ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТНОГО ПОРЯДКА С ПОТЕНЦИАЛОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Math-Net.Ru

С. И. Митрохин, Об асимптотике спектра дифференциального оператора четного порядка с потенциалом дельта-функцией, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021, том 25, номер 4, 634-662

001: https://doi.org/10.14498/vsgtu1798

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки: IP: 109.252.159.147 30 марта 2022 г., 09:14:49

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi

УДК 517.927

Об асимптотике спектра дифференциального оператора четного порядка с потенциалом дельта-функцией

С. И. Митрохин

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский вычислительный центр, Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, 1, стр. 4.

Аннотация

Изучается последовательность дифференциальных операторов высокого четного порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. Рассматривается один из видов разделённых граничных условий. В точках разрыва потенциала необходимо изучить условия склейки для корректного определения решений соответствующих дифференциальных уравнений. При больших значениях спектрального параметра методом Наймарка выписаны асимптотические решения дифференциальных уравнений. Изучены условия склейки, исследованы граничные условия, выведено уравнение на собственные значения рассматриваемого дифференциального оператора. Методом последовательных приближений найдена асимптотика спектра изучаемых дифференциальных операторов, предел которой задаёт спектр оператора с потенциалом дельта-функцией.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, дельта-функция Дирака, асимптотика решений дифференциального уравнения, кусочно-гладкий потенциал, собственные значения, асимптотика спектра.

Получение: 15 июля 2020 г. / Исправление: 23 ноября 2021 г. / Принятие: 6 декабря 2021 г. / Публикация онлайн: 29 декабря 2021 г.

Научная статья

© Коллектив авторов, 2021 © СамГТУ, 2021 (составление, дизайн, макет)

3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Митрохин С. И. Об асимптотике спектра дифференциального оператора четного порядка с потенциалом дельта-функцией // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021. Т. 25, №4. С. 634-662. https://doi.org/10.14498/vsgtu1798. Сведения об авторе

Сергей Иванович Митрохин & https://orcid.org/0000-0003-1896-0563

кандидат физико-математических наук, доцент; старший научный сотрудник; научно-

исследовательский вычислительный центр; e-mail: [email protected]

Введение и исторический обзор. Дифференциальный оператор, потенциалом которого является дельта-функция, можно рассматривать как предел последовательности операторов с кусочно-гладкими потенциалами. Развитие спектральной теории дифференциальных операторов идет в сторону уменьшения гладкости коэффициентов дифференциальных уравнений, задающих эти операторы. Различные вопросы спектральной теории операторов второго порядка с негладкими коэффициентами (с кусочно-гладкими потенциалами либо кусочно-гладкой весовой функцией) были рассмотрены в работах [1-5].

В работе [6] были найдены асимптотики собственных значений дифференциальных операторов второго порядка с суммируемым потенциалом. В работах [7-9] были изучены спектральные свойства операторов четвертого, шестого и выше порядков с разделенными граничными условиями, а в работе [10] — с неразделенными граничными условиями с суммируемым на отрезке потенциалом.

В работах [11-13] рассматривались различные операторы второго порядка с сингулярными потенциалами, в том числе и операторы с потенциалом дельта-функцией. Необходимость изучения операторов, потенциалом которых является дельта-функция Дирака, следует из богатства их физических приложений, примеры которых изложены в работах [14-18].

Во всех этих работах рассматривались операторы второго порядка. Операторы порядка выше второго, потенциалами которых является дельта-функция, до сих пор не изучались.

1. Постановка задачи. Изучим дифференциальный оператор с кусочно-гладкими коэффициентами, задаваемый на отрезке [0; ж] дифференциальными уравнениями

yf)(x) + qi(x)yi(x) = Xa8yi(x), 0 ^ х < хы; (1)

у2\х) + q2(x)y2(x) = Xa8y2(x), xln ^ х ^ хо; (2)

у(38)(х) + q3(x)y3(x) = Ха8у3(х), хо <х ^ Х2П; (3)

уТ(х) + q<i(x)y4(x) = Ха8у4(х), Х2п < х ^ ж, (4)

где Л € C — спектральный параметр; р(х) = а8 — весовая функция, а > 0; Qn(х) = qi(x) V q2(x) V q3(x) V q4(x) — потенциал, на который накладываются следующие условия:

qi(x) = 0, х € [0,xin]; qA(х) = 0, х € (х2П,к};

k0 т0

xin = хо--, ко > 0; Х2п = хо +--, то > 0;

п п

q2(x) € C7[xin; хо}; q3(x) € СТ(хо,Х2П};

lim q2(x) = 0; lim q2(x) = (5)

х—ххп+о x—xo—о

lim q3(x) = lim q3 (x) = 0;

x—xo +о x—VX2n —о

rx0 rX2n

/ q2(t)dt = Hin; q3(t)dt = Н2П; Ны + Щп = 1.

n

В точках х\п, хо, х2п разрыва коэффициентов потребуем выполнения следующих условий склейки:

yi(xin - 0) = = У2(х1п + 0); У{Г)(х1п — 0) = у(2п)

У2(Хо — 0) = Уз(хо + 0); у{Г)(хо - 0) = = yt\

Уз(Х2п - 0) = = У4(х2п + 0); у\Г)(х2п — 0) = у[т)

, + 0), т=1,2,..., 7. (8) Будем рассматривать граничные условия вида

^т1)(0) = у(Т2)( 0) = ••• = У{Г6)(0) = У(?1)(*) = у{Г2)(ъ) = 0, (9)

т\ <т2 < • • • < те, п\ < п2; тк, п\, п2 € {0,1,2,..., 7}, к = 1,2,..., 6.

Из условий (5) следует, что потенциал (^п(х) удовлетворяет следующим условиям:

lim Qn(x) = S(x — хо) =

0, х е [0;х0);

х = х0; 0, х е (х0; ж],

/ Qn(x)dx = 5(х — xo)dx = Ны + Н2п = 1. оо

Поэтому мы фактически изучим асимптотику спектра оператора, задаваемого дифференциальным уравнением

у(8\х) + ö(x — х0)у(х) = Ха8у(х), 0 ^ х ^ ж, а > 0,

с граничными условиями (9).

2. Асимптотика решений дифференциальных уравнений (1)—(4) при больших значениях спектрального параметра Л. Пусть Л = s8, s = ^Л, при этом для корректности дальнейших вычислений зафиксируем ту ветвь арифметического корня восьмой степени, для которой ^Т = +1. Обозначим через Шк (к = 1,2,..., 8) различные корни восьмой степени из единицы:

ш1 = 1; шк = е ^( к-1), к = 1, 2,..., 8;

2™ л/2 лДг wi = 1, Ш2 = е s = — + — = z = 0;

о 4 7гг л/2 V2i

Шз = Ш2 = е 8 = г, = —— + , _ л/2 л/2г _

шъ = —1, = —2---2Г = и)4,

. _ /2 /2 _

ш7 = —г = ш3, Ш8 = —---— = Ш2;

шт = zm-1, т = 1, 2,..., 8.

Числа Шк (к = 1, 2,..., 8) из (10) делят единичную окружность на восемь равных частей и для них справедливы следующие свойства:

к=1

^(¿Т = 0, т = 1, 2,..., 7; ^ = 8, т = 0,т = 8; (11)

к=1

7 7

£ шкт = 0, т = 2, 3,..., 8; £ шкт = 8, т = 1. (12)

к=0

к=0

Аналогично монографии [19, гл. 2] устанавливаются следующие утверждения.

Теорема 1. Общее 'решение дифференциального уравнения (1) (дг(х) = 0 при х € [0; х1п)) имеет вид

У\(х,8) = ^ Схк У1к (х,8); к=1

8

у[т)(х, з) = £ С1к у^(х, *), т = 1,2,..., 7,

(13)

к=1

где С\к — произвольные постоянные, к = 1, 2,..., 8;

(т).

УХ к (х, 8) = еаШк зх, у\,е)(х, 8) = (ашк 8)теаШк зх, к = 1,2,..., 8, т = 1, 2,..., 7.

