Операторы мультипликативной дискретной свертки, содержащие оператор комплексного сопряжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 Б01 10.18522/0321-3005-2016-2-17-21

ОПЕРАТОРЫ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СВЕРТКИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОПЕРАТОР КОМПЛЕКСНОГО СОПРЯЖЕНИЯ

© 2016 г. О.Г. Авсянкин, А.М. Ковальчук

Авсянкин Олег Геннадиевич - доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: [email protected]

Avsyankin Oleg Gennadievich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Head of the Department of Differential and Integral Equations, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Ковальчук Алиса Марковна - магистр, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: [email protected]

Koval'chuk Alisa Markovna - Post-Graduate Student, Department of Differential and Integral Equations, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Рассматриваются операторы мультипликативной дискретной свертки, в состав которых входит оператор комплексного сопряжения, являющийся инволютивным. Исследование таких операторов в i p -пространствах осуществляется с помощью метода, разработанного Н.К. Карапетянцем и С.Г. Самко для абстрактных уравнений с инволютивным оператором. В рамках этого метода для рассматриваемых операторов мультипликативной дискретной свертки определен символ, в терминах которого получены необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для вычисления индекса. Также отмечены некоторые важные частные случаи.

Ключевые слова: мультипликативная дискретная свертка, инволютивный оператор, символ, нетеровость, индекс.

We consider the multiplicative discrete convolution operators, which include the complex conjugation operator, which is involutive. The study of such operators in i p -spaces is conducted by means of the method, which was developed by

N.K. Karapetiants and S.G. Samko for abstract equations with involutive operators. In the framework of this method, for such multiplicative discrete convolution operators the symbol is defined. In terms of this symbol the necessary and sufficient conditions for the Fredholm property and the index computation formula are obtained. Also, there have been some important special cases.

Keywords: multiplicative discrete convolution, involutive operator, symbol, Fredholm property, index.

В настоящее время имеется немало работ, посвященных интегральным операторам с однородными ядрами (см., например, [1-4] и цитированные в них источники). Дискретные аналоги этих операторов (их называют операторами мультипликативной дискретной свертки) исследованы значительно меньше. В отличие от континуального случая, такие операторы не сводятся к операторам свертки, и для их исследования требуются иные подходы. Впервые систематически эти операторы были изучены в работах [5, 6]. В частности, в [5] для мультипликативных дискретных сверток были получены критерий нетеровости и формула для вычисления индекса. В статье [7] построена и изучена банахова алгебра, порожденная операторами мультипликативной дискретной свертки.

Данная работа продолжает исследования, начатые в [5-7]. В ней рассматриваются операторы мультипликативной дискретной свертки, содержащие оператор комплексного сопряжения, являющийся инволютивным, что позволяет применить метод, разработанный Н.К. Карапетянцем и С.Г. Самко для абстрактных уравнений с инволютивным оператором [8, гл. III]. С помощью этого метода для рассматриваемых операторов в работе получены критерий нетеровости и формула для вычисления индекса.

Ниже используются следующие обозначения: N , Я , С — множества натуральных, вещественных и комплексных чисел; =(0,да); Я — компакти-фикация Я одной бесконечно удаленной точкой; I р = I р (№) — банахово пространство комплексных

последовательностей

{Pn

таких

что

ад

Zpn

n=1

< ад .

Предварительные сведения

Пусть X — банахово пространство. Линейный ограниченный оператор Q Ф ±I называется инво-

лютивным, если Q2 = I.

Для исследования уравнений, содержащих ин-волютивный оператор, имеется специальный метод [8, гл. III]. Ниже мы приводим основные положения этого метода.

Предположим, что существует линеал Ь линейных ограниченных в X операторов, удовлетворяющий аксиомам:

Аксиома 1. Оператор АВ - ВА компактен в X для любых А, В е Ь .

Аксиома 2. Для любого оператора А е Ь существует нетеров оператор А1 е Ь такой, что А^ - QA компактен в X .

Аксиома 3. Множество нетеровых операторов из Ь всюду плотно в Ь .

Аксиома 4. Существует нетеров оператор и е ь такой, что оператор UQ + QU компактен в X.

