Краевые задачи для моделей стержневой системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.21

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

В.А. Гайдай, К.П. Лазарев, Ю.В. Покорный

В работе исследуется корректность моделей поперечных деформаций стержневой системы, описанной краевыми задачами для уравнения четвёртого порядка на графе. Приведены условия вырожденности и невырожденности задачи и показано, что невырожденная задача имеет непрерывную функцию Грина

Ключевые слова: стержневая система, геометрический граф, краевая задача, условие невырожденности

В настоящей работе рассматриваются некоторые стационарные модели малых поперечных деформаций стержневой системы, описанные краевыми задачами для обыкновенного дифференциального уравнения четвёртого порядка на геометрическом графе. Установлены условия, при которых модель некорректна (соответствующая краевая задача вырождена) или корректна (для неё краевая задача однозначно разрешима, имеет непрерывную функцию Грина, решения краевой задачи непрерывно зависят от правых частей). Близкие задачи рассматривались в [1]-[11]. Рассмотренные условия являются уточнением условий, полученных в монографии [1].

1. Предварительные понятия

Приведём необходимые понятия из теории краевых задач на графах, следуя в основном [1].

Пусть в Я3 задано непустое множество попарно непересекающихся одномерных интервалов у^ = (аъа2), / = 1, г, называемых рёбрами, и множество их концов, называемых вершинами. Говорят, что вершины а2г 1, а2г.

примыкают к ребру у1 и ребро у1 примыкает к вершинам а2{ _1 и аъ.

Геометрическим графом Г называется объединение точек всех рёбер yi и некоторого

(может быть, пустого) подмножества вершин, которые мы называем внутренними. Вершины, не вошедшие в Г, называются граничными.

Пусть Е (Г) — это множество рёбер

{?!>•••> 7Г}, ^(Г), дГ, V(Г)— это множество

внутренних, граничных и всех вершин соответ-

Гайдай Виктор Александрович - ВГУ, аспирант; E-mail:viktor_gaidai@mail.ru, тел.: 8-920-212-80-55 Лазарев Константин Петрович - ВГУ, канд. физ.-мат. наук, доцент; E-mail: lazarev_k@mail.ru Покорный Юлий Витальевич - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор; E-mail: pokorny@kma.vsu.ru

ственно. Для каждой вершины а є V(Г) обозначим через Е(а) множество всех рёбер, примыкающих к а. Аналогично, для каждого ребра у є Е(Г) через V (Г) обозначим вершины, примыкающие к у.

На Г рассмотрим индуцированную из Я3 топологию.

Введём необходимые классы функций.

Пусть Г0 — это объединение точек всех рёбер графа. Будем рассматривать функции

и : Г —— Я и и : Г0 — Я, иА (•)- сужение функции и (•) на множество А .

Если сужение иу (•) на каждое ребро у є Е(Г) имеет производную по параметру і при его натуральной параметризации х = (рг (і), то говорят, что функция имеет производную на графе, обозначаемую через и' (х). Таким образом, в точке х є у имеем й_ йі

ются производные и(к) (•), к > 2. Заметим, что производные и квазипроизводные нечётного порядка зависят от выбора направления параметризации рёбер, а чётного порядка - нет.

Пусть С (у) для у є Е(Г) - это множество функций и :у—Я равномерно непрерывных на у. Аналогично, Ск (у) - это множество функций равномерно непрерывных на у вместе с производными до порядка к .

Введём множества:

С (Г0) = {и (•) | и : Г0 — Я, и7 є С (у), у є Е (Г)},

Ск(Г0) = {и()| и : Г0 — Я, иує Ск), у є Е (Г)}, С (Г) — равномерно непрерывные на Г функции,

Ск (Г) = {и (01 и є С (Г), и Г0 є Ск (Г0)}.

u' (x) = — u (<pr (t)). Аналогично определя-

Заметим, что функция и е С (Г0) имеет пределы в произвольной вершине графа вдоль каждого примыкающего к ней ребра. Эти пределы, вообще говоря, различны. Предел в вершине а вдоль примыкающего к ней ребра у = (а,Ь) обозначается через иДа). При изучении краевой задачи мы продолжаем функцию иу (•) е С4 (у) значениями иу (а) и иу (Ь) и тогда на замкнутом отрезке у = [а, Ь] продолженная функция (за ней сохраним то же самое обозначение) будет иметь производные в вершинах, принадлежать пространству С4(у) и удовлетворять соответствующему уравнению на у . Ниже для записи условий, содержащих производные в вершине а, нам удобнее пользоваться производными по направлению "от вершины", которые обозначаются через и\к )(а+).