(14)

Теорема 2. Общее решение дифференциального уравнения (2) представляется в виде

У2(х,8) = ^ С2к У2к (х,8);

к=1

(15)

У2П\х,8)=^2 с2к Уы\х,8), х1п ^ х ^ Хо, т = 1,2,..., 7,

(т)

к=1

где С2к — произвольные постоянные, к = 1, 2,..., 8, при этом для фундаментальной системы решений [у2к(ж,8)}|=1 справедливы следующие асимптотические формулы и оценки:

У2 к (х,в) = е'

аш^в х

1 +

шкА7(х) А8(х) (е11тз1ах

+

+ О

И? 89

у2™\х,8) = (аик 8)теаШк

т-ашизх

1+

к = 1, 2,..., 8; шк а7(х) а^(х) (51ах

+

+ О

88 в9

к = 1, 2,..., 8, т = 1, 2,..., 7;

Я2(х)_

1 Г

А7(Х) = - Ч2(№; А7(Хы) = 0; А7(х) = -

^ Х~\п

8а7

(16)

(17)

(18)

7

5

7

8

Л0(гг) = 7(12(х) - 7Ч2(ХЩ) ; Ао(„ )=0; Л1(гг) = 5Я2(Х) - 1д2(Худ) . Л8(х) = 16~8 ; А8(Х1'п) = Л8(Х) = '

= т =^ х ^7. (Х9)

16 а8

А7(х) = —7У2(х) - 7(12(Х1п)_

16а8

(х) = ¿А! (Х1п) = ^А%(хо) = Б8 = -1^1п). (20)

к=0 к=0 к=0 Теорема 3. Общее 'решение дифференциального уравнения (3) имеет вид

уз(х, ,в) = ^СзкУзк(х, в); к=1

8

у3™\х, в) =^2сзк Уы\х, в), т = 1, 2,..., 7, хо <х ^х2п,

к=1

,(т)^ — (т) к=1

где С33к — произвольные постоянные, к = 1, 2,..., 8;

(21)

Узк(х, в) = е'

,ашк вх

Шк Вт(х) + В80(х) + / е\1тя\ах

а7 е8 —I е9

в' в8 \ в = 1, 2, . . . , 8

у(™)(х, 8) = (ашк8)теаШк^ , В'(-) , , ^

1 + ^^ + ^

(22)

(23)

к = 1, 2,..., 8, т = 1, 2,..., 7; Вт(х) = -8^ IХ яг(№-, В7(хо) = 0; В'7(х) = -(24)

В0(х) = 7(1 з(Х\~7дз(Х0); В0(хо)=0; ВКх) = 5*з(х\-а/(Х0);

В^ =(7 - 2т) Ш - Ц Ы т = ^ х 7^ (25)

8 16 а8

тз7( Л -7дз(х) - 7д3(хо) В8(х) = — '

16 а8

>Т Вк(х) = >Т Вк(Х2п) = Е8 = ^^. (26)

к=0 к=0

Теорема 4. Общее решение дифференциального уравнения (4) (д4(х) = 0 при х € (х2п;ж)) представляется в виде

УА(Х, в) =^С4кУ4к(х, з);

к=\ (27)

у(4п)(х, в) = ^С4к У(4^)(х, в), т = 1,2,..., 7

,(т){^ сЛ __п,(т)

к=1

где С4к — произвольные постоянные, к = 1, 2,..., 8

От)

У4к(х, 8) = еаШкЗХ, У1т)(х, 8) = (ашк8)теаШкЗХ, к = 1,2,..., 8, т = 1, 2,..., 7.

(28)

Обозначим через А00 —определитель Вандермонда чисел Ш1, ш2, ..., ш8 из (10)—(12):

А,

00

1 1 1. . . 1 1

Ш1 Ш2 Шз . . . Ш7 Ш8

Ш2! ш1 Ш2 . . ш7 Ш82

Ш. 17. Ш] Шз . . ш] Ш87

Л (Шк - шт) = 0.

к>т; к,т = 1,2,...,8

(29)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть (5тк) (т,к = 1, 2,..., 8) —матрица алгебраических миноров к элементам Ьтк (т, к = 1, 2,..., 8) определителя А00 из (29). Тогда

( т к) =

(Ь11 $12 д21 522

д71 572

V¿81 582

¿1в\

$88/

А

00

1 -1 1 -1 . . .1

- Ш1 1 Ш2 1 - Шз 1 Ш-1 . . - Ш

Ш1 2 - Ш2 2 Шз 2 -Ш-2 . . Ш

Ш-6 - Ш1 7 . -. Ш. 2-. 6. Ш2 7 Ш-6 - Шз 7 -Ш-6 . Ш- . . Ш . - Ш

1

7

2

7

-1

1

Ш,

—Ш.

2

-6

7

7

Ш

6

Ш8 7

(30)

Доказательство теоремы 5 можно найти в работе [20].

3. Изучение условий склейки (8). С помощью формул (21) и (27) из условий склейки (8) получим следующую систему уравнений:

У4(Х2п + 0, 8 ) Уз(Х2п - 0, 8 ^ СкУ4к(Х2п + 0, в)

к=1

^ СзкУзк(Х2п - 0, в);

у(Г)(Х2п + 0, 8 ) (8) у3'1)(Х2п - 0, 8 )

( т)

к=1

8 ( т)

( а ) т

' ^ С4к

У\к )(Х2п + 0, 5 ) (ав )т

( а ) т к=1

ЕСзк ^ )(Х?п~ 0,8), т = 1,2,..., 7.

к=1

( а ) т

(31)

8

Из метода Крамера следует, что решение системы (31) имеет следующий

вид:

С41 —

А.

41

А04( 8 )—0'

С42 —

А

42

Ао4( 8 )—0'

С48 —

А

48

А04( 8 )—0'

(32)

А04(я ) —

У41(х, в) У42 (х, в) ... У48(х,в)

у4l(х, 8) у4 2 в) у48(х, 8)

а а а

y{S(х, в) (аз )7 у42 (х,в ) (аз )7 у48 (х,в ) ... (а8)7

^аш1вх ^аш2 « х

— Ш1в 1 Щ2 ^ЗОС ..

х=Х2„+0

Ш8?

а,Ш8$ х

7 „ашхвх , .7 аш2 $Х

- ^ Що о

ш1е

щ7 Х

—

(Ш1+Ш2+-+Ш8>ХАоо (—) е0Аоо — А00 — 0. (33

Определители А4к ( к — 1, 2,..., 8) из формулы (32) получаются из определителя А04(з ) из (33) заменой к-го столбца на столбец

- 0,1) ... ¿С 0 а)) Т

к— 1 к— 1 к— 1

(34)

Таким образом, из (32)-(34) следует, что определитель А41 выписывается в следующем виде:

А41

Е СзкУ3к(Х2п - 0, 5) е™2" к—1

0аш8вХ2п

^П У'зк(х2п - 0, « )

Е С3к к—1

ав

Ш2ё

аш2 ях2п

... Ш8ё

аш8вХ2п

Й (х2п - 0, 8 )

Е С3к

к—1

( а )7

ш7е аш2 вХ2п

щ7 £аш8в Х2п

_ еа^^Х2п еа^38Х2п (. . . ) еаШ%8Х2^^ С3к А41к

к—1

— С31А411 + С32А412 + ' ' ' + С38А418; (35)

А41к = е

(11) „—аш13Х2п

У3к(Х2п - 0, ) 1. .1

У'зк (х2п - 0, ) . 2 . . Ш8

а

Узк (х2п - а )7 0, ) . 27 . . ш1

(22),(23)

= ях2п еашквХ2п

1 • Г + ШкВ7(Х2п) в8(х2п) 1_1 + в 7 ' 58 +.... 1. . . 1

шк - + Шк В7(Х2п) В^(Х2П) 1 Г + 57 ' 58 + ...\ .2 . . . Ш8

.7 - Шк В7(Х2п) в1(х2п) 1 57 ' + ...\ Ш2 . . Ш8

к = 1, 2,..., 8. (36)

Аналогичным образом из (32)—(34) имеем

Д.

