Оператор Штурма Лиувилля с быстро растущим потенциалом и асимптотика его спектра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 3.

УДК 517.928 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-143-157

Оператор Штурма — Лиувилля с быстро растущим потенциалом

и асимптотика его спектра

А. В. Качкина

Качкина Алиса Валерьевна — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики (г. Москва). e-mail: [email protected]

Аннотация

В работе изучается асимптотика дискретного спектра оператора Штурма-Лиувилля, задаваемого на R+ выражением —у" + q(x)y и граничным условием в нуле у(0) cos а + у'(0) sin а = 0, для быстро растущих та бесконечности потенциалов q(x). Получены асимптотики собственных значений оператора для классов потенциалов, характеризующих скорость их роста на бесконечности.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, спектр, асимптотика.

Библиография: 21 название.

Для цитирования:

Качкина, А. В. Оператор III гур.ма . Iiiyini. i. 1я с быстро растущим потенциалом и асимптотика его спектра // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 143-157.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.

UDC 517.928 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-143-157

The Sturm^Liouville operator with rapidly growing potential and

the asymptotics of its spectrum

A. Kachkina

Kachkina Alisa Valerievna — Lomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics (Moscow). e-mail: [email protected]

Abstract

In this paper, we study the asymptotic behavior of the discrete spectrum of the Sturm-Liouville operator given on R+ % the expression -y" + q(x)y and the zero boundary condition y(0)cosa + y'(0)sina = 0, for rapidly Rowing potentials q(x). The asymptotics of the eigenvalues of the operator for the classes of potentials are obtained, which characterize the rate of their growth at infinity.

Keywords: differential operator, spectrum, asymptotics.

Bibliography: 21 titles.

For citation:

Kachkina, A.V. 2024, "The Sturm^Liouville operator with a rapidly growing potential and the asymptotics of its spectrum" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 143-157.

1. Введение

В гильбертовом пространстве Li[0, +го) рассматривается оператор Штурма-Лиувилля ~Lq, порождаемый дифференциальным выражением:

и граничным условием в нуле:

к (У) = -У"(х)+ q(x)y(x),

у(0) cos а + у'(0) sin а = 0,

где q(x) — непрервная на [0, действительнозначная функция. Область определения оператора Lg: D{hq) = {у G L2[0, : у, у' абсолютно непрерывны на любом [a, b] С [0, +го), — у" + Q(x)y G Ы0, и у(0) cos а + у'(0) sin а = 0}.

Если функция (потенциал) q(x) —х —то итератор ~Lq полуограничен снизу и имеет чисто дискретный спектр Хп —п —(Э.Ч. Титчмарш [1], A.M. Молчанов [4]). Занумеруем собственные числа оператора ~Lq в порядке возрастания: Ai < А2 < ... < Хп < ...■

Хорошо изучено распределение спектра (Э.Ч. Титчмарш [1]) в случае степенного роста потенциала q. Так, например, если q(x) = х\ к > 0, то собственные значения Хп оператора Lq имеют асимптотику:

2 +1) ^ Г( I)Г(

Хп w^wi1 п( , п+ю, (!)

где Г(г) — Гамма-функция Эйлера.

Асимптотика собственных значений оператора ~Lq в случае а = 0 для потенциалов вида q(x) = хк + V(х), к > 0, получена в работах X. X. Муртазина и Т. Г. Амангильдина [5] для V(х) £ С0[О, и X. К.Ишкина [6] для V(х) £ C*Q[0, где функции из класса

С™[0, — финитные функции класса Ст[0,

Распределение спектра операторов Эйри и Вебера, возмущенных дельта-взаимодействием (дельта-функцией Дирака) найдено A.C. Печенцовым [19], [20], [21].

Если потенциал q растет на бесконечности быстрее любой степенной функции, то собственные значения оператора ~Lq не имеют степенную асимптотику (1). А. И. Козко [3] установил,

что для потенциала q(x) = ех выполнено соотношение Хп ~ ( , —- ) , п —

\2 ln(^n) J

В данной работе получены асимптотики собственных значений оператора ~Lq для классов потенциалов, быстро растущих на бесконечности.

2. Классы быстро растущих потенциалов. Вспомогательные утверждения

Обозначим через О класс функций q £ С[0, ПС2(0, удовлетворяющих условиям:

q''(x) > 0, ж > Xq, (2)

хд'(х)

lim —-— = (3)

х—q(x)

Из последнего равенства, в частности, следует, что существует такое число ж, что для всех значений аргумента х > х значения q(x) не обращаются в ноль, а также выполнено неравен-(х)

ство > 0. Без ограничения общности всюду далее будем считать, что эти соотношения

q(x)

выполнены при х > 0 (т.е. х = 0).

Лемма 1. Рассмотрим произвольную функцию д € 0. Верны следующие утверждения.

