О СПЕКТРЕ СЕМЕЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОТЕНЦИАЛЫ КОТОРЫХ СХОДЯТСЯ К ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 517.9

DOI 10.24147/1812-3996.2021.26(1).7-15

О СПЕКТРЕ СЕМЕЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОТЕНЦИАЛЫ КОТОРЫХ СХОДЯТСЯ К ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА

С. И. Митрохин

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия

Информация о статье

Дата поступления

08.09.2020

Дата принятия в печать

18.01.2021

Дата онлайн-размещения 26.04.2021

Ключевые слова

Асимптотика решений дифференциального уравнения, дифференциальный оператор, дельта-функция Дирака, суммируемый потенциал, асимптотика спектра, собственные значения

Аннотация. Изучено семейство дифференциальных операторов шестого порядка, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака. Исследован один из видов разделенных граничных условий. Для корректного определения решений соответствующих дифференциальных уравнений в точках разрыва потенциала требуется выполнение условий «склейки». Методом Наймарка при больших значениях спектрального параметра выписаны асимптотические решения дифференциальных уравнений, задающих изучаемые дифференциальные операторы. С помощью этих решений изучены условия «склейки», исследованы граничные условия, получено уравнение на собственные значения рассматриваемого дифференциального оператора. Асимптотика спектра изучаемых дифференциальных операторов найдена методом последовательных приближений, предел этой асимптотики задает спектр оператора с потенциалом дельта-функцией.

ON THE SPECTRUM OF A FAMILY OF DIFFERENTIAL OPERATORS, WHOSE POTENTIALS CONVERGE TO THE DIRAC DELTA FUNCTION

S. I. Mitrokhin

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia

Article info

Received

08.09.2020

Accepted

18.01.2021

Available online 26.04.2021

Keywords

Asymptotics of solutions of a differential equation, differential operator, Dirac delta function, summable potential, asymptotics of the spectrum, eigenvalues

Abstract. A family of sixth-order differential operators whose potentials converge to the Dirac delta function is studied. One of the types of separated boundary conditions is investigated. To correctly determine the solutions of the corresponding differential equations at the points of discontinuity of the potential, it is necessary to fulfill the conditions of "gluing". Using the Naimark method, for large values of the spectral parameter, asymptotic solutions of differential equations that define the studied differential operators are written out. With the help of these solutions, the conditions of "gluing" are studied, the boundary conditions are investigated, an equation for the eigenvalues of the differential operator under consideration is obtained. The asymptotics of the spectrum of the studied differential operators are found by the method of successive approximations, the limit of this asymptotic sets the spectrum of the operator with the potential delta function.

7

Herald of Omsk University

2021, vol. 26, no. 1, pp. 7-15

Вестник Омского университета

2021. Т. 26, № 1. С. 7-15

ISSN 1812-3996

1.Введение

Изучим свойства спектра семейства дифференциальных операторов, задаваемых дифференциал ь-ными уравнениями

уГП (*) + Чш (x) Ут (x) = Х°6Ут (x) ,

0 < x < xln ,a > 0;

(1)

y(S (x) + Qln (x) У2П (x) = ^У2П (x) >

Xl„ < x < x2n / xin < x0 < x2n /

(2)

yS(x) + Чзп (x) У3n (x)=^a6y3n (x) ,2n < x <я; (3)

при этом на потенциал

Q (x)=(qin (x); 42n (x); Ъп (x))

накладываются следующие условия:

4in (x) = 0,x e [0;xin );q3n (x) = x £ (x2n;я];

q2n (x )e Li [ xin;

■2n ]«

j 42n (t )dt

V

Jx

42n (x) PP

нэ

[xin;x2n]; |im Q2n (x)=0; |im„ q2n (x) = +»;

x^xm +0

(4)

x2n

lim 42n (x) = +»; lim q2n (x) = 0; j q2n (t)dt = i;

x^xo +0 v 7 x^x2n -0 47 J 47

xin

в точках разрыва коэффициентов требуются следующие условия «склейки»:

Уш (xi n- 0) = У2п (xi n + 0);

yt"] (xin - 0) = y2n] (xin + 0), m =i,2x --V 5;

