CC BY
42
УДК 517.958
РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ РАЗМЕРНОСТИ ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ 6 В. Л. Прядиев
Белгородский государственный университет,
ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, е-та 11:ргуа[email protected]
Аннотация. Доказывается формула, связывающая размерность пространства решений задачи Штурма-Лиувилля на геометрическом графе Г с размерностями пространств решений таких же задач на подграфах, получаемых из Г выбрасыванием какой-либо точки, не являющейся граничной вершиной.
Ключевые слова: геометрический граф, задача Штурма-Лиувилля, размерность пространства решений.
1. Объект исследования
Всюду ниже Г - конечный и замкнутый геометрический граф, т. е. Г := У е, где
ве£
£ - конечный набор отрезков кривых в пространстве Кп, которые ещё обладают свойством, что любые два отрезка кривых из £ либо не пересекаются, либо пересекаются ровно в одной точке, причём являющейся их общим концом. Дополнительно о Г будем предполагать, что Г, как множество в Кп, является связным.
Для каждого ребра е £ £ зафиксируем какую-либо его непрерывную параметризацию пе : [ае; Зе] е (здесь ае и Зе - некоторые вещественные числа, ае < [Зе, а
непрерывность пе понимается в смысле евклидовых метрик в К и Кп). О пе также предполагается взаимная однозначность как сужения пе на [ае; Зе), так и сужения пе на (ае; Зе]; тем самым не исключается случай пе(ае) = пе(Зе), т. е. рёбра-петли. В соответствии с параметризацией рёбер вводится понятие производной для произвольной
функции, определённой на Г \ V, где V - множество вершин Г, т. е. V := и де; здесь
ее£
де := {пе(ае); пе(Зе)}. А именно, пусть комплекснозначная функция у определена в некоторой окрестности7 точки х £ е \ де, т. е. у о пе определена в некоторой окрестности точки п-1(х) £ (ае; Зе); здесь и далее через п-1 обозначено отображение, обратное к сужению Пе на (о^; Зе). Числа у'(х) := (у° Пе) (п-1(х)) и у"(х) := (у° п)" (п-1(х)) будем называть соответственно первой и второй производной функции у в точке х.
6Работа выполнена в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы (госконтракты № П693 от 20.05.2010 г., № 02.740.11.0613 от 29.03.2010 г.).
7Окрестность в Г понимается в смысле индуцированной на Г из К” евклидовой топологии.
Чтобы определить производные в вершинах Г, нам понадобятся дополнительные построения (эти построения существенны только при наличии рёбер-петель). Половинками ребра е назовём кривые к := {пе(з) | ае ^ 5 ^ 7е} и п := {пе(з) | 7е ^ ^ ве}, где
7е := (ае + ве)/2. Будем при этом использовать следующие обозначения: пй := пе|, . ,,
1 [ае,7е]
пп := пе|г ,, ай := ае, вй := 7е, ап := 7е, вп := ве. Множество всех половинок рёбер
1 і [7е;ре] 1 1
Г обозначим через Н. Для любой вершины V через Н(г>) обозначим {к Є Н | дк Э V}. Если к Є Н^) (т. е. дк Э V), то будем говорить, что к примыкает к V.
Если теперь функция у определена в некоторой окрестности вершины V, то производную функции у в вершине V вдоль кривой к Є Н^) в направлении от V определим следующим образом:
{(у ° пй)' (ай) , если х = п^ (ай)
-(у° Пй)' (вй) , если х = Пй (вй)
Далее, будем предполагать, что во множестве V вершин Г зафиксировано подмножество дГ такое, что множество Г\дГ связно. Точки из дГ будем называть граничными вершинами геометрического графа Г, а точки из 3 := V\ дГ - внутренними вершинами геометрического графа Г.
В дальнейшем множество пар (х, к) таких, что х Є 3, а к Є Н(х), будем обозначать через Р.