1. Функции д' и д принимают, только положительные значения на аргументах, больших некоторого х1. Кроме того, эти функции растут на бесконечности быстрее любой степенной функции, т. е. для любого к € N имеем хк = о(д(х)), х —

2. Пусть функция р — обратная к функции д, то есть д('р(х)) = х для, х > х\. Тогда, функция, р растет медленнее любой степенной функции, т. е. для любого 5 > 0 имеем р(х) = о(хё); х —

Доказательство. 1. Обозначим ^(х) = ж(1п |д(ж)|)' для х > 0. Тогда из равенства (3) следует, что <р(х) —при х —чисел х > Х\ > 0 и любого заданного к € N верна следующая цепочка равенств:

(^)к 1«(®)1 = (Ых1)1ехр[ ^= ^^ехр[ ^Т1

Поскольку функция ^ является бесконечно большой, можно выбрать Ж1 > 0 так, чтобы для всех чисел ж > Ж1 выполнялись соотношения:

ф) - к fx 1 i х \

—-dt> -dt = ln — .

t 7xi t \xiJ

>X1 " Jx i t

Отсюда и из полученной ранее цепочки равенств следует, что |д(ж)|ж-к —при ж — и при любом заданном натуральном к, то есть модуль функции q растет быстрее любой степенной функции.

g' (х)

Так как для х > 0 выполнено неравенство , , > 0 а значит, значения д'(х) и д(х) одного

д(х)

знака, осталось показать, что они именно положительные. Предположим, что это не так.

Тогда в силу соотношения (2) функция |д| выпукла вверх при значениях аргумента ж > жо

и ее график лежит ниже касательной, проведенной в некоторой точке Ж2 > Жо, а значит,

|g| не может расти быстрее любой степенной функции. Полученное противоречие завершает

доказательство пункта 1.

2. По доказанному ранее для любого к £ N существует такое число Кк, что для всех х > Кк

выполнено неравенство д(х) > хк+1. Тогда в силу строгого возрастания функции р получаем,

что р(д(х)) > р(хк+1), а значит, ж > р(хк+1) для ж > кк. Таким образом, для t >

i

выполнено неравенство p(t) < t k+1. Отсюда получаем следующую цепочку соотношений

i

n(t) t k+i ii

о = t-о, t

11 11

Полученное соотношение означает, что lim = о f —следовательно, p(t) = o(ti)

для любого к £ N Поскольку для любого числа ö > 0 найдется такой номер ks £ N, что 1 " s ö > —, получаем, что р(х) = o(xs), ж —■ ks

Далее без ограничения общности будем считать, что д(х) > 0 д'(х) > 0 и д"(х) > 0 для любого х > 0.

Пример 1. Все целые функции с неотрицательными тейлоровскими коэффициентами, отличные от, полинома, входят, в класс Q.

Так как логарифм максимума модуля целой функции g(z) в круге |z| < ж является выпуклой вниз функцией от lnж (см. [2]), то <ß(x) не убывает. Функция <ß(x) не ограничена сверху, в

x

противном случае имело бы место равенство q(x) = 0(хт) при некотором т £ N. По доказанному ранее получаем, что lim ф(х) = то есть выполнено соотношение (3), а значит,

q(x) £ О. ■

Обозначим через О подкласс функций q £ О, удовлетворяющих следующему условию хотя бы при одном значении 1 < j < 4/3

q"(x) < (q'(x)y, х > Xq. (4)

Пример 2. Целые функции конечного порядка вида q(z) = ^^ anzn, ап > 0, п £ N0;

~ n=Q

отличные от, полинома, лежат в классе О.

Пусть f (z) = ^ +=0 bnzn — целая функция конечного порядка р > 0 с неотрицательными коэффициентами ряда Тейлора. Производная f'(z) имеет тот же порядок р, что и сама f(z). Поэтому для доказательства неравенства (4) достаточно показать, что для любого е > 0:

„п—

f (х) = ЪпХп-1 = o(f(х))1+е, X

n=Q

Пусть ß > р. Тогда для некоторой постоянной С > 0 выполняется неравенство:

max | f(z)l = f(x) < С exp(xß).

Izl<x

Следовательно,

|bnl < inf x nf (x) < С inf exp^ — n 1пж) = Сexp ^ — ^ ln ).

n . n\ — ln — . ß eßj

Из последнего неравенства при п > eß+1ßxß находим

|Ъп 1хп < Сexp ^ — ^ ln + п1пж) < Сexp ^ — ^ ln(eßxß) + п1пж^ =

= С exp(—п ln(ex) +п ln ж) = С exp(n(ln х — ln(ex)) = Се-

Отсюда ^^ пЪпхп < С1, С1 > 0. Следовательно, при х > 1 имеем неравенство

n>eß+1ßxß

/(ж)= £ пЬпхп-1 + £ п Ьпхп-1 <

n<eß+1ßxß n>eß+1ßxß

f(x).

<С\ + eß+1ßxß V Ъпхп-1 <С1 + С2 ^х?.