У2п (x2n - 0) = Узп (x2n + 0);

y2mn ] (x2n - 0) = уЗП] (x2n + 0) , m = i,2x 5;

с разделенными граничными условиями вида

yin1 > (0) = yim} (0) =... = yi? > (0) = y3n > (я) =

(5)

(6)

=y Чя) = y Чя) = 0. (7)

Из условия (4) следуют предельные соотношения lim q (x) =S(x- x), поэтому предел спектра

оператора (1)-(7) при n будет совпадать со

спектром дифференциального оператора

yf ’ (х) + 5 (х - х0) у„ (х) = ^о6 у„ (х), 0 < х < л,

0<х0<тг, У„(х) = (у1п(х);у2„(х);уз„(х)) с граничными условиями вида (7).

2. Исторический обзор

Дифференциальные операторы второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами или кусочно-гладкой весовой функцией изучаются уже несколько последних десятилетий (см.: [1-4]). Необхо-

димость условий «склейки» или условия «сопряжения» в точках разрыва потенциала или весовой функции показана в монографии [5, гл. 3].

Спектральные свойства операторов второго порядка с суммируемым или сингулярным потенциалом изучались в работах [6; 7]. Для дифференциальных операторов порядка выше второго с суммируемыми коэффициентами теория изучения спектральных свойств разрабатывалась автором в работах [8-11].

В работах [12; 13] был вычислен первый регу-ляризованный след для оператора второго порядка с потенциалом, содержащим дельта-функцию. Наша идея - изучить семейство операторов порядка выше второго с кусочно-суммируемыми потенциалами, которые бесконечно близко приближают дельта-функцию. Пределом асимптотики собственных значений такого семейства операторов будет асимптотика собственных значений оператора, потенциалом которого является дельта-функция Дирака.

3. Асимптотика решений дифференциальных уравнений (1)-(3) при

Пусть Х = 56, s = ^Х, при этом выберем ту ветвь арифметического корня, для которой = +i. Обозначим через wk(k = i,2,...,6) корни

шестой степени из единицы:

^(k-i)

w6 = i, w = e 6 , k = i, 2,..., 6;

2f ffя

w = i; W = e 6 = cos — + i sin —

г 2 13 J l 3

1 л/з . n

= —I-----i = z Ф 0;

2 2

(8)

4 я/

W3 = e 6 = z2;...; Точки wk (k = i, 2,

wm = zmi, m = i, 2,..., 6.

..,6) из (8) делят единичную

окружность на шесть равных частей и для них справедливы свойства:

6

Ywm = 0,m = i,2,..., 5;

k=0

6

Ywm = 0, m = 2,3,..., 6; (9)

k=0

6

^ wm = 6, m = 0, m = 6.

k=i

Методом работ [9; 14] и монографии [15, гл. 2] доказывается следующая теорема.

8

Herald of Omsk University

2021, vol. 26, no. 1, pp. 7-15

ISSN 1812-3996

Вестник Омского университета

2021. Т. 26, № 1. С. 7-15

Теорема 1. Общее решение дифференциальных уравнений (1)-(3) представляется в следующем виде:

Ут (x;s ЬЕ^ь (x;s);

k=1

6

y1m ] (x;s )=Ес1кУи,!(x;s)

m = 1,2,..., 5;0 < x < ;

yUn (x; s) = e™ksx;

y1m„)( x; s ) = (awks )mewx, m = 1,2,..., 5; к = 1,2,..., 6; 0 < x < xb

6

У2П (x;s ) = Ес2кУ2кп (x;s);

k=1

6

(10)

(11)

y 2 kn (x;s ) =

6a s

+ O

y2m}(x; s ) = =EC2ky2kn)(x;s), k=1

m = 1,2,... , 5; x1 n < x < x2n,

\ awksx 7 =e -

6 x

X-' awnsx Ewne Г /,\ a(wk-wp )st J 92 (t) e( k n ' dta

n=1 x1n

(12)

akp

f limslax Л

e 1

(13)

v

k = 1,2,...,6; xin < x < x2n,

y2m>(x; s) = (awks)m eaWksx -

Л 6 X

1 X-' ( \m awnsx С a(w-wn )st

TJ Lwn (awns) e n J 92 (t )e(k n ' dtakn +

6a s

+ O

f lims|ax Л

e 1

10-m

vs J

(14)

k = 1,2,..., 6; m = 1,2,..., 5; xk <x<x2n;