42

е™18*2" £ С3кУзк(Х2п - 0,5) еашзЗХ2«

0аш83Х2п

к = 1

Ш\в

а^1вХ2п

£ Сгк Узк (х2п - 0, ¿0

к =1

Шзё

ашз зх2п

ш8е

аш83Х2п

7 р аШ18Х2п С„, Узк(х2п 0, ..7

ш{е

£ С3к

к =1

(аз)7

. з

.7 ^а,Ш83Х2п

— еаШ13Х2пеашзЗХ2п (...)С3кД42к

к=1

= С31Д421 + С32Д422 + • • • + С38Д428', (37)

1 Уз к (Х2п - 0, 8 ) 1. .1

Д42 к=е-аШ2*Х2- Ш1 у'з к (х2п - ° 8 ) а Шз . . Ш8

ш7 (7) Уз ¡к (х2п - ° 8 ) (аз )7 Шз . . Ш87

1 1 • - Шк В7(х2п) 1 + 7 7 + В°8(Х2П) + + 88 + 1. .1

е-аш2вХ2„ еашкзх2п Ш1 Шк - Шк В7(Х2п) 1 + 7 7 . В8 (х2п) + 88 + ...\ Шз . . Ш8

.7 - Шк В7(Х2П) 1 + 7 7 . В1(х2п) + 88 + ...\ Шз . . Ш87

к = 1, 2,..., 8. (38) 641

п

Разложим определитель А4\к (к = 1, 2,..., 8) из формулы (36) по первому столбцу на сумму определителей, применим формулы (30) из теоремы 5 и получим

Д , _ е—ашгвХ2п еашквХ2п А41к — е е

. А41к,7 А41к,8 +п( 1 А41 к,0 +--т--1--о--+ —

s8 ~\s9

к — 1,2,..., 8;

1 1 1. .1

А41 к,0 — Шк Ш2 Шз . . Ш8

ш 7 ш73 . .

Аоо, к — 1; 0, к — 2, 3,..., 8,

А41к,7 — шкВ7 (Х2п)А41к,0 —

АооШкВ7 (Х2п), к — 1;

0, к — 2,3,..., 8,

(39)

(40)

(41)

А41к,8—В8(Х2п) $и-В1(Х2п)Шк $21 + В^Х^и^п-----BlfanWf.Ssi —

Am Ы(Хкп) • 1+ В1(Хкп) ^ +Вк(Х2п) ( ^ )\• • +ВЦХ2п) ( ^ ) 71 ,(

к — 1, 2, . . . , 8.

8

42)

Подставляя в формулу (42) к — 1, находим

A411,8 — AT0 (Х2п) ) a°°E8.

8

к=0

8

(43)

Используя формулы (25), (26), из формулы (42) при к = 2, 3,..., 8 получаем

A

41к,8 —

Аоо 1 8 16 а8

п=0

(-7)13(Х0) Е(^п +

+ Чз(Х2п) £ (7 - 2т) (Шк)'

т=0

— АооУк,

Ук —

дз(Х2п)Ок 128а8 ,

I

ск — ^ (7 - 2т)(^^)т, т — 2, 3,..., 8, (44)

т=0

так как ^2п=0(^)п = 0 в силу формул (10)-(12). При этом

(10)

G5 — 8 — 7 + 5ш5 + 3ш2 + ш3 -ш4 - 3ш5 - 7ш5, — -1 — -ш1. (45)

Вычисляя аналогичным образом определители А42 и А42к из (37), (38), находим

А42 к —

А | А42к,7 А42 к,8 + п( 1 А42 к,0 +--7--1--5--+ П\ —

S8 -\S9

к — 1, 2, . . . , 8;

1 1 1. . . 1

А42к ,о = Ш1 Шк Ш3 . . Ш8

Ш 7 . Ш. к7. Ш1 . . Ш1

Аоо, к = 2; 0, к = 1, 3, 4,..., 8,

А42 к ,7 = Шк В7(х2п)А42к,0 =

А42к,8 = ^ В8,(х2п)шкЬп+1,2 АГ ^ в8(х2п)

АооШк в7(х2п), к = 2;

0, к = 1, 3, 4,..., 8,

7 /Шк\ (=)

п=0

п=0

\Ш2 '

Аоо 8

I

^ В£(х2п)(щ-1)П = АооУк-1, к = 1,3,4

8,

п=0

(49),(43) Аоо „ А422,8 =

8

(47)

(48)

(49)

(50)

При этом Шк+8 = Шк, Ск+8 = Ск, Ук+8 = Ук, к = 1, 2,..., 8.

Вычисляя аналогичным образом определители А43, А44, ..., А48 из (32)-(34), применяя формулы (35)-(50), приходим к выводу о справедливости следующей теоремы.

Теорема 6. Для определителей А4п (п = 1, 2,..., 8) из (32)-(34) справедливы следующие формулы:

8

А4п = ^ СзкА4пк = С31А4п1 + Сз2А4п2 + ' ' ' + С38А4п8. (51)

к = 1

При этом элементы матрицы

А

4пк

(А411 А412 А421 А422

А418\ А428

п, к = 1, 2,

\А481 А.

482

. . А488/

8

находятся по следующим формулам:

А4 кк = еа(шк -Шк)вХ2" А,

оо

1 + ШкЯф^ + + о( 1

8в8

к = 1, 2, . . . , 8

ЛЛ, = ра(шт-шк)зх2„ А А4 кт. — С А

оо

0 + 0 + ^ + о( 4

9

(52)

(53)

т = к; Ут±8 = Ут; к,т = 1,2,..., 8,

где числа Ук определены формулой (44).

4. Изучение условий склейки (7). Применяя формулы (21) и (16), из условий склейки (7) получаем

(7) ^

Уз(хо + 0, 8 ) = у2(х0 - 0, 8 С к Уз к (хо + 0, в)

к=1

С2кУ2к(хо - о, в);

у[Г\хо +0, 5 ) (7) у2ГП'(Х0 - 0, 5 )

(т).

к=1

(ав )т

(ав )т

8

!2С2к

С к

У2к )(х0 - 0, 5 )

(аз )т

к=1

У3т)(Х0 +0, 3) (аз )т

(54)

к=1

, т = 1,2,..., 7.

Из метода Крамера и общей теории свойств решений дифференциального уравнения (3) следует, что система (54) имеет единственное решение, которое представляется в виде

С31 =

А

31

Аоз(5 ) = 0

, С32 =

А

32

Аоз(в)'

. , С38 =

А

38

Аоз(5 )'

(55)

Аоз( 8 ) = Аоз(х, в) =

Уз1(х, в) У з2(х,в) . . Уз8 (х, в)

Узl(х, $) Уl32(х, 8) у'з8 (х, Э )

а а а =0

У{зl(х, в) yS(х, 8) yS(х, э)

(аз )7 (аз)7 . . (аз)7 х=хо±0

Так как Аоз(х, в) —определитель Вронского фундаментальной системы решений {узк(х, вЯ!^ дифференциального уравнения (3), он не зависит от х и не равен нулю. Определители Аз к (з) (к = 1, 2,..., 8) получаются из определителя Аоз(х, в) из (56) заменой к-го столбца на столбец

(¿С2кЫхо - 0,.) ^к»2^^ ... Е^Щ^У-

4 к=1 к=1 к=1 ( ) '

(57)

Применяя формулы (22)-(26), определитель Аоз( в) из (56) можно представить в виде

Аоз(« ) =

1 ШкУ 1 Ш1В7(Х) В8 (х) 1 1 + 5 7 ' ^ + ...\ Г. + Ш1В7(х) В11 (х) + 8 7 1 8 8 + ... . . . 8 ... Ш8У8 Ш8В7(х) В0(х) 1 1 + 5 7 ' в» + ...\ Г. Ш8 В7(х) В1(х) 1 1/ + 5 7 ' 58 + ...\

7 Шку1 г. . илВ7(х) + В 1(х) . . 37 з8 ... . . . Г. + Ш8 В7(х) + В8(х) + 1 . 87 38 ...\

где

Ьк = еаШкЗХ, к = 1,2,..., 8;

У1У2(...)У8 = е<Ш1+Ш2= е° = 1.

