CC BY
23
УДК 517.927.6
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
SPECTRAL PROPERTIES OF MULTIPOINT BOUNDARY PROBLEM FOR DIFFERENTIAL OPERATOR OF ODD ORDER WITH SUMMABLE
POTENTIAL
С.И. Митрохин S.I. Mitrokhin
НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова, Россия, г. Москва, Ленинские Горы, д. 1 SRCC MSU Lomonosov, Russia, Moscow, Leninskie Gory, 1 E-mail: [email protected]
Аннотация
В статье изучается дифференциальный оператор высокого нечётного порядка с многоточечными граничными условиями. При этом потенциал оператора предполагается суммируемой функцией на отрезке. Дифференциальное уравнение, определяющее оператор, сведено к интегральному уравнению. Интегральное уравнение изучено методом последовательных приближений. Получена асимптотика решений дифференциального уравнения, задающего оператор, при больших значениях спектрального параметра. Граничные условия изучены с помощью этой асимптотики. Выведено уравнение на собственные значения исследуемого оператора. Исследована индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения. Найдена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора в различных секторах индикаторной диаграммы.
Abstract
In this paper a differential operator of high odd order with multipoint boundary conditions is studied. The potential of the operator is assumed to be a summable function on the interval. The differential equation defining the operator is reduced to an integral equation. This integral equation has been studied by the method of successive approximations. As a result, the asymptotics of the solutions of the differential equation determining the operator are obtained for large values of the spectral parameter. Using this asymptotics the boundary conditions are studied. The equation for the eigenvalues of the studied operator is derived. The indicator diagram of the equation for the eigenvalues is investigated. The asymptotics of the eigenvalues of the differential operator under investigation in various sectors of the indicator diagram is found.
Ключевые слова: спектральный параметр, дифференциальный оператор, суммируемый потенциал, асимптотика решений дифференциального уравнения, индикаторная диаграмма, асимптотика собственных значений.
Keywords: spectral parameter, differential operator, summable potential, asymptotics of solutions of differential equations, indicator diagram, the asymptotics of the eigenvalues.
Исследуем следующую краевую задачу для дифференциального оператора, задаваемого дифференциальным уравнением вида
у(21)(х) + ц{х)-у{х)=Х-а21 • у(х),0 < х <ж,а > 0, (1)
с многоточечными граничными условиями
у(хк)= 0,хк = тк • ж,к = 1,2,...,21;0 = т1 < т2 < т3 <... < т20 < т21 = 1. (2)
Мы предполагаем, что функция д(х) - суммируемая функция на отрезке [0; п]:
д(х)е Ц[0;п1=)]Ж^= д(х) (3)
почти для всех X из отрезка [0; п].
Цель статьи - найти асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1) - (2) с условием (3) суммируемости потенциала.
Свойства многоточечных краевых задач (типа краевой задачи Валле-Пуссена или интерполяционной краевой задачи) изучаются уже довольно давно. В работе [1] найдены двусторонние оценки функции Грина многоточечной краевой задачи. В работе [2] в случае неосциллирующего дифференциального оператора установлены осцилляционные свойства спектра и доказана знакорегулярность функции Грина. В работе [3] изучены свойства функции Грина квазиинтерполяционной краевой задачи и доказано, что соответствующая спектральная задача имеет дискретный спектр, причём минимальное по модулю собственное значение является вещественным, простым и строго положительным. Асимптотика собственных значений в этих статьях не изучалась.
Впервые асимптотика собственных значений (для дифференциального оператора четвёртого порядка) была изучена в работе [4]. Внутренние точки граничных условий делили отрезок задания оператора на равные части (соизмеримый случай). Потенциал оператора предполагался достаточно гладкой функцией. Был вычислен регуляризованный след этого оператора.
Случай суммируемого потенциала впервые был изучен в работе [5]. Была найдена асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций двухточечной краевой задачи Штурма - Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом. До этого автором в работах [6]-[8] были исследованы различные типы многоточечных операторов, у которых внутри отрезка изучения оператора находились точки разрыва коэффициентов оператора. В работе [9] рассматривались такие многоточечные граничные условия, при которых наблюдался эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений.
В работах [ 10]-[ 11] был предложен метод, отличный от метода работы [5], для изучения операторов четвёртого и шестого порядков с суммируемыми коэфициентами. Получена асимптотика решений дифференциальных уравнений, задающих эти операторы, изучены граничные условия, найдена асимптотика собственных значений.
В работах [12]-[13] изучались операторы с сингулярными потенциалами, типа дельта-функций или потенциалами-распределениями. В работе [14] изучен оператор высокого порядка с разделёнными граничными условиями с суммируемым потенциалом. В работе [15] для оператора восьмого порядка с суммируемым потенциалом рассмотрены такие многоточечные граничные условия, при которых наблюдается эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений этого оператора.
Асимптотика решений дифференциального уравнения (1)
Пусть А = ^21, ^ = ^УХ, причём для корректности дальнейших рассуждений зафиксируем ту ветвь арифметического корня, для которой 2/1 = +1.
21 —<к-1)
Пусть = 1, т.е. к = е21 ,к = 1,2,...,21,к = wk+21, , - различные корни
двадцать первой степени из единицы. Таким образом, имеем:
2п (2п\ . . (2П ^ 4П Г4пЛ . . Г4пЛ
w1 = 1, = е21 = соб
V 21у
+1 бШ
V 21 у
= А2 + ¡Я2,w3 = е21 = соб
21
+1 бШ
V у
V 21 у
= А + ^з^..