6

y 3n (x;s ) = SC3kyskn (x;s);

k=1

6

yt ](x;s )=ZC3ky<smn)(x;s); (15)

m = 1,2,..., 5; x2n < x < n;

y3kn (x; s) = eaWkSX;

у№( x: s ) = (awks )meawksx; (16)

k = 1,2,..., 6; m = 1,2,..., 5; x2n < x <n.

В формулах (10), (12), (15) величины

Clk,C2k,Сък (k = 1,2,..., 6) - произвольные постоянные, при этом справедливы следующие начальные условия:

y1kn (°;s) =1; y1m,) (0;s)=(awks )m;

у2kn (x1n;s) =eawksx1 n; y2kn (xm;s)=(awks) e'

m „.aw^sx,,. о k ln •

; (17)

y 3kn (x2n;s)=eawksx2 n; УзП (x2n;s)=(awks )m ea"ks"2n;

k = 1,2,..., 6; m = 1,2,...,5.

4. Изучение условий «склейки»(5)

Из условий склейки (5) с помощью формул (10) и (12) получаем:

(5)

У2п (xm + °;s )=Ут (xm - °;s)«•

6 6

«■ Е C2ky2kn (x1n + °;s) =Е C1ky1kn (x1n- °;s);

k=1 k=1

y2m \ xn + °; s)«y1m>(x1n - °; s)

(18)

(as)m (as)"

-»

(19)

y2kn)(x1n + °;s) у1ь(x1n-°;s)

k=1 (as) k=1 (as)

m = 1,2,...,5.

Определитель системы (18)-(19) не равен нулю, поэтому она имеет единственное решение:

Д„.

C =-

21 Д°2П М* °;

r Д22п . . f Д26п

C22 Д / 4;...; C26 °2n (x;s) Д°2п (x;s)'

°2n (x;s ) =

y 21n (x;s) y22n (x;s) . . У26П (x;s)

y21n (x;s) y22n (x;s) У26П (x;s)

as as as

у21П (x;s) у22П (x;s) У2И (x;s)

(as )5 (as )5 (as )5

(21)

(20)

*°,

определители Д2кп из (20) получаются из определителя Д02„(xln;s) из (21) заменой k-го столбца на столбец:

f 6

EC1ky1kn (x1n - °; s);

ЕЕ C1

k=1

6

ЕЕ c

y1kn (x1n- °;s).

as

(22)

уГ2( x1n- °;s)

1 1k (as)

k=1

p=1

x

in

k=1

k=1

5

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9

Herald of Omsk University

2021, vol. 26, no. 1, pp. 7-15

Вестник Омского университета

2021. Т. 26, № 1. С. 7-15

ISSN 1812-3996

Определитель Л02п( х; s) из (21) является определителем Вронского фундаментальной системы решений |y2to (х;s)} линейного дифференциаль-

ного уравнения (2), поэтому он не равен нулю и не зависит от х. В силу формул (13)-(14) и (9), (17) имеем:

Л02п (Х;S ) = Л02п (S ) = Л02п (X1n ; S) =

= detwr [ у 2in (х;s );у22„ (х;s );•••; V26„ (х;s)] = (23)

= Л00 * 0

где Л00 - определитель Вандермонда чисел W (к = I,2 6):

Л00 = detWandermond's (w2 ,w2 ,• •,w6 ) =

1 1 1 ••• 1 1

W w2 w3 ••• w5 w6

= w\ w\ w ••• w2 w62 = (24)

w5 w5 w5 ••• w5 w6

П к > m; к, m = 1,2, •••,6 E £ 1 •JC о о <1 II * 0^

Подставляя формулы (22), (11) в (20)-(21), ис-

пользуя свойства определителей, выводим следующие формулы:

Л21п = Л00^11' Л22п = Л00^12' •"' Л26п = Л00^16‘ (25)

5. Изучение условий «склейки»(6)

Подставляя в условия «склейки» (6) формулы (15) и (12), получаем:

(6)

Уз„ (Х2п + 0; s) = У2n (X2n - 0;s)«•

6 6

«■ Z сзкУзкп (X2n + 0;s) = Z C2kV2kn (X2n- °;s);

к=1 к=1

У3:>(Х1П + 0;S)«у2:>(Х2П -0;s)

(26)

(asf (as)

у3ь (X2n + °;s)

■»

Z C

k=1 (°s)"

m = 1,2, •••,5.

= Z C, ,у2'-(х---0 s ) ,(27)

k=1 (as)

Определитель системы (26)-(27) не равен нулю, поэтому система (26)-(27) имеет единственное решение:

Л„.

C31 =

C32 =

Л0зп (х;s )* 0'

Л

(28)

-■ ■ C =

.»•••» '-'36

Л03п (х;s)... 36 Л03п (х;s)'

Л 03п (х;s ) =

у 31n (х;s) у31n (х;s) у 32n (x;s) у32n (x;s) ••• у 36n (x;s) у36n (x;s)

as as as

у3?П (х;s) у((2п (x;s) у(5) У 36n (x;s)

(as )5 (as )5 (as )5

„.aw sx e 1 „.aw0sx e 2 ••• eaw6sx

w,eawi sx w2eaw2sx ••• wReaw6sx 6 =

w5 e™1 sx w25eaw2sx ••• w 5eaw6sx

(16)

(29)

а(

= e (

w +W2 +•••+^6 )sx

хЛ00 = e0Л00 =Л00 * 0,

определители Л3(.п(к = 1,2, •••,6) из (28) получаются из определителя Л03п(х2п;s) из (29) заменой k-го столбца на столбец

ZC2,y2,n (Х2п- 0;s);

Z C2

У2кп (Х2п - 0;s).

к=1

6

as

(30)

ZC2

у2,П (Х2п- 0;s)

Л*

—I 2к / \5

,=1 (as)

Подставляя формулы (30) в (28)-(29), выводим,

7

используя свойства определителей:

Л3рп ZC2kЛ3 ркп ,Р !, 2, •••, 6,

к=1

(31)

определители Л3ркп из формулы (31) получаются из определителя Л03п(х2п;s) из (29) заменой р-го столбца (p = 1,2, •••,6) на столбец

(у„п (Х2п- 0;s); у2кп (Х2п- о;s).

as

(32)

у2Ш (Х2п- 0;s)

(as)5

Применяя формулы (13), (14), из (31)-(32) полу-

чаем:

D11кп 92n • • 96n

Л31кп D21 кп w202n • • w606n

D6Un w2502n • • w6506n

(33)

k =1

36п

10

Herald of Omsk University

2021, vol. 26, no. 1, pp. 7-15

ISSN 1812-3996 -

Вестник Омского университета

2021. Т. 26, № 1. С. 7-15

fx,„ \

Dm1kn = МГ1 акп — — 'EWpW^19Pn J -

V Xln J akn

- °I^T I <

gkn = eawksx2"; m,k = 1,2,..., 6; v5 = 6o5s5,

интегралы

(14).

f x2n ^

/-

V Xln J akn

определены формулами (13)-

Раскладывая определители Asikn из (33) по столбцам, получаем:

А,„„ =А:

A31kn

^31kn,0 ,-5 5 A31kn,5 - °l Ю

6a s V s

gkn g2n ... g6n

wkgkn wg2n ... wg6n

wlgkn w25g2„ ... w65g6„

(34)

(35)

cn (N II o"

_A;o,k = 1 ;

6 ( X2n

= У w 31pn,5 У vv n J .

n=1 V X1n

1 1 ... 1

w1 w2 ... w6

5 5

w1 w25 ... w6

I ^ 1

д^дзп (...)g6n =

(36)

J ... • А00е°, p = 1; k = 1,2,..., 6;

V x1n J akn

_0,p = 2, 3,..., 6.

