CC BY
14
УДК 517.98
М.Х. Нуман Эльшейх1, В. Ж. Сакбаев2
1 Российский университет дружбы народов 2 Московский физико-технический институт (государственный университет)
Операторы Лапласа для уравнения Шредингера
на графах
Рассматриваются операторы Лапласа на графах с конечным или счетным числом рёбер. В частности, получено описание самосопряженных расширений симметрического оператора Шредингера, изначально заданного на гладких финитных функциях, носитель которых не содержит точек ветвления графа. В работе получены результаты для графов с одной вершиной, графов с несколькими вершинами и графов с одной вершиной и со счетным множеством лучей.
1. Введение
Дифференциальные операторы на графах и других разветвленных многообразиях имеют применения к описанию ряда процессов в квантовой механике и биологии. Основы теории дифференциальных уравнений на графах изложены в монографии [3], в которой приведен ряд примеров физических задач, приводящих к исследованию дифференциальных операторов на графах. В работах [4,9,10] изучены спектральные свойства таких операторов и исследованы динамические свойства эволюции, определяемых уравнением Шредингера на графе. В работах [1,6,8,11] исследуется множество самосопряженных расширений оператора Шредингера, заданного изначально на пространстве финитных гладких функций, не содержащих точек ветвления графа ([6,8,11]) или точек смены типа оператора (см. [1]). В статье [8] найдены аппроксимации формулами Фейнмана унитарных полугрупп, задаваемых некоторыми из самосопряженных расширений. В статье рассматриваются операторы Лапласа на графах с конечным или счетным числом рёбер. Работа является продолжением исследований [8], в которых изучался граф с конечным множеством рёбер.
Актуальность рассматриваемой задачи состоит в том, что в последнее время значительно усилился интерес к описанию динамики частиц на графах, дендритах и иных разветвленных многообразиях со стороны математической физики и квантовой механики. С математической точки зрения операция дифференцирования функции, однозначно определенная для функций, заданных на области или на гладком многообразии, нуждается в уточнении для функций, заданных на многообразиях, содержащих точки ветвления. Цель настоящего исследования - определить действие оператора Лапласа на функциях, заданных на многобразии с конечным множеством точек ветвления. Для этой цели мы зададим оператор Лапласа Ьо на пространстве С0°о финитных и бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не содержат точек ветвления. Оператором Лапласа Ь на графе будем называть самосопряженное расширение оператора Ь0. В настоящей работе дано описание множества всех операторов Лапласа на графе в терминах условий на множество предельных в точке ветвления значений функций из области определения оператора Ь и ее производной. В работе получены результаты для графов с одной вершиной (они представляют собой объединения п полупрямых с общей вершиной), графов с несколькими вершинами и графов с одной вершиной и со счетным множеством лучей.
2. Постановка задачи и обозначения
Изучаются операторы Шредингера на графе Г, задающие процессы диффузии или квантовой динамики на графе как на разветвленном многообразии. Следуя принимаемой
Г
одномерных многообразий Г (называемых рёбрами графа), каждое из которых диффео-морфно лучу [0, +го) или отрезку [0,1]. Граничные точки рёбер будем называть вершинами графа. Каждая вершина графа является граничной точкой некоторого непустого множества рёбер графа. Предполагается, что на Г задана борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждое рёбро Г совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда ¿2 (Г) = ф£2(Г^). Пусть Соо(Г) - векторное пространство бесконечно дифференци-
Г
вершин графа, и Ьо = фЬц - линейный оператор, определяемый на линейном пространстве ^(Ьо) = С^(Г) с помощью равенства
Ьи = -Аи + гВ(х) ^ + г°(В(х)у) + С (х)и, (2.1)
т Ох ох
в котором функции т, В, С вещественнозначные, ограниченные и непрерывные всюду за исключением вершин функции на Г, функция т принимает на каждом рёбре Г постоянное значение т^ причем mj ^ то > 0 V ] = 1, ...,щ и е С^(Г).
Исследуем свойства задачи Коши для уравнения Шредингера:
гди^= щ^), (2.2)
с начальным условием
и(х, +0)=зд(х),х е Г. (2.3)
Здесь Ь - симметрический оператор в гильбертовом пространстве Н = ¿2 (Г), являющийся расширением оператора Ьо, заданного на линейном многообразии ^(Ьо) с помощью равенства (2.1). Целью статьи является описание множества всех самосопряженных расширений Ь0
(2.3) для уравнения Шредингера.