Для вычисления определителя Аоз( ) из (58) вынесем из к-го столбца множитель Ьк = еаШкЯХ, затем разложим по столбцам на сумму определителей, получим

Аоз(з) = Аоо +

(29)

Аоз,7(я) + Аоз,8( в )

7 + С

+ о1),

Аоз,7(8 ) = Ш1В7(х)Аоо +Ш2В7 (х)Аоо +-----+Ш8В7(х)Аоо =

8

^ (12) = АооВ7(х)^Шк = 0,

к =1

8 8 Аоз,8(5 ) = в8°(х) ^(-1)к-1 ■ 1 ■ $1к + В1(Х) £(-1)кШк52к + к =1 к =1 8 8 +В2(Х) ^(-1)к-1Ш&зк + ■ + в1(х) £(-1)кш1б8к (2=8) к =1 к =1

7

= Аоо £ в™(х) (=) АооЕ8.

т=о

Поэтому из формул (59)-(61) следует формула

(59)

(60)

(61)

Аоз(в) = А,

оо

1 + 0+ ^ + о(1)] =0, Esl2=, -7"з(Хо>

в7 в8 9

2а8

(62)

Из формул (56), (57) следует формула для вычисления определителя Аз1 из (55):

Т,С2к У2к (Хо - 0, в) Уз2 (Хо + 0, в) ... Уз8 (Хо + 0, в) к =1

А у2к (хо - 0 ¿0 у'з2 (хо + 0, ¿0 у'з8 (хо + 0, ¿0

к =1 2к а а а

А

з1 =

£ С2к Щ (Хо - 0, 5) (Хо + 0, 8) к =1 2к

У(з8)(хо +0, ¿0

(ав)7 (ав)7 (ав)7

8

= ^ С2к Аз1к = С21Аз11 + С22Аз12 + + С28Аз18. (63)

к =1

При этом, применяя формулы (58) и (16), (17), имеем

А

31к

Ук 1 ШкУк шк А7(х0) А°°(х0) 1 + 57 ' 87 + Г + Шк А7(х0) А^(х0) + . 87 88 . . . . 8 1 . . . Ш8У8 Ш8В (х0) В°(х0) 1 + 87 + 88 + ...] Г + Ш8В7(х0) + В7(х0) + 1 . 87 88 ...]

7 ш'7 Ук Г + Шк А7(х0) + А1(х0) + . 87 88 . 7 . . . ш7у8 Г ш8 В7(х0) Щ(х0) 1 1/ + 57 ' + ...\

ук = е

аш^вхо

к = 1, 2,..., 8; В7(хо) (=) 0.

(64)

Вычисляя определители А31 к (к = 1, 2,..., 8) из (64) аналогично вычислению определителей А41к (к = 1,2,..., 8) из (36), (39)-(45), получаем

А

31к ,0

А331к = еаШк 3X0 е-аш1вхо

А00, к = 1; 0, к = 2,3,..., 8,

Л . А31к,7 . А31 к,8 . ^ ( 1 А31 к ,0 +--7--1--5--+Ш —

8 9

(65)

А

31 к ,7

к = 1, 2, . . . , 8,

АооШ1А7(хо), к = 1;

0, к = 2, 3,..., 8,

(66)

А311 8 = еаШ13Х0 е-аШ13X0

£ А^(хо)(-1)тш?6т+1,1 +

т=0

+ В8?(Х0)((-1)т+п-1^5т+1,п)

т=0 ^ п=2 '

А

00

[ П + 7 Е8],

8

п (=) -7д2(х1п); (67)

08 = ; (67)

А31к,8 = Аг У^№(Х0) - ЩХ0)](—У = А00Як,

Кк = 128(8 Ац(х0)Ок; Ад^) = Я2(х0 - 0) - д3(х0 + 0),

= 2, 3, . . . , 8,

где числа Ск определены формулой (44).

Определители А32, А33, ..., А38 из (55)-(57) выписываются и вычисляются аналогично определителям А4к (к = 2, 3,..., 8) из (37), (38), (46)-(53), в результате придем к выводу о справедливости следующей теоремы.

Теорема 7. Для определителей А3п (п = 1, 2,..., 8) из (55)-(57) справедливы следующие формулы: 8

А3п = У у С2к А3пк = С21А3п1 + С22А3п2 + •• • + С28 А3n8, ,„„Л

1=1 (69)

п = 1, 2, . . . , 8.

При этом элементы матрицы

А

зп к

Аз11 Аз12 . . . Аз18 Аз21 Аз22 . . . Аз28

, п, к = 1, 2,..., 8,

Аз81 Аз82 . . . Аз88 находятся по формулам

Аз кк = Аоо еа^Шк-Шк)зх°

1 + ШААх1 + Щ + , 1

88 Ув9

Н8 = к = 1, 2,..., 8;

Аз кт = Аоо еа(-Шт-Шк >х0

0 + 0 + + о( 1

в7 в8 —Ув9

т = к; Ят±8 = Я8, т,к = 1,2,..., 8,

(70)

(71)

где величины Як определены формулой (68).

Доказательство формул (69)-(71) проводится обобщением формул (63)-(68).

5. Изучение условий склейки (6). Применяя формулы (13) и (15), из условий склейки (6) получаем

(6) ^ У2 (х1п + 0, 8 ) = У1(х1п - 0, 8 С2к У2к (х1п + 0, в)

к=1

^СцУ1к(х1п - 0, в);

У{2П) (х1п + 0, 8 ) (6) у1П) (х1п - 0, 8 ) ^ уУ2т (х1п + 0 в)

(т)

к=1 8 Лт),

(72)

( а ) т

( а ) т

С к

к=1

( а ) т

т = 1,2...., 7.

к=1

(а,в)

Решая систему (72) методом Крамера, аналогично решению систем (31) и (54), получаем

А21 А22

С1 = ———гт:, С2 =

Ао2(8 )=0 ~22 Ао2(8 )'

У21(х, в) У22(х,8)

в) У*22 8)

. , С28 =

А

28

ао2(в) = а02 (х, 8) =

Ао2(8 )' У28(х, 8)

У/28(х, 8)

(73)

а а а

У(271)(х, «) У22)(х, 8) У{2l!(х, 8)

= 0. (74)

( а ) 7 ( а ) 7 ( а ) 7

Определитель А02(х, в) — определитель Вронского фундаментальной системы решений {у2к(х, вдифференциального уравнения (2), поэтому он не зависит от х и не равен нулю. Определители А2к (к = 1, 2,..., 8) получаются из определителя А02(х, в) из (74) заменой к-го столбца на столбец

-0.,) Ъс»^^ ... ¿С0^)Т.

4к=1 к=1 к=1 ( ) '

(75)

Применяя формулы (16)-(20) и (14), аналогично выводу формул (58)-(71) можно доказать следующее утверждение.

Теорема 8. Для определителей А2п (п = 1, 2,..., 8) из (73)-(75) справедливы следующие формулы:

8

А2п = ^^С1кА2пк = С11 А2п1 + С12А2п2 + • • • + С18А2n8, п = <2, . . . , 8, к =1

при этом элементы матрицы

А

2пк =

А211 А212 . . . А218 А221 А222 ... А227, , = ^ 8, \А281 А282 . . . А277)

вычисляются по формулам

А2к к = А00 еа(шк-шк )ЗХ1" [1 + ^7 + 7Пг + о( ¿)], к = 1,2,..., 8, (76

А

8 7 в8 9, 0 . Тт-к+1 . ^( 1

= А00еа(Шт-Шк^ [0 + ^ + + о(, т = к;

2 кт

Тк = - , Тк±7 = Тк; т, к = 1,2,..., 8, (77)

где величины С к определены формулами (44), (45).