Предложение 1 [8, с. 61]. Пусть Ь — линеал операторов в X, удовлетворяющий аксиомам 1-4, и пусть А, В е Ь. Для того чтобы оператор С = А + QB был нетеров в X, необходимо и достаточно, чтобы был нетеров оператор Б = АА1 - ВВ1. В этом случае тё С = 1/2 тё Б .

Постановка задачи

В пространстве £ р, 1 < р < да, определим оператор К формулой

да

(Кф)и = £ к(т, и)ф„ , т е N , (1)

П=1

где ф= {фп }дада=1, а функция к(х, у) определена на Я + х Я + и удовлетворяет следующим условиям:

1 — однородность степени (-1), т.е.

к(ах, ау) = а-1к(х, у) , Vа > 0 ;

2 — суммируемость, т.е.

да

к= Цк(1,у)|у-1/рйу <да ; о

3 — функция | к(1, у) | у1/р имеет ограниченное изменение, т.е.

да 1 ¡1

V = V | к (1, у)|у1р < да. о

Оператор К называется оператором мультипликативной дискретной свертки. Известно [5], что он ограничен в пространстве £ р, причем

да

||К|| < к + V. Положим = | к(1, у)у_1/р+'%с1у, % е Я.

о

В работе [5] было показано, что оператор XI + К нетеров тогда и только тогда, когда его

символ X + к (%) удовлетворяет условию

X + ф 0, V е Я . (2)

Далее, в пространстве £ р рассмотрим оператор

да

(Сф) т =Хф т +Цфт + £ к1 (т, п)фп +

п=1

+ Z k 2(m, n)Pn + (7р),

n=1

(3)

где X, ц е С ; функции к1 (х, у) и к2 (х, у) удовлетворяют условиям 1 -3 ; Т — компактный оператор. Здесь и далее черта означает комплексное сопряжение.

Основная цель данной работы состоит в том, чтобы получить критерий нетеровости оператора С и формулу для вычисления его индекса. Определим оператор Q формулой

(Оф)ш = фт , т е N .

Очевидно, что Q = I. Введем еще два оператора: А = XI + К1 + Т, (4)

В = |И + К~2, (5)

где К1 и К2 — операторы вида (1) с ядрами

к1 (х, у) и к2 (х, у). Тогда оператор С можно записать в виде

С = А + QB , (6)

и применить к нему общие результаты, изложенные выше.

Проверка аксиом

Обозначим через П совокупность всех операторов вида XI + К + Т , где X е С; Т — компактный в £ р оператор. Множество П образует линеал в пространстве всех линейных ограниченных операторов, действующих в £ р . Покажем, что линеал

П удовлетворяет аксиомам 1-4.

Справедливость аксиомы 1 установлена в работе [5].

p

ад

Проверим аксиому 2. Для оператора А вида (4) в качестве Ах возьмем оператор

а1 = л7 + К , (7)

где K1 - оператор вида (1) с ядром k1(x, y). Тогда

(40ф)т - (QAф)и = + Xki(m, п) ф„ -

n=1

- Q m + X k1(m П) Фп + тфт | = Т1Фт , п=1

\\h -g|| 1 <s/2 ,

(8)

причем в силу (8) и (10) справедливо неравенство

\\к — <е.

Рассмотрим оператор мультипликативной дискретной свертки

да

(коЧ)ш = £ко(т,П)фп , т е N, где

п=1

1

*о( x, y) — II-

y Ii y

-1/p'

где Т = ОТ — компактный оператор. Следовательно, оператор АО — QA компактен.

Аксиому 3 сформулируем и докажем в виде леммы.

Лемма. Множество нетеровых операторов из П всюду плотно в П.

Доказательство. Рассмотрим оператор XI + К, где X Ф 0. Покажем, что его можно приблизить в равномерной операторной топологии нетеровыми

операторами из П. Заметим, что к (4) = /?(4) , где /?(4) — преобразование Фурье функции

И(') = к(1, в' )е'/ре Х1(К) . Так как оператор XI + К не является нетеровым, то функция X + /?(4) = X + к (4) не удовлетворяет условию (2). Возьмем произвольное е > 0. Тогда найдется такая функция g е ¿1 (Я) , что

и при этом

X + g (4) Ф 0, У4е Я (9)

(по поводу существования такой функции см. [1, с. 29]). Зафиксируем функцию g . Пусть

а = | X + g(4) |. Из непрерывности функции

4еЯ

X + g (4) на компакте Я и условия (9) следует, что

а > 0 . Так как класс С0°(Я) , состоящий из всех бесконечно дифференцируемых финитных функций, всюду плотен в пространстве ¿[(Я) , то найдется такая функция gо е С0°(Я) , что

— gо||1 < ш1п {а/2, е/2}. (10)

Тогда в силу теоремы Хаусдорфа — Юнга — ^^^^ < а /2. Из вышесказанного следует, что

| X+да 0(4) I > | IX+g (4) | — | g (4) — g 0(4) 1| > а /2.

