования применяемых принципов и рекомендаций логики. Чтобы приблизиться к востребованному уровню и решить сопутствующие проблемы, проводятся исследования вероятностных приёмов и средств, результаты которых объединяются в вероятностном подходе к моделированию рассуждений (см.: [Василевский 2015]). Названный подход к моделированию рассуждений

построен на основе конструктивной алгоритмической концепции [Успенский, Семенов 1987; Марков, Нагорный 1996], а полученные в ходе исследований результаты следует отнести к продолжению конструктивного логического направления [Марков 2003].

Вероятностный подход к моделированию рассуждений обращен на выдерживание и осуществление норм и принципов логики средствами математического моделирования. Логика - фундаментальная наука, изучающая мыслительную деятельность и правильность ведения рассуждений, и предоставляющая в результате исследований рекомендации к ведению и развитию рассуждений. Логика позиционирует сосредоточивать внимание на мнении компетентных специалистов, как на единственно приемлемом способе логической интерпретации, и рекомендует выстраивать рассуждения вокруг них. Одной из первых логик, предложившей строгий способ выражения хода рассуждений и до сих пор остающейся актуальной в своём сегменте, была формальная логика. В её рамках предложено сосредоточивать ведение рассуждений на выводимости и на основе предлагаемых средств проверять непротиворечивость выводов, отслеживать сопутствующие выводимые ветвления рассуждений. Направленность на выводимость была продолжена в классической логике, вместе с тем в ней были предоставлены математические рекомендации и инструментарий, что позволило перейти к созданию математических моделей рассуждений.

Необходимость предопределения строгих формулировок, пригодных для применения аппарата классической логики, заостряла на себе внимание и подвигла к появлению многозначных логик, в том числе нечеткой логики. Нечеткая логика предлагает рекомендации к развитию рассуждений в нечетких, в отличие от классических, начальных условиях и предоставляет средства для выявления выводимых путей рассуждения с последующим приведением к строгим разграничениям и принятию высчитанного решения. Средства нечеткой логики позволяют строить рассуждения и делать выводы аналогично средствам классической логики, но не предразграничивая универсум на четкие составляющие, а выявляя необходимые понятийные границы в процессе рассуждения, исходя из превосходства степени принадлежности, определяемой экспертным мнением, и, таким образом, формировать и уточнять точку зрения рассуждающего.

Несмотря на развитие логических приёмов, позволяющих более гибко и эффективно подходить к рассуждениям и принятию решений, совершенствовать точку зрения рассуждающего, представлять опыт компетентных лиц в более исчерпывающей форме, полученные методы оказались не лишены недостатков. Так, для нечетких систем характерны следующие [Жданов, Караваев 2002]:

1) отсутствие стандартной методики конструирования нечетких систем;

2) невозможность математического анализа нечетких систем существующими

методами;

3) применение нечеткого подхода, в отличие от вероятностного подхода, не

приводит к повышению точности вычислений;

4) отсутствие адаптивности в реальном времени.

Вероятностный подход к моделированию рассуждений стремится не отставать от результативности устоявшихся логик и реализовывать их возможности [Василевский 2016]. Вместе с тем вероятностный подход открывает новые стороны применения элементов теории вероятностей в моделировании рассуждений и логике. Целью исследований является повышение конструктивности моделирования рассуждений за счет привлечения повышающих объективность и точность элементов теории вероятностей, известной развитым теоретическим и практическим арсеналом по сбору и агрегации сведений, который может быть использован для синтеза моделей содержания понятий и высказываний. Развиваемые средства нацелены дать

возможность лучше ориентироваться в обстоятельствах проводимых рассуждений, выявлять наличие/отсутствие определяющих понятийные разграничения условий и адекватнее реагировать на ситуацию, в которой воспроизводится рассуждение.