6. Изучение граничных условий (9). Из первых шести граничных условий (9) с помощью формул (13), (14) получаем

= 0 & у-Си- =0 &

(аз)тр ^ (ав )тр

88 & е0 = 0 & ^С1к =0, р = 1,2,..., 6. (78)

к=1 к=1

Из последних двух граничных условий (9), применяя формулы (27), (28), получаем

(пъ) I \ , , 8 (п„) , \

0 & ^С4к= 0 &

(аз)пр ^ (аз)г

8

& ^С4кшпеаШк37Т = 0, р = 1,2. (79)

к=1

Применяя формулы (32) и (51)-(53), из (79) выводим, что

(пр) / \ 8 д

У4 8) =0 & У -Р^шп,р еаШкЯ * = 0 &

Аг.Ая) к

к

— А04(о)

8 / 8

(а 8 )пр Ао4(8)

1

>Г С>ГСзпА4кЛшпкреаШк™ = 0 &

к=1^п=1 '

Ао4(в)

& ^СзкФзк,пр(7,8) = 0, р = 1,2, (80)

к=1

где А04(з ) = 0 и введены обозначения

8

Фзк,пр (7,*) = У А4кпш7 еаш^, к = 1,2,..., 8; р = 1, 2. (81)

п=1

Подставляя формулы (55) и (69)-(71) в формулу (80), получаем (пр) ( ) 8 .

^^ =0 & Е А^О 'фзк"р(7,°)=0, А°з(°)=0 &

1

к=1

8 / 8

& ) ^ ( ^^ С2пАзкп^ Фзк,пр (7, 8) =0 &

& У^С<2кф2к,пр (7, 8)=0, (82)

к=1

8

ф2к,пр (7, в) = Азкпфзп,пр (7, в), к = 1, 2,..., 8; р = 1, 2. (83)

п=1

Применяя формулы (73) и (76), (77), из (82) находим

(пр) ( ) 8 .

У\ (7 8) =0 & У -А^ф2кп(7, 8)=0, Ао2(8)=0 & (а8)пр ¿^ А02(8у2к,прК ' ! ' 1

& А 1( ) ¿(ЁСЫА2кп)ф2к,пр (7, в)=0 &

02(;§ ) к=1 ^ п=1

1

8

У СиЩк,пр(7, в) = 0, (84)

к=1

П1к,пр (7, ¿0 = У А2кпф2п,пр (7, 8), к = 1, 2,..., 8; р = 1, 2.

п=1

Объединяя (78) и (84) в одну систему, получим систему из восьми однородных уравнений с восемью неизвестными Сц, С12, ..., С\%, которая имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Теорема 9. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(8) с граничными условиями (9) имеет следующий вид:

К 8 ) =

т-1 1

т2

1

. т Ш1

иц,п1 (т, ,в) иц,п2 (т, в)

т1 2

т2

т1

3

т2

3

т ш2

П12,п1 (т, 8) У'12,п2 (т, в)

т Ш33

П13,п1 (т, в) П13,п2 (т, в)

т1

7

т2

7

т Ш7

П17,т (т, в) П17,п2 (т, 8)

т1 8

т2

т Ш8

П18,т (т, в) П18,п2 (т, 8)

0,

(85)

8 8/8 \ У1к,пр (т, 8) = У А2кпф2п,пР (Т, 8) = ^ А2пк1У А3тпФзт,пр (Т , в)) . (86)

п=1 п=1 ^т=1 '

Применяя формулы (70), (71) и (78), (77), оставляя только главные по росту в величины, проводя оценки величин с точностью до 0(в-8), в формуле (86) имеем

8

(т, в ) = А2 к к А3 к к Фзк,пР + А2кк ^ А3тк Фзт,пр (т, 8) +

т=1

т = к

8 1 + А3кк У А2ткф3т,,пр(т, 8)+ Ы, к = 1, 2,..., 8; р = 1, 2. (87)

т=1

т = к

Подставляя в формулу (87) формулу для 'ф3т,пр (тт, в) из (81) и оставляя только главные по росту величины, получаем

Щк,пР (т, 8) = А2ккА3ккА4ккипкреаШкЗЖ +

88 + А2ккА3кк У А4ткеаШт37Т + А2ккА4кк У А3ткеаШт37Т +

т = 1 т=1

т = к

8 1 + А3 кк А4кк У А2тк + Ы , к = 1,2,..., 8; р = 1,2. (88)

т=1

В формуле (88) первое слагаемое — величина порядка 0(1), второе, третье и четвертое слагаемое — величины порядка 0(в-8).

Применяя теорему Лапласа, разложим определитель /(в) из (85) по последним двум строкам и получим

( )=

П345678 +

и11,П1 (к, 8) и12,П1 (к, 8)

и11,п2 (к, в) и12,п2 (к, 8)

и13,П1 (к, в) и14,П1 (к, в и13,П2 (к, в) и14,П2 (к, в

П11,п1 (■, 8) иц,П2 (К, в)

П12,П1 (■, в) У'12,П2 (■, в)

П13,т (■, в) П13,П2 (■, 8)

П145678 +

+

П125678 +----

и32(Л ПЖ""7 + (89)

Шк1 Шк2 . .. шк6

Шк1 Шк2 . .. Шк6

Пк1к2к3к4к5кб =

, ,т6 Шк1 Шк2 . .. Шк6

Ш1 ш2 . . ,т1 . Ш6 1Ш1 гт1 . ^5т1

0123456 = Ш1 ш2 . . Ш6 (=) 1т2 хт2 . ^5т2

Ш1 ш2 . . Ш6 1тв

= ёе1 Wandermond's(хШ1, хт

= П

..., гт6) =

( гтк - гт") = П = 0; (90)

к>п, к,п = 1,2,...,8

, ,т1 ш2 Ш3 . . Ш7

0234567 = ш2 Ш3 . . Ш7

, ,т6 ш2 Ш3 . . Ш7

хт1 22т1

хт2 ¿2т2 ^6т2

¿тц 26 . 2>6тв

гт1 гт2 (...) гтбП12345в = гМбП6, М6 = ^тк; ПМШ8 = *2МбП&;

к=1

П 456789 = П456781 = -Пи5678 = (-1)г3Мв Пб] 0^4567 = ХШбПб] . . . (91)

Подставляя формулы (90), (91) в уравнение (89), поделим на х2МбП6 = 0, получим

( )=

п11,п1 (к, в) иц,п2 (к, ,в)

п12,п1 (к, 8) п12,п2 (к, в)

+

2М6

Мб и12,т (к, « )

П12,П2 (к, в) ( к, ) ( к, )

и13,п2 ( к, ) и14,п2 ( к, )

и11,т (■, в) Пц,п2 (■, 8)

П13,П1 (■, в) П13,П2 (■, в)

+

П13,т (■, в) П13,п2 (■, 8)

П245678 + ••• = 0, (92)

величины ицс,п_ (к, в) определены формулой (88).

Для нахождения корней уравнения (92) необходимо изучить индикаторную диаграмму (см. [9, гл. 12]) этого уравнения, т.е. выпуклую оболочку множества точек + шт, к = т; к,т = 1,2,..., 8}.

Индикаторная диаграмма уравнения (92) [The indicator diagram for Eq. (92)]

Индикаторная диаграмма уравнения (92) имеет следующий вид (см. рисунок). Индикаторная диаграмма показывает, что на асимптотику корней уравнения (92) влияют экспоненты с показателями + ш2, ш2 + Шз, ..., ^7 + ^в, шв ; экспоненты с показателями , +ш4, ..., шт+шп при |т—п| ^ 2

на асимптотику корней уравнения (92) не влияют (они представляют собой бесконечно малые величины, их можно отбросить).