Формула
(£у)(х) :=
— у''(х) + ^(х)у(х) , если х Є Г \ V
— ^ а(х, к)уй(х) + ^(х)у(х) , если х Є 3
йєН(ж)
в которой отображения д : Г ^ С и а : Р ^ К заданы, определяет дифференциальный оператор Ь, для которого будем рассматривать краевую задачу
(£у)(х) = о (х £ Г \дГ) (1)
у(х) = 0 (х £ дГ) ’ ( )
где у - искомая комплекснозначная функция, непрерывная в вершинах Г.
Вопрос о размерности п пространства решений задачи (1) эквивалентен вопросу о геометрической кратности собственного значения соответствующей спектральной задачи. Последний изучался многими авторами (см., например, [1-4]). Было замечено, что значение п зависит от расположения нулей решений задачи (1). Например, если у задачи (1) есть решение уо без нулей во внутренних вершинах и циклах Г, то п = 1 (см., например, [1, теорема 3, из § 2 главы III], либо [2, теорема 3], либо [3, теорема 5.4], либо [4, теорема 10]). Также отмечалось влияние на значение п т. н. "гладкого примыкания", когда все решения задачи (1) тождественно равны нулю на некотором ребре, примыкающем к некоторой граничной вершине (см., например, лемму 5.2 из [3] или,что то же самое, лемму пункта 5.4.5 из [5]).
В настоящей статье обобщаются результаты статьи [6] - с сохранением разработанного в ней подхода. Это позволяет усилить отмеченные результаты из [1-5].
2. Формулировка и доказательство основного результата
Пусть с - некоторая точка из Г \ дГ, а I - количество компонент связности множества Г \ {с} (не исключено, что I =1 - такое возможно, если с принадлежит некоторому циклу Г или если одновременно с £ 3 и |Н(с)| = 1). Обозначим замыкания этих компонент связности через Г1, Г2, ... , Г^. Заметим, что каждое из множеств Г, является графом. Будем считать, что
1) дГ, = (дГ П Г,) и {с};
2) множество всех внутренних вершин Г, совпадает с (3 П Г,) \ {с};
3) параметризация геометрического графа Г, наследуется от Г, т. е., во-первых, если
е £ £ является ребром Г,, то его параметризация, как ребра Г, равна пе, и во-вторых, если е £ £ и с £ е \ де, то параметризацией е1 := {пе(з) | ае ^ 5 ^ п-1(с)}, как ребра того единственного графа Г,, для которого е1 является ребром, объявляется сужение пе на [ае; п-1(с)], а параметризацией е2 := {пе(з) | п-1(с) ^ 5 ^ Зе} - сужение пе на
[п-1(с); Зе].
Рассмотрим теперь задачи
(Ьу)(х) = 0 (х £ Г, \ дГ,) (2)
у(х) = 0 (х £ дГ,) ’ ( )
] = 1,1. Далее, через п, обозначается размерность линейного пространства решений
задачи (2).
Для каждого ] = 1,1 посредством Н, (с) обозначим множество всех половинок рёбер геометрического графа Г,, примыкающих к с.
I
Приводимая ниже теорема показывает, что разность между п и ^ п, может прини-
,=1
мать только значения -1, 0 и 1, а какое именно - зависит от выполнения двух условий: (А) для любого ] = 1,1 всякое решение задачи (2) удовлетворяет равенству
^ а(с,%;(с) = 0 , (3) НеН, (с)
где в случае с £ 3 полагается, что а(с, Л) равно 1 для обеих Л, примыкающих к с, (Б) всякое решение задачи (1) обращается в нуль в точке с.
Для любого утверждения В определим число
1, если В истинно
тВ :=
0, если В ложно
I
Теорема. Имеет место равенство п = £ п, + Т(А) - Т(Б).