Вероятностная формализация выражения первичных частных соответствий

Вероятностный подход к моделированию рассуждений опирается на принцип интерпретации содержания понятий. В строгом контексте функцию интерпретатора выполняет центральный алгоритм, а понятие представляется в виде пары <имя K, модель содержания C>, где модель содержания C является конструктивным объектом и предназначается для интерпретации центральным алгоритмом. Объекты, участвующие в рассуждении, представляются упорядоченным набором <x, y1, y2, ..., yn>, где x - имя, однозначно идентифицирующее объект, а y1,y2, ...,yn - значения свойств-признаков объекта x, для краткости обозначаемые ys (ys = <y1,y2, ...,yn>). Набор осей <Y1, Y2, ..., Yn>, на которых определяются значения кортежа ys, формирует конфигурацию модели содержания.

В указанных вероятностных условиях интерпретации модели содержания важная роль отводится логико-математическому действию «вероятностное оценивание», проводимому на кортеже ys, с одной стороны, с моделью содержания, обозначаемой по имени отдельного понятия или по комбинированию нескольких - с другой. Результат вероятностного оценивания составленных в пару кортежа значений ys и модели K является наиболее показательным критерием интерпретации модели содержания (под моделью K понимается интерпретируемая в вероятностную оценку модель содержания C, соответствующая понятию K - CK). Вероятностная оценка характеризует степень относительного ожидаемого присутствия представителей x понятия K в обозначенной точке ys. Логико-математическое действие «вероятностное оценивание», проводимое на ys с моделью K, обозначается символом «û»: ys û K или <y1,y2, ...,yn> û K, ys(x) û K или <y1(x),y2(x), ...,yn(x)> û K. В результате проведения вероятностного оценивания «û» возвращается значение плотности вероятности: ys û K = pK(ys).

Важным условием моделирования является предустановка понятия и модели «область рассуждений U». Ни одно понятие, участвующее в рассуждении, не может выходить за пределы области рассуждений U. Без предустановки области рассуждений U моделирование недопустимо.

В рамках частотной концепции вероятностных мер [Mises 1964] подход к моделированию предполагает наличие базы данных с выделенным блоком для хранения достоверных сведений (в некоторых задачах - обучающей выборки). Блок достоверных сведений базы данных представляется в виде списка пар <объект x, понятие K>. По этим сведениям становится возможно формирование модели K, допускающей её строгую конструктивную интерпретацию, за счет просчитывания оценки функции плотности вероятности [Schuster 1969]. Среди практикуемых в рамках вероятностного подхода к моделированию рассуждений способов получения оценки функции плотности вероятности в основном непараметрические методы оценки плотности вероятности, в числе которых гистограммные методы и методы парзеновского окна. Возможность оценивать плотность вероятности на основе ранее собранных сведений играет ведущую роль в рамках строгого контекста моделирования рассуждений. В нестрогом контексте могут оказаться допустимы и другие способы получения значений плотности вероятности -например, реализация априорной функции или прямая экспертная оценка (субъект в роли интерпретатора).

В обозначенных обстоятельствах проводимой серии исследований набирает актуальность методологический вопрос формализации выражения первичных сведений, которое было бы сопряжено с вероятностным подходом или произведено в его рамках: «Каким образом представить первичные частные соответствия для вероятностной интерпретации?» В поисках ответа обращено внимание на проведение вероятностного оценивания у 0 К не на развернутом кортеже у$, а на одиночном имени объекта х: х 0 К. Особенность предложенной конфигурации в том, что она не предполагает полноценного вероятностного оценивания — её описание носит формальный характер, так как объект х и понятие К могут быть только составлены в пару, но не сопоставлены с произвольным значением вероятностной оценки; рассмотрение этой конфигурации имеет теоретический интерес. Назовём вероятностную оценку на х модели содержания понятия К «базовой» (х й К). Базовая оценка модели области рассуждения и имеет равномерное распределение по всем х. Это объясняется тем, что все объекты уникальны, равнозначны и рассматриваются в прямой идентифицирующей последовательности вдоль ряда натуральных чисел N. С этим сопряжён тот факт, что по умолчанию базовая оценка оказывается неявной, так как запись её значений в строках базы данных не предусмотрена. Отсюда берёт начало исследование формализационных возможностей вероятностных средств моделирования рассуждений: от простейшего приёма, позволяющего закреплять лишь первичные частные соответствия.