7. Асимптотика собственных значений в секторе 1) индикаторной диаграммы. Чтобы найти асимптотику корней уравнения (92) в секторе 1), необходимо оставить экспоненты с показателями ш2 + ш3 и ш3 + ш4. Справедлива следующая теорема.

Теорема 10. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(8) с граничными условиями (9) в секторе 1) индикаторной диаграммы имеет вид

9\{s) =

и\2,П1 (k,s) U\2,n2 (n,s)

U\3,ni (k,s)

Ul3,n2 (k,s)

+ г

Ma

U\3,n 1 (n,s) U\3,n2 (n,s)

U\4,ni (K,S) UU,n2 (K,S)

= 0, (93)

величины и\к,пр я) определены формулой (88).

Поделим (93) на гМб = 0 и, используя свойства определителей, перепишем уравнение (93) в виде

9i(s) =

Ul3,ni (k,s) ZMa UU,n 1 (k,s) + U\2,ni (k , s) (k,s) ZMa Ui4,n2 (ж, s) + Ui2,n2 (k,s)

= 0,

(94)

причем, оставляя главные по росту для сектора 1) величины, из (88) и ри-

сунка имеем

ищщ (к, з) = А2ккА3ккА4ккЩУ еаШкзж

+ Фшф* + а( 1 ь

89/ (95) к = 2, 3, 4;

Ф13,пр (к, в) = и%реаШ23Ж[А233А333А423 + А233А422А323 + А322А422А223] +

+ Ш4Р еаШ43Ж [А233 А333 А443 + А233А444 А343 + А344А444А243},

Фи,Пр (к, 8) = ш"реаШ33Ж[А244А344А434 + А244А433А334 + А333А433А234} + + еаШ23Ж [А244А344А424 + А244А422 А324 + А322А422А224}, Ф12,пр (К, 8) = шп/еашззж[А222А322А432 + А222А433А332 + А333А433А232} +

322А442 + А222А444 А342 + А344А444А242],

Р = 1, 2,

3

+ шпр еаШ43ж [А222А

при этом из формул (76), (70) и (52) получаем

ШкА7(х0)

(96)

А2кк А3кк А4кк =

^ + о( 1)

1+

88 8

ШкВ7(х2 п ) Е8

+ + о[-п

1+ 1

+ П- + о( ?)

^ 9

=1+

ШкР7 , Р-

+ Рр-+о(?); (

97)

7 08 Е8

Р7 = А7(х0) + В7(хъь); Р8 = —- +Н8 + = П8 + Е8;

88

(70) п- + 7Е-

п- = -;

8 8 '

(20) -7д2(х1П) п- = 2а-

(26) -7д3(х0) Е- = •

2 а8

к = 1, 2, . . . , 8.

С помощью формул (95)-(97) уравнение (94) запишем в виде 91(8) =

а11( ) а12( ) а 1( ) а 2( )

0,

(98)

где

а11( ) =

1 + ШР7 + 5+О з

'(г)

Ш'п-1 еашззж

+

Ф13,щ (■, в)

+о( £ )•

7

X

7

8

8

аи(8) = гМв

+

1 + шР + 4+о( 1

¿8 У 89

. п,1 аш^аъ ш4 С

1 + ^ + Р- + о( 1

в- в9

П1 аш2 3 ж

+

ш2 1е

+

Ф21,т (■, в)

а21(в) =

1 + - + 1+о( 1)

и™2 еаш33 ж

+

Ф13,П2 (к, в)

+о( 1 )■

а22( ) =

Мб

1 + - + Р- + о( 1)

,П2„аш48 ж ш4 С

+

8

8

+

1+-+5+4 ?)

ша2 раШ2зж

+

Ф21,П2 (К, в)

+4 ?);

Ф21,п„ (к, в) = гМвфи,Пр (ж, в) + Ф12,п„ (к, в), р = 1,2.

(99)

Раскладывая уравнение (98) по столбцам на сумму определителей, получаем

91,Т(8) , 91,в(8) +п(

,9

/Л / \ . 91,7(8) 91,в($) 1 \ п

91(8) = 91,0(8) + + + ^д) = 0,

(100)

91,0^) =

ШП1 еаШззтт

ш"2 еаш337

гМбш'21 еаШ437Г + еаш237

гм&шТ еаш437 + ш^1 еаш237

=

4

М&

:П2 3

ш

ш4

,П2 4

Ш

0а(шз+ш4)з 7

+

/ I™1

,П2 3

Ш-

ш2

,П2 2

Ш.

0 а(ш2+шз)в 7.

в

§1,7(8 ) = Ш3Р7

+ Ш4Р7

ш31еашз37 ш™2 еаш'з37

ш

п\

Ш

П2

х Мбш'21еа^7 + <^еаш237 г м&ш42 еаш437 + ш^1еаш237

+

ш

,«1

ш

,П2

г Мб е а(шз+ш4)з 7 +Ш4Р7

ш

,«1

Ш-

ш,

,"■1

,П2

Ш.

,П2

а а(ш2+шз)э 7.

3

3

91,в(я) = 91,в,1( В )+ 91,8,2 ($),

91,в,1( 5 ) = Рв

ш"1еашз3 7 ш™2 еаШ33 7

г Мбш^еаШ437Т + ш^еаШ23Ж

г м&ш4:2 еаш437 + ш2^1еаШ23Ж

+

+ Рв

ш

п\

Ш

п\

Ш

П2

Ш

П2

хМ6 еа(ш3+ш4)з7 + Рв

Ш

п\

Ш,

,"■1

ш

П2

Ш.

,П2

,,а(ш2+шз 7

91,8,2(8) =

Ф13,щ (К, в) (¿2 Ф13,П2 (К, в) (¿2

^Мц е аш^в7 +

Ф13,щ (К, в) Ф13,П2 (К, в)

а ш2 7

+

+

/ I™1

, ,П2

Ф21,щ (К, 8) Ф21,П2 (К, 8)

а шз 7

(99) м

Ф21,пр (К, в) = г 6Ф14,пр (К, 8)+Ф12,пр (К, в). Из формул (10) следует, что

р = 1,р = 2.

(101)

ш

:П1

ш

ш0

ш.

ш.

ш

ш

:П1

:П2

ш.

:П2

Шо

П2

ш

П2

:П1

ш

:П1

:П2

Ш

:П2

1П1

1П2 ¿а2

1

УП2

2п\ у2п2

= хП2 - гП1 =К2 = 0.

= г М2К2, N2 =П1 +П2.

=

2Щ

В.2,

(102)

з

з

3

3

1

2

1

2

3

Подставляя формулы (102) в уравнение (100), поделим полученное уравнение на (-1)г*2К2е

91(8) = 91,0(8) + -2Т- + + + ) = 0, (103)

) = еа(ш2-ш4)з7т - гМбг,

91,7(8) = Р7[(Ш2 +Ш3)еа(ш2-ш4)зж - (Ш3 + Ш4)гМбг*2};

51,8,1 (з) =Р- ■ 2 ■ [еа(ш2-Ш4)зп - гМбг*2},

91,8,2(8) = (-1) г-*2-1- е-а("3+^зжд (8 ).

Основное приближение уравнения (103) имеет вид

¿10(8) =0 & еа(-Ш2-Ш4)зж - гМбг= 0

& еа(Ш2-Шфж = е2жгке & 5Мосн =

А? = к + М6 + М2, к е N. 8

2г к

а(ш2 - Ш4)

, (104)

Из общей теории нахождения асимптотики корней квазиполиномов вида (103) (см. [21, гл. 12; 22]) следует вид асимптотики. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 11. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(8) с граничными условиями (9) в секторе 1) имеет вид

8 к,1 =

2

а(ш2 - Ш4)

к + ^ + ^ +о(1)

к7

к8

(105)

М6 + N2 ^ к = к +----, М = 2_^тк; N2 =п1 +П2;

8

к=1

ш2 = п1 + п2; ш2 - ш4 (=) л/2; к е N.

