Интегральное преобразование на графе для дифференциального оператора второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2005, Том 7, Выпуск 2

УДК 517.927

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НА ГРАФЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА

Р. Ч. Кулаев

Академику С. М. Никольскому к его столетнему юбилею

Строится конечное интегральное преобразование для общего дифференциального оператора, порожденного линейным дифференциальным выражением 2-го порядка, заданным на конечном геометрическом графе, и краевыми условиями, задаваемыми в вершинах графа. Приводится формула обращения, соответствующая этому преобразованию.

Имеется обширная литература, в которой изложена теория построения и применения интегральных преобразований [1, 4, 5]. Однако во всей этой литературе имеется пробел по интегральным преобразованиям, у которых переменная преобразования меняется на конечном геометрическом графе (пространственной сети). Вместе с тем, классы задач, в которых переменные меняются на геометрическом графе, достаточно широки и активно исследуются. Подобные задачи возникают при изучении эволюционных процессов в системе волноводов, в упругих сетках, в электрических сетях.

1. Основные понятия

Начнем с описания основных терминов и обозначений используемых ниже (более подробно см. [3]).

Пусть дано конечное множество попарно непересекающихся открытых отрезков {7»}™ пространства Ж". Обозначим через V множество точек пространства Ж", которые являются концевыми точками двух и более интервалов. Объединение всех точек интервалов 7» и множества V обозначим через Г и будем называть геометрическим графом (в дальнейшем просто «графом»). При этом интервалы 7» будем называть ребрами графа Г, а точки множества V — его внутренними вершинами. Концевые точки ребер графа не принадлежащие V будем называть граничными вершинами графа Г. Совокупность всех граничных вершин обозначим через дГ. Если вершина а является концевой точкой ребра 7», то будем говорить, что ребро 7» примыкает к вершине а. Всюду далее полагаем, что граф Г является связным множеством в Ж.

Будем рассматривать комплекснозначные функции нескольких переменных, у которых одна переменная имеет областью своего изменения граф Г. Области изменения других переменных в настоящей работе нас не интересуют, поэтому, в целях упрощения записи, для таких функций примем обозначение и = и(х), х £ Г, а через и» будем

© 2005 Кулаев Р. Ч.

обозначать сужение функции u на ребро Y». Везде ниже полагаем, что рассматриваемые функции равномерно непрерывны по переменной x на каждом ребре графа. Множество всех таких функций мы обозначим через C(Г). Далее, если a — произвольная вершина (граничная или внутренняя) графа Г, то под u»(a) понимается lim u»(x), x G 7».

x^a

Будем считать, что все ребра графа ориентированы. Производная функции u в точке Хо ребра Yi = (a», b») определяется следующим образом:

,, d / bi - a» \ Ui(xo) = dt Um a» +--f,—t )

t=to

где ж0 = а + Ь{ 1 а¿0, 0 < ¿0 < к, к — длина ребра 7^

Через С 1(Г) обозначим множество функций из С (Г), имеющих внутри каждого ребра равномерно непрерывные производные, а через С2(Г) — множество функций из С 1(Г), имеющих на каждом ребре непрерывные производные второго порядка.

Под дифференциальным выражением 2-го порядка на графе будем понимать выражение вида

д2и ди

А(Ж) дЖ2 + В(Ж) дЖ + С (Ж).

Здесь А, В, С — функции одной переменной, определенные на графе Г. Дифференциальное выражение определено на множестве С2(Г). Это выражение можно трактовать в

виде системы т обычных дифференциальных выражений

А(ж)+В*(ж)+Сг(ж), ж £ 7г,

рассматриваемых на каждом ребре 7» £ Г, I = 1,..., т.

Под интегралом функции и £ С (Г), взятым по графу Г, понимаем сумму интегралов по всем ребрам графа, т. е.

m .

u(x)dx = ^ / u»(x) dx.