' J гр

„п-1 ип-Ъ

X

n<eß+1ßxß

Так как / растет быстрее любой степенной функции, Уе > 0 получаем /'(ж) = о(/(ж))1+£, х —■

Для Р > 1 и р > 0 обозначим через Дз,^ класс функций q £ Д таких, что

1п q (ж) = р 1п^ж + о(1п^-1ж), ж—(5)

Переписать данное условие на потенциал в терминах обратной функции позволяет следующее утверждение.

Лемма 2. Рассмотрим произвольный потенциал д € Пусть р — обратная к д

функция, 6 = р, I3. Тогда, выполнено соотношение

1

1пр(х) = 51пр х + о(1), х—

Доказательство. Перепишем выражение (5) в следующем виде: 1пх = ^ 1прр(х) + + о(1пР-1 р(х)), х —Для некоторой е(х) = о(1), х —получаем выражение:

( е(х) \ 1п х = ц, 1пр р(ж) П + |—= ^ ^(х) ' а(х),

где а(х) —1, х —Отсюда, выразив 1пр(х), получаем равенство:

1п р(х) = (-)Д 1п д х( 1 + , £(х) ч I Д. \11) \ 1п р(х))

Тогда с учетом обозначения для 5 и согласно биномиальному разложению получаем следующее соотношение:

1 1

, , , 1 61пр х ■ е(х) (Ь 1пр х ■ е(х)\

1пр(х) = 5 1пР X--—-+ О -:-, Ж—^ +ТО.

р 1п р(х) \ 1п р(х) )

1 1

Поскольку Ь 1п Р х = 1п р(х) ■ а р (х), полученное выражение можно переписать в следующем виде:

1 1 , , . г ,1 1пр(х) ■ ар (х) ■ е(х) [1пр(х) ■ ар (х) ■ е(х)\

1пр(х) = 61пе X--—^—^ + о ^ -^—— ,

р 1п р(х) \ 1п р(х) '

1

А значит, 1пр(х) = 51пр х + о(1), х —так как а(х) —1 и е(х) —0 при х —■

Выражение (5) при значении параметра @ = 1 означает степенной рост потенциала д, для которого Э. Ч. Титчмаршом была получена асимптотика (1). При значениях параметра @ > 2 для потенциала д € выполняется условие:

1п д(х)

-2--+ТО, X —+ГО.

1п X

При таких условиях спектр оператора имеет асимптотику (А. И. Козко [3])

\п ~ (:кп)2р~2((-кп)2), п —

где р — обратная функция к д. Следующий результат А. И. Козко [3] устанавливает асимптотику спектра оператора для потенцпалов класса Ор, ^ в случае значения параметра @ = 2:

\п ~ (:кп)2р~2((кп)2)ехр^2^ , п—(6)

Позже А. Ю. Киселевой (личное сообщение) были найдены асимптотические разложения для собственных значений оператора Штурма-Лиувилля в рассматриваемой задаче для потенциала класса Пр,^ и значений параметра [3 € (3/2,2]

\п ~ (кп)2р~2((жп)2) ехр^-4 1п2-рр((кп)2)^, п (7)

\п — (тт)2р-2((пп)2)ехр ^ln2-ß р((тт)2) - - ln3-2ßр((пп)2)^ , п

и Р £ (4/3, 3/2]:

2((™)2) ех^± 1п2-/3 р((™)2) - - 2

,РР Р2Р\Р

(8)

Изучение асимптотики собственных значений оператора было продолжено И. Г. Насрт-диновым [7] для более близких к единице значений параметра р. Так, для потенциала ц £ Др,^, значений параметра Р £ (5/4, 4/3] и V = справедливо:

Ап - (тгп)2 exp^2vß In1 ((пп)2) - 2ß In2-1((пп)2)+

+ ^„3, 1п3-2(^)2) _ 16(8 -зрР + р2) „1п4-3((яп)2^ , ^ (9)

С помощью леммы 2 можно переписать данный результат в терминах обратной функции р. Получаем следующий вид асимптотики:

К ~ (™)2р-2((™)2)ехр('рР 1п2-"р((„п)'2) - - Л !п3-2"р((жп)2) +

i3ß3 ^ мАКп) ) |, п^ +ТО.

3. Основной результат и его доказательство

Обозначим сп = (пп)2, п £ N. В работе [3] доказано, что в случае q £ Д имеет место

асимптотика п — —АП/2р(Ап), п —Отсюда получаем, что Ап — 0.п . , п —то есть

п " Р2(Ап)

для некоторой последовательности ап —— п —выполнено равенство:

Ап = ап 2С,п л, п £ N. Р2(Ап)

Тогда lim — = lim 2 " = 0 в силу неограниченного монотонного роста функции р. п—сп п—р2 ( Ап) " "

Значит, Ап = о(сп), п —Поэтому, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство Ап < сп.