2. Модели деформаций стержневой системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из г стержней. Пусть в положении равновесия эта механическая система находится в одной плоскости и совпадает с планарным графом Г. При этом каждый стержень отождествляется с его осью и тем самым с обычным одномерным континуумом, который совпадает с некоторым ребром графа так, что граничные точки стержня служат вершинами ребра графа. В некоторых вершинах стержни закреплены шарнирно или упруго-шарнирно (эти вершины считаем граничными), в остальных вершинах графа (их считаем внутренними) стержни соединены шарнирно или упруго-шарнирно, а в некоторых внутренних вершинах имеются упругие опоры.

Будем считать, что смещение точек механической системы от положения равновесия происходит параллельно прямой, перпендикулярной плоскости равновесия, под действием внешней нагрузки, направленной вдоль этой прямой. Тогда отклонение точек системы от положения равновесия и плотность внешней нагрузки можно описать функциями

и : Г ——Я, / : Г0 —Я соответственно. Считаем, что / е С (Г0), и е С2 (Г) и выполнены условия Дирихле иДа) = 0, а едГ, уе Е(а).

Предполагаем, что отклонения малы и деформация стержней вызвана только лишь чистым изгибом в главной изгибающей плоскости,

т.е. сдвигом, кручением и растяжением стержней пренебрегаем.

Функция p( х) описывает жёсткость

стержней в точках х еГ0. Будем считать, что p е С2(Г0), inf p(x) > 0.

хеГ 0

Через Сд(Г) обозначим множество функций и е С2 (Г) и удовлетворяющих условиям Дирихле.

Согласно сделанным предположениям, потенциальную энергию этой системы для и (•) е CQ (Г) можно представить в виде функционала

F (u) = Z J (pY К2 - fyu7) dx +

ye E (Г) у 2

^ 0(a) 2, ч ^ ^ ar(a) f 22

+ Z 2 u (a) + Z Z —~— uy (a+),

a e J (Г) 2 a e V (Г) ye E( a) 2

причём

V(a e V(Г)) V(^e E(a)) ay(a) > 0 и

V(a e J(Г)) e(a) > 0.

Теорема 1. Пусть u (•) — стационарное значение функционала F(•) на С02(Г). Тогда u (•) удовлетворяет условиям u e С4 (Г) и

(puy = f (х), х e Г0, (1)

- py(a) u"y(a+) + a (a) u'y(a+) = 0, (2)

a eV (Г), ye E (a),

0(a)u (a) + Z (p7 К)' (a+) = 0, (3)

Y e E (a)

a e J(Г),

uY (a) = 0, a e дГ, yeE (a). (4)

Доказательство.

Первая вариация равна нулю для любой функции h e С02 (Г) :

$F(u) h = Z J (p, К Ц-fr hr) dx +

ye E (Г) у

+ Z в(a) u (a) h(a) +

a e J (Г )

+ Z Z a (a) u^(a+) h'r(a+) = 0. (5)

aeV (Г) y e E(a)

Выбирая функции h (•) так, чтобы

И (х) = 0 вне некоторого ребра у = (а, Ь) и И (а) = И (Ь) = И'г (а) = И (Ь), получим

|(Рг и"у И - /у Иу)йх = 0, откуда

у

рг и; є С2(у), ри"" є С2(Г0), и"" є С2(Г0),

и є С4(Г) и (ри")" = / на Г0.

Далее для произвольной функции И є Сд (Г) после интегрирования в (5) по частям имеем:

5Ф(и)И = X |((Р/ иР*- ■?у)К йх +

/єЕ(Г) у

+ X (в(а)и(а) + X (Р/ иР ,(а+)) И(а) +

а є J (Г) ує Е (а)

+ X X (-Ру(а) и”у(а+) +

а є V (Г ) /є Е ( а )

+ агДа) иДа+)) И’у(а+) = X (в) и (а) +

а є J (Г )

+ X (Ру и”у)'(а+))И(а) +

/є Е(а)

+ X X (-Ру(а)и"у(а+) +

а є V (Г ) /є Е ( а )

+ аДа) иДа+)) И'у(а+).