Y

Каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, с учетом выбранной ориентации ребер графа, определяется равенством

к

J Пг(ж)^ж = J П^а + 6 ^

ъ 0

где 7» = (а, 6^), 0 < 4 < к — длина ребра

Интегральным преобразованием функции и £ С (Г) называем линейный интегральный оператор

Си = J и(ж)Ф(£,ж) ¿ж, г

ставящий в соответствие функции и новую функцию

П = П(0 = Си,

При этом область преобразования Г — это конечный граф, а Ф(£, ж) — ядро интегрального преобразования. Функцию П = п(£) будем называть интегральным преобразованием или изображением, а совокупность всех П — пространством изображений.

Преобразование

С и = и(х),

где С 1 — оператор, обратный оператору С, переводящее функции и в функцию и, будем называть обратным преобразованием или формулой обращения.

2. Построение конечного интегрального преобразования

Пусть рассматриваемые математические соотношения содержат составляющими частями линейное дифференциальное выражение

д2и ди

А(х) дХХ2 + В(х) дх + С (х)и, А(х) = 0,

заданное на графе Г; краевые условия

и(Ь) = 0, Ь е дГ,

и условия, задаваемые в каждой внутренней вершине а графа Г.

щ(а) = аг(а)и1 (а), i = 1,...,^(а),

(1)

(2)

¿(а)

дх (а) = 0,

¿=1

(3)

( Л ¿(а)

где й(а) — число ребер графа, примыкающих к вершине а; а(а) = <аг(а)> и в(а) = ( Л ¿(а)

< вг(аН — наборы чисел, свои для каждой вершины а е V. Полагаем, что а1 (а) = 1,

вг(а) = 0, (а(а),в(а)) = 0 при некоторой нумерации ребер, примыкающих к вершине а. В условиях (3) производные подсчитаны при параметризации ребер в направлении «к вершине а».

Построим такое интегральное преобразование, чтобы после применения его к любой системе соотношений, содержащей (1)-(3), соответствующая система в пространстве изображений не содержала дифференциальных операций по х. Для этого дифференциальный оператор

д2 д ¿о = А(х) дх2 + В(х) дх + с (х)

выбором весовой функции г(х) преобразуем в самосопряженную форму

¿0" г(ху{ дх(р(х) дх) +9(х)} "1

Относительно функций р, р', д и г будем предполагать, что они равномерно непрерывны

на каждом ребре графа Гх, причем р(х) > 0.

жбГ

Искомое интегральное преобразование представимо в виде

и(Л) = Си = ! и(£)Ф(Л,0

Тогда дальнейшей задачей является определение ядра Ф(Л, х).

Применяя оператор С к Ьоп, получим

С[Ь0п] = С

1

-Ьп

1

)

Ьп ■ Ф(А,0 ^

т [ д ( Г^Щ (0\ Фг(А,0 ^ т [ т^Мл,

=1,

дО гг(е)

1

Гг(^)

■ 7г И

Интегрируя по частям каждый из интегралов в первой сумме, получим

С

1

Ьп

( Ф

= ] п(ОЬ^^ + я,

(5)

где

Я = Ядг + Яу = - Рг(х) ь{&аг

й(а;)

дп»(х) Ф»(А,х) )д (Ф»(А,х) дх Тг(х) » дх\ Тг(х)

Х—Ъ;

+ ^ ^ Рг(х)

дщ (х) Ф»(А, х) + . /Ф»(А, х) дх гг(х) г дх \ гг(х)

при этом все производные посчитаны в направлении «к вершинам графа».

Обозначим через р(А,х) функцию ^^х). Тогда, привлекая условия (2), (3), не трудно

получить

ЯдГ = - ^ Рг (х) дщ(х фг(А,х)

Ъ едг

дх

Х=Ъ;

) о/^ /ч/лч ) я Л (6)

т-> ^ ) \дщ\х) рг(х)(рг(А,х) ^ др»(А, х)

ЯУ = в»(а3 )~дх---вы--Щ(а3 ^ а»(а )Рг(х)^дх-

I г — 1 ^ У ' г — 1

дх

дх

Для того, чтобы преобразованная система не содержала операций дифференцирования по х, достаточно положить

Ьр = —Агр (7)

и присоединить следующие краевые условия

р(Ь) = 0, Ь е дГ,

й(а)

рг(а) = а*(а)р1(а), ^Я(а)=0, а е V,

(8)

где а*(а) = , в»(а) = а»(а)рг(а).