,=1
□ Обозначим через Y линейное пространство всех решений задачи (1), а через Y0 -линейное подпространство функций из Y, обращающихся в нуль в точке с. Отображение у М у (с), рассматриваемое на Y, есть линейный функционал на Y, и Y0 есть ядро этого
функционала; поэтому dim Y0 = dim Y — 1 + Т(Б), т. е. dim Y0 = п — 1 + Т(Б). Значит, для
доказательства теоремы достаточно показать, что
dim Yo = ^ П + Т(А) — 1. (4)
j=i
Рассмотрим случай Т(а) = 0, т. е. случай, когда для некоторого значения к параметра j задача (2) имеет решение, удовлетворяющее неравенству
a(c,h)yh(c) = 0 •
h€Hfc(c)
В этом случае (4) примет вид
dim Y0 = п, — 1. (5)
j=i
Допустим пока, что
nfc = 1 и п, =0 (j = к) . (6)
Пусть у 6 Y0. Тогда у (с) = 0, и значит, для любого j сужение yL есть решение задачи
1 Г .
(2), откуда в силу (6) вытекает, во-первых, что
у|г. = 0 (j = к), (7)
1 Г 3
и во-вторых, существование в 6 C такого, что
у|Гк = в^ (8)
где ^ - некоторое нетривиальное решение задачи (2) при j = к. Из (7) и (8) следует
0 = — a(c,%h(c) + 5(с)у(с) = — в Y a(c,h)^h(c) ,
heH(c) heHfc (c)
что ввиду а(с, h)^h(c) = 0 влечёт в = 0. Объединяя теперь (7) и (8), получим
heHfc(c)
у = 0, что ввиду произвольности выбора у означает, что dim Y0 = 0. Но тогда из (6) вытекает (5).
Теперь рассмотрим случай, когда (6) не выполняется. Пусть Д - множество всех тех j, для которых п, > 0 и некоторое решение задачи (2) не удовлетворяет равенству
(3). Пусть 12 - множество всех тех j, для которых п, > 0, но всякое решение задачи (2) удовлетворяет равенству (3). Наконец, пусть - множество всех тех j = 1,1, которые
не вошли ни в /1, ни в /2. Множество 11 непусто, так как 11 Э к. Для каждого з £ 11 и 12 в пространстве решений задачи (2) существует базис ^{, ... , . При этом можно
считать, что для з £ 11 этот базис выбран так, что для функционала д,, определённого формулой д,(<^) := ^2 а(с, Л)^^(с), выполнены равенства
(с)
^ч('А) = 1, нАч^п) =0 (т = 2> • (9)
Рассмотрим функции:
^ (х) , если х £ Г,
к
V(х) = ^ —^{(х) , если х £ Г, (з £ 11 \ {к}) , (10)
0 , если х £ Г \ (Гк и Г,)
7 / \ I </?т(Х) , еСЛИ 1бГ, . . ----. , ,
!(х) = < ^ ^ ^ (з £ 11, т = 2, п,), (11)
тк ' '0 , если х £ Г \ Г, ^ у ;
1 , \ \ <р1„(х) , если х € Г,- Т ч ,1гЛ
< х = { п ^ тЛ г 0 £ 72, т = 1,тг,-). 12
7 [0 , если х £ I \ Г, •"
Непосредственно проверяется, что эти функции являются нетривиальными решениями
задачи (1), принадлежащими У0, и что их число равно |11 \ {к}| + ^ (п, — 1) + ^ п,,
,€/1 ,'€/2
I
то есть £ п, — 1. Покажем линейную независимость функций (10)—(12). Пусть ,=1
^ с ^ (х) + ^Х!(х) + ^Х!(х) = 0 (х£г), (13)
,€/1\{к} ,€/1 т=2 ,€/2 т=1
где - некоторые комплексные числа. Сужая это равенство на подграфы Г, для
3 £ 12 и (11 \ {к}), получим в силу (10)-(12), что
X! ^т(х) =0 (х £ Г,), з£ ^,
т=1
пз
с ^!(х) + X! ^т(х) =0 (х £ Г,), з£ л \{к},
т=2
откуда, ввиду определения функций <^т, вытекает, что
В3т = 0 0' £ 72 и (Л \ {А:}) , т = 1,7Г,-) . (14)
Из (14) и (13) следует тождество
пк
£ стй,(х) =0 (х £ Гк)
ттт
т=2
которое, ввиду линейной независимости функций <^т, влечёт
0 (т =2,7Гд.)