Таким образом,

X + ¿?0(4) Ф 0, У4е II, (11)

Покажем, что функция к00(х,у) удовлетворяет условиям 1 -3 . Условие 1 очевидно. Проверим 2 . Имеем

00 ОО

Цк 0(1, у) | У —1/=1^ 0(1п у) | У = 0 0 оо

= |^0(')|^' <да.

—да

Далее, так как g0 е С0°(Я) , то

ОО , , ОО

V! к0(1, у)|у1/р = У^0(1п У)|<да,

0 0

т.е. справедливо условие 3 . Нетрудно видеть, что символом оператора XI + К0 является функция

X + g0(4). Тогда из условия (11) вытекает, что оператор XI + К0 нетеров.

Положим ||| А ||| = и^ || А — Т || , где Т пробегает

Т

множество всех компактных операторов. Из [5, теорема 1.2] имеет место оценка

00

||| К — К 0 |||<||к(1, у) — к0 (1, у)|у—1/рёу. 0

После несложных преобразований получаем неравенство ||| К — К0 ||| <\\И — gо||1 <е, из которого следует существование такого компактного оператора Т), что ||К — К0 — Т01| < е. Соответственно, ¡(XI + К) — (XI + К0 + Т0 )|| < е , причем оператор

XI + К0 + Т0 является нетеровым.

Случай X = 0 сводится к предыдущему введением оператора е/ + К .

Из всего вышесказанного следует, что всякий оператор XI + К + Т можно аппроксимировать в равномерной операторной топологии нетеровыми операторами из множества П. Лемма доказана.

Проверим последнюю аксиому. Определим оператор и равенством (Цф)т = /фт . Нетрудно видеть, что UQ + Ои = 0, т.е. аксиома 4 выполнена.

00

ОО

Критерий нетеровости

Рассмотрим функцию

aß) =| X |2 +^1(4) + ХВД + ВД^(Ч) -

-1 ц|2 -^(Ч) -k2(^)k2(-^) =

(12)

~зф =J k3 (1, y) y -1/ p+* dy = 0

= J k1(1, t )dt J k1(t, y)y -1/p+i§ dy =

a^) =|X|2 +^(4) + ХВД + ВД^(Ч). (16)

Аналогично устанавливается, что символ ст2 (%)

оператора ВВ1 =| ц | I + цК2 + цК2 + К2К2 задаётся формулой

которую будем называть символом оператора С вида (3).

Теорема. Для того чтобы оператор С вида (3) был нетеровым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

а(%) Ф 0, ^е Я . (13)

В этом случае индекс оператора С вычисляется по формуле

та С = -1 та с(%) := - -1 A[arg с(%)]|дада . (14)

Доказательство. В силу предложения 1, с учетом формулы (6), оператор С нетеров тогда и только тогда, когда нетеров оператор

В = АА1 - ВВ1, (15)

где операторы А, В , А1 определены формулами (4), (5), (7) соответственно, а В1 = ц! + К2 (здесь К2 — оператор вида (1) с ядром к2 (х, у) ). Найдем символ оператора В. Заметим, что

АА1 |21 + xK1 + Xк1 + к1к1 + Т,

где Т1 — компактный оператор. Как известно [5],

К1К1 = К3 + Т2, где К3 — оператор вида (1), ядро которого задается формулой

к3 (х, у) = | к1 (х, I )к1 ^, .

о

Найдем кз (%). Производя замену у = ^ и пользуясь однородностью функции к1 (х, у), запишем цепочку равенств

ГШ

-1/р

= 11_1/ркх(1,1)сИ | кх(1,7)7_1/р= к1(%)к1(-%). о о

С учетом результатов статей [5, 7] символ С1 (%) оператора АА1 запишется в виде

С2(%) =|Ц|2 +Ц~2(%) + Ц~2(-%) + ~2(%)~2(-%). (17)

Из (16) и (17) следует, что символ оператора В задается формулой (12).

