Операторы Лапласа для уравнения Шредингера на графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 97

MSC 34М99

ОПЕРАТОРЫ ЛАПЛАСА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА НА ГРАФАХ

М.Х. Нуман Эльшейх

Ключевые слова: операторы Лапласа, уравнение Шредингера, граф, компактный носитель, самосопряженные расширения.

В сообщении рассматриваются операторы Лапласа на графах с конечным или счётным числом рёбер. Работа является продолжением исследований [2], в которых изучался граф с конечным множеством ребер. Даётся описание самосопряжённых расширений симметрического оператора, изначально заданного на гладких финитных функциях, носитель которых не содержит точек ветвления.

Граф с одной вершиной. Граф Г мы определяем как объединение n экземпляров полупрямых Г = [0, +то), j = 0,..., n с общим началом Q, называемым вершиной графа. Предполагается, что на Г задана Борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждую полупрямую Гj совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда L2 (Г) = ®L2 (Г). Пусть С°° (Г) - векторное пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содер-

линейный оператор, определяемый на С°°(Г), соот-

жащими точки Q, и L0 = ®LJ0

1

ношением L0u = {L0Uj}, L0Uj = —AjUj + iBj (x)-^ + i

Du, -d(Bj (x)uj)

mi

dx

dx

+ Cj (x)uj. Здесь

{uj, j = 1,..., n} — сужения функции u на полупрямые Г?-. Предполагается, что при всех j числа mj > 0 и функции Bj (x), Cj (x) вещественнозначны, ограничены и непрерывно дифференцируемы на полупрямой Д. Через bj обозначим предельное значение

С°0(Г)

С

функции Bj(0) в точке Q. Оператор L0 с областью определения D(L0)

L2(Г), плотно определен и симметричен. Областью определения D(L^) сопряжённого оператора L£ явдяется линейное подпространство D(L0) = ®'tj=W2(Pj) := ^22(Г) С H. Сужения всякой функции u Е ^22(Г) ^а полупрямые Pj, j = 1,... ,n обладают граничными значениями в вершине, которые обозначим через uj(0), где символ u(0) означает u(0) = (ui (0)u2(0) ...un(0)) Е Cn. Это то же верно для первых производных этих сужений, для них используем аналогичные обозначения.

Теорема фон Неймана (см. [1]) предоставляет описание множества самосопряжённых расширений симметрического оператора. Нами получено явное описание множества самосопряжённых расширений оператора L0 в терминах условий на линейные подпространства в пространстве граничных значений G = Dj0) = {(u(0),u'(0))} = C2n.

Теорема 1. Пусть m =1 B(x) = 0 и C(x) = 0. Оператор L с областью определения D(L) = {u Е W2 (Г) : u' (0) = Au(0)} самосопряжен тогда и только тогда когда матрица А удовлетворяет равенству A = A*.

□ Если u Е D(L0) и v Е D(L*), то справедливо равенство

(L0u,v)n - (u,L0v)h = ((u(0))T,v'(0))c - ((u'(0))T,v(0))c = 0.

98 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

Следовательно (L0u,v)h — (u,L0v)h = \V(0) — Atv(0)] (u(0))t = 0.

Следы (u(0))t принимают произвольные значения, поэтому равенство v'(0) = A*v(0) необходимо и достаточно для включения v Е D(L0), что и доказывает теорему 1. ■

Следствие 1. Если M = diagm, k = 1,... ,n, C = (ciyj), где ciyj Е L^(Г) и B = diagbk, то оператор L с областью определения D(L) = {и Е W22(^ : u'(0) = Au(0)}, самосопряжен тогда н только тогда когда матрица A, M и B удовлетворяет равенству A = M-1 A*M- 2iM-1B.

Граф с нескольким вершинами. Пусть граф Г представляет собой набор из n вершин Q1,..., Qn, го каждой го которых исходит rj, rj Е N ребер Г), представляющих собой либо бесконечные полупрямые, либо отрезки, соединяющие вершину Qj с другими вершинами. Сохраним обозначения предыдущего раздела. Введем операторы L0,Lq и пространство граничных значений функций из D(L*) и их производных, линейно изоморфное пространству C2m, где m = r1 + ... + rn. Через u(Qj) обозначим совокупность предельных значений функции по ребрам, входящим в точку Qj, а через u(0) обозначим m-мерный вектор (u(Q1) .. .u(Qn) , для вектора предельных значений производной u'(0) используем аналогичные обозначения.

Теорема 2. Пусть m = 1, B (x) = 0 ж C(x) = 0 Оператор L с областью онределе-

( u'(Qi)\ ( u(Q1) \

пня D(L) = < и Е W22(^ :

A

\ U'(Qn)

где A - матрица размерности

\ u(Qn)

2m х 2m, самосопряжен тогда и только тогда когда матрица A удовлетворяет равенству A = A*.

Граф с одной вершиной и со счётным множеством лучей. Обозначим через ц - счётно адаптивную вероятностную меру на N такую, что ц(к) = pk > 0, и L2(N, 2n,ц, C) - гильбертово пространство граничных значений с нормой ||{un}||2 = In |un|2d^(n) = SfcL1 |un|V(k). Сужения всякой функции на полупрямую обладают граничными значениями в вершине: u(0) = (u1(0) ... un(0).. .)t Е L2^. Это to же верно для первых производных этих сужений U (0).

Теорема 3. Пусть = 1 m =1 B(x) = 0 и C(x) = 0. Оператор L с областью определения D(L) = {и Е W22 (Г) : U (0) = Au(0)}, самосопряжен тогда п только тогда когда оператор A самосопряжен в пространстве L2.

Следствие 3. Если Е L1; bk Е LE,B - операторы в пространстве L2(N, 2n,ц, C), заданные диагональными матрицами с числами /ik, bk на диагонали, C = (cij ),где cij Е L^ (Г). Тогда опера тор L с областью определения D(L) = {и Е W22(Г) : U (0) = Au(0)}, самосопряжен тогда п только тогда когда выполняется A = E-1A*E — 2iB.

Литература

1. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики «Функциональный анализ». Т.1 / М.: Мир, 1977.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 99

2. Сакбаев В., Смолянов О. Динамика квантовой частицв1 с разрвшной зависимоствю массв1 от положения / ДАН. - 2010. - 433:3. - С.314-317.

LAPLACE OPERATORS OF SCHRODINGER EQUATION ON GRAPHS

M.H. Nunm El’sheikli

Key words: Laplace’s operators, Schrodinger’s equation, graph, compact support, selfconjugate extensions.