Методами работ [10], [11] и [16, гл. 2] доказывается следующая теорема. Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:
21
21
у(х, ^ ) = £ Ск-ук (х, * ); у(т )(х, 5 ) = £ Ск-у[т )(х, * ), т = 1,2,...,20,
к=1 к=1 где Ск(к = 1,2,...,21) - произвольные постоянные, при этом
ук (х 5 )= ехр(ам^х )-
А20,к (х, 5) 21 • а20 20
(
+ О
ехрМох) | к=1,2,...,21,
(5)
(6)
л
А20 к (х, *) = ехр(ам1*х) • |д(/) • ехр(а(мк - ^) • + w2 ехр(ам2) •
| ехР(а(мк - М )• Лак 2 + ... + м21ехр(ам21*х )• { д(*)• еХР(а(мк - м21 ^ ^ак^ к = 1,2,...,21,
00
(7)
укт )(х, *) = (а* )
а,* )т ^ • ехр(амк*х) -
А20,к (x, * К ^Г ехр( 1т ) Л
+ О
Р11
к = 1,2,...,21; т = 1,2,...,20;
(8)
А2т0,к (х, *) = £ м:+^ехр(ампзхУ\\ ...I , к = 1,2,...,21, т = 1,2,...,20. (9)
21
п=1
ч 0 У акп
Изучение граничных условий (2)
Подставляя формулы (5) в граничные условия (2), получаем:
(2) 21
у(хп, *)= 0(=)Х Ск • ук (хп, *)= 0(п = 1,2.....21).
к=1
(10)
Система (10) представляет собой систему из 21 однородного линейного уравнения с 21 неизвестными C1,C2,...,С21 . По методу Крамера, такая система имеет ненулевые
решения
(С2 + С2 + ... + С221 * 0)
^ 01 только в том случае, когда её определитель равен нулю.
Поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1) - (2) - (3) имеет следующий вид:
I (* ) =
у ^ *) у 2 ^ * )
у^ *) у 2 (х2 , *)
у1 (х20 , * ) У 2 (х20 , * )
у1 (х21, *) у2 (х21, *)
у20 (X1, *) у21 (X1, *)
у20 (х2 , *) У 21 (х2 , *)
У 20 (х20 , *) У 21 (х20 , *)
у20 (х21, *) у21 (х21, *)
= 0.
(11)
Используя формулы (6) - (9), уравнение (11) можно переписать в виде
Ь11 (*) Ь12 (*) ... Ь1,20 (*) Ь1,21 (*)
Ь21 ) Ь22 ) ... Ь2,20 ) Ь2,21 )
I (* ) =
Ь21,1 ) Ь21,2 ) ... Ь21,20 ) Ь21,21 )
= 0,
К )= ехр(ампхк*)-
А20,п(хк,*)+ оГ_1_ |;к,п = 1,2,..,21.
21 • а20 20
(12)
(13)
Раскладывая определитель I(*) из (12) по столбцам на сумму определителей, получаем:
/ ) = /о )-основное приближение имеет вид
21 • а20 • ^20
•£ /2о,к (*) + ] = о
к=1 V5 у
при этом
/11 /21
/о (^ ) =
/12 /22
/20,1 ./2 /21,1 /2
20,2 21,2
/1,20 /2,20
/ 20,20 /21,20
/1,21 /2,21
/20,21 /21,21
/0 (5 )=0,
ехр(а^ х15) ехр^2х^) exp(аw1x25) exp(аw2x25)
ехр(й^0 х15) exp(аw20 х2 5)
exp(аw21x15 exp(аw21x25)
(15) )
eXP(аW20X205) eXP(аW21X205
exp(аw1x20 5) exp(аw2 х205) exp(аw1x215) exp(аw2x215) exp(аw20x215) exp(аw21x215)
(16)
определители /20к(5)(к = 1,2,...,21) из (14) получаются из определителя /0(5) из (16)
заменой к -го столбца на столбец (^20,к (х1, 5); А20,к (х2 , 5);..; А20,к (х20 , 5); А20,к (х21, 5)} .
Формула (16) показывает, что между элементами exp(аwnxks) и /кп (5), а также
между exp(аwnxks) и элементами Ькп(5) из (12) - (13) существует взаимно-однозначное
соответствие.
Из (16) имеем:
/0 (5 ) = •/П/22/33..../20,20 /21 ,21 /11/22/33.../19,19/20,21 /21 ,20 1 •••
= exp(а5(w1x1 + w2 х2 + w3 х3 +... + w19 х19 + w20 х20 + w21x21))- exp(а5 х (17)
X {^х1 + w2х2 + ^х3 + ... + ^9х19 + W21 х20 + w2ох21)) - ... = °
т. е.
/0 (5 ) = £ exp(а5 • ЫУк )•(- = 0,
Ук
где ук - перестановок всевозможные чисел {1,2,...,21}, Ьк - знак этой перестановки,
МП = W1 • ^ + W2 ^ ^2 + ^ ^ х/3 + ... + ^0 ^ ^20 + ^ ^ .