В принятых ранее обозначениях положим по определению:

Y = Сп 7 = Сп W = Сп *п = -\ , 7п = 2,лг-Г, W'a =

р2( Си) р2 (Упа,пУ Р2(7пап)'

\Г = Сп р = Сп с = Сп

Уп — „2/ТГЛ _ \ , рп — „2/л г \ , сп —

Р2^па.пУ Р2(УпапУ Р2(Рпап)'

Лемма 3. Для Р > 1 и р > 0 рассмотрим произвольную функцию q £ Др,^ и обратную

Тогда в этих обозначениях, начиная с некоторого номера, выполнена цепочка неравенств

< ^Уп&п < < \п < < Уп^п < гпап < сп.

Доказательство. По доказанному \п < сп, начиная с некоторого номера N. В силу строгого возрастания функции р для всех номеров п > N выполнено неравенство р2(\п) < р2(сп), а значит, имеет место следующая цепочка соотношений:

у __Сп < Сп _ \ < > N

1п&п --^ Г < 2 / X 7 - \п < C■п, п > 1У .

р2( Сп) Р2(\п)

Таким образом, для всех номеров п > N доказано двойное неравенство Упап < \п < сп. Из неравенства р2(Упап) < р2(Хп) для п > N следует, что

п п

К = ап 2( ) < Оп-) = гпЫп, П> N.

Р (^п) Р (!п&п)

Отсюда и из полученных ранее неравенств заключаем, что У.па п < < %пОп ДЛЯ п > N.

Установим, что Zпaп < сп, начиная с некоторого номера. Поскольку по лемме 1 функция р растет медленнее любой степенной функции, в частности, р2(сп) = о(сп), п —получаем,

что Упап = п п —п —Отсюда р2(Сп)

п

%'пап аг,

п Р2(УпОп)

0, п—

Таким образом, %пап = о(сп), п —что влечет за собой выполнение неравенства %пап < сп с некоторого номера. Без ограничения общности будем считать, что этот номер равен N. Таким образом, получена цепочка неравенств Упа п < < %пап < сп для п> N.

Установленное для п > N неравенство %пап < с позволяет, снова воспользовавшись строгим возрастанием функции р, получить требуемое неравенство

^ _ Сп < Сп _ ^ п > N

п Р2(Сп) Р2 (%п&п) .

Отсюда и из полученных ранее соотношений заключаем, что Упа,п < п < Ап < < Сп

для п > N. Далее аналогично последовательно устанавливаются все необходимые неравенства на Упап, Рпап^ С пап- ■

Теорема 1. Пусть д € Р € (6/5, 5/4]. Тогда для, спектра оператора справедливо

( ( 1 25 2 ! о3 - в з 2 о8 -60 + 02 4 3

Ап - Сп ехр ( —25 Пп 1 ^ - ^ 1п2-1 Сп + (25)21пД-2 ^ - (2£)3-1п4-3 Сп+

4125 — 1500 + 55/32 — 6(33 5-4

+ (25)4--^ 1п Д-4 сп) +<х>.

С помощью формулы из леммы 2 можно переписать данный результат в терминах обратной функции р. Получаем следующий вид асимптотики:

Ап - (ттп)2р-2((ттп)2)ехр1к41п2-рр((ттп)2) — — ^ 1п3-2рр((ттп)2) +

16(8 — 6[3 + Р2) 4 3в. . 4(125 — 150Р + 55[32 — 6[33) 5 4в .. .2. \

п —+ТО.

перед формулировкой леммы 3. Для доказательства теоремы достаточно установить, что / / 1 25 2 л о3-0 з 2 ,8 - 60 + 02 4 3

Рп -Сп - Спехр( —25Ы1 сп — 2^ 1п2-1 Сп+(25)2^ 1пД-2 Сп — (25)3-1пД-3 С+

4125 — 15013 + 55(32 — 6(3\ 5 -4 \\ + (25) -—4-1п е Сп\у п

Тогда в силу леммы 3 получим, что \п — Рп — Сп, п —Найдем асимптотические разложения для последовательностей Рп и Сп.

1. Запишем соотношение, используя выражение для обратной функции из леммы 2: 1пр(Упа,п) = <Нп1 (Уп0п) + 0(1) = 5(1пУп + 1па,п)1 +о(1), п Поскольку 1п ап = о(1), п —получаем

1

1 / о(1) \ 1

1п р(Упап)=51п РУп1 1 + +°(1), п

С учетом формулы Тейлора и неравенства — — 1 < 0 слагаемое правой части равенства

Р

может быть записано в виде

<Нп 1 + 1о(1п-1Гп^ = <Лп + о(1), п

1

Таким образом, установлено соотношение 1пр( Упап) = <Ип0 Уп + о(1), п —По определению Уп и ввиду леммы 2 имеем следующее соотношение

1

-п — 2(и 1п ^ ^п

11

1п1 Уп = (1п сп — 2(<Ип1 сп + о(1)))1, п

— — 1 — 1 После вынесения за скобку 1п $ сп получаем выражение (1п $ сп) ■ (1 — 2 <Ип $ сп +

+ о(1п 1 сп)) п —Второй множитель с помощью формулы Тейлора и символа ( ж)п = ж( ж — 1) . . . ( ж — ( п — 1))