что вместе с (14) означает линейную независимость функций (10)—(12).
Для доказательства равенства (5) остаётся показать, что если у £ У0, то у представима в виде линейной комбинации функций (10)—(12). Итак, пусть у £ У0. Тогда у(с) = 0, и значит, для любого ;) = 1, £ функция у I есть решение задачи (2). Но тогда, во-первых,
1 г з'
для любого з £ /3 выполнено ук = 0, и во-вторых, для любого з £ /2 и (11 \ {к})
3
функция у1 представима в виде линейной комбинации функций , ... , ,, то есть
для каждого з £ /2 и (/1 \ {к}) существует последовательность {£т}т,=1 комплексных чисел, такая, что
у|
(15)
т=1
Рассмотрим на Г функцию
у — ^ ^ ст ^т —
!е/2 т=1
£
!€/1\М
т=2
(16)
Если г = 0 на Г, то требуемое утверждение доказано. Поэтому рассмотрим случай, когда г нетривиальна. В силу (16), г есть решение задачи (1). Далее, ввиду (15) и (10)-(12), выполнено
г| = 0 (з = к). (17)
1 Г 3
Значит, г(с) = 0 = г^(с) для всех Л £ Н(с) \ (с), что влечёт
(г) = 5(Ф(с) — X! Д(г) = 0 •
(18)
Из (17) следует, что г к = 0, поэтому (с учётом г (с) = 0) сужение г к есть нетриви-
I г к ' Г &
альное решение задачи (2) при з = к, причём линейно независимое, в силу (18), с ^. Значит, во-первых, п^ > 1, во-вторых,
к
Ск
\Тк т
т=1
при некоторых , ... , С^к из С.
Из (18), (19) и (9) вытекает, что
г
г
г
к
0=Д1(г) = ^ стм^т)=
т=1
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Д..Д Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 147 то есть С1 = 0, и поэтому равенство (19) можно уточнить:
пк
-vl — tk irk
Zlrk / у W^m ' m=2
А это равенство, в силу (11) (учитываем, что к £ /1) и (17), равносильно равенству
пк
Ее
m=2
к ^к mm
которое в совокупности с (16) доказывает представимость у в виде линейной комбинации функций (10)-(12).
Таким образом, равенство (5) доказано и в случае, когда (6) не выполняется.
Итак, если Т(А) = 0, то (4) выполняется. Пусть теперь Т(а) = 1. Тогда (4) примет вид:
i
dim Y0 = п . (20)
j=i
Пусть
ж,=0 (,i = U). (21)
Пусть также у Е 1'о- Тогда для любого j = 1,£ функция у\ есть решение задачи (2),
__j
что ввиду (21) влечёт тривиальность у\ для всех j = 1,£, то есть тривиальность у.
1 Г J
Значит, dim Y0 = 0, что в совокупности с (21) влечёт (20).
Теперь допустим, что (21) не выполняется, то есть Д = 0, /2 = 0. Рассмотрим функции (12), являющиеся, в силу своего определения, нетривиальными решениями задачи (1), принадлежащими Y0. Число этих функций равно
Е п
je/2
и они линейно независимы (это установлено при рассмотрении случая Т(а) = 0).