Учитывая формулы (4), Мп из (19) принимает вид:
Мп = 1 • хг, +(А2 + ^2 )• ху2 + (А + ^3 )• хг3 + (А + ^4 ^ ^ + ... + (А - ^4 ^ ^ +
+
2
(А - Я, )• хГ20 + (А - 1Я2 )• х^ = Re(мrk)+1 • 1ш(мГк), ^ ^ (1,2,...,21),
^к )= 1 • \ + А2 (хГ2 + ^ )+ А (хГ3 + хГ20 )+ А ^ + ^9 )+ ... + А к + ^4 ) +
+ А10 (хП0 + хП3 ) + А11 (хги + хП2 );1 > А > А > А4 > ... > А9 > А10 > А11 > -1,
(18)
(19)
(20)
1ШК )= 1 • хП + К2 (хГ2 - ^ )+ К3 (хГ3 - хГ20 )+ К4 (хГ4 - хП9 )+ ... + ^ - хП4 ) + + К10 (хП0 - хП3 )+ К11 (хг11 - хП2 ) 22
Изучение индикаторной диаграммы
Чтобы найти асимптотику корней уравнений (11), (12) - (13), (14), сначала надо решить уравнение (15), где /0 (5) определено в (16), а для этого необходимо изучить
индикаторную диаграмму (см. [17, глава 12]) этого уравнения. Для изучения индикаторной диаграммы необходимо подробно изучить уравнения (17) - (19), т.е. поведение чисел Мп
из (20) и Ке(м^), 1ш(м^) из (21) - (22). Начнём с ответа на вопрос: когда достигается
шах(Яе(МЛ)) ?
Из (21) следует, что это происходит в следующем случае: хп= т21 'п = 1' п ; х/2 , х?г1 равны т20 • ж или т19 • ж ; х , х равны т18 • п или т17 • п ; хи , х равны т16 • п или т15 • п ;...; хг , х равны т6 • ж или т5 • ж; х , х равны т4 п или т3 п;х , х равны т2 п или т1 п = 0.
11 12 (23)
Из (23) следует, что на вертикальном отрезке [ВХВ2] индикаторной диаграммы уравнения (15) расположены 210 точек Д, Д,...,Д024 (при этом А1 = В1, Д024 = В2),
координаты которых определяются соотношениями (20) - (22) и по которым в силу соотношений (17) - (19) определяются соответствующие им элементы определителей (16) и (12) - (13). Из общей теории (см. [17, глава 12]) следует, что отрезку [В1В2 ] соответствует сектор 1) бесконечно малого раствора, биссектрисой которого является серединный перпендикуляр к отрезку [ВХВ2], и корни уравнений (15) - (16) и (12) - (13) могут находиться только в секторе 1), на асимптотику корней влияют только точки Д, А2,.., Д024 отрезка [ВХВ2]. Настойчивое исследование точек Д,А2,..,Д024 из (23) показало, что уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1) - (2) - (3) в секторе 1) имеет следующий вид:
= Ъх,п • Ь2,12 • ¿3,Ю • Ь4,13 • Ь5,9 • Ь6,14 • (...)• Ъ17,3 • Ъ18,20 • Ъ19,2 • Ъ20,21 • Ъ21,1 — — Ъ1,12 • Ъ2,11 • Ъ3,10 • Ъ4,13 • Ъ5,9 • Ъ6,14 • Ъ17,3 • Ъ18,20 • Ъ19,2 • Ъ20,21 • Ъ21,1 + (24)
17,3 • Ъ18,20 • Ъ19,2 • Ъ20,21 • Ъ21,1
., ., ., ., ., .. ъ •Ъ •Ъ •Ъ •Ъ
1,11 2,12 "3,13 4,10 5,9 "6,14 V"/ "17,3 "18,20 "19,2 "20,21 "21,1
+ Ъ1,12 • Ъ2,11 • Ъ3,13 • Ъ4,10 • Ъ5,9 • Ъ6,14 • Ъ17,3 • Ъ18,20 • Ъ19,2 • Ъ20,21 • Ъ21,1
— Ъ •( )• Ъ • . + = 0
1,11 2,12 3,13 4,10 5,9 6,14 17,3 18,20 19,2 20,21 21,1
Основное приближение уравнения (24) имеет корень кратности десять, поэтому возможен «эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений», рассмотренный в статьях [9] и [15].
Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1) - (2) - (3) в секторе_ 1) индикаторной диаграммы имеет следующий вид:
а(»)=
Ъ1,11 Ъ1,12 Ъ3,10 Ъ3,13 Ъ5,9 Ъ5,14 Ъ17,3 Ъ17,20 Ъ19,2 Ъ19,21
Ъ2,11 Ъ2,12 1,1 Ъ4,10 Ъ4,13 1,2 Ъ6,9 Ъ6,14 ч-г 1,3 Ъ18,3 Ъ18,20 1,9 Ъ20,2 Ъ20,21
• Ъ21, 1 0, Ъ21, 1 Ъ21,22,
т. к. мы ввели обозначение
Ътп = Ът,п + 21, m, П
е{1,2,...,21).
(25)
(26)
Исследования индикаторной диаграммы показали, что в секторах 3) и 5) уравнения на собственные значения имеют вид:
& й =
Ъ1,12 Ъ1,13 Ъ3,11 Ъ3,14 Ъ5,10 Ъ5,15 Ъ17,4 Ъ17,21 Ъ19,3 Ъ19,22
Ъ2,12 Ъ2,13 3,1 Ъ4,11 Ъ4,14 3,2 Ъ6,10 Ъ6,15 чг 3,3 Ъ18,4 Ъ18,21 3,9 Ъ20,3 Ъ20,22
• .21,2 = 0, (27)
1,10
3,10
причём Ь21, 2 ф 0 в силу формул (16) и (12) - (13), 85 (5) =
Ь1,13 Ь1,14 Ь3,12 Ь3,15 Ь5,11 Ь5,16 Ь17,5 Ь17,22 Ь19,4 Ь19,23
Ь2,13 Ь2,14 5,1 Ь4,12 Ь4,15 5,2 Ь6,11 Ь6,16 5,3 Ь18,5 Ь18,22 5,9 Ь20,4 Ь20,23
• Ьг1,24 = 0, (28)
5,10
при этом Ь2124 = Ь21,3 Ф 0 .
Обобщая исследования при получении уравнений (25) - (28), приходим к выводу, что справедливо утверждение.