1 + 1(-261п1 -1 Сп + о(1п-1 Сп)) + 2! (1) ((2^)2 1п2-2 Сп + о(1п1 -2 Сп) + о(!п-2 Сп)) +

2

+ 3! (1) (—(2^)3 1п3-3 сп + °(1п2-3 сп) + о(1п1-3 Сп) + о(1п-3 Сп)) +

+ 1 (1) ((2^)4 1п*-4 сп + о(1п2-4 Сп) + о(1п2-4 Сп) + о(1п1 -4 Сп) + о(!п-4 Сп)) +

4

+ 0(1пр 5 Сп + о(1пр 5 Сп)+о(1п0 5 Сп)+о(1п0 5 Сп)+о(1пР 5 Сп) + о(1п-5 Сп)),

п —+ТО.

/6 5

После всех преобразований с учетом того, что значения параметра Р £ ( —, — , а значит,

--5

выполняется соотношение 0(1п $ сп) = о(1), п—получаем, что

1пр(Упа,п) = 1п1 сп — 1п2-1 сп + 1) 1п 3-2 сп — ^^^ ^ 1п 4-3 Сп+

(26)4 1\ , 4

+ 4! 1п* 4 сп + о(1),п^ +то.

2. Аналогично предыдущему шагу имеем

1 , . 1 1пр(гпап) =<Япр 2п + о(1) = 5(1пСп — 21пр(Упап) + о(1)) ^ +о(1), п +то.

После подстановки полученного выше выражения для 1пр( Упап) получаем, что

( ( 1 25 1 (25)V 1\ з_2

1пр( гпап) = 5\\п Сп — 25 ^1п р с,п — — 1п р с,п + —— ^^ 1п ? с,п—

г(д).1п4-3+ (24т(1 )4'п5-4* + »(10)' + *>• +-

3! \Р), " 4! УР

1_ 1

Для упрощения выкладок положим = 2<Ип13 с, п € N. Тогда с использованием введенного обозначения имеем

1пр( г,пап) =

= б\п 1Ц1— — + 1 (!) -1(±) + 4, (!) +о{1))' +о(1),

п —+ ГО,

откуда с помощью формулы Тейлора получаем

1пр( г,пап) =

= 5Ы 1 Сп{1 — К ^ — 1 + 2( ^ 2 — 3г ( ^ £п + 1 ( ^ &п) +

+ 2.{ 2 ( — I + ^ $,п+2к( 2— з1! (3 ( — 3 ср,п)+

+ 1.{ 1)4 + °(1п^-5 Сп)) +°(1),

Отсюда, раскрывая символы Похгаммера и вычисляя коэффициенты, а также ввиду °

1пр( г,пап) =

-—5

соотношения °(1п$ сп) = о(1), п—получаем, что

Л1 1 Л 1* 3 — в 2 5 — 6(3 + Р2^ 1 41 — 90(3 + 55(32 — 6(33 ^ \

п —+ ГО.

3. Далее с помощью аналогичных выкладок получаем соотношение 1пр( Шпап) =

= ¿(1п сп — 21пр( %пап) + о(1)) ^ + о(1), п —Используя полученное в предыдущем пункте выражение для 1п р(%пап), имеем

(1/ 1 3 — Р 5 — 6(3 + р 2

1п Сп — 2^1п 1 Сп[ 1 — р Ь,п + -ур $,п--3ф3-4,п+

41 — 90(3 + 55(32 — 6(33 4 \ Л 1

41 — 90 ^ + 55 ^ — 6^ .4 \ мЛ" I /-] \ ,

+-24ф4-^,п) +о(1)) + °(1) п+

1

Для удобства снова вынесем за скобку 1п$ сп:

, ЛЛ 1 Л Л 1,2 3 — Р, 3 5 — 6(3 + р2,4

1пР(Шпап)) = ¿Ь0 1 — (^п — ^С22,п + ^3,п--3ф3-^4,п+

24(3

Тогда с помощью формулы Тейлора:

1

41 — 90(3 + 55(32 — 6(33 5 „ 1 Л V т +--— + о(\п-1 СпЖ +о(1), п^

, ЛЛ 1 Л 1Л 2 3 — р^ 3 5 — 6Р + Р2,4

1пР(Шпап)) = 51пР Сп ( 1 — Д— р+ --3р~3-^,п+

41 — 90 [3 + 55Р2 — 6 (З3д5 \+±{Л (л _К3 +23—1,4

+ 24(34 *р,п) + 2\\р) Л+ Р2 ^,п Р^,п + 2 2Р2

— ^ (1) з (СР,п — 3^п) + 1) 4^п + °(п5-5 сп)) + 0(1), ^ +«>.

5

Отсюда с учетом соотношения 0(1п $ сп) = о(1), п —раскрывая символы Похгаммера и вычисляя коэффициенты, получаем, что

1пр( ШпО-п) =

1 3 — Р 2 8 — 6Р + —2 3 101 — 150Р + 55Р2 — 6—3 4 -+ "зР2" 3ф3 ^п + 24Р4 ^

п —+ ГО.