Действительно, в силу (5)-(8)

С[Ьоп] = ! и(0,)Ьр(Ц = —АI п(От(£МО % = —Ап(А).

(9)

Таким образом, задача определения ядра преобразования свелась к спектральной задаче (7), (8). Из спектральной теории краевых задач на графе следуют следующие свойства (см. [2]):

г

г

х—а

а; 6 У г—1

3

Х—а

1) Задача (7), (8) является сопряженной для краевой задачи (7), (2), (3).

2) Спектр Л задачи (7), (2), (3) состоит из последовательности собственных значений

не имеющей конечной предельной точки.

3) Спектры задачи (7), (2), (3) и ее сопряженной задачи совпадают с учетом кратности.

4) Система корневых (собственных и присоединенных) функций полна, т. е. всякая функция истокообразнопредставимая через функцию Грина интегрального оператора, обращающего задачу (7), (2), (3), разлагается в равномерно сходящийся на Г ряд по корневым функциям Нк(ж) краевой задачи (7), (2), (3)

те „

и(ж) = ^Нк(ж), 5к = п(ж)Н£(ж)г(ж) ^ж, (10)

к=1 Г

где {Нк(ж)} — корневые функции сопряженной задачи (7), (8).

Сравнивая (10) с интегральным преобразованием (4) искомой функции и, видим, что ядро Ф(А, ж) определено на множестве Л х Г, Л = {Ак}^=1 и при А = Ак € Л представляет собой произведение собственной (или присоединенной) функции Нк задачи (7), (8) на весовую функцию г.

Интегральный оператор С : С (Г) ^ ¿2 ставит в соответствие каждой функции и € С (Г) последовательность {и(Ак)} ее коэффициентов Фурье по системе корневых функций {Н£}:

и(Ак) = У и(£)Н£(£)г(0 Ак € Л. (11)

Г

Как следует из (9) преобразование С сопоставляет выражению (1) с краевыми условиями (2), (3) однозначно определяемое выражение — Аи. Тем самым дифференциальная операция ¿о заменяется алгебраической операцией умножения на —А, А € Л.

Рассмотрим функцию и € С2 (Г) и удовлетворяющую краевым условиям (2), (3). Как следует из сформулированных выше свойств, функция и разлагается в равномерно сходящийся ряд по корневым функциям задачи (7), (2), (3). Для такой функции можно найти преобразование С-1 : В ^ С2(Г), где В — линейное многообразие в пространстве ¿2, обратное интегральному преобразованию С. Обратное преобразование

С-1и = и(ж)

определяется как разложение оригинала и в ряд по системе {Нк}. Из (10) находим, учитывая (11),

те

и(ж) = ^ Нк (ж) ■ и(Ак). (12)

к=1

Резюмируя вышеизложенное, сформулируем следующее утверждение:

Теорема. Для любой функции и € С2(Г), удовлетворяющей условиям (2), (3), имеет место формула обращения (12), которая совместно с (11) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функцией и и ее интегральным преобразованием и.

3. Пример построения интегрального преобразования

Пусть дифференциальное выражение

д2и

Ьп =

дх2

задано на плоском графе Г С Ж2, состоящем из трех ребер 71, 72, 73 и одной внутренней вершины а их соединяющей, как это изображено на следующем рисунке:

73 , -° Ьз

Ь2

Длины ребер 71 и 72 равны единице, а длина ребра 73 равна двум. На границе графа, в точках Ь1, Ь2 и Ьз, заданы условия

п(Ьг) = 0, Ь е дГ.

Во внутренней вершине а задаются условия

п1(а) = п2(а) = п3(а),

дх (а)+ 2д! (а) + 3др (а) = 0.

дх дх дх

Считаем, что производные посчитаны в направлении к вершине а.

Дифференциальное выражение задано в самосопряженной форме, поэтому р(х) = 1, г(х) = 1, х е Г. В соответствии с (8)

аГ(а) = 1, аГ(а) = 2, аГ(а) = 3, вГ(а) = вГ(а) = вз(а) = 1.

