Самосопряженные сужения максимального оператора на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 4 (2017). С. 36-44.

УДК 517.927.2

САМОСОПРЯЖЕННЫЕ СУЖЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО

ОПЕРАТОРА НА ГРАФЕ

Л.К. ЖАПСАРБАЕВА, Б.Е. КАНГУЖИН, М.Н. КОНЫРКУЛЖАЕВА

Аннотация. В работе исследуются дифференциальные операторы на произвольных геометрических графах без петель. Известные результаты для дифференциальных операторов на отрезке переносятся на дифференциальные операторы на графах. Для корректного определения максимального оператора на заданном графе необходимо выделить множество граничных вершин. Вершины не являющиеся граничными называются внутренними вершинами. Важно отметить, что максимальный оператор на графе определяется не только заданными дифференциальными выражениями на дугах, но и условиями типа Кирхгофа во внутренних вершинах графа. Для введенного максимального оператора доказан аналог формулы Лагранжа. Для произвольного набора граничных условии указан алгоритм построения сопряженных граничных форм. В заключении работы дано полное описание всех самосопряженных сужений максимального оператора.

Ключевые слова: ориентированный граф, условия Кирхгофа, самосопряженное сужение оператора, максимальный оператор.

Mathematics Subject Classification: 34В45, 34L20

1. Введение

Работа посвящена линейным дифференциальным операторам на графах. Спектральная теория дифференциальных операторов на многообразиях типа сети изучалась в работах Ю.В. Покорного и его учеников [1]-[5]. Из последних публикаций, посвященных различным аспектам теории обратных задач на графах, обратим внимание на работы [6] [10]. В работах [11]-[14] изучаются спектральные свойства дифференциальных операторов на равносторонних квантовых графах типа звезда. В данной статье выведена формула Лагранжа для дифференциального оператора определенного на произвольном геометрическом графе, в отличие от работы [12], где приведено аналогичное соотношение для простого графа-звезды. Дано полное описание всех самосопряженных сужений максимального оператора определенного на графе. Перечисленные результаты являются новыми, ранее подобные выводы и положения были известны в [15] для дифференциальных операторов на отрезке.

2. Основные понятия

Пусть задан ориентированный граф S = (V, £}, где V — множество вершин и £ — множество дуг. Количество вершин графа V обозначим через N, а сами вершины будем нумеровать числами 1,..., N. Граничные вершины обозначим через Г. Вершины из

L.K. Zhapsarbayeva, В.Е. Kanguzhin, M.N. Konyrkulzhayeva, Selfadjoint restriction of

maximal operator on graph.

©жапсарбаева Л.к., кангужин Б.Е., коныркулжаева М.Н. 2017.

Работа поддержана МОП Республики Казахстан (грант 0757/ГФ4 и грант 0085/ПЦФ-14).

Поступила 24 июля 2017 г.

множества X = У\Г назовем внутренними вершинами [16, 17]. Дуга е = [%,]], е Е Е, соединяющая вершины г и ^ направлена от г к Часто вершину г обозначают через д-е, а вместо вершины ] пишут д+е [18]. Не умаляя общности, будем считать длину каждой дуги равной единице. Множество вершин, соответствующие входящим дугам к вершине г обозначим через А множество вершин, соответствующие исходящим дугам из вершины г обозначим через V—, Пусть \ = ^¿ег(1И+1 + 1И-1)- Множество дуг, для которых д+е = г, обозначим через Е+, а множество дат, для которых д-е = г, обозначим через Е—, Считаем, что граф не имеет петель.

3. Определение максимального оператора на графе В дальнейшем полезно ввести пространство

£2(3) = П ^(е)

ев£

с элементами

У(X) = [Уе(Хе),е ЕЕ]т

(где X = (хе,е Е Е) и Пее£ _ декартово произведение подпространств) и с конечной нормой

V ее£

||УНм^) = V / ЫЖе)|2^е.

Точно также стандартным образом вводится пространство

адз) = П ^22(е).