4. Аналогично предыдущему шагу имеем 1пр(Упоп) = ¿(1псп — 21пр(Шпоп) + о(1)) 1 + о(1), п—Подставляя полученное выражение для 1пр(Шпоп), имеем

(1 / 1 3_р 8_6Р + Р2

1п Сп — 25 1п 1 Сп{ 1 — 1 + 32—- --3рр3-+

, 101 — 150 Р + 55Р2 — 6Р3 ^4 \ Л 1 +-^ТТГ4-£р,п) + °(1)) + °(1) п

24 Р4

1

После вынесения за скобки 1п $ сп и применения формулы Тейлора получаем следующее соотношение:

, /т, , с 1 1 Л 1 Л 1^2 3 — Л 3 8 — 6- + Р2 4

1пР(упОп) = ¿1п е 1 — - ( &,п — -^2,п + £/3,п--3-3-^/4,п+

1,2 , 3 — ^3 8 — 6Р + -■ РУ»",п Р

101 — 150 Р + 55-2 — 6Р3 .5 \ 1/Л Л2 + ,4 _2 ,3 +23—^¿4 \ + 24-4 ^,п) + 2!^+ -2-+ 2 2-2

— 3! (1) 3 — ^п) + 4. (1 )4^п + °(1п5-5 Сп))+0(1), + «,

5

После вычисления всех коэффициентов и с учетом соотношения 0(1п$ сп) = о(1), п —получаем, что

1пр( УпОп) =

е, 1 Л К 3 —-л2 8 — 6- + Р2 3 125 — 150- + 55-2 — 6—3 4 \ б 1п1 Ц1 — 1 ^п + 32-f Цп--3Рр3-Р $,п +-Р+Г---+0(11

п(10)

5. Теми же рассуждениями получаем, что 1пр(Рпоп) = ¿(1п сп — 21пр(Упоп) + о(1)) 1 +о(1), п—Откуда с помощью найденного выражения (10) имеем

/ 1 3_- 8_6— + —2

1п Сп — 25 1п? Сп( 1 — 1 + --33—3-£|,п +

, 125 — 150— + 55—2 — 6—3 ^4 \ Л 1 + --+ °(1)) + °(1) п+ТО.

24 Р4

1

Снова вынесем за скобки 1п р сп для применения формулы Тейлора. Получаем следующее

соотношение:

1 / 1 / 1 3_р 8_6/3 + Р 2

1пр(Епап) = ¿1п 1 Сп1 1 — 1 ( — 1 + -ур $,п--3ф3+-£кп+

+ 125—150^+55^—6^<5 \ + 1_(1 ^ (,2 +1_м л + 2?—1 м

+ 24/34 ^,п) +2\\р) 2\^,п + р2 ^,п Р ^,п + 2 2(32 ^,п)

'(1)з(^п — ^п) +1{ + °(Ы*-5 Сп)) +0(1),

К1) X—¥ +К1) +°(]пп-5

- — 5

Вычислив все коэффициенты с учетом соотношения °(1п Р сп) = о(1), п —получаем, что

1пр(Р,па.п) =

1 Л К ,3 — В 2 8 — 6(3 + (32^ , 125 — 15013 + 55(32 — 6(33 ^ \

п+ТО. (11) 1_ 1

6. Используя формулу (10), с применением обратной подстановки = 251п$ сп, п € N, имеем:

/ 1 25 !_ л о3 — В з_ 2

1пр(Упап) = ^(1пр Сп — -р 1пр 1 с + (2^)2~2—2~ 1п" 2сп—

ЛШ38 — 6(3 + р\ |-3 125 — 150(3 + 55(32 — 6(3\ |-4 \ — ( ) -3(^- °П+-- ) +°(1) П+

По определению Рп = сп ехр (—21пр(Упап)), п € N, поэтому выполняется соотношение Рп = ^ехр(—25^1п1 сп — ™ 1п2-1 с,п + (25)21п3-2 Сп — (25)38 — ^ 1пД-3 Сп+

125 — 150(3 + 55(32 — 6(3\ |-4 . .

+ (2 Ю --1пГЗ Сп) +о(1) п+ <Х).

+ (1) ,

Отсюда заключаем, что

' - 7 1п2-1 ^ + (26)2......— 3/?

Рп - Спехр(—25^1п1 ^ — Ц-1пД-1 Сп + (25)21п3-2 Сп — (25)38 ^3+ ^ 1пД-3 сп+

,п~4125 — 150(3 + 55 [З2 — 6(33. 5_4 \\ + (2$)4-'т+т^-— 1п5 4 Сп)), п+ю,

поскольку ео(1) = 1 + о(1), п —

Аналогично используя формулу (11) и ввиду определения Сп = сп ехр (—21пр(Рпап)), п € N, имеем:

/ / 1 25 2 л о3-д з 2 ,8-6[3 + В2 4 3 Сп = Сп ехр ( —25 МпД ^ — 1п2-1 Сп+(25)2 ^ 1п3-2 Сп — (2^)3-т^г^ 1п?-3 Сп+

,п~4 125 — 150[3 + 55(32 — 6[З3 5_4 \ .Л + (2 ¿)4-т+г1-— 1п5 4 С) +о(1)), п +ж.