Теорема 4. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1) - (2) - (3) в нечётных секторах индикаторной диаграммы имеет следующий вид:
8 2 ,-1 (5 ) =
Ь1,10+ р Ь1, 11+ р Ь2,10+ р Ь2,11+р
2 р-1,1
Ь3,9+р Ь3,12+ р Ь4,9+ р Ь4,12+ р
2 р -1, 2
Ь5,8+р Ь5,13+р Ь6,8+ р Ь6,13+р
2 р -1,3
Ь17, р+2 Ь17, р-2 Ь19, р+1 Ь19, р-1
Ь18, р+2 Ь18, р-2 2 р -1,9 Ь20, р+1 Ь20, р-1 2 р-1,10
(29)
• Ь2 р-1,11 = 0,
где (2р -1) - номер сектора индикаторной диаграммы, р = 1,2,3,...,21; Ь21,р Ф 0 . Из (29) мы видим, что
10
82р-1 (5) = Ь21,р • П 82р-1,п (5) = 0; Ь21,р Ф 0,
п=1
8 2 р—1, п (5 ) =
2п-1,11+ р - п (5) Ь
2п-1,11 + р + п
(5)
Л5) Ь2п,11+ р + п (5)
2п,11 + р - п
= 0,
(30)
(31)
2 р -1, п
при этом (2р -1) - номер сектора, п - номер серии собственных значений в секторе (2р -1),р = 1,2,...,21,п = 1,2,...,11.
Асимптотика собственных значений
Уравнение (30) - (31) позволяет вычислить асимптотику собственных значений в нечётных секторах. Подставляя формулы (13) в (31), получаем:
82 р-1,п (5 ) = Ь2 п-1,11+р-п (5 У Ь2 п,10+р+п (5 )- Ь2п-1,10+ р+п С5}' Ь2п,11+р-п С5 ) = [eXP(аWll+р-пх2п-15)"
I -
А20,11+р-п (х2п-1, 5)
Ри • 52
)-
+о(• ^
„ » (х2п-1, 5)
\ А20,10+ р+п (х2п , 5 V А 1 р+пх2п5)--рГ50-+ 01
Р11 • 5
20
( \ ^20,10+ р+п 2п-1? ' / , eXP(аW1+р+пх2п-15 )--"---+ 0\ —
„(х2п, 5) Л 1
-I 540
[е^
аW11+р-пх2п5) -
20,1+р-п У
20
+0^,
= 0, р1 = 21а20, р = 1,2,...,21; п = 1,2,...,11.
Уравнение (32) можно переписать в виде
1
82 р-1,п ) = 82 р-1,п,0 )
Р11 • 5
20 ^ 82 р-1,п,20
(5)+о
„40
= 0,
(32)
(33)
х
1
82р-1,п,0 (5) = eXP(аW11+р-пх2п-15)• eXP(аW10+р+nX2n5)- exP(аWlо+ р+пх2п-15} eXP(аW11+ р-пх2п5), (34)
22р-1,п,20 ) = еХрЦп+р-„х2п-1*) • А20,10+p+n (х2п , *)- еХР(^^10+p+nX2п*) • А20,11+р-п (х2п-1 , *)-- ехР(а^ю+р+Пх2„^) • А20,11+Р-П(х2П, *)- еХрЦП+р_„х2„3) • А20,10+Р+П(x2n-1, *) (35)
Поделив в уравнении (33) - (35) на ехр(о^10+р+пх2п^я) ехр(о^11+р-„х2„*0 , получаем:
/2 р-1,„,20 ) А 1 ^
^ (* )= Г (*) •>2 р-1^20
J2 р-1,„^/ J2 р-\,п,0Х>) п
^
20
+ О
V ?40
= 0,
/2р-1,п,0 С*)= еХР(«(^0+ р+п - ^11+ р-П )• (х2П - х2„-1 )- 1 (при этом основное приближение имеет вид /2 р-1,„,0 )= 0),
/2р-1,„,20 ) = еХР(- ^10+ Р+„х2„-1*) • еХР(- «Wll+Р-„ (х2„ - х2„-1 >) • А20,10+ Р+„ (х2„ , *)-
- еХР(ОН'10+ р+„ (х2„ - х2„-1 ) • еХР(- «wU+ р-„х2„*) • А20,11+р-п (х2„-1, *) - еХР(- «Wll+р-„х2„*)х
~ 20,11+р-„ (х2„ , *)- еХР(- «^0+ р+„х2„-1*) • 20,10+ р+„ (x2n-1, *)
(36)
(37)
(38)
Заметим, что А20,к (х, *) определены формулами (6) - (9), при этом в секторе
(2 Р -1)
на асимптотику влияют только экспоненты, зависящие от w1
11+ Р - „ и W10+Р + „ •
11+ р-„ 2„^
А20,10+р+„ (х2„ , *) = W11+ р-„ • еХР(«Н1 , ~ хЛ ]
Г х2 „ Л
• еХР(«Н?ю+р+„х2„* ) • |...
Л
)• /...
+ w1
10+ р+„
V 0 у «,10+р+„,11+ р-„
+ «М,
V 0 у «,10+ р+„,10+р+„
(39)
Гуи.. . Л
А
20,11+ р-п V2п-
(х2„-1, * ) = W11+ р-п 'еХР(«Н'11+ р-„х2п-1* ) • } ...
+ w
10+ р+п
V 0 /«,11+ р-п ,11+ р-п
ГX... . Л
•еХР(<^10+ р+Пх2П-1*) • } ..
V 0 /«,11+ р-„,10+ р+п
+ «(1),
А.
20,11+ р - „ (х2„ , * )= W11+ р - „ -еХР(«^1+ р - „х2„* |...
