ОБ ИЗУЧЕНИИ СПЕКТРА СЕМЕЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОТЕНЦИАЛЫ КОТОРЫХ СХОДЯТСЯ К ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

doi:10.21685/2072-3040-2021-1-3

Об изучении спектра семейства дифференциальных операторов, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака

С. И. Митрохин

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва, Россия

[email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. В работе предлагается новый метод исследования дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами. Изучается последовательность дифференциальных операторов высокого четного порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. Предполагается, что потенциал оператора является кусочно-суммируемой функцией на отрезке задания оператора. В точках разрыва потенциала требуется выполнение условий «склейки» для корректного определения решений соответствующих дифференциальных уравнений. Исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, заданных на конечном отрезке, с одним из видов разделенных граничных условий. При больших значениях спектрального параметра методом Наймарка получена асимптотика фундаментальной системы решений соответствующих дифференциальных уравнений. С помощью этой асимптотики изучены условия «склейки» рассматриваемого дифференциального оператора. Затем изучены граничные условия исследуемого оператора. В результате выведено уравнение на собственные значения изучаемого оператора, которое представляет собой целую функцию. Исследована индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения, которая является правильным шеснадцати-угольником. В различных секторах индикаторной диаграммы методом последовательных приближений Пикара найдена асимптотика собственных значений изучаемых дифференциальных операторов. В предельном случае найденная асимптотика собственных значений стремится к асимптотике собственных значений оператора, потенциалом которого является дельта-функция Дирака. Материалы и методы. Асимптотика фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений с суммируемыми потенциалами при больших значениях спектрального параметра получена обобщенным методом Наймарка. Для нахождения корней уравнения на собственные значения изучаемого оператора методом Беллмана - Кука исследована индикаторная диаграмма, которая является правильным шеснадцатиугольником. Асимптотика собственных значений изучаемых дифференциальных операторов в различных секторах индикаторной диаграммы найдена методом последовательных приближений Пикара. Результаты. Изучен спектр ранее не изучаемого семейства дифференциальных операторов высокого четного порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. С учетом условия «склейки» в точках разрыва потенциалов доказано, что уравнение на собственные значения представляет собой квазиполином, корни которого можно найти методом Беллмана - Кука. Аналогичные результаты можно получить и для других видов разделенных граничных условий. Выводы. Полученные новые результаты об асимптотике спектра семейства дифференциальных операторов могут быть применены к исследованию базисности собственных функций аналогичных операторов, изучению функции Грина и вычислению формул регуляризованных следов операторов, последовательность потенциалов которых сходится к дельта-функции Дирака. Метод дельта-потенциалов применяется

© Митрохин С. И., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

в физике для исследования короткодействующих примесей, дефектов в различных системах. В атомной и ядерной физике огромную популярность имеет модель точечных потенциалов, это подтверждает необходимость изучения операторов с дельта-потенциалами.

Ключевые слова: дифференциальный оператор с разрывными коэффициентами, асимптотика решений дифференциального уравнения, кусочно-суммируемый потенциал, дельта-функция Дирака, асимптотика собственных значений, спектр оператора

Для цитирования: Митрохин С. И. Об изучении спектра семейства дифференциальных операторов, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 1. С. 20-38. doi:10.21685/2072-3040-2021-1-3

On the studying the spectrum of differential operators' family whose potentials converge to the Dirac delta function

S.I. Mitrokhin

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia [email protected]

Abstract. Background. The paper proposes a new method for studying differential operators with discontinuous coefficients. We study a sequence of differential operators of high even order whose potentials converge to the Dirac delta function. It is assumed that the operator's potential is a piecewise-summable function on the segment of the operator task. At the points of discontinuity of the potential, the fulfillment of the "gluing" conditions is required to correctly determine the solutions of the corresponding differential equations. The spectral properties of differential operators defined on a finite segment with one of the types of separated boundary conditions are investigated. For large values of the spectral parameter, the Naimark method is used to obtain the asymptotics of the fundamental system of solutions of the corresponding differential equations. With the help of this asymptotics, the conditions for "gluing" the considered differential operator are studied. Then the boundary conditions of the operator under study are studied. As a result, we derive an eigenvalue equation for the operator under study, which is an entire function. The indicator diagram of the eigenvalue equation, which is a regular hexadecimal, is investigated. In various sectors of the indicator diagram, the method of successive Picard approximations has been used to find the eigenvalue asymptotics of the studied differential operators. In the limiting case, the found asymptotics of the eigenvalues tends to the asymptotics of the eigenvalues of an operator whose potential is the Dirac delta function. Materials and methods. The asymptotics of the solutions' fundamental system of differential equations with summable potentials for large values of the spectral parameter is obtained by the generalized Naimark method. To find the roots of the equation for the eigenvalues of the operator under study, the Bellman-cook method is used to study the indicator diagram, which is a regular hexadecagon. The asymptotics of the eigenvalues of the studied differential operators in various sectors of the indicator diagram are found by the method of successive Picard approximations. Results. The spectrum of a previously unexplored family of differential operators of high even order whose potentials converge to the Dirac Delta function is studied. Taking into account the "gluing" condition at the points of discontinuity of the potentials, it is proved that the eigenvalue equation is a quasi-polynomial, the roots of which can be found by the Bellman-Cook method. Similar results can be obtained for other types of separated boundary conditions. Conclusions. The new results obtained on the asymptot-ics of the spectrum of a family of differential operators can be applied to the study of the basis property of the eigenfunctions of similar operators, the study of the Green's function,