Искажение области рассуждений

Каждый объект х можно воспринимать как отдельное понятие. Разнообразие некоторой массы объектов-понятий в общем понятии К наполняет его объём содержательной нагрузкой, которая может быть задействована в обобщении.

Обобщение — логическая операция, разновидность дефиниции, предназначенная для дефиниций из нескольких обобщаемых понятий обобщенного понятия, в объём которого включены элементы объёмов всех обобщаемых понятий. В вероятностном подходе к моделированию в роли логического обобщения понятий выступает переинтерпретация модели содержания понятия с одиночного аргумента х на развернутый кортеж у$. Реализация этого действия и его совершенствование имеет особое значение, так как оно позволяет перейти от объёма понятия к модели его содержания и осуществить подбор приемлемой конфигурации его представления.

Каждый участвующий в рассуждении объект х является элементом объёма области рассуждений и. Смена области определения в ходе изменения конфигурации представления может привести к искажению области рассуждений. При этом могут появиться участки разрежённости или сгущения, и график вероятностной оценки на у$ модели области рассуждений и может значительно отличаться. На рисунке 1 изображается пример, иллюстрирующий связь между вероятностными оценками, определёнными на одиночном имени объекта х 0 К и на развернутом кортеже свойств-признаков у й К.

Рис. 1. Иллюстрация перехода от х й К к ys О К , где х выстроены вдоль натурального ряда N

в порядке убывания у(х)

Неоднозначность и отчетливость модели содержания Модель содержания понятия может иметь несколько конфигураций для интерпретации в вероятностную оценку. Некоторые конфигурации могут быть более предпочтительными для использования в рассуждении. Особое значение имеют конфигурации, в которых модель К обособлена из модели области рассуждений Ц. Именно конфигурации, в которых модель содержания понятия К сопоставляется с обособливающей секцией модели содержания области рассуждений Ц, делают процесс ведения более конструктивным - позволяют повысить объективность и точность ведения рассуждений. Подбор указанных конфигураций может производиться по двум показателям: неоднозначности и отчетливости. Неоднозначность ашЫ(у$, К) определяется в точке у и вычисляется по следующей формуле:

атЫ{у8, К) =

1 -\Рк-у5йК/у*йи\1Рк

уэ й К / уз й и < Рк

1 - \уБ й К/уз й и-Рк I / ( 1 - Рк: ) У8 С) К / ув й и > Рк

где РК - вероятность возникновения объекта х, относящегося к понятию К (в частотной концепции - доля элементов объёма понятия К в объёме области рассуждений Ц):

Рк = \п <У1, у2, ••., Уп > й Кйу1 ёу2 ... йуп .

Отчетливость Dist(ys, К) определяется как отношение интеграла разности единицы и неоднозначности ашЫ1(у5, К) по <йу1, ёу2, ..., ёуп> к гиперплощади участка интегрирования:

Dist(ys, К) = Dist(yl, у2, ..., уп, К) = £-1 \п 1 - ашЫ1(уь уъ ..., уп, К) ф йу2 ... йуп,

где £ - гиперплощадь участка интегрирования: для трёх измерений <у1, у2, у3> гиперплощадь участка - это объём, для каждой точки которого вычисляется неоднозначность; для двух измерений <у1, у2> гиперплощадь участка - это площадь; для одного измерения <у> - длина.

Пример формулы отчетливости Dist(ys, К) для одного измерения <у> и РК = 0,5:

je

Dist(y, K) = (ye - yb)'X i | 1 - 2 * y ü K / y ü U | dy

yb

при условии, что у й U> 0 на отрезке [уь,у,,].

Обнаружение отчетливой конфигурации модели содержания понятия К (конфигурации, для которой степень отчетливости модели К близка к единице) свидетельствует о присутствии различимых секций модели содержания области рассуждений и, обособляющих модель содержания понятия К, и тем самым о возможности конструктивного, и таким образом более объективного и точного, установления границ модели содержания понятия. В процессе моделирования понятийные границы могут быть определены как установкой статического условия, так и формированием алгоритмических средств для восстановления границ в процессе воспроизведения рассуждений.

Простейшее условие выделения секций преобладания понятия К в отчетливой конфигурации: РК < уя й К / уя й и.