+ «(1),
х2п-1
+ w1
10+ р + „
«,11+ р - „,11+р -„
. . , х2 п-1
•^Цю + р + „х2„* )-| |...
0
'«,11+р -„,10+р + „
(40)
(41)
А20,10+ р + „ (х2„-1, * )= W11+р-„ '^Р^
Г х2„-1 >
•^«^0+ р + „х2„-1* )-| |...
11+р - „х2 „- *
+ «(1)
+ w1
10+ р + „
а,10 + р + „,11+р - „
'а ,10+р + „,10+р + „
(42)
Г л 2 п-1 | / л \
Учитывая, что I |... I =1 |д((из (7)), подставим формулы (39)
(42) в (38) и проведём необходимые преобразования, получим:
0 у «,т,т ^0
f2 p-l,n,20
(s) = Min • F(- X2„-1)• G(0,X2„,N2,N1) + M2n • F^ - x^1)• G(0,X2„,N2,N2) + + Min • F(x2n - Х2П-1) • G(0, X2n-1, N1, N1) + M2n • F(x2n) • G(0, X2n-1, N1, N2) - Min x
XG(0,X2n,N1,N1)-M2n • F(X2n)• G(0,X2n,N1,N2)-Mm-(X2n -X2n-1 )• G(0,X2n-1,N2,N1)- ( ) - M2n • G(0, X2n-1, N2, N2) + 0(1), где введены обозначения
M1n = wu+p-n;M 2n = w10+p+n;F (xs )=exp(a(M 2n- M1n )• x •s); N1 = N+p - n
c
N2 = N+p = nG(^ c, k, m)=j" q(t) • exp(a(wk- wm) •s • t) • dtakm.
(44)
Асимптотику корней уравнения (36)-(44) найдём с помощью методики отыскания корней квазиполтиномов, изложенной в работах [18]-[20].
Основное приближение уравнения (36) - (38) имеет вид
/2p-1,n,0 (s)= 0(=)F(X2n - X2n-1 )= 0(=)exp(a • (M2n - M1n)xS)= 1 = exp(2^1), k £ Z(=)
(=)
2mk
k ,2 p-1, п,осн
a(M2n - M1n )(X2n - X2n-1 )
,k £ Z,
(45)
где (2р -1) - номер сектора, п - номер серии собственных значений в секторе (2р -1); р = 1,2,...,21; п = 1,2,...,11 . Поэтому справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1) - (2) - (3) в нечётных секторах индикаторной диаграммы имеет следующий вид:
s,
2П
k ,2 p-1, n
a(M2n - M1n XX2n - X2n-1)
d70k7 1 f k + ,2 p-1,n + О
k
20
k40
(46)
k £ Z,p £ {1,2,3,...,21},n £ {1,2,...,11}.
Для доказательства теоремы 5 необходимо вычислить коэффициенты ^20,к,2р-1п
(46) в явном виде.
В силу формул (44) и (46) имеем:
из
F(X2n - X2n-1 )|. = exp(a(M2n - M1n ) • (X2n - X2n-1 ) • Sk,2p-1,n )= exp(2nk)>
x exp
2П
sk ,2 p-1.
d20,k ,2 p-1, n + o\ 1
k20 П F" ,
= 1 •
1 + -
2nid
20,k,2p-1,n
k
20
+<£.
(47)
асимптотики получены, применяя формулы Маклорена.
Подставляя формулы (46) - (47) в уравнение (36) - (38), учитывая формулы (43), (44), находим, применяя формулы Тейлора:
1 + -
2nid
20,k ,2 p—1, n
k
20
+ О
k40
-1
20
a
•(M2n - Mш )20 (X2n - X2n-1 )20 1
21 • a20 • 220
2_n_2n-1 ^
_20 -20 П • i
k
20
1 + О
k
21
/
/
2 p-1,n,20
+ О
sk ,2 p-1,n
V
^TJ = 0;p = 1,2,...,21;n = 1,2,...,11;k £ Z.
(48)
Отсюда выводим, что
d
= _!. -1 (M2n - M1n )20 (X2n - X2n-1 )20 r (s)
20,k,2p-1,n 2m ' 21' 220 n20 ' i20 '/2p-1,n,2^^Sk,2p—1„.
(49)
где 5
k ,2 p-1,n,ocH
определено формулой (45).
x
1
X
Заметим, что из формул (4) следует:
М2„ - М1„ = W10+ р+п - W11+ р-п = еХР^ Щ ^ (9 + р + „Л - еХР^ ^ (10 + Р - ^Г
= еХР
2т
= еХР
--1 11 + р —
21 V 2,
2п Гц 3
--1 11 + р —
))■
Л
(
еХР
2т
Л
21
п — 2)
С
еХР
2т 21
- „ +2
)
21
2
С
• 2/ Бт
2т Г 1'
--1 п —
21 V 2 у
п = 1,2.....11.
Подставляя формулу (45) в (43) - (44) и производя необходимые преобразования, получаем:
/2 р-1, „,20 М * =(м2„ - М1п )■ ^(х2п-1, х2„ ,1,1)+ Н р-^^ ^ * ,
15к ,2 р-1,п,осн ,2 р-1,п,осн
(51)
Н 2 р-1,п,20 (* )| = Мщ ■ Р(- х2„-1 )• С(х2„-1, х2„, N2, N)-М.2п • )• ^-1, х2„, N1, N2 ). (52)
,2 р-1,п,осн
Подставляя *
к ,2 р-1,„,осн
из (45) в (52), вычисляем:
1„20 (*I = еХР, Щ N - 1)М
|5к ,2 р-1,п,осн V 21 ) V
Н2 р-1,п,20
х2п х2п-1 IрI - х2п + х2п-
- еХР| %& - ОЙ 2
х2п х2п-1 I • р( х2п + х2п-1
1]^(х2„-1, х2„, N2) 1 .