Доказательство. Применяя формулу Тейлора, подставляя вк,1 из (105) в уравнение (103), получаем

1+

2тй7к,1 , 2къ(1-к,1

к8 ' "^к9

+

+

к7

1 а7(ш2 - ш4)7

¥ 2н7

- (Ш3 +ш4)хМбг

+ О

\и9)

г М6 г N2 _ г М6 г N2 +

1+ О(£+ (1+ ))

1

к7'

1

+ I-2Р-

1 N

_ 1 ^ N2 е-а(шз +ш4)зтТ

к8 В-2

гМ&г^ 1+ ^^ - гМ&г

к^М\ПЛ'Щ-к + о(1) =0. (106)

Приравнивая в уравнении (106) коэффициенты при к0, получаем верное

равенство

2 Мб г N2 _ г N6 г N2 =

0,

что свидетельствует о правильности выбора асимптотики (105). При к-7 в (106) имеем

Л7к,1 =

1 Р7а7(ш2 -Ш4)1

2т

27 7

[(^3 + Ы4) - (Ш2 + Ыз)] =

(-1)Р7а7(Ш2 -Ш4)в (97) (-1)а7(Ш2 -Ш4)в

24

24

[ А7 (хо) + В7(Х2п)\,

откуда, применяя формулы (10), (18), и (24), находим

Л7к,

(-1)а7(У2)7 ,_ \

24

128тг

, 1 ч Г ГХ0 ГХ2-П

У-в?)[ 1°"2т +1 *т

ГХ0 ГХ2п

I Я2(г) м + ^) м

Х1п 'Х0

Н1п + Н2п (5) 1

(5)

128тг

128ж

к = 1, 2, 3,

(107)

В предельном случае (при п ^ в случае, когда потенциалом изучаемого оператора является дельта-функция), получаем

«.—7к,1( ) 128и

(5)

ГХ0 ГХ2п

/ д2(г)М+ яз^М

>Х1п -}Х0

Н1п + Н2п (5) 1

128ж

128тг

При к 8 в (106) получаем

Лв к,1 =

ав(ш2 - Ы4) 2в2ц{

2Рв(-1 + 1) +

+ г-Мб г-21Ч2К-1е ~а(шз+ш4)з 7д ^¿(з) г-Мб г-2^К-1ав

242т

—а(шз+ш4)в7

*М,осн 91,в,2(8)\ ,М,осн

&к,1 ,осн

к = 1, 2, 3,.... (108)

Применяя формулы (101), (96), (76), (70) и (52), формулу (108) можно переписать следующим образом:

ав г-Мбг-2^ 1 Лв к,1 = -—:-—--— х

2тгг

0а(ш2-Ш4)в 7

Ш

16

П1

Я2

т=2 Хт24

■-2 п2 V14 д Ш3 Ш2 1^т=2 Хт24

,П2

г мб +

ш.

,П1

ШТ1>2т=2 А^42

Ш.

Ш4 Ът=2 х™42

1

1

3

X

2кт~г 16 К2

ум6гМб £ Ат24(-1)г*2К2+ + Ат42 г2*2К2

т=2

4

т=2 -1 вк,1,с

откуда, используя формулы (77), (71) и (53), находим (8к,1: а8

((-к,1 = [г-Мб (А242 + А342 + А442) - г-Мб (А224 + А324 + А424)] \ ч, 32кг <зк,1,1

а8

а Г'у-Мб ра(ш2-Ш4)зх1„гр -Мб р-а(ш2-Ш4)зх1г,

~{[г-Мб еа(ш2-^4)зх:1пг^7 - ¿-мб е-а(ш2-Ш4)зх1пг^3} +

32 к

+ [X-Мб еа(ш2-ш4)зхо ^7 - ¿-Мб е-а(ш2-Ш4)зхо щ} +

+ [г-Мб еа(ш2-Ш4)зх2пу7 - гМб е-а(Ш2-Ш4)зх2„у3}Л\ , (109)

'^к,1,осн

гг, (77) -д2(хы)Ок „ (68) Ад(хо)Ск т, (44) д3(х2П)Ск

1к = —о—; Ык = —о—; ук = '

128а7 ' ^ 128а7 1 ^ 128а7

С3 (=) 7 + 5ш3+3Ш2+Ш3-Ш4-3Ш5-5Ш6-7Ш1 = 8+8г = 8л/2ет, (110) 07 = 03 = 882е-т; е*("2-"4)*хо \ (=) е2кхог.

' & к, 1 ,осн

Поэтому, подставив (110) в (109) и сделав необходимые преобразования, получим

((-кЛ = 1282{[е- ^^ ^ - е^мбрЛ е-2"х1" К-д*^»)) +

+ [е-е2~кх0г - е^Мб е-2~Ьхог}Ад(х0 ) +

+ [е- 2-¥^бе -Р е2~кх2„г - е^Мб ^ е-2~кх2^]д3(х2п)}, к е N

откуда находим

8 2 г , , . /7 к км6 \

((8кЛ = ШКК\ д(х2п) ^П[2кх2п - 4 +

. __ . ( ~ К км6 \

+ Ад(х0) sln^2кхо - 4--—)

к к М6

4 ,

д2(х1П)*1п(2кх1П - 4 - КМ) }, к = 1, 2, 3,...; к = к + ^^ ; (111)

М6 = ^^тк; N2 = п1 + п2; Ад(хо) = д2(хо - 0) - д3(хо + 0).

к=1

Формулы (107) и (111) показывают, что коэффициенты (7к,1 и (18к>1 асимптотического разложения (105) находятся единственным образом. Мы привели

явные формулы для их вычисления, поэтому теорема 11 полностью доказана.

□

Изучая аналогичным образом секторы 2), 3), ..., 8) индикаторной диаграммы (см. рисунок), можно доказать следующую теорему.

Теорема 12. В секторах 2), 3), ..., 8) индикаторной диаграммы асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(8) с граничными условиями (9) подчиняется следующему закону:

sк,2 = sк,\е 8 , sк,3 = sк,2& 8 = sк,\е 8 , ...,

2-кг 2-кг (т_i)

S к,т = S к,т-\е 8 = е 8 (т1), т = 1,2,..., 8.

Величины sк}\ (к = 1, 2,..., 8) определены формулами (105), (107), (111). При этом

Ьк,т = slm, т = 1, 2,... 8; к = 1, 2, 3,....

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Библиографический список

1. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора// Матем. заметки, 1977. Т. 22, №5. С. 679-698.

2. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка// Диффер. уравн., 1986. Т. 22, №12. С. 20592071.

3. Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1986. №6. С. 3-6.

4. Митрохин С. И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом // Диффер. уравн., 1986. Т. 22, №6. С. 927-931.

5. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. РАН, 1997. Т. 356, №1. С. 1315.

6. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Диффер. уравн., 1998. Т. 34, №10. С. 1423-1426.

7. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2009. №3. С. 14-17.

8. Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, №4. С. 95-115.

9. Митрохин С. И. Спектральные свойства краевых задач для функционально-дифференциального уравнения с суммируемыми коэффициентами // Диффер. уравн., 2010. Т. 46, №8. С. 1085-1093.

10. Митрохин С. И. Асимптотика спектра периодической краевой задачи для дифференциального оператора с суммируемым потенциалом // Тр. ИММ УрО РАН, 2019. Т. 25, №1. С. 136-149. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-136-149.

11. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Матем. заметки, 1999. Т. 66, №6. С. 897-912. https://doi.org/10.4213/ mzm1234.

12. Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с ¿-потенциалом// УМН, 2000. Т. 55, №6(336). С. 155-156. https://doi.org/10.4213/ гш352.

13. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего ¿-функции // Диффер. уравн., 2002. Т. 38, №6. С. 735-751.

14. Борисов Д. И. О лакунах в спектре Лапласиана в полосе с периодическим дельта-взаимодействием/ Тр. ИММ УрО РАН, Т. 24, 2018. С. 46-53. https://doi.org/10. 21538/0134-4889-2018-24-2-46-53.