Определители A3mn (m = 2,3, ...,6) из (28), (31) вычислим аналогично определителям А31кп из (33)-(36), выводим следующие формулы:

_ 1 I 1

A3pkn = A3pkn,0 — _ 5 5 A3pkn,5 — 01 "15 |;

6a s V s

p,k = 1,2,..., 6,

0, p Ф k; p,k = 1,2,..., 6;

_ A00 , k = P;

f X2n \

A3pkn

(37)

(38)

A3pkn,5 A00Wp

J -

; k, p = 1,2,..., 6. (39)

V *1n Jakp

Значит, из формул (34)-(39) находим:

A3kkn A00

k = 1,2,..., 6;

A3pkn A00

1 Wk I x2n 2 1

6a5 s5 J V x1n J

1 wp I x2n f 1

6a5 s5 J V X1n J

- 0 Is1

- 01s1

(40)

(41)

k Ф p; k,p = 1,2,..., 6.

Формулы (20), (25), (31), (40), (41) позволяют изучить граничные условия (8).

6. Изучение граничных условий (8)

Из первых трех граничных условий (8) с помощью формул (10)-(11) получаем:

уП)(0; s )м

(as Г

= 0

Ч 0; s)

(as)"

= 0 о

(42)

= 0, p = 1,2,3.

Из последних трех граничных условий (8) с помощью формул (15)-(16), (28), (31) и (20) находим:

^ ’('; s)“0 о У с,,*^ = 0 о

(as V

(as )n

о Yc3k<eaWk-= 0 о

A,

о

у

k=1 A03n (s) ^ 0

wnreaWksn = 0 о

о У У C2p A

Л

(43)

3kpn

wn e k = 0 о

о У C2kФ2Ь,г (я's) 0 о

k=1

^ A,

о

о

у а;^ ф“-' (*; s )=0

6 А С

о У .00 Д ^2kn,r (л;s) = 0 о

A02n (s)

6

о УC1k (?2kn,r (л;s) = ;r =1,2, 3

k=1

92kn,r (^ s) = У^пК , r = 1 2, 3. (44)

p=1

Уравнения (42)-(44) образуют систему из шести линейных однородных уравнений с шестью неизвестными Cl, С12,..., С16. Такая система имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю, поэтому справедливо следующее утверждение.

akk

k=1

k=1

k=1

k=1

6

11

Herald of Omsk University

2021, vol. 26, no. 1, pp. 7-15

Вестник Омского университета

2021. Т. 26, № 1. С. 7-15

ISSN 1812-3996

Теорема 2. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(7) имеет следующий вид:

f (5 ) =

+ w, w6 + W + W; точки wk +w +wm при условии |k -p\ > 2,\p -m\ > 2 или |k-m\ > 2 попадают внутрь

w^ wm ... w5m‘ w.m этого правильного шестиугольника, они представляют собой бесконечно малые величины, на асимп-

w,2 wmm ... w, wmm тотику корней уравнения (46) они не влияют, их

можно отбросить. Корни уравнения (46) находятся в

w,3 w,3 ... w m3 w.m3 II p LT1 шести секторах бесконечно малого раствора, бис-

b41 Ь42 ... Ь45 Ь46 сектрисы которых являются серединными перпен-

Ь51 Ь52 ... Ь55 Ь56 дикулярами к сторонам [R ;R J,p = 1,2,..., 6, точки

Ь61 Ь62 ... Ь65 Ь66 Rp имеют координаты wp + wp¥l + ,wp+6 = wp

, b5k *P2kn,2 fa ^l b6k =Ф2*п,3(л;s), ве- p = 1,2,..., 6.

личины ф2^„г (ж' s)( k = 1,2,...,6; r = 1,2,3) определены формулами (44), (40)-(41).