Задача (7), (8) имеет вид:

2

дХ2+А< = 0 (13)

^(Ьг) = 0, Ь е дГ, г = 1,2,3,

<¿2(а) = 2< (а), ^3(а) = 3^1(а), |х (а) + дх (а) + дх (а) = 0- (14)

Функции

Г8т(^А||х - ^Н^ х е 7г, ^1г(х,А) = 4

[0, х е Г\7г,

Ге08^\/ЛНх - ЬгН), х е 7г,

Ых,А) = Г

[0, х е Г\7г,

г = 1, 2, 3, образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения (13).

Пусть , к = 1,..., 6, — набор линейных функционалов, определяющих систему уравнений (14). Рассмотрим характеристический определитель Д(А) = ёе! А))||

] = 1, 2, г = 1, 2, 3, который путем несложных преобразований приводится к виду

Д(А) = -3^А ■ 8ш2УА ■ (4 8ш2УА - 3).

Собственные значения задачи (13), (14) суть нули характеристического определителя. Решая уравнение Д(А) = 0, получим три последовательности нулей определителя Д(А):

А^ = И - у

2п

А!2- = (пк - 3

а!3- = (пк)2, к £ N.

При этом кратность нулей А^,1- и А^,2- равна единице, а кратность А^3- равна двум.

Представим спектр Л задачи (13), (14) в виде возрастающей последовательности {А!}£=1, причем каждое собственное значение входит в Л столько раз, какова его кратность. Собственные функции (ж) задачи (13), (14) имеют вид:

^4га-3(ж) =

^4га-2(ж) =

А4„-3 ||ж - Ь, Ж £ 71,

2 8ш(у/А4п—3||ж - Ь21), Ж £ 72,

(-1)п+138т(УА4п-7||ж - Ьз|), ж £ 73,

8ш(х/А4п-2 ||ж - 1|),

ж £ 71,

Ж £ 72,

ж £ 7з,

ж £ 71, ж £ 72,

2 8т(у/А4П-2||ж - 62!),

81п^уА4П-1 ||ж - 611|), (ж) = 0,

(-1)п+1 - Ьз||), ж £ 7з

0, ж £ 71,

(ж) = 8т(^А4П||ж - 621), ж £ 72,

(-1Г+1 в1п(^А4П||ж - 6з||), ж £ 73,

где п £ N.

Собственные функции (ж) сопряженной для (13), (14) задачи определяются следующим образом:

^4п-з(ж) = <

2 (ж) =

1 (ж) = <

А4п-з|ж - 611), ж £ 71,

А4п-з|ж - &21|), ж £ 72,

[(-1)п+1 А4„-3 ||ж - 6з||), ж £ 7з,

8ш(д/А4П—2 ||ж - 611), ж £ 71,

8ш(^/А4п—2 ||ж - 621), ж £ 72,

Д-1)" 8т(^/А4п-2|ж - 63 | ), ж £ 7з,

3 8т(^/А4П—1 ||ж - 611), ж £ 7ъ

0, ж £ 72,

[(-1)п+1 81п^А4п-1 ||ж - 6з||), ж £ 7з,

2

2

'0,

^4п(х) = 8т(^А4П||х - Ь2||),

Д-1)" 81п(^А4П||х - Ьз|),

х е 71, х е 72, х е 73,

где п е N.

Прямое интегральное преобразование, согласно (11), имеет вид

и(Лк) = | и(£)Л|(О к е N.

г

Обратное преобразование (формула обращения), в соответствии с (12) принимает вид

1. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.—М.: Физматгиз, 1961.—524 с.

2. Завгородний М. Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // Докл. РАН.—1994.—Т. 335, № 3.—С. 281-282.

3. Завгородний М. Г., Кулаев Р. Ч. О непрерывной зависимости точек спектра краевой задачи на графе от параметров условий согласования // Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6, вып. 2.—10-16 с.

4. Мартыненко Н. А., Пустыльников Л. М. Конечные интегральные преобразования.—М.: Физмат-гиз, 1956.

5. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике.—М.: Физматгиз, 1956.— 204 с.

Статья поступила 1 ноября 2004 г-

кулаев руслан черменобич, к. ф.-м. н. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН

и(х) = ^ и (Ак)Лк(х).

к=1

Литература