Значит,

/ / 1 25 i_ -I оЪ — ß 2

Fn ~Gn - сп expi —25 iln 0 сга - — ln 0 1 сп + (25)2-ß- ln ß 2 сп—

л^з8 — 6ß + ß\ I-з 125 — 150ß + 55ß2 — 6ß\ |_4 \\ — ( )-3ß3- ß Сп + ( )-24ß4- ß Сп) )' П

что завершает доказательство теоремы. ■

Данная теорема обобщает полученные ранее результаты для значений параметра ß е [5/4, 2].

5- 4

сле дствие 1. Если ß е (5/4, 4/3], то lnß сп = о(1), п —что приводит нас к формуле (9).

4 _ з

Если ß е (4/3, 3/2], то lnß сп = о(1), п—что приводит нас к формуле (8).

--2

Если ß е (3/2, 2], то lnß сп = о(1), п—что приводит нас к формуле (7).

ß = 2,

Найденная асимптотика собственных значений оператора Lq может использоваться при нахождении регуляризованных следов [11]-[14], при решении обратных задач и при нахождении базисных свойств собственных функций [15]-[18].

В заключение выражаю благодарность А. И. Козко за постановку задачи, полезные советы и замечания.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Титчмарш Э. Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка // т.1, Москва, ИЛ, 1960.

2. Титчмарш Э. Ч. Теория функций // Москва, "Наука", 1980.

3. Козко А. И. Асимптотика спектра дифференциального оператора — у"+q(x)y с граничным условием в нуле и быстро растущим потенциалом // Дифференц. уравнения, 41:5 (2005), 611-622; Differ. Equ., 41:5 (2005), 636-648.

4. Молчанов A.M. Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных уравнений второго порядка // Труды Моск. матем. об-ва т.2, 1953, 169-200.

5. Муртазин X. X., Амангильдин Т. Г. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля // Математический сборник, 1979, т. 110, №1, 135-149.

6. Ишкин X. К. Асимптотика спектра и регуляризованный след сингулярных дифференциальных операторов высшего порядка // Дифференц. уравнения, 31:10 (1995), 1658-1668.

7. Насртдинов И. Г. Асимптотика спектра оператора Штурма—Лиувилля в ¿2(М+) с граничным условием у(0) cos(a;) + у'(0) sin(a) = 0 // XV Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвященная столетию со дня рождения профессора Николая Михайловича Коробова, 31 мая 2018 г.

8. Качкина A.B. Асимптотика спектра оператора Штурма—Лиувилля с граничным условием в нуле и быстро растущим потенциалом // Библиотека Чебышевского сборника, XXI Международная конференция «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирования: современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященная 85-летию со дня рождения А. А. Карацубы, Тула, 17-21 мая 2022 г.

9. Савчук A.M., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки, 1999, т.66, 897-912.

10. Giertz М., On the solution in L2(—rx, of у'' + (A — q(x))y = 0 when q is rapidly increasing // Proceedings of the London Mathematical society, 1962, vol. 3-14, Issue 1, pp. 53-73.

11. Козко А. И., Печенцов А. С. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов с каноническими краевыми условиями // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. 2011. № 4, С. 11-17.

12. Козко А. И., Печенцов А. С. Спектральная функция сингулярного дифференциального оператора порядка 2 т // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2010. Т. 74, №6. С. 107-126.

13. Козко А. И., Печенцов А. С. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов высших порядков - Математические заметки - 2008. Т. 83, №1. С. 39-49.

14. Садовничий В. А., Печенцов А. С., Козко А. И. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов // Доклады РАН. 2009, том 427, с. 461-465.

15. Инг Янг, Гуангшенг Вей, Обратные задачи рассеяния для операторов Штурма—Лиувилля с граничными условиями, зависящими от спектрального параметра // Матем. заметки, 103:1 (2018), 65-74; Math. Notes, 103:1 (2018), 59-66.

16. Ишкин X. К. Спектральные свойства несекториального оператора Штурма-Лиувилля на полуоси // Матем. заметки, 2023, том 113, выпуск 5, страницы 703-722.

17. Лабовский С. М. О дискретности спектра одного функционально-дифференциального оператора // Теория управления и математическое моделирование. Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова. Удмуртский государственный университет. 2015. С. 73-75.

18. Labovskiv S., Getimane М. F. On discreteness of spectrum and positivitv of the Green's function for a second order functional-differential operator on semiaxes // Boundary Value Problems. 2014. C. 102.

19. Печенцов А. С. "Распределение спектра одного сингулярного положительного оператора Штурма-Лиувилля, возмущенного дельта-функцией Дирака" // Дифференц. уравнения,2017, Т. 53. №8. С. 1058-1063.