Необходимым и достаточным условием нетеровости оператора В вида (15), а значит, и оператора С вида (3) является условие (13) [5, 7]. Далее, учитывая, что тё С = 1/2 тё В, и используя результаты работы [5], приходим к формуле (14). Теорема доказана.

В заключение рассмотрим один важный частный случай. Определим в пространстве £ р оператор Со формулой

(C»m = АФm + Еk(m-п)Фя '

(18)

и=1

где функция к(х, y) удовлетворяет условиям 1 -3 . Тогда в силу равенства (12) символом этого оператора является функция ст0 (%) =| X | —к (^)к (—^).

Следствие. Для того чтобы оператор С0 вида (18) был нетеровым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Со Ф 0, V е R . В этом случае indС0 = —1/2indс0(^) .

Доказательство непосредственно вытекает из теоремы.

Литература

1. Karapetiants N., Samko S. Equations with Invo-lutive Operators. Boston; Basel; Berlin, 2001. 427 p.

2. Авсянкин О.Г. О C -алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН. 2008. Т. 419, № 6. С. 727 - 728.

3. Авсянкин О.Г. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и коэффициентами, осциллирующими на бесконечности // Диф. уравнения. 2015. Т. 51, № 9. С. 1174 - 1181.

4. Авсянкин О.Г. К вопросу об ограниченности многомерных интегральных операторов с однородными ядрами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ес-теств. науки. 2015. № 3. С. 5 - 9.

5. Ерусалимский Я.М. Необходимые и достаточные условия нетеровости операторов мультипликативной дискретной свертки // Изв. СКНЦ ВШ. Ес-теств. науки. 1973. № 4. С. 105 - 107.

6. Ерусалимский Я.М. Операторы мультипликативной дискретной свертки : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д., 1976. 102 с.

да

да

да

да

0

0

7. Авсянкин О.Г. Об алгебре, порожденной операторами мультипликативной дискретной свертки // Изв. вузов. Математика. 2011. № 1. С. 3-9.

8. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов н/Д., 1988. 192 с.

References

1. Karapetiants N., Samko S. Equations with Invo-lutive Operators. Boston; Basel; Berlin, 2001, 427 p.

2. Avsyankin O.G. O C*-algebre, porozhdennoi mnogomernymi integral'nymi operatorami s odnorodnymi yadrami i operatorami mul'tiplikativnogo sdviga [On the C*-algebra generated by multidimensional integral operators with homogeneous kernels and multiplicative operators shift]. Dokl. RAN, 2008, vol. 419, no 6, pp. 727-728.

3. Avsyankin O.G. Mnogomernye integral'nye opera-tory s odnorodnymi yadrami i koeffitsientami, ostsilli-ruyushchimi na beskonechnosti [Multidimensional integral operators with homogeneous kernels and coefficients oscillate at infinity]. Dif. uravneniya, 2015, vol. 51, no 9, pp. 1174-1181.

Поступила в редакцию

4. Avsyankin O.G. K voprosu ob ogranichennosti mnogomernykh integral'nykh operatorov s odnorodnymi yadrami [On the question of the limitations of multidimensional integral operators with homogeneous kernels].

Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki, 2015, no 3, pp. 5-9.

5. Erusalimskii Ya.M. Neobkhodimye i dostatochnye usloviya neterovosti operatorov mul'tiplikativnoi diskretnoi svertki [Necessary and sufficient conditions of Noetherian operators multiplicative discrete convolution]. Izv. SKNTs VSh. Estestv. nauki, 1973, no 4, pp. 105-107.

6. Erusalimskii Ya.M. Operatory mul'tiplikativnoi diskretnoi svertki : dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Operators of the multiplicative discrete convolution]. Rostov-on-Don, 1976, 102 p.

7. Avsyankin O.G. Ob algebre, porozhdennoi operatorami mul'tiplikativnoi diskretnoi svertki [The algebra generated by multiplicative discrete convolution operators]. Izv. vuzov. Matematika, 2011, no 1, pp. 3-9.

8. Karapetyants N.K., Samko S.G. Uravneniya s involyutivnymi operatorami i ikh prilozheniya [Equations with involutive operators and their applications]. Rostov-on-Don, 1988, 192 p.

26 февраля 2016 г.