Теперь, выбирая И так, чтобы

1) И' (а0 +) = 1 при фиксированных

а0 є V(Г), у0 є Е(а0); ИДа) = 0 при а = а0 и всех у є Е(а0) \ {Х0} или при а ^ а0 и при всех X є Е(а); И (а) = 0 при всех а є J(Г);

2) И (а0) = 1 при фиксированной

а0 є J(Г); И (а) = 0 при остальных

а є J(Г) \{а0}; И'у (а+) = 0 при всех а є V(Г), у є Е(а),

получаем в случае 1) условие (2) при а = а0, у = у0; а в случае 2) — условие (3) при

а = а0.

Теорема доказана.

3. Условия невырожденности краевой задачи

Рассмотрим задачу (1) - (4) на произвольном графе Г для / є С (Г0) и и є С4 (Г).

Задача является однородной, если уравнение (1) имеет вид

(Ри"") " = 0. (6)

Под решением уравнения (1) понимается функция и (•), для которой иГ„ е С4(Г0) и на каждом ребре у е Е(Г) при всех х е у выполнено равенство (ру и;)"(х) = /Дх).

Решением задачи (1) - (4) называем решение и (•) уравнения (1), для которого и (•) е С (Г) и выполнены условия (2) - (4).

Задачу (1) - (4) назовем невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение в С4 (Г).

Решение уравнения (1) на графе Г определяется 4г параметрами, где г - количество рёбер. Число условий (2), (3), (4) и непрерывности также равно 4г, и формально задача (1)-(4) является определённой.

Пусть подмножество Ф графа Г образовано теми рёбрами у = (а, Ь) из Е(Г), для которых выполнены условия (2) при аДа) = аДЬ) = 0. В [1] показано, что задача

невырождена, если Ф = 0 и существует вершина а е J(Г), в которой в(а) > 0 в условии

(3), и задача вырождена, если Ф = Г0 и все коэффициенты в(а) = 0. Покажем, что вырож-денность или невырожденность задачи на графе определяется расположением компонент множества П = Г\ Ф.

Сначала приведём вспомогательные утверждения.

Определение 1. Пусть к е N,

Ь0, Ь1з Ь2,Ьк — вершины графа Г, причём Ь1з..., Ьк _1 — внутренние вершины и Ь■ Ф Ь+ ,

] = °, к _ 1 (Ь0, Ь1),(Ь1, Ь2),...,(Ьк_1, Ьк) — рёбра графа. Открытой цепью (ломаной) (Ь0Ь1Ь2...Ьк) , соединяющей вершины Ь0 и Ьк , назовём множество

(^к_0(Ь; , Ь}+1)) и }). Наряду с откры-

той цепью будем рассматривать полуоткрытые цепи [Ь0 Ь1 Ь2 ... Ьк ) = (Ь0 Ь1 Ь2 ... Ьк ) ^ {Ь0} при Ь0 е J(Г) (Ь0 Ь1 Ь2 ... Ьк ] = (Ь0 Ь1 Ь2 ... Ьк ) ^ {Ьк } при Ьк е J(Г) и замкнутую цепь

[Ь0 Ь1 Ь2 ... Ьк ] = [Ь0 Ь1 Ь2... Ьк ) ^ {Ьк } при

К Ькє J(Г)1

Будем называть Ь., І = 0, к — вершинами цепи, Ь0, Ьк — концевыми вершинами цепи, (Ь., Ь.+1), І = 0, к -1 — рёбрами или звеньями

цепи, число к — длиной цепи.

Циклом называется цепь, концевые вершины которой совпадают.

Цепь называется составной, если в ней повторяется хотя бы одно ребро, сложной, если повторяется хотя бы одна вершина, и простой -в противном случае.

Лемма 1. Пусть 0^0.

10 Множество О замкнуто в Г и состоит из внутренних вершин графа и рёбер графа, не вошедших в Ф.

20 Компонентами множества О могут быть одно и только одно из следующих множеств: 1) одно ребро графа, у которого обе примыкающие вершины граничные, 2) одна внутренняя вершина графа, к которой примыкают только рёбра из Ф, 3) объединение точек всех простых цепей ненулевой длины в О с концевой вершиной, совпадающей с фиксированной внутренней вершиной.

