CC BY
30
МБ С 35Л0,
ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА НА РАЗВЕТВЛЕННЫХ
МНОГООБРАЗИЯХ
М.Х. Нуман Элынейх
Российский Университет Дружбы Народов, ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, 117198, Россия, [email protected]
Аннотация. Рассматриваются операторы Шредингера на разветвленных мноі'ообразнях переменной размерности. Получено описание множества самосопряженных расширений сим-метрическоі'о оператора Шредингера, изначально заданноі'о на гладких финитных функциях, носитель которых не содержит точек ветвления мноі'ообразия.
Ключевые слова: уравнение Шредингера, разветвленные мноі'ообразия, самосопряженные расширения.
1. Введение. Дифференциальные операторы на разветвленных многообразиях имеют применения к описанию ряда процессов в квантовой механике, физике полупроводников и биологии. Основы теории дифференциальных уравнений на графах изложены в монографии |3|, в которой приведен ряд примеров физических задач, приводящих к исследованию дифференциальных операторов па графах. В работах 110, 4, 9| изучены спектральные свойства таких операторов и исследованы динамические свойства эволюции, определяемых уравнением Шредингера на графе. В работах |1, 6, 8, 111 исследуется множество самосопряженных расширений оператора Шредингера, заданного изначально па пространстве финитных гладких функций, не содержащих точек ветвления графа (|6, 8, 111) или точек смены тина оператора (см. |1|). В статье |8| найдены аппроксимации формулами Фейнмана унитарных полугрупп, задаваемых некоторыми из самосопряженных расширений. В настоящей статье рассматриваются операторы Шре-дипгера па разветвленных многообразиях, гладкие компоненты которых могут иметь различные размерности. Работа является продолжением исследований |8|, в которых изучался граф с конечным множеством рёбер, и работы |13|, в которой изучались операторы Шредингера па одномерных разветвленных многообразиях.
Актуальность рассматриваемой задачи состоит в том, что в последнее время значительно усилился интерес к описанию динамики частиц па графах, депдритах и иных разветвленных многообразиях со стороны математической физики и квантовой механики. С математической точки зрения операция дифференцирования функции, однозначно определенная дня функций, заданных па области или па гладком многообразии, нуждается в доопределении дня функций, заданных па многообразиях, содержащих точки ветвления. Цепь настоящего исследования - определить действие оператора Шредингера па функциях, заданных па разветвленном мпогобразии, множество точек ветвления которого, называемое в дальнейшем многообразием ветвления, представляет собой объединение конечного множества гладких поверхностей различной размерности. Для этой цели мы зададим оператор Шредингера L0 на пространстве О£°0 финитных
и бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не содержат точек ветв-
L
L0
щей работе дано описание множества всех операторов Шредингера на разветвленном многообразии в терминах условий на множество предельных значений на многообразии
L
2. Операторы Шрёдингера на разветвленном многообразии. Определим
П
разветвленное многообразие Г как объединение Г = (J Га, оде Га при каждом а £
а=1
{1, 2,..., п} представляет собой d^-мерную ограниченную область в пространстве Rda с (da — 1) мерной гладкой границей п« = дГа, Граннца п = дГ многообразия Г представляет собой объединение границ областей п = (Jпа=х п«-
Точка Q называется точкой ветвления многообразия Г, если она является граничной точкой для не менее чем двух различных областей Га, Гд при а = в-Г
каждую из областей Га совпадало со стандартной мерой Лебега пространства Rd“, Тогда допустимо рассмотрение пространства квадратично интегрируемых комплекснозначных функций на Г определяемых посредством равенства ¿2(Г) = ф Ь2(Га).
Пусть С°(Г) — векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекс-
Г
ления разветвленного многообразия Г Обозначим посредством L0 = ф L^ - линейный оператор, определяемый на линейном пространстве D(L0) = С°(Г) с равенством Lou = {eL^u«},
Lqиа = — Ааиа + i(Bt(x),Vua) + г с11у(в1(х) иа) + Са(х)иа . (2.1)
та
Здесь {иа, а = 1,п} — сужения функции и на области Га, и £ С°(Г) и ma > т0 > 0 У а = 1,..., п.
Мы будем предполагать, дополнительно, что имеет место:
Н. ta{x) £ C'1(rQ,JRd“)nC'(rQ,JRd“), Са(х) £ С(Га,В).