15. Конечная Н. Н., Сафонова Т. А., Тагирова Р. Н. Асимптотика собственных значений и регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с ¿-потенциалом // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Сер. Естественные науки, 2016. №1. https://doi.org/10.17238/issn2227-6572.2016.1.104.

16. Кочубей А. Н. Эллиптические операторы с граничными условиями на подмножестве меры нуль// Функц. анализ и его прил., 1982. Т. 16, №2. С. 74-75.

17. Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // Докл. АН СССР, 1961. Т. 137, №5. С. 1011-1014.

18. Гейлер В. А., Маргулис В. А., Чучаев И. И. Потенциалы нулевого радиуса и операторы Карлемана// Сиб. матем. журн., 1995. Т. 36, №4. С. 828-841.

19. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

20. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией// Изв. вузов. Матем., 2018. №6. С. 31-47.

21. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

22. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории регуля-ризованных следов дифференциальных операторов// Диффер. уравн., 1982. Т. 18, №1. С. 109-116.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol. 25, no. 4, pp. 634-662

d https://doi.org/10.14498/vsgtu1798

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)

MSC: 34B10, 47E05

On the asymptotics of spectrum of an even-order differential operator with a delta-function potential

S. I. Mitrokhin

Lomonosov Moscow State University,

Research Computing Center,

1, Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation.

Abstract

We study a sequence of differential operators of high even order whose potentials converge to the Dirac delta-function. One of the types of separated boundary conditions is considered. At the points of potential discontinuity, it is necessary to study the conditions of gluing for the correct determination of the corresponding differential equations solutions. For large values of the spectral parameter, asymptotic solutions of differential equations are furnished by the Naimark method. The conditions of gluing are studied, the boundary conditions are investigated, the equation for the eigenvalues of the considered differential operator is derived. The method of successive approximations is used to find the asymptotics of spectrum of studied differential operators, the limit of which determines a spectrum of operator with a delta-function potential.

Keywords: differential operator, Dirac delta-function, asymptotics of solutions of differential equations, piecewise smooth potential, eigenvalues, asymptotics of the spectrum.

Received: 15th July, 2020 / Revised: 23rd November, 2021 / Accepted: 6th December, 2021 / First online: 29th December, 2021

Competing interests. I have no competing interests.

Author's Responsibilities. I take full responsibility for submit the final manuscript to print. I approved the final version of the manuscript. Funding. This research received no external funding.

Research Article

© Authors, 2021

© Samara State Technical University, 2021 (Compilation, Design, and Layout) 9 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this paper in press as:

Mitrokhin S. I. On the asymptotics of spectrum of an even-order differential operator with a delta-function potential, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol. 25, no. 4, pp. 634-662. https://doi.org/10.14498/vsgtu1798 (In Russian). Author's Details:

Sergey I. Mitrokhin https://orcid.org/0000- 0003-1896- 0563

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Senior Researcher; Research Computing Center; e-mail: mitrokhin- [email protected]

References

1. Il'in V. A. Convergence of eigenfunction expansions at points of discontinuity of the coefficients of a differential operator, Math. Notes, 1977, vol.22, no. 5, pp. 870-882. https:// doi.org/10.1007/BF01098352.

2. Il'in V. A. Necessary and sufficient conditions for being a Riesz basis of root vectors of second-order discontinuous operators, Differ. Uravn., 1986, vol.22, no. 12, pp. 2059-2071 (In Russian).

3. Mitrokhin S. I. Formulas for the regularized traces of the second order differential operators with discontinuous coefficients, Mosc. Univ. Math. Bull., 1986, vol.41, no. 6, pp. 1-5.

4. Mitrokhin S. I. Trace formulas for a boundary value problem with a functional-differential equation with a discontinuous coefficient, Differ. Uravn., 1986, vol.22, no. 6, pp. 927-931 (In Russian).

5. Mitrokhin S. I. On some spectral properties of second-order differential operators with a discontinuous positive weight function, Dokl. Akad. Nauk, 1997, vol.356, no. 1, pp. 13-15 (In Russian).

6. Vinokurov V. A., Sadovnichii V. A. Arbitrary-order asymptotics of the eigenvalues and eigenfunctions of the Sturm-Liouville boundary value problem on an interval with integrable potential, Differ. Equ., 1998, vol.34, no. 10, pp. 1425-1429.

7. Mitrokhin S. I. The asymptotics of the eigenvalues of a fourth order differential operator with summable coefficients, Mosc. Univ. Math. Bull., 2009, vol.64, no. 3, pp. 102-104.

8. Mitrokhin S. I. On spectral properties of a differential operator with summable coefficients with a retarded argument, Ufimsk. Mat. Zh., 2011, vol.3, no. 4, pp. 95-115 (In Russian).

9. Mitrokhin S. I. Spectral properties of boundary value problems for functional-differential equations with integrable coefficients, Differ. Equ., 2010, vol.46, no. 8, pp. 1095-1103. https://doi.org/10.1134/S0012266110080033.

10. Mitrokhin S. I. Asymptotics of the spectrum of a periodic boundary value problem for a differential operator with a summable potential, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, 2019, vol.25, no. 1, pp. 136-149 (In Russian). https://doi.org/10.21538/ 0134-4889-2019-25-1-136-149.

11. Savchuk A. M., Shkalikov A. A. Sturm-Liouville operators with singular potentials, Math. Notes, 1999, vol.66, no. 6, pp. 741-753. https://doi.org/10.1007/BF02674332.

12. Savchuk A. M. First-order regularised trace of the Sturm-Liouville operator with S-potential, Russian Math. Surveys, 2000, vol.55, no. 6, pp. 1168-1169. https://doi.org/ 10.1070/rm2000v055n06ABEH000352.

13. Vinokurov V. A., Sadovnichii V. A. The asymptotics of eigenvalues and eigenfunctions and a trace formula for a potential with delta functions, Differ. Equ., 2002, vol.38, no. 6, pp. 772-789. https://doi.org/10.1023/A:1020302110566.

14. Borisov D. I. Gaps in the spectrum of the Laplacian in a strip with periodic delta interaction, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 2019, vol. 305 (suppl. 1), pp. S16-S23. https://doi.org/ 10.1134/S0081543819040047.

15. Konechnaya N. N., Safonova T. A., Tagirova R. N. Asymptotics of the eigenvalues and regularized trace of the first-order Sturm-Liouville operator with ¿-potential, Vestnik of Northern (Arctic) Federal University. Ser. Natural Science, 2016, no. 1, pp. 104-113 (In Russian). https://doi.org/10.17238/issn2227-6572.2016.1.104.

16. Kochubei A. N. Elliptic operators with boundary conditions on a subset of measure zero, Funct. Anal. Appl., 1982, vol.16, no. 2, pp. 137-139. https://doi.org/10.1007/ BF01081632.

17. Berezin F. A., Faddeev L. D. A remark on Schrodinger's equation with a singular potential, Sov. Math., Dokl., 1961, vol.2, no. 5, pp. 372-375.

18. Geiler V. A., Margulis V. A., Chuchaev I. I. Potentials of zero radius and Carleman operators, Siberian Math. J., 1995, vol.36, no.4, pp. 714-726. https://doi.org/10.1007/ BF02107328.

19. Naimark M. A. Lineinye differentsial'nye operatory [Linear Differential Operators]. Moscow, Nauka, 1969, 528 pp. (In Russian)

20. Mitrokhin S. I. Asymptotics of eigenvalues of differential operator with alternating weight function, Russian Math. (Iz. VUZ), 2018, vol.62, no. 6, pp. 27-42. https://doi.org/10. 3103/S1066369X1806004X.

21. Bellman R., Cooke K. L. Differential-Difference Equations, Mathematics in Science and Engineering, vol. 6. New York, London, Academic Press, 1963, xvi+462 pp.

22. Sadovnichii V. A., Lyubishkin V. A. Some new results of the theory of regularized traces of differential operators, Differ. Uravn., 1982, vol. 18, no. 1, pp. 109-116 (In Russian).