and the calculation of formulas for regularized traces of operators whose sequence of potentials converges to the Dirac delta function. The delta potential method is used in physics to study short-range impurities and defects in various systems. In atomic and nuclear physics, the model of point potentials is very popular; this confirms the need to study operators with delta potentials.

Keywords: differential operator with discontinuous coefficients, asymptotics of differential equation solutions, piecewise-summable potential, Dirac delta function, asymptotics of eigenvalues, spectrum of the operator

For citation: Mitrokhin S.I. On the studying the spectrum of differential operators' family whose po-tentials converge to the Dirac delta function. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;1:20-38. (In Russ.). doi:10.21685/ 2072-3040-2021-1-3

Введение

Изучим свойства спектра семейства дифференциальных операторов, задаваемых дифференциальными уравнениями

yf6)(x) + 9!(x)y(x) = Aa16y(x), 0 < x< xb, a > 0; (1)

y216)(x) + 92 (x)У2 (x) = Ал16У2 (x), x1n < x < x2n, x1n < x0 < x2n, (2)

У(16)(х) + 93 (x) У3 (x ) = Ал16Уз (x) x2n < x <П (3)

*

при этом на потенциал Q(x) = ( (x); 92 (x); 93 (x)) накладываются следующие условия:

91 (x) = 0,xe [0;xb);93 (x) = 0,xe (x2n;n];

92 (x)e L1 [x1n;x2n]

( x >

J 92 (t)dt

\ -4n

x=92 (x) pp нл [x1n; x2n ];

lim 92 (x ) = 0; lim 92 (x ) = +^; lim 92 (x ) = +^;

lim

92 (x) = 0; J 92 (t)dt = 1; (4)

в точках разрыва коэффициентов требуются следующие условия «склейки»:

У1 (х1п -0) = У2 (х1п + 0);у{га)(х1п -0) = у2т\х1п + 0)т = 1,2,...,15; (5)

У2 (Х2п -0) = Уз (Х2п + 0);у2т)(х2п - 0) = Узт)(х2п + °),т = 1,2,...,15; (6) с граничными условиями вида

У1(т1 )(0) = У1(т2 )(0 ) =... = У1(т13 )(0) = у(п1 )(п) = УЗп2 )(П) = УЗпз )(П) = 0. (7)

x

In

Условия (4) обеспечивают нам предельные соотношения

lim q2 (x) = lim qj^ (x) = 8(x-xo),

поэтому предел спектра оператора (1)-(7) при п будет совпадать со

спектром дифференциального оператора

с граничными условиями (7).

Развитие спектральной теории идет в сторону уменьшения гладкости коэффициентов дифференциальных уравнений, задающих дифференциальные операторы. Дифференциальные операторы второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами, в том числе с кусочно-гладкой весовой функцией, изучались в работах [1-5]. Необходимость требования выполнения условий «склейки» или условий «сопряжения» в точках разрыва коэффициентов объяснена в монографии [6, гл. 3].

Операторы Штурма - Лиувилля с сингулярными коэффициентами изучены в работе [7]. В статье [8] вычислена асимптотика собственных значений и асимптотика собственных функций оператора Штурма - Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом. В работах [9-13] автором предложен другой метод для обобщения результатов работы [8] на различные типы операторов порядка выше второго с суммируемыми коэффициентами.

В статьях [14-16] вычислен регуляризованный след первого порядка для оператора второго порядка с дельта-потенциалом. Необходимость изучения операторов, потенциалами которых являются дельта-функции, следует из физики: этому посвящены работы [17, 18]. Наша цель: получить аналогичные результаты для операторов порядка выше второго с дельта-потенциалами, приближая такие потенциалы последовательностью кусочно-суммируемых потенциалов. Собственные значения таких операторов будут расположены бесконечно близко. Необходимая теоретическая база исследования таких операторов с кусочно-разрывными коэффициентами или кусочно-разрывной весовой функцией подготовлена работами [19, 20].

Обозначим через (к = 1,2,...,1б) различные корни шестнадцатой степени из единицы:

y (16)(x ) + 5(x -xo )y (x ) = Xa16 y (x), 0< x<n, 0 < xo <n, y(x) = ( (x);yj (x);Уз (x)) ,

1. Асимптотика решений дифференциальных уравнений (1)-(3) при X ^^

Пусть Х = 516,5 =1бП, при этом для корректности дальнейших выкладок зафиксируем ту ветвь арифметического корня, для которой 1б1 =+1.