3. Граф с одной вершиной
Граф Г с одной вершиной мы определяем как объединение п экземпляров полупрямых Г = [0, +го), ] = 0,..., п, с общим началом Q, называемым вершиной графа.
Г
её сужение на каждую полупрямую Г совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда ¿2(Г) = фL2(Гj). Пусть (Г) - векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими точки Q, и Ьо = фЬц - линейный оператор, определяемый на С^(Г) соотношением Ьои = (фЬц}, Ьоиз = тЬА^и^ + гВ^(х)^¡г + ) + С^(ж)-^. Здесь (и^,] = 1, ...,п} - сужения функ-
ции и на полупрямые Г./. Предполагается, что при всех ] числа т^ > 0 и функции В^(х), Су (х) е С 1(Г,-, Я) и Ьу = В^ (0) обозначим в точке Q.
Оператор Ьо с областью определения ^(Ьо) = Соо(Г) с ¿2(Г), плотно определен и симметричен. Областью определения ^(Ь*) сопряженного оператора Ьо является линейное подпространство ^(Ь*) = Ф™=1^2 (Г) := (Г) С Н. Сужения меткой функции и е (Г) на полупрямые Г^ ] = 1, ...,п обладают граничными значениями в вершине, которые обозначим через иу(0), где символ и(0) означает и(0) = («1(0) «2(0) ... М0))7 е Сп. Это тоже верно для первых производных этих сужений, для них используем аналогичные обозначения.
Теорема фон Неймана (см. [5,7]) предоставляет описание множества самосопряженных расширений симметрического оператора. В работе получено явное описание множества
Ьо
странства в пространстве граничных значений С = ^(Ьо)/.0(Ьо) = ((и(0), и'(0))} = С2га.
Теорема 1. Пусть т = 1 В(х) = 0 и С(х) = 0. Оператор Ь с областью определения О(Ь) = {и € W22(Г) : и'(0) = Аи(0)} самосопряжен тогда и только тогда, когда матрица А удовлетворяет равенству А = А*.
Доказательство. Если и € О(Ь) и V € ^(Ь0), то справедливо равенство
(Ьи,,ь)н - (и, )н = (и(0), у'(0))сп - (и'(0), ь(0))£п.
Следовательно, (Ьи,у)н - (и, )я = (и(0), у'(0) - А*у(0))с„.
Следы и(0) принимают произвольные значения, поэтому равенство ь'(0) = А*и(0) необходимо и достаточно для включения V € И(Ь*), что и доказывает теорему 1.
Следствие 1. Если Ми 5 - диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле ( Ьг$гз)пхп, ЬЗ = 1, ...,п, соответственно и С = (с^), где сц € Ь^(Г), то опера тор Ь с областью определения О(Ь) = {и € №22(Г) : и'(0) = Аи(0)} самосопряжен тогда и только тогда, когда матрицы А, М и 5 удовлетворяют равенству А = М-1А*М — 2г М-15.
Теорема 1 описывает широкий класс самосопряженных расширений оператора Ьо, но не дает описания всей совокупности самосопряженных расширений. Такое описание делает следующая теорема.
Теорема 2. Оператор Ь самосопряжен тогда и только тогда, когда его область определения И(Ь) состоит из функций пространства Ш22(Г), граничные значения которых удовлетворяют равенству Zv!(0) + Аи(0) = 0 где ранг матрицы (2|А) равен п и матрица 2А* является самосопряженной: 2А* = А2*.
Доказательство. Пусть т = 1 В(х) = 0 и С(х) = 0. Обозначим через и(0) и'(0)
/ i,uivaoa.i Сь'юъ i uw« xxyv-'J-Jj по — х, Js) — \J iri w \ ju j — \J. wuuonain
U u(o) \ и \
< I I = Ф2пхп^пх! f множество решении системы линеиных уравнении
1 V U (0) J 2пх 1 J
2и'(0) +Аи(0) =0, (3.1)
где Ф2пхп- фундаментадьная матрица и кпХ1 — матрица независимых констант. Подставляя каждое из решений фундаментальной системы уравнения 2и'(0) + Аи(0) = 0, задающие область определения, получим следующую связь фундаментальной матрицы с матрицей системы уравнений (3.1):
(£ I
Ф^ ^т ) =0пхп. (3.2)
2пхп
Если и € О(Ь), область определения оператора Ь задана системой уравнений (3.1), то для любого V € £(Ь0) справедливо равенство
- („, ,)й = (, ^ ( Л 0 ^ ( ^ а2„,1).