ев£

Оператор Лтах, задаваемый линейными дифференциальными выражениями

Лтах Уе(Хе) = -У1 (Хе) + Яе(%е)У е (%е) , Е ^ Е

Е ми 0 < хе < 1 (1)

на подмножестве W2 где в каждой внутренней вершине к при некотором ^ выполняются условия Кирхгофа [19]

Уе(1) = &, Уе Е Е+, (2)

Уе(0) = &, Уе ЕЕ-,

Е У'е(1) = Е У'е(0) (3)

назовем максимальным оператором. Здесь [де(хе),хе Е е Е Е, 0 < хе < 1}- набор вещественных непрерывных функций, обычно называемые потенциалами. Из условий (2) можно исключить набор неизвестных констант }■ Тогда общее количество условий Кирхгофа во внутренних вершинах равно 2|Е| — В следующем пункте приведена формула Лагранжа для максимального оператора Лтах.

4. Формула Лагранжа для дифференциального оператора

определенного на графе

При исследований дифференциальных операторов на отрезке важную роль играет формула Лагранжа. В данном пункте приведем аналог формулы Лагранжа в случае дифференциальных операторов на графах.

Лемма 1. Для любых функций У (ж) = {уе(хе),е Е £}, V (х) = {ve(xe),e Е £} из Wf(S) выполняется тождество

ee£

^Т I ЛтахУе(х)Ve(x)dx =

= У'е (Х) Ve(x) + Уе(х) V'e (х)]|Х=0 + ^ / У' е(х)ЛтахУ е(х) dx. (4)

ев£ ев£

Доказательство. Рассмотрим интеграл из левой части соотношения (4)

!'лтахуе(х)ье(х)¿х = J (-у"(х) + де(х)уе(х)) ье(х)(1х. Двукратное интегрирование по частям дает возможность записать формулу

I ЛтахУе(х) Ье(х)(1х = [-у'е (х) Ье(х) + Уе(х) (х)] |Х=0 +

+ J Уе(х) (—vе'(х) + qe(x)Ve(x)) dx.

Откуда следует выражение (4), Лемма 1 доказана, □

Лемма 2. Для, любых функций У(х) = {уе(хе),е Е £}, V(х) = {уе(хе),е Е £} из области, определения, .максимального оператора, Лтах выполняется тождество

/ АтахУе(х) Ve(x)dx = ^ [—У'е (1) Ve(1) + Уе(1) v'e (1)] — ee£ д+ееГ

[-у'е (0) Ve (0) + у е (0) < (0)] + ^ Ve(x)KmaxVe(x)dx. (5)

- [-Уе(0) М0) + У е (0) ?4(0)] + Уе\

д-ееГ ees Je

Доказательство. Пусть а — внутренняя вершина графа Множество £+ состоит из дуг е, направленных к вершине а, то есть выполняется условие д+е = а. Множество £- состоит из дуг е, исходящих из вершины а, то есть выполняется условие д_е = а. Из общей суммы ^ее£[—у'е(х)ve(x) + уе(х)v'e(х)]|Х=0 выделим только те ела-

а

д+е = а вклад вершины а в общую сумму ^е&£[—у'е(х)ve(x) + уе(х)v'e(х)]|Х=0 примет вид [—у'е(1)ve(1) + уе(1)v'e(1)], Точно также для всех дуг из £+ вклад вершины а в общую сумму Ylee£ [—У'е (х) Ve(x)+ Уе(х)у'е (х)] |Х=0 ПрИМвТ вид J2ee£+ [—У'е (1) ^е(1)+ Уе(1) v'e (1)]. для одной дуги е с условием д-е = а вклад вершины а в общую сумму ~Yhee£[—Уе(х)^е(х) + уе(х)v'e(х)]|Х=0 примет вид [у'е(0)we (0) — уе(0)v'e(0)]. Точно также для всех дуг из £- вклад вершины а в общую суммуЕее£[—у'е(х)ve(x) + уе(х)v'e(х)]|Х=о примет вид -[у'е(0)г>е (0) — уе(0)v'e(0)], Таким образом, общий вклад вершины а в сумму [—у'е(х)г>е(х) + ye(x)v'e(х)]|Х=0 можно записать в виде