Используя формулу Лапласа, разложим определитель f (5) из (45) по последним трем строчкам, получим:

f (5 ) =

wm1

W43

ф22п,1

ф22„,2

Ф22„,3

wm1

wm3

w,1

ф23п,3

wm 1

Ф21п,1 Ф22п,1 Ф23п,1

Ф21п,2 Ф22„,2 Ф23„,2

Ф21п,3 Ф22„,3 Ф23п,3

w5m1 w6m1

w5m3 w6m3

Ф23п,1 Ф24п,1

Ф23п,2 Ф24п,2 X

Ф23п,3 Ф24п,3

wm1 w m1 +

w m3 w m3

Ф24п,1 Ф25п,1

Ф24п,2 Ф25„,2 X

Ф24п,3 Ф25п,3

Чтобы найти корни уравнения (46) в секторе [R;R], в этом уравнении необходимо оставить только экспоненты с показателями w + w + w и w2 + w3 + w4. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(7) в секторе [R;R] индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

Ф21„,1 (^ 5) Ф22ПД (Л; 5) Ф23ПД (л;5)

Ф21„,2 (л;5) Ф22„,2 (л;5) Ф2ЗП,2 (л;5)

h1(5 )=

Ф21„,з (л;5) Ф22„,з (л;5) Ф2з„,з (л;5)

w,1 w5mi wm 6

w,3 w,3 w,3 6

Ф22п,1 (Л;5 ) Ф23„д (л;5)

Ф22„,2 (Л;5 ) Ф23„,2 (л;5)

г24л,1 ' Р24п,2 (

Ф22„,з (л;5) Ф2з„,з (л;5) Ф24„,з (л;5)

w,1 w,1 w(

X

w.

wc

w„

= 0.

(47)

-... = 0.

(46)

*1 vv 5 vv6

Применяя формулы (8), получаем:

wm2™-3 w,2"-3 w,2"-3 wm1 w2m1 w3m1 1m1 zm1 z2m1

Из формул (44), (40)-(41) следует, что индикаторная диаграмма (см.: [16, гл. 12]) уравнения (46) - w,3 w,3 w3m3 1m3 zm3 z2m3

это выпуклая оболочка множества точек |w + wm + w ,k ^ m,k Ф p; k,m, p = 1,2,..., б|, которая является правильным шестиугольником, вершинами которого являются точки w + Щ + w,

w + w + w, w + w + w, w + w+w, w + w + 12 --------------------------------------

= detWond'5 (zm‘; zm2;...; zm3) =

П (zmk - zmp ) = G3 * 0;

(48)

k > p k ,p = 1,2,3

Herald of Omsk University

2021, vol. 26, no. 1, pp. 7-15

4k

X

X

Ф

23n,1

+

ISSN 1812-3996 -

Вестник Омского университета

2021. Т. 26, № 1. С. 7-15

m m. m 3m 5 m,

W41 W53 w,1 6 1 45 1

m3 m3 m 3m 5m

W43 W53 W 3 6 45

= z3M: m G3,M3 m 3 = Z mk k=1 m m m

W11 W53 W, 1 6 W53 5 W.,1 W2 1

m3 m m m m

W13 W53 W, 3 6 W53 5 W23 W2 3

(48)

(49)

(48)

= z4Мз G3,...

Подставим формулы (48)-(49) в уравнение (47), поделим на zЗ“3G3 ф 0 , применим свойства определителей, приведем уравнение (47) к следующему виду:

Gii Ф22„ ,1 (л;s) Ф23„,1 (л;s)

G21 Ф22„,2 faS) Ф23„,2 fa S)= 0 G31 Ф22П,3 fas) Ф23П,3 (л;s)

Gmi = Ф21„,го (л;s) - zMФ24„,го (л;s),т = I 2, 3. Применяя формулы (44), (40), (41), оставляя только необходимые для сектора [R;R] экспо-

a(w +w, +W )srt a(w+W +wa )s-n

ненты e(1 2 3) и e ( 2 3 4) , производя вычис-

hi (s ) =

(50)

ления с точностью до Oj, приведем его к виду:

h (s) = Гф Д Д Д ea(w+w+w3)s”-

п1\э/ [^ 123^311"^ 322л"1333л C

- zM3 ф Д Д Д ea( W4+w+w 3s 1 +

* ^ 423^344"^ 322л"1333л C

+(ф Д Д Д e

423 341л 322л 333л

-7М^Ф A A A Pa(w+w2+w3)sl

'( W2 +W3 +W4 )S7

- 123^314"^ 322л^ 333л

-»(1)}-

+O| po 1 = 0

(51)