30 Каждая компонента множества О является замкнутым линейно связным2 подмножеством графа Г.

Доказательство. 10 очевидно.

Для доказательства 20 рассмотрим компоненту О множества О.

1) Если О не содержит внутренних вершин, то О содержит ребро у, у которого обе примыкающие вершины граничные. При этом

О = у, иначе О есть объединение двух открыто-замкнутых непересекающихся подмножеств у и О \ у.

2) Если О содержит внутреннюю вершину а графа, к которой примыкают только ребра из Ф, то О = {а}, иначе О есть объединение

1 При к = 1 цепь совпадает с открытым (полуоткрытым, замкнутым) ребром. При к = 0 можно ввести замкнутую цепь нулевой длины [Ь0 Ь0], состоящую из вершины Ь0 е J(Г), и пустые множества — открытую и полуоткрытые цепи нулевой

длины: (Ь0 Ь0), (Ь0 Ь0] [Ь0 Ь0).

2 Подмножество называется линейно связным, если

любые его две точки можно соединить непрерывной кривой из точек этого подмножества.

двух открыто-замкнутых непересекающихся подмножеств {а} и 0 \{а}.

3) Пусть 0 содержит внутреннюю вершину а графа и примыкающее ребро у = (а, Ь).

Заметим, что, во-первых, если точка х ребра и = (с, ё) принадлежит о , то во-вторых, если ребро и = (с, ё) 0 и

с ( ё ) — внутренняя вершина, то с е 0 (ё е 0 ), в-третьих, если внутренняя вершина с е о и ребро и = (с, ё) то и ^ 0, ина-

че во всех случаях 0 не являлось бы максимальным связным подмножеством, содержащим вершину а.

Если о = {а} ^ у, то согласно замечанию Ь е дГ, то есть о есть цепь [а, Ь).

Рассмотрим случай, когда 0 Ф {а} ^ у.

Образуем множество 0а, состоящее из объединения точек всех простых цепей, лежащих в О имеющих ненулевую длину и концевую вершину а. При этом 0а есть объединение замкнутых цепей, соединяющих вершину а с внутренними вершинами и полуоткрытых цепей, соединяющих вершину а с граничными вершинами. Такие цепи являются замкнутыми подмножествами графа и поэтому 0а — замкнутое подмножество графа. В силу замечания 0а <^0. Покажем, что 0а = 0. Предположим,

что 0а Ф0. Отсюда непустое подмножество 0 \ (0а содержит рёбра и вершины, не вошедшие в 0а и, следовательно, не примыкающие к вершинам и рёбрам из 0а. Тогда множества 0а и 0 \ юа находятся на положительном расстоянии друг от друга и существует открытые непересекающееся окрестности и и V в Я3, содержащие 0а и 0 \ 0а соответственно. Таким образом, и поа и V п (о \ 0а) образуют

открыто-замкнутые непересекающиеся подмножества множества 0, что противоречит его

связности. Итак, 0а =0.

о 0 1 0 ^0

3 следует из 1 и 2 .

Лемма доказана.

Изучим поведение решения и (•) уравнения (6). Очевидно следующее утверждение.

Лемма 2. Решение и (•) уравнения (6) линейно на рёбрах графа, входящих в Ф.

Лемма 3. Если решение уравнения (6), удовлетворяющее условиям (2), имеет экстремум во внутренней точке ребра, то оно постоянно на этом ребре.

Доказательство.

Воспользуемся условием монотонности (см. [1]) решений уравнения

(ру")” _ (чу') ' = 0, X е [а, Ь] с Я,

удовлетворяющих краевым условиям

в(а) у "(а) _ 5 (а) у ’(а) = 0, в(Ь) у ' (Ь) + 5(Ь) у ' (Ь) = 0.

Здесь у е С4[а,Ь], р е С2[а, Ь],

Ч е С1 [а, Ь], р (х) > 0, Ч (х) > 0 на [а, Ь],

e(a) > 0, 5(a) > 0, в(Ъ) > 0,

P(a) + 5(a) > 0, в(Ъ) + 5(b) > 0.