Элемент V € И(Ь*) удовлетворяет условию
(Ьи, V)н - (и, Ь0^)н = 0. (3.3)
Пусть V = I ... ^ ) - базис в линейном подпространстве И(Ь*)/И(Ьо), тогда
" V "1 ... ¿2пхп
каждый столбец матрицы V удовлетворяет (3.3) и, следовательно,
-I 0 ) V 2пхп = 0пхп. (3.4)
V / 2пх2п
Из (3.2) и (3.4) следует, что в качестве матрицы V может быть выбрана следующая матрица:
2*
V =
(Я-
_^ *
ний (3.1). А это равносильно системе равенств (А 1=0, чт0 и доказывает
Оператор Ь самосопряжен тогда и только тогда, когда И(Ь) = И(Ь*), поэтому если V -матрица из столбцов базисных векторов в подпространстве И(Ь*)/И(Ьо), то И(Ь) = И(Ь*) тогда и только тогда, когда V является также и матрицей из столбцов базисных векторов в подпространстве И(Ь)/И(Ьо), то есть любой её столбец удовлетворяет системе уравне-
г
А
теорему 2.
Ь
деления И(Ь) состоит из функций пространства (Г) граничные значения которых удовлетворяют равенству А1и'(0) + Аои(0) = 0 где ранг матрицы (А1 |А0) равен п и матрица, А0А\ удовлетворяет равенству А0М-1А* = А1М-1(А* + 2г ЕМ-1 А1).
Доказательство. Пусть т = 0, В(х) = 0 и С(х) = 0. Обозначим через и и(0) \
< I Л . I = Ф2гахга^гах1 г множество решении системы линеиных уравнении 1 V и (0) / 2гах 1 }
А1и' (0) + Аои(0) = 0, (3.5)
где Ф2гахга _ фундаментальная матрица и кпХ1 - матрица независимых констант. Подставляя каждое из решений фундаментальной системы уравнения А^'(0) + Аои(0) = 0, задающие область определения, получим следующую связь фундаментальной матрицы с матрицей системы уравнений (3.5):
ФТ ( §) = 0гахга. (3.6)
V 1 / 2гахга
Если и € И(Ь), область определения оператора Ь задана системой уравнений (3.5), то для любого V € И(Ьо) справедливо равенство
(Ьи, - (и, )„ = (, ^ ( ( ^^ )_>.
Элемент V € И(Ь*) удовлетворяет условию
(Ьи, V)н - (и, Ьо^)н = 0. (3.7)
Пусть V = ( ^ .. ^ ) -базнс в линейном подпространстве И(Ь*)/И(Ьо), тогда
" ... %)га_) 2гахга
каждый столбец матрицы V удовлетворяет (3.7) и, следовательно,
/ -2гЕ М \ - М 0
ф ( Л/Г 0 ) V2гaхгa = 0гахга. (3.8)
/ 2гах2га
Из (3.6) и (3.8) следует, что в качестве матрицы V может быть выбрана следующая матрица:
-М-1А*
( -М-1А* \ к V М-1Ао + 2гМ-1ЕМ-1А* ) '
Оператор Ь самосопряжен тогда и только тогда, когда И(Ь) = И(Ь*), поэтому если V -матрица из столбцов базисных векторов в подпространстве И(Ь*)/И(Ьо), то И(Ь) = И(Ь*) тогда и только тогда, когда V является также и матрицей из столбцов базисных векторов в подпространстве И(Ь)/И(Ьо), то есть любой её столбец удовлетворяет системе уравнений
(3.5). А это равносильно системе равенств ( Ао А1 ) ^ м-1а* +ММа[1ЕМ^А* ) = 0' что и доказывает теорему 3.