Остаётся доказать, таким образом, что всякая функция из Y0 представима в виде линейной комбинации функций (12). Итак, пусть y Е Y0. Тогда для любого j = 1,1 функция yL есть решение задачи (2), что влечёт, во-первых, тривиальность yL при
1 Г j _ 1 Г j j Е /3, во-вторых, что для любого j Е /2 существует последовательность (Cmlm=l комплексных чисел, такая, что выполнено (15), откуда в силу (12) вытекает равенство
У = еЕ& vm • ■
je/2 m=1
Замечание 1. Выражение (py;)(x), где p - положительная непрерывная функция,
x
после замены t = ш(х) := / [p(s)]-1 ds принимает вид: z"(t)/p(w-1(t)), где z := y° ш-1.
z
Поэтому утверждение доказанной теоремы сохраняет силу и в том случае, если в формуле оператора Ь производную у/; заменить на (ру;).
Замечание 2. В конце первого раздела настоящей статьи были отмечены некоторые результаты из работ [1-5]. С учётом замечания 1, уже упомянутая лемма 5.2 из [3] есть частный случай доказанной выше теоремы 1. Что же касается утверждения "Если у задачи (1) есть решение у0 без нулей во внутренних вершинах и циклах Г, то п = 1", то оно следует из теоремы 1 индукцией по количеству Б-зон8 функции у0. В самом деле, база индукции имеется - это следует, например, из теоремы Штурма о перемежаемости нулей для уравнения Ьу = 0 (элементарное доказательство этой теоремы содержится в [1] - см. там теорему 1 главы III). Если же Б-зон - хотя бы две, то, предполагая, что для меньшего количества Б-зон доказываемое утверждение верно, рассмотрим крайнюю Б-зону Г0 функции у0, т. е. Б-зону, которая пересекается ровно с одной из других Б-зон у0 (причём ровно в одной точке - т. к. у у0 нет нулей в циклах Г). Беря в качестве с эту точку пересечения (в этом случае I = 2), будем иметь: п1 = 1 = п2 - в силу предположения индукции. Поэтому, так как ещё и Т(а) = 0 (достаточно рассмотреть сужение у0 на Г0 и учесть, что у0(с) = 0), то применение теоремы 1 даёт: п = 2 — Т(Б). Применяя теперь уже упомянутую теорему Штурма к сужению у0 и любого другого решения уравнения Ьу = 0 на Г0, получим Т(б) = 1, что и влечёт окончательно п = 1.7
Литература
1. Пенкин О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах / Дисс. канд. физ.-мат. наук. / Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 1988. - 88 с.
2. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. О теоремах сравнения для уравнений на графах // Дифференц. уравнения. - 1989. - 25;7. - С.1141-1150.
3. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Ша-бров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 272 с.
4. Покорный Ю.В. О неосцилляции обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств на пространственных сетях // Дифференц. уравнения. - 2001. - 37;5. -С.661-672.
5. Pokornyi Yu.V., Pryadiev V.L. The qualitative Sturm-Liouville theory on spatial networks // J.Math.Sci. - 2004. - 119;б. - P.788-835.
6. Завгородний М.Г., аль-Обейд А., Прядиев В.Л. Геометрическая кратность собственных значений задачи Дирихле на графе / М.Г. Завгородний. - Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 1992. - Деп. в ВИНИТИ 22.09.92, № 2821-В29.‘- 8 с.
8Под 5-зоной функции уо здесь понимается есть замыкание компоненты связности множества {х £ Г 1 уо(х) = 0}.
RECURRENT FORMULA OF SOLUTION SPACE DIMENSION FOR STURM-LIOUVILLE’s PROBLEM ON GEOMETRICAL GRAPH V. L. Pryadiev
Belgorod State University,
Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:e-mail:[email protected]
Abstract. It is proved the formula connecting dimension of solutions space of Sturm-Liouville’s problem on geometrical graph r with dimensions of solution spaces of same problems on subgraphs which are obtained by exception of any point from r which is not boundary vertex.
Key words: geometrical graph, Sturm-Liouville problem, dimension of solutions space.