5(b)> 0,

Теорема 1. 10 Всякое решение у (х) уравнения (7), удовлетворяющее условиям (8), либо постоянно, либо строго монотонно. 20 Если

— (q(х) = 0) или q(х) = 0, 5(a) + 5(Ъ) Ф 0, то условия (py") ’ - qy ’ < 0 ( = 0 или > 0 ) равносильны соответственно тому, что у(х) возрастает (постоянно или убывает) на [a, Ъ].

Для решения уравнения (6) на ребре

Y = (a, Ъ) выполнены условия теоремы 1, тогда в силу наличия экстремума решение постоянно на у. Лемма доказана.

Для каждой компоненты о множества О обозначим Мо = sup u (х), то = inf u (х), Че-

хe о хeo

рез до обозначим подмножество граничных вершин графа, примыкающих к рёбрам графа, включённым в о . Если до Ф0 (до =0), то будем говорить, что о примыкает (не примыкает) к границе графа дГ. Разобьём множество О следующим образом: ко множеству О1 отнесём компоненты, которые не примыкают к дГ и не содержат вершины a, для которых в условии (3) коэффициент в(а) > 0, ко множеству О 2 отнесём компоненты, которые не примыкают к дГ и содержат вершины a, для которых в условии (3) коэффициент в (a) > 0,

ко множеству О 3 отнесём компоненты, которые примыкают к д Г и не содержат вершин a, для которых в условии (3) коэффициент в(а) > 0, ко множеству О 4 отнесём компоненты, которые примыкают к дГ и содержат вершины a, для которых в условии (3) коэффициент в (a) > 0.

(7) Лемма 4. Пусть u (•) e С (Г) — решение уравнения (6), удовлетворяющее условиям (2), (3) и о — компонента множества О.

Тогда если

(8) 1) о сО1, то uо — постоянная,

2) осО О3 и то или Мо достига-

' 13 о о

ется на о , то ur^ — постоянная,

о

3) осО3, то то и Мо достигаются

' 3 ’ о о

либо на о и на до ,3 либо только на до,

4) шсО2иО4 и Мо достигается на

о, то Мо < 0,

5) шсО2иО4 и то достигается на о, то то > 0,

о

6) осО О4, то и Мо достигаются

' 2 4 ’ о о

на о , то um (х) = 0,

7) шсО2иО4 и Мо > 0, то о сО4 и Мо достигается на до ,

8) осО2иО4 и то< 0, то о сО4 и то достигается на до .

о

Доказательство.

1) Для компоненты о, состоящей из одной внутренней вершины, утверждение тривиально.

Пусть компонента о множества О, не примыкающая к д Г, содержит внутренние вершины и примыкающие к ним рёбра из О. Функция u (•) непрерывна на компактном в R3 множестве о. Следовательно, она ограничена на о и достигает своей верхней и нижней грани, то есть в о найдутся точки х0 и х1 такие, что Мо = sup u (х) = u (х0),

3 Это означает, что Мо = Нш и (х) для ребра у,

х — а ^

примыкающего к вершине а е до и у е 0.

х e о

то = inf u (х) = u (х1).

х e о

Если х0 является внутренней точкой ребра

Y = (a, Ъ), то из леммы 3 следует, что u (х) = Мо на Y, то есть максимум достигается на всем ребре, включая вершины a и Ъ, которые являются внутренними.

Пусть теперь Мо = u (a) для внутренней

вершины a e о.

Рассмотрим условие (3) в вершине a . Из уравнения (pY u"Y)" = 0 на каждом ребре Y

следует, что (pY u\)' = cy — постоянная. Рёбра, примыкающие к a, включены либо в Ф, либо в О, в последнем случае в силу леммы 1 рёбра включены в компоненту о. При этом на рёбрах

Y eФ из леммы 2 имеем су = 0. Если некоторое сY <0 на ребре y = (a,Ъ) со , то в силу теоремы 1 uy(х) возрастает на (a,Ъ) от вершины a, что противоречит условию максимальности u(a). Следовательно, су > 0 при всех y e E(a). В силу условия (3) имеем

Z су= 0, и отсюда су = 0 при всех

yeE ( a )

Y e E(a). Из теоремы 1 следует, что uy(х) = Мо на всех рёбрах feE(a), YCО. Согласно лемме 1, компонента о является линейно связной, поэтому uо (х) = Мо, и тогда

Мо = то.