W? w"1 w"1 (8) z 1 z2 1

Ф = 123 W^ w22 W3 2 = 1"2 z 2 z2"2

Лз Лз Лз Л Л3 Л3 2

Wj3 W 3 w33 1 3 z 3 z2 3

= (z" - z 2 )(z"3 - z41)(z4 - z "1 ) = Ф ф 123

W41 W2 1 W3 1 W2 1 W3 1 W4

Ф 423 = W42 W2 2 W3"2 = w"2 W3 2 W4

w;3 W2 3 W3 3 W2 3 W3 3 W4

л. 2 3

z z 1 z 1 3

= z"2 z2"2 z3"2 = zN3 ^^123 , N3 = ]L "k .

Л3 2 3 k=1

z z 3 z 3

(52)

(53)

Подставляя формулы (52)-(53) в уравнение (51), поделим на ®123ea(w* +W2 +W3s ф0 , выводим:

h (s-W4^

- /"3 Z'3 Д344л Д 322 л Д 333 л ] +

+ [^3 Д341лД 322л Д333л - ^ ^

_a(W,-W4 >*] +о LL "l = 0.

-ZM3 Д Д Д e

314л 322л 333л

Применяя формулы (40)-(41), приведем уравнение (54) к следующему виду:

h1(s ) = [e

. t a(w ~W« W

(s) = le ( 1 4)

f X-,n

W. + W + W f / 4 .

1 - 1 As 3 J Q2 (tR11 +

V

6a3 s3

+ O I^T II-ZM3 z«3 f 1 - W2 + W3 + W4

J ^2 (t )dta22 + O (jo

(55)

f a(w -W )src

J 92 (t) e( 1 4)

dt - w z 3 e

uta14 vv4* C

M a(W-! -W4 )s

+^ 1 = o-

Г /.\ a(wd-W )src 1.

' J 92 (t) e( 4 1) dta

x1n

Основное приближение уравнения (55) имеет

вид

ea(w1-W4)rn = ZM3 ZN = e2^ike 6 M e 6 N ^

» s„

2 ik - М3+Л/3 (56)

-,k = k + —---,keN.

o(w1-w4) 6

Из (56) и общей теории нахождения корней квазиполиномов вида (56) (см.: [16, гл. 12; 17]) следует справедливость следующего утверждения.

Теорема 4. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(7) в секторе [R;R] индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

2i

5кЛП)= ( ч ■ т o(w1-w4)L к

г , /W3+W3 ,

к = к+^-----5_, к = 1,2,3,.

6

~ d,H(n) ( 1

J (57)

Доказательство. Применяя формулу Макло-рена, имеем:

13

x

1л

X

6a5 s5

x

1л

x

X

w4 z

x

1л

x

2л

Herald of Omsk University

2021, vol. 26, no. 1, pp. 7-15

Вестник Омского университета

2021. Т. 26, № 1. С. 7-15

■ ISSN 1812-3996

a(w -w« )sn

e ( 1 4' = exp

кд (")

a(wi - W4 )n

2i

a(Wi - W4 )

Применяя формулы (8), находим:

2 ni

2ie 2i 1

f,~ d5kl(n) 1 _ 7«3 7«3 "1+2™°,5лд(п) + (58) w - w — ^1 vv 4 e 6 " ^3 " 1 - e 6

къ V K J p - -

sin

3 n

(61)

+°1ТГ

.,1 (n)

Подставляя формулы (57), (58) в уравнение (55), получаем:

2nid^t,(n) ( 1

1+—4^-+о\ 4-

(wi - W4 )6 = (-1)26 sin6 ^3n| = -64. Подставляя формулу (61) в (60), находим: (-1)2 sin6

d5,k ,1 ( n ) = -

6n

(Wl+w2+w3)a5 (w.-w,)5 (

6o525/5 P

■+5If

:2jq2(t)dtall+o(^

x2n ^

j Я 2 (f) dta11-------f.

. I 3n sin

6

(62)

1 (wI+w3+wi)ct5(w1-wif

6o525/5P

С м • Nr Зтг З71 ) ,

j 42(0sln 2kt + ~r~~rM^ \dt

(59)

Зл З71.