I ,Лк ,2 р-1,п,осн
Ф^, х2„, N2, N1 ) 1
I ,Лк ,2 р-1,п,ос
Из формул (45) и (44) следует, что
(53)
х2 п х2п-1
= еХР (тк) = (- 1)к
,2 п-1,п ,осн
Поэтому формулу (53) можно преобразовать к следующему более удобному виду:
Н 2 р-1
2 р-1,п,20
= (- 1)к
• еХР
2т
^Т'111+р--
(
Г л х.
■1 х2п + х2 п-1
х еХР - тк • 2п 2п 1
х2п х2п-1 ) х
I ^)
• еХР
2тк
еХР
Л
2т Г 1 п--
21
• г
V х2п - х2п-1 )
(
■ ёг - еХР
2т
21
п--
х еХР
ткх2п + х2п-1
V х2п х2п-1 ) х
-2„
Ь(г)
еХР
2тк
V х2п х2п-1 )
ёг
= (- 1)к 2 еХР[ [" + р - 3
ёг; р = 1,2,...,21; п = 1,2,...,11.
Ф_
Л2 „
фп =1 <7(г )зт
2П г - т(2п - 1) - ^п + х2п-1
21
Подставляя (54) в (52), используя (50), получаем:
/2р-1,„,20 М| * =(М2„ - М1„ )
к ,2 р-1,п,осн
л2 п
I д(г
(- 1)к
81И
т
(2„ -1) 21
•Ф.
(54)
(55)
Подставляя (55) в (49), применяя (50) и (54), выводим, что
1
2
2
2
2
х
к, 2 р-1,„,осн
1
х
2
2„-1
г
2 „-1
х2 п х2п-1
х2п х2п-1
х
2 „-1
х
2и-1
d
20, к ,2 р-1,п
_ 1 1 {Ы2п - М,„ )21 (Х2„ - Х2„-1
2т 21
_ 1 1 (х2п Х2п-1)
2т 21
20 20 2 • п
20 20 2 • п
■(-1)10
(-1)10
л2 п
| Ж ^а11
+ -
(- 1)к
81И
21
Ф,
п(2п -1)Л 1
( (
ехр
V V
2П (лл 3
--1 11+ р--
21 V 2
• 221 • 121 х
81И
(2п -1)
21
21
•[••1
Из (56) находим (
20,к ,2 р-1, п
в явном виде, что завершает доказательство теоремы 5:
20,к ,2 р-1,п
1,п =(- 1)
11 (х2п - Х2п-1)
( Г
21т2
81П
V V
п
(2п -1)^
21
л2п
| Ж (а11
к
+ -
81П
V
(-1)
п(2п -21
7
(57)
2 п
х2п-1
2пк
4 -п(2п - 1) -ткХ2п + Х2п-1
Х2п Х2п-1
21
Х2п Х2п-1
; к е N; р = 1,2,...,21; п = 1,2,..,11,
причём в этой формуле (2р -1) - номер сектора, п - номер серии собственных значений в секторе (2 р -1).
Применяя (50), формулу (46) можно переписать в следующем виде:
к ,2 р-1,п
П
а
ехр
2П (лл 3»
--11 + р--
21 V 2
(х2п - Х2п-1 ^П
т
(2п -1) 21
к + -
20,к ,2 р—1, п к5
+о
к40
(58)
причём коэффициенты (20,к,2р- 1,п определены в (57).
Исследование индикаторной диаграммы уравнений (11) - (13) и (16) - (18) с помощью формул (19) - (22) привело к доказательству следующей теоремы.
Теорема 6. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1) - (2) - (3) в секторе 2) имеет вид:
К ^ ) = ь
1,12
Ь2,11 Ь2,13 Ь4,10 Ь4,14 Ь6,9 Ь6,15 Ь18,3 Ь18,21 Ь20,2 Ь 20,22
Ь3,11 Ь3,13 2,1 Ь5,10 Ь5,14 2,2 Ь7,9 Ь7,15 2,3 Ь19,3 Ь19,21 2,9 Ь21,2 Ь21,22
= 0, (59)
причём Ь20,22 = Ь201, Ь21,22 = Ь2и , в силу обозначений (26).
Аналогичным образом доказывается, что в секторах 4) и б) уравнение на собственные значения имеет вид:
К4 ^ )= ъц
К) = Ьц
Ь2,12 Ь2,14 Ь4,11 Ь4,15 Ь6,10 Ь6,16 Ь18,4 Ь18,22 Ь20,3 Ь20,23
Ь3,12 Ь3,14 4,1 Ь5,11 Ь5,15 4,2 Ь7,10 Ь7,16 4,3 Ь19,4 Ь19,22 4,9 Ь21,3 Ь21,23
Ь2,13 Ь2,15 Ь4,12 Ь4,16 Ь6,11 Ь6,17 Ь18,5 Ь18,23 Ь20,4 Ь20,24
Ь3,13 Ь3,15 6,1 Ь5,12 Ь5,16 6,2 Ь7,11 Ь7,17 Ч--Г 6,3 Ь19,5 Ь19,23 6,9 Ь21,4 Ь21,24
= 0, (60)
= 0. (61)
6,10
Обобщая формулы (59) - (61), получаем следующее утверждение. Теорема 7. В чётных секторах индикаторной диаграммы уравнения на собственные значения имеет вид:
Х
2 п—1
21
X
21
X
X
2 п-1
х
2,10
4,10
h2 p (S )= ¿1,11+p (S )
b18,p+2 Ъ18,20+ p b19,p+2 b19,20+p
b2,10+p Ъ2,12+ p Ъ3,10+ p Ъ3,12+ p
2 p ,1
Ъ4,9+p b4,13+p Ъ5,9+ p Ъ5,13+ p
2 p ,2
Ъ6,8+p Ъ6,14+ p Ъ7,8+p Ъ7,14+ p
2 p ,3
2 p,9
Ъ20, p+1 Ъ20,21+p Ъ21, p+1 Ъ21,21+p
= 0,
2 p ,10
Уравнение (62) можно переписать в виде
10
h2p (s) = ¿1,11+p (s)Пhp,n(s)= 0, ¿1,11+p (s0,
h2pn (s) =
n=1
b2n,11+p-n (s) b2n,11+ p+n (s)
2n+1,11+p-n
(s) b2n+1,11+p+n (s)
= 0,
(63)
(64)
2 p,n
(2 р)) - номер сектора, „ - номер серии собственных значений в секторе 2р); р = 1,2,...,21 п = 1,2,...,10 .