оо

2) По сравнению с 1) здесь новым является случай, когда о — это ребро Y = (a, Ъ) при a, Ъ e дГ. В этом случае утверждение следует из леммы 3.

3) Следует из 2).

4) Аналогично 1), Мо достигается в неко-

торой внутренней вершине a с в(a) > 0 в условии (3). Тогда u (a) =------- Z су < 0 , то

в^) Yfeo Y

есть Мо < 0. Если о = {a}, то все с^ = 0 и Мо = 0.

о

5) Получается из 4) для решения (—1) u (•).

6) Следует из 4) и 5).

7) Мо не может достигаться на о в силу

4) и, следовательно, достигается на до . Тогда

о примыкает к границе и о сО4.

8) Получается из 7) для решения (-1) u (•).

Лемма доказана.

Теорема 2. 10 При О j= 0 задача (1) - (4) невырождена.

20 При О j^0 задача (1) - (4) вырождена и размерность решений однородной задачи равна числу компонент множества О j.

Доказательство. 10 Рассмотрим решение u (•) однородной задачи (6), (2) - (4) и обозначим М = sup u (х), т = inf u (х).

x єГ

При О1 = О = 0 имеем Г = Ф. Это означает, что все рёбра включены в Ф и все вершины графа граничные. В силу леммы 2 и условий (4) имеем и (х) = 0.

Пусть О1 =0, ОФ0.

В силу лемм 2, 3, 4, М и т достигаются на компонентах из множеств О 2, О 3, О 4 или в граничных вершинах.

Предположим, что М > 0. Тогда М не может достигаться в граничных вершинах по условиям (4), а это противоречит лемме 4. Следовательно, М < 0. Аналогично получаем неравенство т > 0. Отсюда следует, что М = т = 0 , то есть и (х) = 0.

20 Пусть 0 1, 0 2,..., 0к - компоненты множества 01.

Для каждого у = 1, к построим решение и . (•) однородной задачи. Положим и(х) = 0 на О 2^ О 3^ О 4 и в граничных вершинах. Затем определим и у (•) на 01 следующим образом: иу |0 (х) = 1, и у |о (х) = 0 при I Ф ] . Ка-

ждая внутренняя вершина входит в О и, следовательно, функция иі (•) определена во всех вершинах графа. Теперь на каждом ребре графа, включенном в Ф, доопределим и. (•) линейным образом. Очевидно, что функции и. (•)

являются решениями однородной задачи и линейно независимы.

Покажем, что произвольное решение и (•) однородной задачи (6), (2) - (4) есть линейная комбинация функций и. (•). В силу леммы 4 и

условий Дирихле на каждой компоненте О ■ ,

І = 1, к имеем и (х) = сі и и (х) = 0 на множествах О 2, О 3, О 4 и 5 Г , если они не пусты. Кроме того, в силу леммы 2 и (•) линейна на каждом ребре, входящем в Ф . Следовательно, функция и (•) линейна на каждом ребре, её

значения на всех концах ребер, входящих в О . ,

І = 1, к, равно с. и 0 - на концах всех остальных рёбер. Отсюда следует, что

к

и (х)-X сіиі(х).

І=1

Итак, иі (•), І = 1, к образуют базис пространства решений однородной задачи.

Теорема доказана.

4. Функция Грина

Будем следовать общей схеме построения и исследования функции Грина, изложенной в [1].

Для и є С4 (Г0) определим дифференциальный оператор Ьи = (Ри")’’.

Условия непрерывности и (•) во внутренних вершинах, к которым примыкает не менее двух рёбер, можно записать в виде

иДа) - иДа) = 0, (9)

у є Е(а) фиксировано,

/и є Е(а), /и Ф у, а є J(Г)

Введём функционалы їі (и) , і = 1, 4г на

С4(Г0) , определяемые левыми частями равенств (9), (2), (3), (4).

Рассмотрим в С4(Г0) неоднородную задачу

Ьи = /, / є С (Г0), ____ (10)

їі (и) = йі, йі є Я, і = 1,4г . (11)

Теорема 3. При О1= 0 задача (10) - (11) имеет единственное решение в С4(Г0) при любых / є С (Г0) и йі є Я, і = 1,4г.