. 6 6

к = 1,2,3,...

Из формулы (62) при n получаем:

*2” ( 1

\яг^)Лаи+0

1

605 25/5Р

(4)

(-1)2 sin6

lim d5,k,1 (П)=-

6n

W.4P3 J q2(t)e2kidtali -w^z^z-

^ M3 N3

+eIFl=0-

1----jr«,(t)sln|2tt+^-^M, \dt

sin

3n | n^+да ■

2n __

Xl” J эта формула задает спектр оператора с потенциа-

Приравнивая в уравнении (59) коэффициенты лом дельта-функцией в виде (57), где

при —, выводим следующую формулу: к5

d5k ,1 ( П) =

(W1 ~ W4 )6

j Я2 (f )dta11 ■

2ni

e6 2i

W - W 2i

d5,k,1

6n

1

6 n

1_i!ULJ4,2(t)sinl2*t+f_fM31*

1-^1"^(0СО5[2^-7мз]л

(60)

_ Z4—M 2n - -

e6 3 Jq^e^dt^-e

f—Л/? 2n

: e 6 3/ч2(0е"2ИЛо.

>, к = 1,2,3,.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Математические заметки. 1977. Т. 22, № 5. С. 698-723.

14

X

S

X

X

X

x

In

_ ZM3

x

1 n

X

X

x

1n

x

2 n

X

X

x

1n

X

X

X

x

1n

6

e

X

X

x

n

x

n

Herald of Omsk University

2021, vol. 26, no. 1, pp. 7-15

ISSN 1812-3996

Вестник Омского университета

2021. Т. 26, № 1. С. 7-15

2. Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 1986. № 6. С. 3-6.

3. Митрохин С. И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 6. С. 927-931.

4. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Доклады РАН. 1997. Т. 356, № 1. С. 13-15.

5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1977. 736 с.

6. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 10. С. 1423-1426.

7. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математические заметки. 1999. Т. 66, № 6. С. 897-912.

8. Митрохин С. И. Спектральные свойства краевых задач для функционально-дифференциального уравнения с суммируемыми коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 8. С. 1085-1093.

9. Митрохин С. И. Асимптотика спектра периодической краевой задачи для дифференциального оператора с суммируемым потенциалом // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 136-149.

10. Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, № 4. С. 95115.

11. Митрохин С. И. Спектральные свойства дифференциальных операторов четного порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2017. № 4. С. 3-15.

12. Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с 8 -потенциалом // Успехи математических наук. 2000. Т. 55, № 6 (336). С. 155-156.

13. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 8 -функции // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, № 6. С. 735-751.

14. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией // Известия вузов. Математика. 2018. № 6. С. 31-47.

15. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 528 с.

16. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М. : Мир, 1967. 548 с.

17. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 109-116.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Митрохин Сергей Иванович - кандидат физикоматематических наук, доцент, профессор РАЕ (Российской Академии Естествознания), старший научный сотрудник Научно-исследовательского вычислительного центра, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 119991, Россия, г. Москва, Ленинские горы, 6; e-mail: [email protected].

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Митрохин С. И. О спектре семейства дифференциальных операторов, потенциалы которых сходятся к дельта-функции Дирака // Вестн. Ом. ун-та. 2021. Т. 26, № 1. С. 7-15. DOI: 10.24147/1812-3996.2020. 26(1).7-15.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Mitrokhin Sergey Ivanovich - Candidate of Psysical and Mathematical Sciences, Docent, Professor of the RANS (Russian Academy of Natural Sciences), senior researcher of Researcher Computing Center, Lomonosov Moscow State University, 6, Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russia; e-mail: mitrokhin-sergey@ yandex.ru.

FOR CITATIONS

Mitrokhin S.I. On the spectrum of a family of differential operators, whose potentials converge to the Dirac delta function. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2021, vol. 26, no. 1, pp. 7-15. DOI: 10.24147/1812-3996.2021.26(1).7-15. (In Russ.).

15

Herald of Omsk University

2021, vol. 26, no. 1, pp. 16-20