1а = £ [—У'е (1)V е(1)+ Ve(1)v' (1)] + £ [У 'е (0) ^(0) — Уе(0)У 'е (0)].

ee£+ ee£-

Учитывая условия Кирхгофа (2) для функций V(х) = {уе(хе),е Е £}, V(х) = {ve(xe),e Е £}, последнее выражение перепишем в виде

1а = £ [—y'e(1)Í3 + $Vе(1)]+ ^ [уе(0)/3 — /vе(0)], ee£+ ee£-

где ve(1) = / при е Е £+, а также ve(0) = / при е Е £а , Теперь учитывая условия Кирхгофа (3) для функций Y(ж) = {ye(xe),e Е £}, V(х) = {ve(xe),e Е £} выражение 1а перепишем в виде

h = /

£ Уе (1) + Е ^ (0)

+ /

< (1) - £ < (0)

Е-

0.

ее£а ее£а

Лемма 2 доказана, □

Из леммы 2 следует, что суммарные вклады внутренних вершин во внеынтегральные члены (5) равны нулю. Иначе говоря, внеынтегральные члены выражений (5) содержат вклады только граничных вершин. Подобные формулы, согласно монографии [15], называются формулами Лагранжа, Формулу (5) можно обобщить в следующем направлении. Рассмотрим при к = 1,..., граничные формы

Uк (V) = £ [<ХекУе(1) + /Зеку'е (1)] + £ [аекУе(0] + реку'е (0)], (6)

д+е€Г д—еёГ

где аек, @ек — некоторые константы.

Теорема 1. [Формула Лагранжа] Пусть {Ui,..., U2x} набор линейно независимых граничных форм,. Тогда, существует единственный набор граничных форм, {Ti,... ,T2x} таких, что для любых функций Y (ж) = {уе(хе ),е Е £}, V (х) = {уе(хе),е Е £} из области определения максимального оператора, Лтах выполняется тождество

£ Í АтахУе(х) Ье(х)(1х = Ui (Y )T2x(V) + U2(Y i(V) + ... +

е€£ Jе

+ U2x(V )Ti(V) + £ í Уе(х)АтахУе(х)(1х. (7)

е€£ ■Зе

Доказательство. Введем разность

R(Y',V ) = W Л^Ых)* - £ f №.

ее£ Jе ее£ Jе

Согласно лемме 2, эта разность предетавима в виде

R(Y,V )= £ [-у'е (1)^(1) + Уе(1Н (1)] - £ [-у'е (0) tfe(0) + Уе(0) b'e (0)].

д+е€Г д-е€Г

Таким образом, разность выражается через набор из 2\ граничных значений {уе(1), у'е(1),д+е Е Г} {уе(0), у'е(0),д_е Е Г}, Указанный набор граничных значений представляет 2\ линейно независимую систему. Поэтому указанный набор граничных значений можно выразить в виде линейной комбинации произвольных граничных форм { Ui,... ,U2x}, удовлетворяющих условиям теоремы 1, Для этого соотношения (6) надо рассматривать, как систему линейных алгебраических уравнений относительно {уе(1), у'е(1),д+е Е Г} {уе(0), у'е(0),д_е Е Г}, Разрешая систему (6) относительно {уе(1), у'е(1),д+е Е Г} {уе(0), у'е(0),д_е Е Г}, получим

2x

У е(1) = £1екик (V), д+е Е Г, (8)

к=1

2х

у'е(1) = £ íekUk(Y), д+е е г, к=1

2х

У е(0) = ^lekUk (v), д-е Е Г, k=1 2х

у'е(0) = ^tekUk(v), 5-е е Г.

k=0

Поставляя указанные выражения в разность

R(V, V) = £

д+ ееГ

Í]teekUk(Y)j «е(1) + fjtvekUk(Y)j <(1)

д_ееГ

^ it'ekUk (Y ) j Ve(0) + ^ it^ekUk (Y ^ <(0)

Теперь остается сгруппировать правую часть последнего равенства относительно { Uk (V}, тогда получим