2ni

w>1 = 1; W2 = e 16 = cos

4га

wз = Л6 = г2;...; wm = 2т~\ т = 1,2,...,1б.

(8)

Точки Wk (k = 1,2,...,16) из (8) делят единичную окружность на шестнадцать равных частей и для них справедливы свойства:

16

2 wm = 0, т = 1,2,..., 15;

k=0

16 16

2 wm = 0, т = 2Д...Д6; 2wm = 16, т = 0, т = 16.

k=0 k=1

(9)

Методом статей [9, 20] и монографии [21, гл. 2] доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Общие решения дифференциальных уравнений (1)-(3) представляются в следующем виде:

16 (т) 16 (т) у (х;5)=2с1кУ1к (х;5); у (х;5)=2(х;5) т=1,2,...,15; (10) k=l k=l

Ук (х;5) = е™к™; у1(т) (х;5) = ^5)теа^х, т = 1,2.....15;k = 1,2,...,16; (11)

16 (т) 16 (т) У2(х;5) = 2с2kУ2k(х;5); у2т (х;5) = 2с2ку2т (х;5), т=1,2,...,15; (12)

k=1

k=1

1 16

У2k (х;5) = вам,к!;х--^2 WneaWkSX х

16а 5 П=1

X \ Ч2 (Г)еа(к)*Аакп

( 1 Л

+ О

х1п

530

V 5 У

; к = 1,2,...,16;

(13)

(т) т 1 16 у2т (х;5)=(awk5)т еащ5Х —ци2^ (тп5)

16а 5 П=1

т еа^5х х

X \ Ч2 (Г)еа((к^акп + О

х1 п

30-т V 5 У

; к = 1,2,...,16; т = 1,2,...,15; (14)

16 (т) 16 (т) У3 (х;5) = 2с3кУ3к(х;5); у3т (х;5)=2с3кУ3кк (х;5); т = 1,2,.Л5; (15)

к=1

к=1

У3к(х;5) = е™к5х; у3т)(х;5) = ^5)е™к*х; к = 1,2,...,16; т = 1,2,...,15; (16)

Величины С^,С2к,С3к (к = 1,2,...,16) в формулах (10), (12), (15) -

произвольные постоянные, при этом справедливы следующие начальные условия:

У1£ (0;*) = 1; У1кТ)(0;*)=(«^)т; У2к (хщ;*)=в"^; у2тт}(х1п;*) = Ы*)т в^^п ; Узк (х2п;*) = в"™^2" ;

Узтт }(х2п;*) = ("Щ*)тва™к*х2п; к = 1,2,...,16; т = 1,2,...,15. (17)

2. Изучение условий «склейки» (5)

Из условий склейки (5) с помощью формул (10) и (12) получаем:

(5)

У2 (х1п+0; *) = У1 (х1п- 0; * ) 16 16

^ 2 С2кУ2к (х1п + 0;*) = 2 С1кУ1к (х1п - 0;*); (18)

к=1 к=1

у2т)(хь + 0;*))у{т)(хь -0;*)

{ \П (as)

I \п (as)

16 + 0;s)= " y(m)(x1n - 0;s)

^ X C2 k

k=1 (as)

' = X C1k" ( )И

k=1 (as)

m = 1,2, ...,15. (19)

Система (18)-(19) имеет единственное решение, так как ее определитель не равен нулю:

А2,16

C21 =

*21

. C = А22 . . C =

■; C22 = 1-/-Г ;•••; C2,16 =

А 02 (x; s )* 0' A 02 (x; s )

A 02 (x;s)'

(20)

У21 (x;s) У22(x;s) ... У2,16(x;s) y21 (x; s) у22 (x; s) у2 ,16 (x;s)

A02 (x;s ) =

(21)

определители А2к из (20) получаются из определителя А02 (х1п; *) из (21) заменой к -го столбца на столбец:

(16 16

X C1ky1k (x1n- 0;s); X C1k k=1 k=1

y'k (x1n-0;s), C yil5) (x1n-0;s)

as

X C1k' ( )15

k=1 (as)

. (22)

Определитель Д02 (х; 5) из (21) является определителем Вронского

фундаментальной системы решений {у2к (х; 5 )}}} линейного дифференциального уравнения (2), поэтому он не равен нулю и не зависит от х. В силу формул (13)-(14) и (9), (17) получаем:

Д02 (х;5) = Д02 (5) = Д02 (х1п;5) =

= ^ Жг [ У21 (х;5); У22 (х;5);...; У2,16 (х;5)] = Д00 *0 где Д00 - определитель Вандермонда чисел Wk (к = 1,2,...,16):

(23)

Д00 = det Жапёегтопё'5 (>1, W2,..., Wlб) = 1 ... 1 1

1 1

>1 >2

2 2

>1 >2

15 15

>1 >2

П

,.15 ,.,15

П (>к ->т ) = Д00 * 0.