Воспользовавшись формулами (12) - (13), из (63) - (64) имеем:
h2p,n (s) = ¿2n,11+ p-n (s) ■ b2n+1,11+ p+n (s) - b2n,11+p+n (s) ■ Ъ2п+1,11+ p-n (s) = [еХр(а(^п+p+n - w11+ p-n )
■(*2n+1 - X2n )s)- 1]-
h
2 p,n,20
(s)+cTi 1 = 0,
(65)
P11 ■ s02 4 s40
h
(s J = explflW^ „ (x2n+1 - x2n )s} exp(- ЙИ-11+ p+nx2ns} A20,11+p+n (x2n+1, s) +
i
20,
2p,n,20 (s) = eXP(aW11+p-n (x2n+1 - X2n И eXP(" + exp(- OWu+p+nx2n+1s } exP(aW11+p+n (x2 n+1 - X2n )s } A20,11+p-n (x2 n, s)- (66)
- exp(- OWu+p-nX2n+1s} A20,11+p-n (x2n+^ s)-eXP(- aW11+p+nX2ns} 20,11+p+n \X2n, s)•
Используя формулы (6) - (9), аналогично формулам (36) - (38), (39) - (42) и (43) -(44) получаем:
h2pn,20(s) = Мщ ■ F1 (-x2„)■ G(0,x2„+1,N3,N1)+М3П ■ F(x2„+1 - x2„)■ G(0,x2„+1,N3,N3)+ +Мщ ■ F^ -x2„)■ G(0,x2„,N1,N1)+M3„F1(x2n+1 )G(0,x2„,N1,N3)-Мыв(0,x^,N1,N1)- (67) -M3„ ■ F1 (x2n+1 )■ G(0,x2n+1,N1,N3)-Мы ■ F(- x2„)■ G(0,x2„,N3,N1)-M3„G(0,x2„,N3,N3),
N1 = 11 + p - n N3 = 11 + p + nМ1п = W11 + p-n ,М3п = W11 + p+n ,
c
F1 (x, s) = exp(a ■ (М3п - М1п )sx), G(b c, к, m) = Jq(t)exp(a(wk - Wm )st)dtakm •
Основное приближения уравнения (65) - (68) имеет вид
F (x2n+1 - x2n »= 0( =
) = 0(=)exp(a(w1 2nik
aW 1 + p+n - W11+ p- J4x2n+1 - x2n ^ = 1 =
^p,n,°C" a(M3n - Мщ)■ (x2n+1 - x2n)'
11 + p-n Mx
к e Z •
)s )= 1 = exp(2nik )(=)
(68)
(69)
Поэтому верно следующее утверждение.
Теорема 8. Асимптотика собственного значений в чётных секторах индикаторной диаграммы имеет следующий вид:
s
2т
к ,2 p,n
a(M3n - M1n Xx2n+1 - x2n )
d™ n ( 1 ^
к + 20,k^2p,n + c 1
к
20
к 40 vк J
(70)
x
d
_ (X2n+\ X2n )
20, k ,2 p, n
-2 n+1
J q(t)sin
21
2nk
п
f Г 2nn
sin I
V V 21, V
21
X2 n+1 X2n
21
-2 n+1
J q(t )dtaU
+ ■
(- 1)k
sin
2nn
IT,
t _ 2ЛП n X2n+1 + X2n
X2n+1 X2n
dt„ ,,k e Ж;p = 1,2,..,21;n = 1,2,..,10.
Для доказательства формул (70) - (71) теоремы 8 заметим вначале, что в силу формул (4) имеем:
M3n _ M1n = w11+p+n _ w11+p_n = expl Щ- (10 + p + n)j _ expl (10 + p _ n)l =
= expf (10 + pЛ^2i • 4 ^f
(72)
Подставляя формулы (69) - (70 и (72) в (65) - (68), аналогично формулам (33) - (58) получаем доказательство формул (70) - (71) теоремы 8. В силу формулы (72) из (70) имеем:
ехр(- ^ -(10 + р)]
5,
k ,2 p ,n
п a
21
1
X2n+1 X2n
Sinl
2nn 21
k + ^ + d £
(73)
Формулы (57) - (58) и (71), (73) показывают, что при условии х2п ^ х2и+1 ( или при условии х2и-1 ^ х2п) (при П ^ да ) нельзя определить асимптотику собственных значений (в силу (2) краевая задача недоопределена).
Список литературы References
1. Покорный Ю.В. 1968. О некоторых оценках функции Грина многоточечной краевой задачи. Математические заметки, 4(5): 533-540.