Так выделяются те секции, на которых плотность рассматриваемого понятия К близка или равна плотности области рассуждений и, тогда как на всем остальном пространстве конфигурации она близка к или равна нулю.

В итоге при подборе конфигурации интерпретации моделей содержания понятий появляется конструктивный показательный ориентир моделирования: стремление к отчетливой конфигурации или, конкретнее, стремление к близкому к единице показателю отчетливости 01я1(уя, К).

Вероятностная степень выраженности признака понятия За счет выделения секций модели содержания области рассуждений и, обосабливающих модель содержания понятия К, можно перейти к обозначению признака понятия, который предназначается к использованию в процедуре принятия решений. В качестве основной характеристики предлагается вероятностная степень выраженности Ехрг(уя, К) признака понятия К набором параметров уя, вычисляемая по формуле Ехрг(уя, К) = уя й К /уя й и.

На рисунке 2 выделен график уя й К, полученный по отчетливой конфигурации модели содержания (сверху), и соответствующий график вероятностной степени выраженности признака понятия Ехрг(уя, К) (снизу).

Рис. 2. Графики уя й и, уя й М, уя й Ь и выделенный график уя й К, полученный по отчетливой конфигурации модели содержания (сверху), а также график соответствующей вероятностной степени выраженности признака понятия Ехрг(уя, К) (снизу)

Для построения признака сложного понятия могут использоваться операции комбинирования моделей содержания понятий. Так признак некоторого понятия может рассматриваться как признак понятия, модель содержания которого совмещена [Василевский 2016] из моделей нескольких других понятий: для К0 при ys О К0 = ys О К1 © К2 © ... © Кп будет Ехрг(уз, Ко) = Ехрг(уз, К © К2 © ... © Кп).

Средства вероятностного моделирования естественных рассуждений В основу математического моделирования и анализа естественных рассуждений могут быть положены логические структуры Эйлера (Е-структуры). Правилами вывода Е-структур являются правило контроппозиции и правило транзитивности [Кулик 2001 ].

В вероятностном подходе к моделированию рассуждений могут быть осуществлены принципы логики естественных рассуждений, и для воспроизведения Е-структур, используемых в основе логики естественных рассуждений, в моделях содержания понятий реализуется логическое «ограничение». Обозначим символом «с», что понятие К1 является ограничением понятия или равно понятию К2:

К с К2 .

Указать это через оценку вероятностных моделей содержания можно следующим выражением:

уз о к © К = 0.

Для указанной формулировки через оценку вероятностных моделей содержания выполняется правило контроппозиции: ПК2 является органичением пК1 :

К с к .

Соответственно, на вероятностных моделях содержания:

уз О ПК2 © ППК1 = 0.

Так как для операции «Исключение» выполняется закон исключенного третьего ППК = К , получим:

уз О К © К = 0, уз О К1 © К = 0. Из чего следует, что

К с к .

Также для уз О К1 © ПК2 = 0 свойственна транзитивность: если К1 с К2 и К2 с К3, то К1 с К3 . Соответственно, на вероятностных моделях содержания: если уз О К © ПК2 = 0 и уз О К2 © пК3 = 0, то уз О К1 © пК3 = 0. Преобразуем оба данных уравнения по формуле операции «Исключение» [Василевский 2016]: ГуБС: К,-у8йК, ®К: = 0

\ysfl К,-уел К:@Кг = 0 ,

{

у$ о К, = ув а К| © К2 ув А К2 = ув й К2 © К,

Сделаем подстановку из второго уравнения в первое: уз й К = уз й К1 © К2 © К3.

Согласно первому уравнению, оценка модели К1 на уз совпадает с оценкой модели К1 © К2 на уз, соответственно

уз й К1 = уз й К1 © К3.

Затем выполним обратную последовательность преобразований:

уз й К1 - уз й К1 © К3 = 0,

ys ü K1 ® K = 0, из чего следует, что Ki С Кз .

Таким образом, на основе отношения между понятиями K1 С K2 , реализованного на вероятностных моделях содержания через ys ü K1 @ nK2 = 0, можно строить E-структуры, лежащие в основе логики естественных рассуждений и, соответственно, воспроизводить рассуждения, опирающиеся на средства названной логики.