(24)

к >т;

к ,т=1,2,...,16

Используя свойства определителей, подставим формулы (22), (11) в (20)-(21), выведем следующие формулы:

Д21 = Д00С11; Д22 = Д00С12;-; Д2,16 =Д00С1,16. (25)

3. Изучение условий «склейки» (6)

Подставляя формулы (15) и (12) в условия «склейки» (6), получаем:

(6)

У3 (х2п +0;5) = У2 (х2п- 0;5) 16 16

^ 2 с3кУ3к (х2 п+0;5)=2 с2кУ2к (х2 п- 0;5); (26)

к=1 к=1

у3т)(хщ + 0;5)(=у2т)(х2п -0;5)

{ \П (а5 )

I \П (а5)

16 у3^)(х2п + 0;5) = " у2тт}(хщ -0;5)

~ 2 С3к к=1

I \П (а5)

' = 2 С2к" к=1

I \П (а5)

т = 1,2,...,15. (27)

Система (26)-(27) также имеет единственное решение, так как ее определитель не равен нулю:

C31 =

A31 A

A03 (x;s)*0;C32 A03 (x;s)

У31 (x;s) У32 (x;s) У31 (x;s) у32 (x;s)

32 , , C = 3,16 ;...; C3,16 ="

A03 (x;s)'

У3,16 (x;s)

у3,16 (x;s)

A03 (x;s ) =

(16)

(16)

^1e 1

W2e

... w16e

aw16sx

(28)

М15^!™ М115ваМ'2*х ... ™^5>ва™16*х

= а(( +™2 +...+Щ6)хА = в0 А =А * 0 (29)

= в А00 = в А00 = А00 * 0, (29)

определители Аз£ (к = 1,2,...,16) из формулы (28) получаются из определителя А03 (х2п; *) из (29) заменой к -го столбца на столбец:

! C2,y2k (( - 0; s), X ,..., X Ck^S^

k=1 k=1 as k=1 (as)

Y

, (30)

где к = 1,2,...,16.

Используя свойства определителей, подставим формулы (30) в (28)-(29), находим:

16

A3p = X C2k A3 pk, P = 1,2,•••,16, k=1

(31)

определители А3 рк из формулы (31) получаются из определителя А03 (х2п;*) из (29) заменой р -го столбца (р = 1,2,...,16) на столбец получаем:

y (x 0,s);y2k(x2n-0;s), ,y21k5)(x2n-0;s)

y2k (x2n - 0; s ) —

as

(as)

15

(32)

р = 1,2,..., 16.

Применяя формулы (13), (14), из (31), (32) получаем:

Д31к =

1 1 ^ ¿.п

§к--152>пёп | ...

1 16 К,

16

V15 п=1

Гх. ^

+О 70

8 2

акп

(х. \

1

>к8к —и2>п>п8п | ...

V х1п у

+О £

акп

1 16

15 1 V 15

>к 8к--2 >п>п I

у п=1

х

х2п

!-.

V х1п у

( 1 >

+ О

акп

ч 30

V 5 у

15

816

>282 ... >16816

15

>2 82 ... >16816

; (33)

8к = е™*'*^,к = 1,2,...,16;V15 = 16а15515, интегралы

(г \ х2п

определены

V 1п

акп

формулами (13)-(14).

Раскладывая определители Д31к из (33) по столбцам на сумму определителей, получаем:

( 1 >

Д31к = Д31к ,0--1515 Д31к ,15 + 0

16а15 5

530

V 5 у

(34)

Д31к =

8к 82 ... 816 >к8к >282 ... >16816

>158к >25 82 ... >16 816

0, к = 2,3,...,16; Д00, к=1;

(35)

2 N

=2 > п=1

х2п

х1п

акп

1 1 ... 1

>1 >2 ... >16

>|5 >25 ... >16,

883 (...)816 =

>1

(х ^

х2п

•Д00е0, п = 1; к = 1,2,...,16;

V 1п уакп

0, п = 2,3,...,16.

(36)

Вычисляя определители Д3т (т = 2,3,...,16) из (28), (31) аналогично определителям Д31к из (33)-(36), выводим следующие формулы:

Д3 рк = Д3 рк ,0--ГГТТ Д3 рк ,15 + 0

16а 5

( 1 Л

530

V 5 у

; р, к = 1,2, ...,16, (37)

A3 pk =

0, p Ф k; p, k = 1,2,...,16;

^ k=p;

(38)

A3 pk ,15 = A00 wp

fx ^ x2n

J...

; k, p = 1,2,...,16.

akp

Таким образом, из формул (34)-(39) находим:

A3kk = A00

wk

16a15s15

x

x2n

xJ...

V x1n

f 1 Л

+ O

akk

s30

V s у

(39)

, k = 1,2,...,16; (40)

A3 pk = A00

wr

16a15s15

x2n

J-

f i Л

+ O

V 1n у

akp

s 30

V s у

k Ф p; k, p = 1,2,...,16. (41)

Формулы (20), (25), (31), (40), (41) позволяют изучить граничные условия (8).