Pokornyi Yu. V. 1968. On some estimates of the Green's function of a multipoint boundary problem. Mathematical notes, 4 (5): 533-540.
2. Покорный Ю.В., Лазарев К.П. 1987. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач. Дифференц. уравнения, 23(4): 658-670. Pokornyi Yu.V., Lazarev K.P. 1987. Some oscillation theorems for multipoint problems. Different. Equations, 23 (4): 658-670.
3. Покорный Ю.В., Шурупова И.Ю. 1989. О функции Грина квазиинтерполяционной многоточечной задачи. Известия вузов. Математика. № 9: 46-52.
Pokornyi Yu.V., Shurupova I. 1989. Yu. About the Green's function of quasiinterpolation multipoint problem. News of universities. Mathematics, iss. 9: 46-52.
4. Белабасси Ю. 1981. Регуляризованный след многоточечной задачи // Вестник Московского университета. Серия: математика, механика, № 2: 35-41.
Belabassi Yu. 1981. A regularized trace of a multipoint problem // Bulletin of the Moscow University. Series: mathematics, mechanics, iss. 2: 35-41.
5. Винокуров В.А., Садовничий В.А. 2000. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма—Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом. Известия РАН. Серия: математика, 64(4): 47-108.
Vinokurov V.A., Sadovnichii V. A. 2000. Asymptotics of any order for the eigenvalues and eigenfunctions of the boundary value Sturm-Liouville problem on a segment with a summable potential. Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Series: Mathematics, 64(4): 47-108.
1
x
X
X
X
6. Митрохин С.И. 1986. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами. Вестник МГУ. Сер.: математика, механика, № 6: 3-6.
Mitrokhin S.I. 1986. About formulas of regularized traces for differential operators of the second order with discontinuous coefficients. Vestnik MGU. Series: Mathematics, mechanics, iss. 6: 3-6.
7. Митрохин С.И. 1992. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами. Дифференциальные уравнения, 28(3): 530-532.
Mitrokhin S. I. 1992. About spectral properties of differential operators with discontinuous coefficients. Differential equations, 28(3): 530-532.
8. Митрохин С.И. 1997. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией. Доклады РАН, 356(1): 13-15.
Mitrokhin S.I. 1997. About some spectral properties of differential operators of the second order with discontinuous weight function. Reports of the Russian Academy of Sciences, 356 (1): 13-15.
9. Митрохин С.И. 1997. О «расщеплении» кратных в главном собственных значений краевых задач. Известия ВУЗов. Серия: математика, 418 (3): 38-43.
Mitrokhin S. I. 1997. About "splitting" in the main multiple eigenvalues of boundary value problems. Proceedings of the universities. Series: Mathematics, 418 (3): 38-43.
10. Митрохин С.И. 2009. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами. Вестник Московского университета. Серия: математика, механика, № 3: 14-17.
Mitrokhin S.I. 2009. Asymptotics of the eigenvalues of the differential operator of the fourth order with summable coefficients. Vestnik MGU. Series: Mathematics, mechanics, iss. 3: 14-17.
11. Митрохин С.И. 2011. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом. Уфимский математический журнал, 3 (4): 95-115.
Mitrokhin S.I. 2011. About spectral properties of one differential operator with summable coefficients with a retarded argument. Ufa mathematical Journal, 3 (4): 95-115.
12. Савчук А.М., Шкаликов А.А. 1999. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами. Математические заметки, 66 (6): 897-912.
Savchuk A.M., Shkalikov A. A. 1999. Sturm-Liouville operators with singular potentials. Math. Notes, 66 (6): 741-753.
13. Савчук А.М., Шкаликов А.А. 2003. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями. Труды ММО, 64:159-212.
Savchuk A.M., Shkalikov A.A. 2003. Sturm-Liouville operators with distribution potentials. Trans. Moscow Math. Soc., 64: 143-192.
14. Митрохин С.И. 2016. О спектральных свойствах семейства дифференциальных операторов высокого чётного порядка с суммируемым потенциалом. Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика, № 4: 121-135.
Mitrokhin S.I. 2016. About spectral properties of a family of differential operators of high even order with summable potential. Vestnik VSU. Series: Mathematics. Physics, no. 4: 121-135.
15. Митрохин С.И. 2017. Многоточечные дифференциальные операторы: «расщепление» кратных в главном собственных значений. Известия Саратов. Ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 17(1): 5-18.
Mitrokhin S.I. 2017. Multipoint differential operators: "splitting" of the multiple in main eigenvalues. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 17(1): 5-18.
16. Наймарк М.А. 1969. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 528.
Naimark M.A. 1969. Linear differential operators. Moscow: Nauka, 528.
17. Беллман Р., Кук К. Л. 1967. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 548.
Bellman R., Cooke K.L. 1967. Differential-difference equations. Moscow: Mir, 548.
18. Лидский В.Б., Садовничий В.А. 1968. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций. Математический сборник, 65(4): 558-566.
Lidskyi B.V., Sadovnichy V.A. 1968. Asymptotic formulas for the roots of one class of the entire functions, Mathematical collection, 65 (4): 558-566.
19. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Белабасси Ю. 1980. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса. Доклады АН СССР, 254(6): 1346-1348.
Sadovnichiy V.A., Lyubishkin V.A., Belabassi Yu. 1980. About regularized sums of the roots of the entire function of one class. Reports of the Academy of Sciences of the USSR, 254(6): 1346-1348.
20. Садовничий В.А. 1967. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков. Математический сборник, 72(2): 293-310.
Sadovnichy V.A. On the traces of ordinary differential operators of the higher orders. Mathematical collection. 1967, vol. 72, iss. 2, pp. 293-310.