4. Граф с несколькими вершинами
В настоящей работе под графом с несколькими вершинами понимается одномерный клеточный комплекс [4]. Пусть граф Г представляет собой набор из п вершин Ql,..., Qn, из каждой исходит г^, г^ € Ж, рёбер Г*, представляющих собой либо бесконечные полупрямые, либо отрезки, соединяющие вершину Qj с другими вершинами. Фиксируем на каждом ребре Г параметризацию натуральным параметром. При этом на ребрах-полупрямых параметр возрастает от граничной точки, а на ребрах-отрезках ориентация выбрана произвольно. Пусть - начальная точка ребра полупрямой, а./ - начадьная точка ребра Г отрезка, I). .......... конечная точка ребра Г., отрезка. Пусть Ск, к = 1, ...,И, - совокупность всех граничных точек ребер Г1,...,Гга. Определим функцию в на множестве {Ск} так, что в(Ск) = 1 при условии, что Ск - начало ребра, и положим в(Ск) = — 1 при условии, что Ск — конец ребра. Обозначим через 5 диагональную матрицу с числами в(Ск) на диагонали. Введем операторы Ьо, ЬО и пространство С граничных значений функций из ^(Ь*) и их производных. Пространство С линейно изоморфное пространству Через и(с^) обозначим совокупность предельных значений функции по ребру, границей которого является точка с^ а через и(с) обозначим Ж-мерный вектор (и(с 1)...и(с^))Т■ Для вектора предельных значений производной и'(с) используем аналогичные обозначения. Пусть Ь(С1),..., Ь(с^) -предельные значения функции В в точках С1,..., см соответственно.
Теорема 4. Пусть т = 1, В(х) = 0 и С(х) = 0. Оператор Ь с областью определения О(Ь) = |и € (Г) : и'(с) = Аи(с) | самосопряжен тогда и только тогда, когда матрица А удовлетворяет равенству А = БА*Б.
Доказательство. Если и € ^(Ь) и у € ^(Ь0), то справедливо равенство
(Ьи, V)н — (и, Ь*у)н = (Би(с), у'(с))с2п — (Би'(с), у(с))с2п. Следовательно, (Ьи,у)н — (и, ЬО-и)я = (и(с),Бу'(с) — А*Бу(с)) .
Следы и(с) принимают произвольные значения, поэто му равенство у' (с) = Б А* Б у(с) необходимо и достаточно для включения у € И(Ь*), что и доказывает теорему 4.
Следствие 2. Если Ми 2 - диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле 5^)2пх2п, ( Му)2пх2п, г,] = 1, ...,п, соответственно и С = (с^), где
с%] € (Г); то опера тор Ь с областью определения О(Ь) = |и € Ш2 (Г) : и' (с) = Аи( самосопряжен тогда и только тогда, когда матрицы А, М и 2 удовлетворяют равенству А = М-1БА*БМ — 2%М-1Б2Б.
Доказательство. Если и € ^(Ь) и V € ^(Ь0), то справедливо равенство
(Ьи, V) н — (и, Ь*ь) н = (Б(и(с))Т ,Му'(с)^ — (Б(и' (с)) Т ,Му (с))— (2гБ(и(с))Т, 2у(с)).
Следовательно,
(Ьи, V) н — (и, Цу) н = ((и( с))т, БМу'(с) — А*Б Ми (с) + 2г 2 Бу (с)) .
Следы (и(с))Т принимают произвольные значения, поэтому равенство у'(с) =(М-1БА*БМ — 2гМ-1Б2Б)у(с) необходимо и достаточно для включения у € И(Ь*), что и доказывает следствие 2.
5. Граф с одной вершиной и со счетным множеством лучей
Для описания такого графа определим на нем следующие структуры (см. [2]). Обозначим через у локально-конечную счётно-аддитивную неотрицательную меру на Ж,
такую, что ц(к) = цк > 0 и через Ь2^, 2м, ц, С) - гильбертово пространство граничных значений с нормой
М ^ \ ип\ 2(1ц(п) = ^2\ик\2ц(к).
к=1
2
Сужения всякой функции из пространства Ш^^Г) на полупрямую обладают граничными
1П(0)...)Т €Ь2,^.
значениями в вершине: и(0) = (и\(0)...ип(0)...)т € Ь2, Это же верно для первых произ-
водных функции из пространства граничные значения которых обозначим через
и'(0). Обозначим через Л, М и 2 диагональные матрицы, матричные элементы которых заданы по формуле (ц^у), ¿у) и (ргб^) соответственно.
Теорема 5. Пусть цк = 1 ш = 1, В(х) = 0 С (х) = 0. Оператор Ь с областью определения О(Ь) = {и € Ш22(Г) : и1 (0) = Аи(0)} самосопряжен тогда и только тогда, когда оператор А самосопряжен в пространстве 12.
Доказательство. Если и € И(Ь) и у € ^(Ь0), то справедливо равенство
(Ьи, у)н - [и, Цу)н = [{и(0))Т, Л у'(0)) - ((и'(0))Т, Лю(0)) = = (к(и(0))Т, Л у>(0)^ - (к(и(0))Т,АТЛ у(0)^ .