Мы будем изучать расширения операторов L0 с пространства С°°(Г) на Ь2(Г). Важность изучения таких расширений связана, в частности, с тем, что когда —B, C - веще-ствеппозпачпые, ограниченные и непрерывные всюду за исключением точек ветвлении функции на Г та = т, каждое симметрическое расширение является линейным самосопряженным оператором L в пространстве Ь2(Г), который представляет собой гамильтониан квантовой частицы с массой та во внешних электрическом и магнитном полях {C, t} и оператop L определяет динамику частицы на разветвленном многообразии посредством решения задачи Коши дня уравнения Шредингера
i^=LufrM>, (2.2)
с начальным условием
u(x, +0) = u0(x), x £ Г . (2.3)
Иными словами, все самосопряженные расширения оператора Ь0 могут представлять генераторы унитарных групп.
Оператор Ь0 с областью определения Д(Ь0) = 6° (Г) С Ь2(Г), плотно определен и
симметричен. Областью определения Д(Ь£) сопряженного оператора Ьд является лиП
нейное подпространство Д(Ь*) Ж|(Га) := Ж?(Г) С ¿2(Г).
а=1
Пусть многообразие Г состоит из га полупрямых, к конечных интервалов и N — (га + к) областей с размерностью, большей 1. В случае 1-мерной области Га граничное значение иа|Па является набором комплексных чисел на границе Па, представляющей собой одну или две точки. В случае йа > 2 граничное значение иа|Па является
N
3 3 3
элементом пространстве И^2 (?/<*)■ Согласно теореме о следах, и|,; Є (?/) = гг) И^2 (?/<*)
а=1
(см. [12]), где через и|п обозначена совокупность (и|п1 ... и|пМ) предельных значений
1 л - дМа
функции и па границе ?/. Аналогично, предельное значение нроизводпои —— сужения
дПа
Па ПО направлению внешней нормали Па К грани де Па в случае полупрямой Па представляет собой элемент пространства С, в случае же ограниченного интервала - элемент пространства С2, а в му чае области разм ерности йа > 2 - элемент пространства
и-2/2Ы.
Обозначим набор граничных значений нормальной производной посредством
т
Па Га
ЦМ'
к а = 1,..., N. Введем гильбертово пространство
N N
к = ¿2(п) = 0 ¿2(^а) = Ст+2к 0 ¿2(^а) .
а=1 а=т+к+1
3 1
Определим, далее, пространство граничных значений С = /г,з ® /г,з. ще
N
й§ = с"+2* 0
а=т+к+1
и, аналогично,
N
ЛІ=Ст+2" 0 Ж? (??„).
а=т+к+1
<9г/. / <9г/. д и
дп п \5/?і ,. п 1 ’ <9/гдг
Таким образом, граничное значение и|п функции и Є ^22(Г) является элементом про-
-I
дп Iі?
странства Л.з, а граничное значение Iм],, ее нормальной производной - элементом про-
странства Л-2.
Введем в пространстве к операторы М и Ъ, Оператор М действует на каждый элемент V Є к как оператор умножения на функцию
М£) = т-1 , если £ Є і]а , а Є 1 ,п.
А оператор Ъ действует на каждый элемент V Є к как оператор умножения на функцию
,-г*
= ( М£)> Па(0) > 0СЛИ С Є Ча , « Є 1, П ,
где через Ь а = їа|Па обозначено предельные значения вектор-функции ВВа на границе Па-
Теорема. Пусть выполнено предположение Н о функциях —В, Сига =1 Ь а = 0
для любого а £ 1, /г; А - линейный оператор в пространстве к с плотной областью определения к?, значения которого лежат в линейном многообразии к?; 1)\ - линейное многообразие функций и Е Ж|(Г), граничные значения которых связаны с граничными значениями их производных по направлению внешней нормали соотношением
du
dn
Au|n.
Тогда, для самосопряженности оператора Ьа = (Ь0) |дА, необходимо и достаточно выполнения равенства А = А*.
-г*
□ Так как m = 1, b a = 0 для любо го а, то из условий u Є D(La) и v Є D(Lq) с.иедует, что справедливо равенство
(L.4U,,),- (u,L-t.)ü= (1^1 Н„)л- (u|„, £| )h
dv
Следовательно
dv
Ц/ h
A*v|n необ-
Следы uL принимают произвольные значения, и поэтому равенство —
dn
ходимо и достаточно для включения v G D(LA). Поскольку область определения опе-
du . , т т * „
= Au\v, то La = La. Отсюда следует, что
п
ратора Ъд определяется уравнением ——
дп
А = А*. ■
Следствие. Пусть выполнено предположение Н о функциях ВВ, С; А - линейный оператор в пространстве к с плотной областью определения к?, значения которого лежат в линейном многообразии к?; I) \ — линейное многообразие функций и £ И^|(Г), граничные значения которых связаны с граничными значениями их производных по направлению внешней нормали соотношением
du
dn
Au|n.