4. Изучение граничных условий (8)

Подставляя формулы (10)—(11) в первые 13 граничных условий (8), получаем:

16

(='с« XQk^M = 0e XC1W? = 0, p = U-.13. (42)

t v> (as)

I / \n

k=1 (as)

k=1

Из последних трех граничных условий (8) с помощью формул (15)— (16), (28), (31) и (20) находим:

y(r )(п; s )(8) 16 „К )(7t; s) 16

= 0 ~ X C3k 1 n = 0 ~ X CjkW^e k = 0 ^ (as) r k=1 (as) r k=1

16 A

^ X-A3k-wn eawksn

¿—i Л /„\аП k

k=1 A03 (s )ф 0

16 f 16 = 0 ^ X X C2n A3kn

k=1V n=1

wnkreawksn= 0 ^

16

k=1

16

X1 A02 (s)Ф 0

^ XC2k92k,r (ns) =0 X A "(jL 0 ^2k,r (ns) =0

16

16

~ XA^^kr (n;s) = 0 ^ XC1k92k,r (n;s) = 0, r = 1,2,3, (43)

k=1 A02 (s)

k=1

16

92к,г (П;5) = 2 А3пк™"к п=1

пграч>пзК

г = 1,2,3.

(44)

Уравнения (42)-(44) образуют систему из шестнадцати линейных однородных уравнений с 16 неизвестными Сц,С12,...,Сц6. Ненулевые решения такая система имеет только в том случае, если ее определитель равен нулю, поэтому справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(7) имеет следующий вид:

/ (^ ) =

w

1

w1

w.

wn

W■

15

W

16

W

15

w

W1

13

w,

13

W■

15

w

16

13

16

= 0, (45)

Ф21,1 (п;5) 922,1 (п;5) ... 92,15,1 (п;5) 92,16,1 (п;5)

921.2 (п;5) 922,2 (п;5) ... 92,15,2 (п;5) 92,16,2 (п;5)

921.3 (п;5) 922,3 (п;5) ... 92,15,3 (п;5) 92,16,3 (п;5)

функции 92кг (п;5)(к = 1,2,...,16;г = 1,2,3) определены формулами (44), (40), (41).

Применяя формулу Лапласа, разложим определитель / (5) из (45) по последним трем строчкам, получим:

/ (5 ) =

921.1 922,1 923,1

921.2 922,2 923,2

921.3 922,3 923,3

W„

Wг

W-

922.1 923,1 924,1

922.2 923,2 924,2

922.3 923,3 924,3

W

W1

W

ти

W.

ш13

W■

16

ш13 16

w.

Wc

Ш1

W■

w

16

+

+

923.1 924,1 925,1

923.2 924,2 925,2

923.3 924,3 925,3

W1

W0

W1

13

w,

13

W(^

w

w

16

13 16

-... = 0.

(46)

Для нахождения корней уравнения (46) необходимо изучить так называемую индикаторную диаграмму этого уравнения (см. [22, гл. 12]). Из формул (44), (40), (41) следует, что индикаторная диаграмма уравнения (46) - это выпуклая

оболочка множества точек {Wk + wш + wp, к Ф ш, к Ф р; к, ш, р = 1,2,...,16} ,

которая является правильным шестнадцатиугольником DD2D3...D15Djg, вершинами которого являются точки D^(wj + W2 + W3), D2(w2 + W3 + W4), D3(w3 + W4 + W5),..., Dj4(wu + wj5 + w16), D15(w15 + w16 + wj),

Dj6(wj6 + wj + W2); точки Ekpm (wk + wp + Wm) при условии \k — p| > 2, |p — m| > 2 или |k — m| > 2 попадают внутрь этого правильного шестнадцати-

угольника, при нахождении корней уравнения (46) их можно отбросить, так как они представляют собой бесконечно малые величины. Корни уравнения (46) находятся в 16 секторах бесконечно малого раствора, биссектрисы которых являются серединными перпендикулярами к сторонам шестнадцати-угольника DD2 D3...D15 Dj6.

Из книги [22, гл. 12] следует, что для нахождения корней уравнения (46) в секторе, перпендикулярном стороне DD2, в этом уравнении необходимо оставить только экспоненты с показателями w1 + w2 + w3 и w2 + w3 + w4 . Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(7) в секторе, перпендикулярном стороне DD2 индикаторной диаграммы, имеет следующий вид:

h (s ) =

Ф21Д (пs) Ф22Д (пs) Ф23,1 (пs) 921,2 (пs) Ф22,2 (пs) Ф23,2 (пs) Ф21,3 (п;s) 922,3 (п;s) 923,3 (п;s)

w

w

w

m13

w

m13

w

w

16

m13 16

Ф22,1 (n;s) Ф23,1 (п;s) Ф24,1 (п;s) 922,2 (п;s) Ф23,2 (п;s) Ф24,2 (пs) Ф22,3 (п;s) Ф23,3 (п;s) Ф24,3 (п;s )

w

w

w

13

w

13

w

w

16

13 16

= 0. (47)

Применяя формулы (8), получаем:

w

w

w

13

wm13 w^ ... wm313

= det Wandermond's (zm ; z™2;...; z™

1m1

12m1

1m13 zm" ... z

= П

12m

13

k > p

k, p=1,2,...,13

Ф 0; (48)

m1 m1

w4 1 w51

m13 m13 w4 13 w5 13

w

w

16

m13 16

3m, 4m, z 1 z 1

3m13 4m13 z 13 z 13

15m1

15m

13

(48) 13

= z3^3 R13M13 = X mk;

k=1

Wí

Щ-

16

Щ.