2х (

R(V,V ) = ^ Uk (V) < [—ekVe(1)+ 7ek<(1)]+ ^ ^(0) — 7ek<(0)]

k=1 [д+ееГ д-ееГ

Если в последнем выражений суммы в квадратных скобках обозначить через T2x-k+l(V)= [—6ek^e(1)+7ek<(1)]+ J] К^е(0) — 7ek<(0)] ,

д+ееГ д-ееГ

то получим требуемую формулу

У] / ЛтаХУе(х) Ve(x)dx = U (Y )T2x-k+l(V ) + ^ / Уe(x)ЛmaxVe(x)dx. ees Je k=1 ees Je

□

Формула (7) называется формулой Лагранжа, Из теоремы 1 сразу следует

Следствие 1. Пусть Л сужение оператора ЛтаХ на области определения D(A) = {Y Е 0(ЛтаХ) : Uk(V) = 0,..., UX(Y) = 0}. Тогда, сопряженный оператор Л* также является, сужением оператора, ЛтаХ на области определения, Б(Л*) = {V е 0(ЛтаХ) : Tk(V) = 0,... ,TX(V) = 0} и для, любых V е Б(Л) и V Е В(Л*) справедливо равенство

У, / Л Уе (х) Ve(x)dx = ^ / Уе(х)Л* Ve(x)dx.

е

es es

5. Самосопряженные сужения максимального оператора ЛтаХ

В данном пункте дадим полное описание всех самосопряженных сужений оператора ЛтаХ■ Сначала введем минимальное сужение Л0 оператора ЛтаХ, Обозначим через Д(Л0) совокупность всех функций Y(х) из 0(ЛтаХ), удовлетворяющих условиям

уе(1) = 0, у'е(1) = 0 при д+е Е Г, (9)

уе(0) = 0, у'е(0) = 0 при д^ Е Г.

Ло

ЛоУ = ЛтаХ~У, V Е^(Ло).

Справедливы утверждения

I) для любых элементов У Е О(Л0), V Е И(Лтах) имеет место соотношение

<ЛоУ,У-> = <У, Атах^>, (10)

II) для любых элементов У ^ Е О(Л0) верно равенство

(Лоу, V> = (У, Лоу>.

Из (10) следует операторное включение Лтах с Л0-

Для исследования свойств минимального оператора удобно ввести операторы Л1 и Л2, являющиеся сужениями максимального оператора Лтах. Пусть

ДЛ1) = {У Е О (Лтах) : Уе(1) = 0 при д+е Е Г, уе(0) = 0 при д-е Е Г}

и Л1у(ж) = ЛтахУ(ж) при У Е О^). Пусть

О(Л2) = {У Е О (Лтах) : ^(1) = 0 при д+е Е Г, ^(0) = 0 при д-е Е Г} и Л2У (х) = ЛтахУ (ж) При У Е О^).

Предположение 1. Длл любой функций у(ж) из Ь2(Щ уравнение

АУ(х) = у(ж), г=1, 2 (11)

имеет единственное решение в О(Л^), г = 1, 2.

Замечание 1. Операторное уравнение (11) на множестве О(Л^), г = 1, 2 эквивалентно системе линейных дифференциальных уравнений второго порядка на множестве дуг £ с 2|£| — % условиям,и Кирхгофа, во внутренних вершинах Тих условиям,и в граничных Г

£

21£| констант. Для, их определения, имеется, (2|£| — х) + Х = 2|£| линейных условий. Следовательно, можно выписать некоторый определитель = 1, 2 размерности 2|£|. Тогда, однозначная разрешимость уравнения (11) эквивалентна 'тому, что выписанный определитель Иг, г = 1, 2 отличен от нуля.

Следуя монографии [15], сформулируем следующие леммы.

Лемма 3. Пусть Лтах — максимальный оператор на графе введенный в пункте 3 и пусть у(ж) — функция из Ь2(Щ. Если, выполнено предположение 1, то уравнение

ЛтахУ (ж) = У (ж)

имеет решение "У(ж), удовлетворяющее условиям (9) тогда, и только тогда, когда, у(ж) ортогональны ко всем, элементам из КегЛтах.