Следовательно,
(Ьи, у)н - (и, Ь*0у)н = [{и(0))Т, Л у'(0) - АтЛ у(0)).
Следы (и(0))Т принимают произвольные значения в пространстве Ь2^, 2N, ц, С), поэтому равенство г/(0) = Л-1А*Л у(0) необходимо и достаточно для включения у € И(Ь*), что и доказывает теорему 5.
Следствие 3. Если цк € 11} -1-, т,к, Ьк € Iи Л, 2 и М операторы в пространстве Ь2Ш, 2м, ц, С), заданные диагональными матрицами с числам,и Цк, Ьк, на диагонали соответственно, С = (с^), г де с^ € Ь^(Г), то опера тор Ь с областью определения
О(Ь) = |и € Ш^^Г) : и'(0) = Аи(0)| самосопряжен тогда и только тогда, когда операторы А, М и 2, действующие в пространстве 12, удовлетворяют равенству
ЛМА = А* ЛМ - 2гЛ2. (5.1)
Доказательство. Если и € И(Ь) и у € И(Ь0), то справедливо равенство (Ьи, у)н - (и, Ь*0у)н = (у(и(0))Т, ЛМу'(0)) - ((и' (0))Т, ЛМу (0)) - (2% (и(0))Т, Л2у(0)^. Следовательно,
(Ьи, у)н - (и, Ь>)н = [Л Му'(0) - АтЛ Му(0) - 2гЛ 2и(0)1 (и(0))т.
Следы (и(0))Т принимают произвольные значения в пространстве Ь2^, 2N, ц, С), поЛ М (0) = А*Л М - 2 Л2 (0) V € И(Ь*). Так как Ь = Ь* если и только если О(Ь) = И(Ь*), то для самосопряженности Ь
6. Заключение
В работе получено описание множества всех операторов Лапласа на графе, определяемых как самосопряженное расширение оператора, изначально заданного на гладких
функциях с носителями, не содержащими точек ветвления графа. Тем самым дано описание различных возможностей определения оператора Лапласа на пространстве функций, определенных на разветвленном многообразии. Описание области определения каждого из самосопряженных расширений дано в терминах линейных соотношений, которым удовлетворяют предельные в точках ветвления и граничных точках графа значения функции из области определения оператора и ее производной. Каждому из операторов Лапласа соответствует марковский процесс, поведение которого в окрестности точек ветвления графа определяется выбором области определения оператора Лапласа. Полученные в статье результаты расширяют область исследования работы [11], в которой дано описание самосопряженных расширений оператора Лапласа на графе с одной вершиной и двумя ребрами, на случай графа с произвольным числом ребер. Кроме того, настоящая работа обобщает результаты работы [6] на такие операторы Лапласа, для которых линейные соотношения в пространстве граничных значений, задающих область определения оператора, не допускают возможности выразить предельные значения функции в граничных точках и точках ветвления графа через предельные значения ее производной или наоборот.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 14-11-00687.
Литература
1. Амосов Г.Г., Сакбаев В.Ж. О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах // Матем. заметки. — 2004. — Т. 76, вып. 3. — С. 335-343.
2. Данфорд Н., Шварц Док.. Т. Линейные операторы. Общая теория. Т. 1. — M : ИЛ, 1962.
3. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. — М. : Физматлит, 2004.
4. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, вып. 6. — С. 777780.
5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977.
6. Сакбаев В.Ж., Смоляное О.Г. Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения // ДАН. — 2010. — Т. 433, вып. 3. — С. 314-317.
7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М. : Мир, 1972.
8. Сакбаев В.Ж., Смоляное О.Г. Диффузия и квантовая динамика на графах // Доклады РАН. - 2013. - Т. 451, № 2. - С. 141-145.
9. Толченников А.А., Чернышев В.Л., Шафаревич А.И. Асимптотические свойства и классические динамические системы в квантовых задачах на сингулярных пространствах // Нелинейная динамика. — 2010. — Т. 6, вып. 3. — С. 623-638.
10. Чернышев В.Л., Шафаревич А.П. Квазиклассический спектр оператора Шредингера на геометрическом графе // Матем. заметки. — 2007. — Т. 82, вып. 4. — С. 606-620.
11. Gadella M., Kuru S., Negro J. Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions // Phvs. Letters. - 2007. - V. 362, N 4. - P. 265-268.
Поступим в редакцию 03.10.2013.