"13

Щ-

16

13

Щ

13

Щ

13

(48) = 2 13

(49)

Подставим формулы (48)-(49) в уравнение (47), поделим на ^13 Ф 0, учтем свойства определителей, приведем его в следующему

виду:

Шу

Ь (* ) =

Ф21,1 МФ24,1 (п;*) Ф22,1 (п;*) 923,1 (п;*) 921,2(п;5)-2МъФ24,2(п;*) 922,2(п;*) 923,2(п;*)

Ф21,3 М924,2 922,3 (п;5) 923,3 (я;*)

= 0. (50)

Применяя формулы (44), (40), (41) и оставляя только необходимые для а, перпе

а(2 + Щ3 + щ4 ))

сектора, перпендикулярного стороне экспоненты е ^ 1 2 3' и

е 4 " " 4 ' , произведем вычисления с точностью до О уравнение (50) к следующему виду:

, / \ гт! к к Л а( + + щ3

И1 (* )= Т123А311А322А333е 1 1 2 3 _

( 1 >

V *15 у

и приведем

--М13?423А344А322А333еа(Щ4+Щ + Щ )т " [т423А341А322А333еа(+Щ + ^ _

+

_ 2М13

Т123А314А322А333е

а(1 +Щ2 +Щ3)п + о(1)} + о| = 0;

(51)

п Щ11 п Щ2 п Щ1

Т123 = п2 Щ22 п2 Щ 3

п3 Щ1 3 п3 Щ23 п3 Щ3

(8)

1п1

1п2

1п3

2п1

2п2

2п3

= 2

Т123 Ф 0;

(52)

п Щ41 п Щ2 п Щ3 п п Щ3 п Щ41

Т423 = п2 Щ42 п2 Щ2 п2 Щ 3 = п2 Щ2 п2 Щ 3 п2 Щ42

п3 щ43 п3 Щ23 п3 Щ3 п3 Щ23 п3 Щ3 п3 Щ43

n 2n 3n z 1 z 1 z 1

n2 2n2 3n2 z 2 z 2 z 2

n3 2n3 3n3 z 3 z 3 z 3

= z^3^123' N3 = X nk.

k=1

(53)

Подставляя формулы (52)-(53) в уравнение (51), поделим на

а(щ4+щ + щ) „ Т\23е 4 2 ^ 0, получим:

h (s) = ГA3nA322A333ea(w1—w4— z^13zN3 A344A322A

333

+

+

N

A341A322A333 —М A314 A322A333ea(w1 w ^

( 1 >

+ O

s30

V s у

= 0. (54)

Используя формулы (40)-(4\), приведем уравнение (54) к следующему

виду:

h (s ) =

ea(w!—w4 )sn

1-

w1 + w2 + w3 16a15 s15

2n

J 92 (t)dta11 + O

( 1 >

1n

s30

V s у

_zM13 zN3

w2 + w3 + w4

' 16a15 s15

"in

J 92 (t)dta22

f 1 Л

+ O

s30

V s у

16a15s15

N3

w4 z

2n

J 92(t)

ea(w—w )sn dta14 — w4 zM13 ea(w1—w4)sn x

1n

2n

X J 92 (t)ea(w —w )sndta41

f 1 Л

+ O

s30

V s у

= 0.

Основное приближение уравнения (55) имеет вид

2га. 2га _

еа(щ\-щ4= гМ\з ^3 = е2Шке~\6 13е~\6~ 3 ^

(55)

2/kr г , M13 + N3 дг

^ sk ,1,0с« = —(-г, k = k + 13 k е N.

a (w1 — w4) 16

(56)

Из общей теории нахождения корней квазиполиномов вида (56) (см. [22, гл. 12; 23]) следует справедливость следующего утверждения.

Теорема 4. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (\)-(7) в секторе, перпендикулярном стороне 0\02 индикаторной диаграммы, имеет следующий вид:

x

1n

Ч ,1 (п ) =

21

а ( - Щ4)

к + ^^М + О ( 1 '

-15

-30

(57)

г , М13 + N ,

к = к + -к = 1,2,3,...