УУ ( ж)

ние операторного уравнения (11). Далее, обозначим через фундаментальную

систему решений однородного операторного уравнения Лтах^/ = 0 удовлетворяющую условиям: все граничные формы (1) при д+е Е Г и (0) при д-е Е Г, кроме одной, равны нулю, а одна из форм равна 1, Такая фундаментальная система существует. Это следует из замечания 1, поскольку условие разрешимости эквивалентно отличию от нуля определителя 01,

Применяя к функциям У (ж) и (ж) формулу Лагранжа, получим

< У, V,> = (ЛтахУ, Vы> = <У, ЛтахУк>. (12)

Но ЛтахУк = 0. Кроме того, из включения У Е ^(Л0) вытекает

£ Уе(Ы1 (1) - Е Уе(0) < (0) = 0.

д+ е€Г д_е€Г

Следовательно, формула (12) примет вид

< ) = - £ У'е(1)Ук1 (1)+ £ У'е(0)ук1 (0)

д+е€Г д-ебГ

| -У'е(1) если Ьк1 (1) = 1

^(0) если ьы (0) = 1. ^

Из соотношений (13) следует утверждение леммы 3: равенства (9) выполняются тогда и только тогда, когда < у, Ук) = 0 к = 1,..., х- Таким образом, у(х) ортогональна ко всем решениям уравнения ЛтахУ = 0, □

Лемма 4. Каковы бы, ни, были числа ае,[е при д+е Е Г и ае,[е при д-е Е Г при выполнении предположения 1 существует функция У(х) Е 0(Лтах), удовлетворяющая условиям

у'е (1) = [е, Уе(1) = Щ>и д+е Е Г, у'е(0) = [е, Уе(0) = ае при д-е Е Г.

Доказательство. Докажем сначала лемму 4 для случая, когда все ае = 0, Выберем у(х) из Ь2(^) так, что

/УУ\ = / -[е если ьы(1) = 1,

<Г,Ук) \ [е если ьы(0) = 1, 1 ;

где Ук, к = 1,...,х — т& же фундаментальная система, что и при доказательстве леммы 3, Такой элемент существует и притом даже в КегЛтах. Действительно, если положить

х

У =5>Л, к=1

то условия (14) будут системой уравнений относительно постоянных ..., определитель которой есть определитель Грама линейно независимых функций У0,... ,Ух. Следовательно, он отличен от нуля. Обозначим через V решение уравнения Л0у = у. Тогда из формулы Лагранжа следует

у'(1) = [е при д+е Е Г,

V'(0) = [е при д-е Е Г. Итак, построенная функция V(х) Е 0(Лтах) такая, что

у'(1) = [е, V(1) = 0 при д+е Е Г,

у'(0) = [е, V(0) = 0 при д-е Е Г. Меняя ролями наборы ае и [е, а также операторы Л0 и Л2, получим полное доказательство леммы 4, □

Теперь можно сформулировать утверждение относительно минимального оператора Л0, Лемма 5. Ло с Л* = Лтах, Л*тах = Ло.

Лемма 5 доказывается точно также как доказано утверждение V §17 из монографии [15].

Основная теорема данного пункта.

Теорема 2. При выполнении предположения 1 всякое самосопряженное расширение Л оператора, Л0 определяется, линейно независимыми к = 1,... ,х краевыми условиям,и вида,

Uk (V) = £ ЫУе{1) + РекУ'е(1)] + £ ЫУе(0) + РекУ'еШ = 0, (15)

d+ееГ д—еёГ

где аек, Рек — некоторые константы, причем,

£ [«ефек - «екPej] = £ [«е^ек - «екPej] (16)

S+ееГ д—еёГ

при j,k = 1, . . . ,х-

Обратно, всякие линейно независимые краевые условия вида (15), удовлетворяющие соотношениям, (16), определяют область определения, некоторого самосопряженного

Л Л0

Доказательство. Следуя схеме доказательства теоремы 5 §18 из монографии [15], введем функций Vi,..., Vx. Точнее говоря, Vk из области определения 0(Лтах) с условиями

V'ke (1) = «ек, Уке (1) = - Рек При д+е G Г, (17)

V'ke (0) = -«е к, Уке(0) = Рек При д-6 G Г.