Итоги и заключение В работе исследовано применение элементов теории вероятностей в моделировании логических структур. Такое сочетание научных направлений привносит повышенную точность и объективность в моделирование рассуждений. Также теорией вероятностей предоставляются методы математического анализа вероятностных моделей и обеспечивается возможность адаптивности вероятностных моделей логических систем в реальном времени. В итоге проведенных исследований по привлечению элементов теории вероятностей в моделировании рассуждений были сформированы средства, покрывающие разные стороны и этапы моделирования рассуждений. Среди них вероятностная оценка первичных частных соответствий, средства вероятностного моделирования естественных рассуждений, а также средства для подбора обособляющих конфигураций интерпретации модели содержания понятия. Важным элементом последних стали показатели «неоднозначность» и «отчетливость». Эти показатели конфигурации интерпретации моделей содержания понятий сформулированы специальной, опирающейся на вероятностную оценку математической формулой. Математическая формулировка показателей осуществлена за счет особенностей вероятностной интерпретации моделей содержания понятий, среди которых особое место занимают «базовое» вероятностное оценивание, интерпретирующее первичное частное соответствие объектов и понятий, и конфигурационный переход, осуществляющий процедуру логического обобщения и связанный с искажением области рассуждений.

Переход от объёма понятия к вероятностному описанию содержания является фундаментальной прерогативой теории вероятностей. При этом в сами вероятностные меры вкладывается нечто большее, чем оценка, выражающая мнение субъекта и позволяющая применять инструменты моделирования последовательных непротиворечивых рассуждений. В вероятностные меры вкладывается особое прогностическое значение, утверждающее необходимость ожидания возвращения событий к прежним значениям и конфигурациям, и, следовательно, готовность принимать решения и распределить имеющиеся ресурсы в соответствии с изгибами вероятностной оценки.

Использование вероятностного оценивания не только обеспечивает дополнительные возможности моделирования рассуждений, среди которых конструктивное установление границ моделей содержания понятий и воспроизведение основ логики естественных рассуждений, но и делает возможным развитие процесса рассуждения, в котором привлечение логической оценки является не временной мерой, появляющейся на отдельном этапе, а существует постоянно и непринуждённо продолжает восприятие. При этом важно подчеркнуть размеренность перехода от объёма понятия к оперированию моделью его содержания, который за счет возможности двустороннего применения вероятностного оценивания «Q» удаётся реализовать без подмены способа интерпретации и привлекаемых средств моделирования.

Опираясь на вероятностные средства алгоритмического установления

понятийных границ, сформулирована вероятностная степень выраженности признаков понятий, которая предназначена для обеспечения процедуры принятия решений по вероятностным моделям рассуждений. Вместе с тем сформированы вероятностные средства моделирования осуществляющие основы логики естественных рассуждений. Тем самым открывается горизонт прикладного развития вероятностных моделей рассуждений в задачах автоматизированного принятия решений.

Библиографический список

Василевский В.Г. Вероятностное логическое понятие // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2015. № 79. С. 96-102

Василевский В.Г. Операции комбинирования вероятностных моделей содержания // AUDITORIUM. Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2016. №2(10). URL: auditorium.kursksu.ru/pdf/010-013.pdf (дата обращения: 28.10.2017).

Жданов А.А., Караваев М.В. Применение нечеткой логики в имитационной системе автономного адаптивного управления // Труды ИСП РАН. 2002. Т. 3.

Кулик Б.А. Логика естественных рассуждений. СПб.: Невский диалект, 2001

Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. 2-е изд. М.: ФАЗИС, 1996.

Марков А.А. Избранные труды. Т. 2. Теория алгоритмов и конструктивная математика, математическая логика, информатика и смежные вопросы. М.: Изд-во МЦНМО, 2003.

Математическая энциклопедия: в 5 т. / гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.

Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука, 1987

Mises Richard von. Mathematical Theory of Probability and Statistics. New York: Academic Press, 1964.

Schuster E.F. Estimation of a probability density function and its derivatives // Ann. Math. Statist. 1969. Vol. 40. №4. P. 1187-1195.