16

Доказательство. Из формулы Маклоренда следует:

(п )

:ехр

а ( - Щ4 )п

2/

а ( - Щ4)

к+^д(п)+..;

15

= 2М33 2Щ3

1 + 2п^15,к,1 (п) |О( 1 ^

-15

,30

V, у

Т5

а15 (( -Щ4 )15 1 1 ^

215/15 к15

1 + о

-16

(58)

V VI /у

,1 (п)

Подставляя формулы (57), (58) в уравнение (55), вычисляем:

,15 _ \15

2М13 2Щ3

2тё15к1 (п) ( 1 1 +-,к м ' + О

-15

-30

( + Щ2 + Щ3 )а ( - Щ4 ) 1 16а15 215/15

-X

X

( ( 1 + О -

V о

1 ^ Х2п

| 42 (Ка11

( 1 Л

+ О

-30

- 2М13 2Щ3

Х1

1 -(Щ2 + ^^ ' Щ4 ^ 142 ( Иа22 + О

( 1 >

-30

1 а15 ( - Щ4)

15

16а15 215/15к15

Х2п

Щ42Щ | 42 ()

Х1 п

2кй 7.

е "'а14 '

М13 М13 N Г -2Ш

-Щ12 132 132 3 I 42 (?)е с

'а41

( 1 >

+ О

30

= 0.

(59)

При 1/ к0 в уравнении (59) получается верное равенство. Приравнивая в уравнении (59) коэффициенты при 1 / к15 , выводим следующую формулу:

7 яг

Л6 2/

45, ,1 (п ) =

16

16л21и /

2п

| 42 ()^а1

+

Х1 п

Щ1 - Щ4 2/

7пг -2 го, ,

--М13

е 16 е 16 X

Х

Х

1п

X

4n _ 7 ni 2niM л2п

2kti , ^ 77"M 2N-3

e^^ - e 16 e 16

2 П

j 42 (t )

2П

j 42(t)

-2 kti j. e dta41

1 n

1 n

¡>, k = 1,2,3,... (60)

Применяя формулу (8), находим: 7ni

2ie16 2i 1

—1 - W4

-7 ni " 2ni 3 "

e 16 1 - e 16

вт

3n,;(-1 - W4 )16 = (-1)216 sin16 |Ц 1. (61) 16

Подставляя формулу (61) в (60), получаем:

, ( ) (-"7в-п'6Ш,

¿15,к,' (и)=-'6 X

16п

X

п 1 п f 3п 3п

j 42 (t)dta11--j 42 (t)sinI 2kt + 1ПM13 Idt

3П

Sinl 16 I X1n

k = 1,2,3,... (62)

Находя предел при и ^ , из формулы (62) получаем:

3п '6

/ ,ч7 • 16 f 3п (4)(-1) Sin '

lim d15,k,1 (n)=-—

16П

X

X

1

lim j (t)sin| 2kt + — -—7 3n 1 J ( 16 16

sin | 16 I

M13 I dt

эта формула дает спектр предельного оператора (1)-(7) с потенциалом дельта-функцией.

Список литературы

'. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Математические заметки. '977. Т. 22, № 5. С. 698-723.

2. Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестник Московского университета. Сер. ', Математика. Механика. '986. № 6. С. 3-6.

3. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Доклады Академии наук. '997. Т. 356, № '. С. '3—'5.

4. Митрохин С. И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. '986. Т. 22, № 6. С. 927-93'.

5. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 3. С. 530-532.

6. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1977. 736 с.

7. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма - Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математические заметки. 1999. Т. 66, № 6. С. 897-912.

8. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 10. С. 1423-1426.

9. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2010. Т. 270. С. 188-197.

10. Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, № 4. С. 95-115.

11. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2008. № 8. С. 172-187.

12. Митрохин С. И. Спектральные свойства краевых задач для функционально-дифференциального уравнения с суммируемыми коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 8. С. 1085-1093.

13. Митрохин С. И. Асимптотика спектра периодической краевой задачи для дифференциального оператора с суммируемым потенциалом // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 136-149.

14. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 5 -функции // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, № 6. С. 735-751.

15. Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма - Ли-увилля с 5 -потенциалом // Успехи математических наук. 2000. Т. 55, № 6. С. 155-156.

16. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Формула следа для операторов Штурма - Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математические заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 427-442.

17. Березин Ф. А., Фадеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // Доклады Академии наук. 1961. Т. 137, № 5. С. 1011-1014.

18. Борисов Д. И. О лакунах в спектре Лапласиана в полосе с периодическим дельта-взаимодействием // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 2. С. 46-53.

19. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией // Известия вузов. Сер. : Математика. 2018. № 6. С. 31-47.

20. Митрохин С. И. Спектральные свойства дифференциальных операторов четного порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. 2017. № 4. С. 3-15.

21. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 528 с.

22. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М. : Мир, 1967. 548 с.

23. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории регу-ляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 109-116.

References

1. Il'in V.A. On the convergence of the expansion in terms of eigenfunctions at points of discontinuity of the coefficients of a differential operator. Matematicheskie zametki = Mathematical notes. 1977;22(5):698-723. (In Russ.)