Доказательство.

На каждом ребре уі, і = 1, г построим ча-

стное решение иі0 уравнения (Руи”у.) = /у и фундаментальную систему решений

К, и 2, иг 3, иг 4} уравнения (Руи"п )" = 0. Определим частное решение уравнения (10) по формуле у0 (х) = иі0 (х) при х є уі, і = 1, г. Продолжим каждую из функций {иі1, иі2,иі3, иі4}, і = 1, г нулём на остальные ребра графа Г и обозначим продолженные функции через V■, І = 1,4г. Очевидно, что

функции Vі , І = 1, 4г линейно независимы на

графе Г и образуют на нём фундаментальную систему решений однородного уравнения. Общее решение уравнения (10) на Г имеет вид

4г

и (х)=^( х)+X сл- (х).

І=1

При подстановке и(х) в условия (11) получаем систему алгебраических уравнений

4г _____

X с і їі (V.) = - К), І = 1, 4г- В силу теоре-

І=1

мы 2 однородная задача имеет только нулевое решение, поэтому определитель

ёй (їі (V.)) Ф 0 и, следовательно, система имеет единственное решение. Отсюда следует утверждение теоремы.

Замечание. Переходя к эквивалентной фундаментальной системе для невырожденной задачи (10)-(11), можно считать, что

їі (V.) = 5., і, І = 1,4г, то есть системы функций и функционалов биортогональны.

Будем искать функцию Грина в виде

О (х, 5) = Н (х, 5) + X (э) V. (х), (12)

І=1

где Н (х, э) - фундаментальное решение уравнения Ьи = /, которое может быть построено из любых фундаментальных решений Оі (х, э) сужения уравнения на отдельные ребра уі,

і = 1, 4г. Например, функцию Н (х, э) на Г0 х Г0 определим формулой

Н(х,э) = {°’(хЛ ^е*х*' і = 14:<13)

{ 0, в остальных случаях.

Здесь Ог (х, ^) на у{ х у при

уг = (аг, Ь1) е Е(Г) — это функция Грина задачи (РП и"п У = /у1 , ип (аг ) = и7, (Ьг ) = 0

_Ру (аг ) и;„ (аг +) + а7 (аг ) Кг (Яг +) = 0 _Ру (Ьг ) К (Ьг +) + аГ (Ьг ) ^у, (Ьг +) = 0. Из ™-

строения следует, что функция Н (х, ^) симметрична и продолжается нулём до непрерывной на ГхГ функции.

Очевидно, функция

и (х) =| О (х, 5)/(5) ёу, построенная с помо-

Г0

щью формул (12)-(13), является решением уравнения (10) для любых суммируемых на Г0 функций ёу (5) , у = 1, 4г и для того, чтобы она удовлетворяла условиям (11), достаточно выполнить условия / (О (•, у)) = 0 , г = 1, 4г при

всех у еГ0. Отсюда получаем систему для определения ёу (у):

Xй,(э)їі(V.) = -їі(НО,э)), і = 1, 4г .

,=1

Для невырожденной задачи определитель этой системы А = ёй (/ (Уу)) отличен от нуля

и, следовательно, ёу (у) определяется единственным образом по формулам Крамера. Из построения следует, что функции ёу (у) равномерно непрерывны на Г0. Из формул Крамера и (12) получаем

О(х,э) =—

А

Н (э) V1( х) V2( х) - V4г (х)

11(НО,э)) АОО АОО ■■■ АК-)

12(Н (• = э)) 1М) ї2(V2) ... 12^4г )

14 г (Н(, э)) К (V1) 14г (V2) ... 14г (v4 г )

. (14)

Если же системы {їі} и } биортого-нальны, то й, (э) = - (Н (-, э)) и

О (х, э) = Н(х, э) - X ї, (Н(•, э)) V, (х) . (15)

І=1

Теорема 4.

10 Решение невырожденной задачи (10)- (11) может быть представлено в виде

у (х) =| О (х, э) / (э) йэ + X Ь]у] (х), (16)

Г0 І=1

где Vі (•) є С4(Г0) - фундаментальная система решений однородного уравнения Ьи = 0, биортогональная системе функционалов їі ,

і = 1, 4г, О (х, э) - функция Грина, определённая формулами (13), (15),

20 функция О (х, э) вместе со своими производными по х до порядка 4 равномерно непрерывна по совокупности переменных на каждом уі ху,. (і Ф І) и на каждом из симплексов, на которые разбивает уі х уі диагональ х = э.