20. Печенцов А. С. "Распределение спектра оператора Вебера, возмущенного дельта-функцией Дирака" // Дифференц. уравнения, 2021, т. 57, №8, с. 1032-1038.

21. Pechentsov A. S. "Distribution of the Spectrum of Airy Operator Perturbed by Delta Interactions", // Russ. J. Math. Phvs., 2022, 29, 115-118.

REFERENCES

1. Titchmarsh, E.C. 1960, "Decomposition by eigenfunctions related to second-order differential equations", vol.1, Moscow, IL.

2. Titchmarsh, E.C. 1980, "Theory of Functions", Moscow, Nauka.

3. Kozko, A.I. 2005, "Asvmptotics of the spectrum of the differential operator — y" + q(x)y with a boundary condition at zero and a rapidly growing potential", Differ. Equ., 41:5, pp. 636-648.

4. Molchanov, A. M. 1953, "On the discreteness conditions of the spectrum of self-adjoint differential equations of the second order", The works of Moscow, matem., vol.2, pp. 169-200.

5. Murtazin, X. H., Amangildin T. G. 1979, "Asvmptotics of the operator spectrum Sturm-Liouville", Mathematical Collection, vol. 110, No. 1, pp. 135-149.

6. Ishkin,X. K. 1995, "The asvmptotics of the spectrum and the regularized trace of singular differential operators of higher order", Differents. equations, 31:10, pp. 1658-1668.

7. Nasrtdinov, I. G. 2018, "Asvmptotics of the spectrum of the Sturm-Liouville operator in L2(R+) with the boundary condition y(0)cos(a) + y'(0) sin(o;) = 0", XV International Conference "Algebra, number theory and discrete geometry: modern problems and applications dedicated to the centenary of the birth of Professor Nikolai Mikhailovich Korobov, May 31, 2018.

8. Kachkina, A.V. 2022, "Asvmptotics of the spectrum of the Sturm-Liouville operator with a boundary condition at zero and a rapidly growing potential", Chebyshev Collection Library, XXI International Conference "Algebra, Number theory, discrete geometry and multiscale modeling: modern problems, applications and problems of history dedicated to the 85th anniversary of the birth of A.A. Karatsuba, Tula, May 17-21, 2022.

9. Savchuk, A.M., Shkalikov, A. A. 1999, "Sturm-Liouville operators with singular potentials", Math, notes, vol.66, pp. 897-912.

10. Giertz, M. 1962, "On the solution in L2(—rx, of y" + (\ — q(x))y = 0 when q is rapidly increasing", Proceedings of the London Mathematical society, vol. 3-14, Issue 1, pp. 53-73.

11. Kozko, A. I., Pechentsov, A.S. 2011, "Regularized traces of singular differential operators with canonical boundary conditions" Moscow University Bulletin . Series 1. Matem. Mech., № 4, pp. 11-17.

12. Kozko, A. I., Pechentsov, A. S. 2010, "The spectral function of a singular differential operator of the order of 2mli, Proceedings of the Russian Academy of Sciences. The series is mathematical, vol. 74, №6. pp. 107-126.

13. Kozko, A.I., Pechentsov, A.S. 2008, "Regularized traces of singular differential operators of higher orders", Mathematical notes, vol. 83, №1. pp. 39-49.

14. Sadovnichiv, V. A., Pechentsov, A.S., Kozko, A.I. 2009, "Regularized traces of singular differential operators", RAS reports, vol. 427, pp. 461-465.

15. Ying Yang, Guangsheng Wei. 2018. "Inverse scattering problems for Sturm-Liouville operators with boundary conditions depending on the spectral parameter", Matem,. notes, 103:1, 65-74.

16. Ishkin, H.K. 2023. "Spectral properties of the nonsectorial Sturm-Liouville operator on the semiaxis", Mat. notes, volume 113, issue 5, pages 703-722.

17. Labovskv S.M. 2015. "On the Discreteness of the Spectrum of a Functional Differential Operator", Control Theory and Mathematical Modeling. Abstracts of the All-Russian Conference with international participation, dedicated to the memory of Professor N. V. Azbelev and Professor E.L. Tonkov. Udmurt State University, pp. 73-75.

18. Labovskiv, S., Getimane, M. F. 2014. "On discreteness of spectrum and positivitv of the Green's function for a second order functional-differential operator on semiaxes", Boundary Value Problems, p. 102.

19. Pechentsov, A. S. 2022. "Distribution of the Spectrum of a singular positive Sturm-Liouville operator Perturbed by the Dirac delta function", Diff Equat, vol. 53, №8, 1029-1034.

20. Pechentsov, A. S. 2021. "Spectral Distribution of the Weber Operator by the Dirac Delta Function", Diff Equat, 57, №8, 1003-1009.

21. Pechentsov, A.S. 2022. "Distribution of the Spectrum of Airy Operator Perturbed by Delta Interactions", Russ. J. Math. Phys., 29, 115-118.

Получено: 17.02.2024 Принято в печать: 04.09.2024