2. Mitrokhin S.I. Regularized trace formulas for second-order differential operators with discontinuous coefficients. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 1, Matematika. Mek-hanika = Bulletin of Moscow University. Series 1, Mathematics, Mechanics. 1986;6:3-6. (In Russ.)

3. Mitrokhin S.I. On some spectral properties of second-order differential operators with a discontinuous weight function. Doklady Akademii nauk = Reports of the Academy of Sciences. 1997;356(1):13-15. (In Russ.)

4. Mitrokhin S.I. Trace formulas for a boundary value problem with a functional differential equation with a discontinuous coefficient. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 1986;22(6):927-931. (In Russ.)

5. Mitrokhin S.I. Spectral properties of differential operators with discontinuous coefficients. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 1992;28(3):530-532. (In Russ.)

6. Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki = Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1977:736. (In Russ.)

7. Savchuk A.M., Shkalikov A.A. Sturm - Liouville operators with singular potentials. Matematicheskie zametki = Mathematical notes.1999;66(6):897-912. (In Russ.)

8. Vinokurov V.A., Sadovnichiy V.A. Asymptotics of any order of eigenvalues and eigenfunctions of the Sturm - Liouville boundary value problem on an interval with summa-ble potential. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 1998;34(10):1423-1426. (In Russ.)

9. Mitrokhin S.I. Spectral properties of a fourth-order differential operator with summable coefficients. Trudy Matematicheskogo instituta im. V. A. Steklova = Proceedings of Steklov Mathematical Institute. 2010;270:188-197. (In Russ.)

10. Mitrokhin S.I. Spectral properties of a certain differential operator with summable coefficients with lagging argument. Ufimskiy matematicheskiy zhurnal = Ufa mathematical journal. 2011;3(4):95-115. (In Russ.)

11. Mitrokhin S.I. Spectral properties of a differential operator with an integrable potential and a smooth weight function. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya = Bulletin of Samara University. Natural sciences' series. 2008;8:172-187. (In Russ.)

12. Mitrokhin S.I. Spectral properties of boundary value problems for a functional differential equation with summable coefficients. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 2010;46(8):1085-1093. (In Russ.)

13. Mitrokhin S.I. Asymptotics of the spectrum of a periodic boundary value problem for a differential operator with summable potential. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki UrO RAN = Proceedings of Institute of mathematics and mechanics of Ural department of the Russian Academy of Sciences. 2019;25(1):136-149. (In Russ.)

14. Vinokurov V.A., Sadovnichiy V.A. Asymptotics of eigenvalues and eigenfunctions and the trace formula for potential containing 8 -functions. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 2002;38(6):735-751. (In Russ.)

15. Savchuk A.M. Regularized trace of the first order of the Sturm - Liouville operator with 8 -potential. Uspekhi matematicheskikh nauk = Advances in mathematical sciences. 2000;55(6):155-156. (In Russ.)

16. Savchuk A.M., Shkalikov A.A. Trace formula for Sturm-Liouville operators with singular potentials. Matematicheskie zametki = Mathematical notes. 2001;69(3):427-442. (In Russ.)

17. Berezin F.A., Fadeev L.D. Remark on the Schrodinger equation with singular potential.

Doklady Akademii nauk = Reports of the Academy of Sciences. 1961;137(5):1011-1014. (In Russ.)

18. Borisov D.I. On gaps in the Laplacian spectrum in a band with periodic delta interaction. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki UrO RAN = Proceedings of Institute of mathematics and mechanics of Ural department of the Russian Academy of Sciences. 2018;24(2):46-53. (In Russ.)

19. Mitrokhin S.I. Asymptotics of the eigenvalues of a differential operator with an alternating weight function. Izvestiya vuzov. Ser.: Matematika = University proceedings. Series: Mathematics. 2018;6:31-47. (In Russ.)

20. Mitrokhin S.I. Spectral properties of differential operators of even order with summable coefficients. VestnikMoskovskogo universiteta. Ser. 1, Matematika. Mekhanika = Bulletin Moscow University. Series 1, Mathematics. Mechanics. 2017;4:3-15. (In Russ.)

21. Naymark M.A. Lineynye differentsial'nye operatory = Linear differential operators. Moscow: Nauka, 1969:528. (In Russ.)

22. Bellman R., Kuk K.L. Differentsial'no-raznostnye uravneniya = Differential-difference equations. Moscow: Mir, 1967:548. (In Russ.)

23. Sadovnichiy V.A., Lyubishkin V.A. On some new results in the theory of regularized traces of differential operators. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 1982;18(1):109-116. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Сергей Иванович Митрохин

кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник Научно-исследовательского вычислительного центра, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Москва, Ленинские Горы, 1, строение 6)

E-mail: [email protected]

Sergey I. Mitrokhin Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, senior staff scientist of Research Computing Center, Lomonosov Moscow State University (building 6, 1 Leninskiye Gory, Moscow, Russia)

Поступила в редакцию / Received 17.09.2020

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 05.10.2020 Принята к публикации / Accepted 21.12.2020