Согласно лемме 4, такие решения существуют. Тогда условия (15) при j,k = 1,...,х примут вид

ик (Y) = £ [Уе(1)< (1) - У'е(1>ке (1)] - £ [?/е(0) ^ (0) - У'е(0) Уке (0)] = 0.

д+е€Г е€Г

Согласно результатам монографии [15], краевые условия (15) определяют область опреЛ Л0

функции V[,..., Vx, определенные согласно (17), также удовлетворяют соотношениям

ик (Yj) = 0, k,j = 1,...,x.

Теорема 2 полностью доказана, □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Покорный Ю.В. О спектре некоторых задач па, графах // Успехи мат. науки. Т. 42, вып. 4. 1987. С. 128-129.

2. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. О краевой задаче па, графе // Дифференциальные уравнения. Т. 24. 1988. С. 701-703.

3. Покорный Ю.В., Приядиев В.Л., Аль-Обейд А. Об осциляциоппых свойствах спектра краевой задачи на, графе // Матем. заметки. Т .60, вып. 3. 1996. С. 468-469.

4. Покорный Ю.В., Приядиев В.Л. Некоторые проблемы качественной теории Штурма-Лиувилля на, пространственных сетях // Успехи мат. науки. Т. 59, выи 6. 2004. С. 115-150.

5. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Приядиев В.Л. и др. Дифференциальные уравнения па геометрических графах. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2005. 272 с.

6. M.I. Belishev Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by the ВС methods // Inverse problems. V. 35, iss 10. 2004. P. 4069-4088.

7. R. Carlson Inverse eigenvalue problems on directed graphs // Trans. Amer. Math. Soc. V. 351. 1999. P. 101-121.

8. P. Kurasov, F. Stenberg On the inverse scattering problem on branching graphs //J. Phvs. A. Math. Gen. V. 20.2002. P. 647-672.

9. M. Ramirez Jorge Green's Functions for Sturm-Liouville Problems on Directed Tree Graphs // Revista Colombiana de Matemáticas. V. 46. 2012. P. 15-25.

10. Юрко В.А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах // Математ. заметки. Т. 79, вып 4. 2006. С. 619-630.

11. М. Astudillo, P. Kurasov, М. Usman RT -symmetric laplace operators on star graphs: Real spectrum, and selfadjointness // Adv. Math. Phvs. 2015.

12. P. Kurasov, M. Garjiani Quantum, graphs: PT-symmetry and reflection symmetry of the spectrum // Journal of Mathematical Physics. V. 58. 2017.

13. M. Znojil Quantum star-graph analogues of PT-symmetric square wells // Can. J. Phvs. V.90, iss 12. 2012. P.1287-1293 .

14. M. Znojil Quantum, star-graph analogues of PT-symmetric square wells: Part II. Spectra // Can. J. Phvs. V. 93, iss 7. 2014. P.765-768.

15. Наймарк M.A. Линейные дифференциальные операторы. M.: Наука. 1969. 526 с.

16. Цой С., Цхай С.М. Прикладная теория графов. Алма-Ата:Наука. 1971. 499 с.

17. F. Hararv Graph theory. Addison-Wesley Publishing Company. 1969. 274 p.

18. O. Post Spectral Analysis on Graph-Like Spaces // Springer Science k, Business Media. V. 2039. 2012.

19. Афанасьева H.A., Булот Л.П. Электротехника и электроника. СПб.:СПбГУН и П.Т. 2010. 181 с.

Ляйля Курмантаевна Жапсарбаева,

Казахский национальный университет им. аль-Фараби,

пр. аль-Фараби 71,

А15ЕЗВ4, г. Алматы, Казахстан

E-mail: leylazhk67@gmail. com

Балтабек Еематович Кангужин,

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, пр. аль-Фараби 71, А15ЕЗВ4, г. Алматы, Казахстан E-mail: kanbalta@mail. ru

Марал Нурлановна Коныркулжаева,

Казахский национальный университет им. аль-Фараби,

пр. аль-Фараби 71,

А15ЕЗВ4, г. Алматы, Казахстан

E-mail: maralkulzha@gmail.com