Тогда дня самосопряженности оператора ьл = (ц) ь., необходимо и достаточно выполнения равенства МА = А*М — 2гВ.
□ Поскольку выполняется предположение Н, ТО ИЗ условий и Е Д(Ьл) и V Е Д(Ьд) следует, что справедливо равенство
(і*«,*),-(«.і», = (“!’'• м^І„)Л+2і(“|-''3г'1-'),-
Следовательно
(dv
u\v, A*Mv\v - M— - 2№v\v)h .
Следы u|n принимают произвольные значения, и поэтому равенство
М°!' = (а*М-2гъ)у\„
dn п ^ '
необходимо и достаточно для включения v Е D(LA). Поскольку область определения
оператора определяется уравнением —— = АиL, то = ІЛ, Отсюда с.иедует, что
dn п
MA = A*M - ■
Заключение. Полученное в работе описание множества всех операторов Шредип-гера па каждом разветвленном многообразии, определяемых как самосопряженные расширения оператора, изначально заданного па гладких финитных функциях с носителями, не соодержащими точек ветвления многообразия дает описание различных возможностей определения оператора Шредипгера па пространстве функций, квадратично интегрируемых па этом разветвленном многообразии. Описание области определения каждого из самосопряженных расширений дается в терминах линейных соотношений, которым удовлетворяют предельные значения функции из области определения оператора и ее производной в точках ветвления и граничных точках рассматриваемого многообразия, заметим, что каждому из операторов Шредипгера соответствует марковский процесс, поведение которого в окрестности точки ветвления многообразия определяется выбором области определения оператора Шредипгера. Полученные результаты расширяют область исследований работы |11|, в которой дано описание самосопряженных расширений па графе с одной вершиной и двумя ребрами, па случай графов с произвольным числом ребер и разветвленного многообразия с гладкими компонентами различных размерностей.
Литература
1. Амосов Г.Г., Сакбаев В.Ж. О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах /7 Матем. заметки. 2004. " 76;3. " С.335-343.
2. Данфорд И., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория / М.: Изд. ин. .лит., 1962.
3. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на х’еометрических храфах / М.: Физматлит, 2004.
4. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе /7 Матем. заметки. 1996. 59;6. С.777-780.
5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т.1. Функциональный анализ / М.: Мир, 1977.
6. Сакбаев В.Ж., Смолянов О.Г. Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью
массы от положения /7 Доклады РАН. 2010. 433:3. С.314-317.
7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 1972.
8. Сакбаев В.Ж., Смолянов О.Г. Диффузия и квантовая динамика на 1'рафах // Доклады
РАН. 2013. 451, №2. С.141-145. "
9. Толченников А.А., Чернышев В.Л., Шафаревич А.И. Асимптотические свойства и клас-
сические динамические системы в квантовых задачах на еишулярных пространствах /7 Нелинейная динамика. 2010. 6;3. С.623-638.
10. Чернышев В.Л., Шафаревич А.И. Квазиклассический спектр оператора Шредиш'ера на
геометрическом 1'рафе /7 Матем. заметки. 2007. 82;4. С.606-620.
11. Gadella М., Kuru S., Negro .J. Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching
conditions /7 Phvs. Letters. 2007. ' 362, №4. P.265-268.
12. Яковлев Г.Н. О следах функций из пространства Wp на кусочно-гладких поверхностях //
Матем. сб. 1967. 74(116):4. С.526-543.
13. Нуман Эльшейх М.Х., Сакбаев В.Ж. Операторы Лапласа для уравнения Шредиш'ера
на 1'рафах /7 Труды МФТИ. 2014. 6.
SCHRODINGER OPERATORS ON BRANCHED MANIFOLDS
M.H. Numan Elsheikh
Peoples' Friendship University,
Miklukho-Maklaya St., 6, Moscow, 117198, Russia, [email protected]
Abstract. Schrödinger’s operators on branched manifolds with variable dimension are studied. In particular, the description of the set of self-adjoint extensions of symmetric Schrödinger operator initially defined on the set of smooth finite functions whose support does not contain branch points of the manifold are obtained.
Key words: Schrödinger’s equation, branched manifolds, self-adjoint extensions.