30 при каждом фиксированном э, являющимся внутренней точкой некоторого ребра уі , О (х, э) по х удовлетворяет однородному

уравнению (6) всюду на уі ( уі Ф у, ) и на у. = у і всюду, кроме точки э,

40 О (х, э) по х удовлетворяет однородным условиям (11),

50 на диагонали х = э

а) О (х, э) непрерывна, производные

дтО (х, э) д

—д—т------- непрерывны при х = э є уі для

уі є Е(Г) и т < 2,

б)

квазипроизводная

Б 3О = — д х

(

Р (х)

д2 О (х, э)

Л

д2 х

имеет единич-

ный скачок, то есть

БІО (э, э) + Б\О (э, э) = 1

(17)

(здесь при у е у. = (а,Ь) производные взяты в

точке х = у по направлению векторов V и -V, одинаково направленных с (у, Ь) и (у, а) соответственно),

60 функция О (х, у) условиями 30-50 определяется однозначно.

Доказательство. Условия 10-50 следуют из формул (13), (14), и известных свойств функции Грина двухточечных задач. При каждом фиксированном у еГ0 разность двух

функций u (x) = G (x, s) — G1 (x, s), удовлетворяющих 30-50, доопределяется в точке x = s до функции из C4(Г0) . При этом функция U(x) удовлетворяет однородному уравнению и условиям (2)-(4), и тогда u (x) = 0.

Литература

1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В. Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах // М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. 272с. ISBN 5-9221-0425-X.

2. Borovskikh A.V. Fourth-order differential equations on geometric graphs / A.V. Borovskikh, K.P. Lazarev // Journal of Mathematical Sciences. Vol. 119. No. б. 2004. P. 719739.

3. Покорный Ю.В., Белоглазова Т.В., Лазарев К.П. Об одном классе разнопорядковых обыкновенных дифференциальных уравнений на графе // Математические заметки. 2003. Т.73. №3. С. 4б9-470.

4. Лазарев К.П., Белоглазова Т. В. Разрешимость краевых задач для разнопорядковых дифференциальных уравнений на геометрическом графе //Математические заметки. 200б. Т.80. №1. С. б0-б8.

5. Лазарев К. П. Краевая задача для разнопорядковых

Воронежский государственный университет

дифференциальных уравнений на графе // Современные проблемы механики и прикладной математики. Сборник трудов международной школы-семинара. Ч.1. Т.2. Воронеж, ВГУ, 2004. С. 332-335.

6. Покорный Ю.В., Мустафокулов Р. О положительности функции Грина линейных краевых задач для уравнений четвёртого порядка на графе // Изв. вузов. Математика. 1999. Т. 441, №2. С.75-82.

7. Покорный Ю.В., Мустафокулов Р. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнения четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, N 10. С. 1З58-1Зб5.

8. Боровских А.В., Мустафокулов Р., Лазарев К.П., Покорный Ю.В.Об одном классе дифференциальных уравнений четвёртого порядка на пространственной сети // Доклады РАН. 1995. Т. 345. N б. С. 730-732.

9. Боровских А.В., Лазарев К.П. Математическая модель стержневой системы // Тез.докл.школы "Современные проблемы механики и математической физики". Воронеж, 1994. С. 17.

10. Dekoninck B., Nicaise S. The eigenvalue problem for networks of beams // Generalized Function Operator Theory and Dynamical Systems. Chapman and Hall’ Research in Math. 1999. P. 335-344.

11. Dekoninck B., Nicaise S. Control of network of Euler-Bernoulli beams // ESAIM-COCV. 1999. V. 4. P. 57-82.

BOUNDARY PROBLEMS FOR BAR SYSTEM MODELS

V.A. Gaidai, K.P. Lazarev, Y.V Pokomyi

The article analyses the correctness of a lateral deformation model for a bar system described by boundary problems for fourth order equations on a graph. Degeneracy and nondegeneracy conditions are given, and it is proven that the nondegenerated problem has a continuous Green function

Key words: bar system, geometrical graph, boundary problem, nondegeneracy condition