О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 4 (2011). С. 95-115.

УДК 517.929

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

С.И. МИТРОХИН

Аннотация. В статье изучаются спектральные свойства дифференциальных операторов шестого порядка с запаздывающим аргументом. Предполагается, что коэффициенты оператора являются суммируемыми функциями на отрезке. По одной методике изучаются одновременно 36 видов граничных условий. Вычислена асимптотика собственных значений этого дифференциального оператора.

Ключевые слова: Дифференциальный оператор, суммируемые коэффициенты, запаздывающий аргумент, асимптотика решений, асимптотика собственных значений.

В данной статье будем изучать спектральные свойства дифференциального оператора, задаваемого дифференциальным уравнением шестого порядка с запаздывающим аргументом следующего вида:

у<у&\х) + г(х) • у"{х — т) + р(х) ■ у'{х — т) + q{x) ■ у(х — т) = А • а6 ■ у(х), (1)

где 0^ж^7г,а>0, т— запаздывание, г > 0, с начальными условиями вида

У{х~т) = у{0)-(р{х-т), х^т, tp(0) = l, (2)

с граничными условиями (разделенными, нерегулярными) следующего вида:

y(mi) (0) = y(m2) (0) = у(тз) (0) = y(m4) (0) = у(тб) (0) = y{ni) (тг) = 0, (3)

где rrii < rri2 < гпз < m.4 < гп^ Шк, П\ G {0,1, 2, 3, 4, 5}, к = 1, 2, 3, 4, 5.

Коэффициенты дифференциального уравнения (1) предполагаются суммируемыми функциями на отрезке [0; 7г], т. е. для них выполняются условия теоремы Римана-Лебега:

pWeillM, ф) е L,|0,ir) » , у r(t)A \ = ф),

чО

p(t)dt I =р(х), I / q(t)dt ) = q(х) почти всюду на отрезке [0,7г]. (4)

,о / х \о

Заметим, что из начальных условий (2) следует, что

У'{х-т) = у{0)-(р'{х-т), у"{х - т) = у(0) ■ р"{х - г), х^т, tp(0) = 1, поэтому будем предполагать, что <р(х) Е D2[—r; 0].

S.I. Mitrokhin, On spectral properties of a differential operator with summable

COEFFICIENTS WITH A RETARDED ARGUMENT.

© Митрохин С.И. 2011.

Поступила 15 июня 2011 г.

В дифференциальном уравнении (1) число Л — спектральный параметр, р(х) = а6 = const (Ух £ [0; 7г])—весовая функция. Цель данной статьи — найти асимптотику решений дифференциального уравнения при больших значениях спектрального параметра Л, а также найти асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1)—(2)—(3) в случае выполнения условий суммируемости (4).

Дифференциальные уравнения типа (1)-(2) с запаздывающим аргументом (чаще всего второго порядка) в случае непрерывных, гладких или бесконечно дифференцируемых коэффициентов изучаются уже давно (см. [ 1]—[5]).

Краевая задача типа задачи Штурма-Лиувилля (с нахождением асимптотики собственных значений в главном приближении) для дифференциального оператора второго порядка (с запаздывающим аргументом) с разделенными граничными условиями общего вида в случае гладкого потенциала q(x) подробно изучена в монографии [6, глава 3], но полученной асимптотики не хватает для вычисления первого регуляризованного следа рассматриваемого оператора.

В работе [7] были вычислены более точные асимптотики решений и собственных значений (по сравнению с [6, глава 3]) дифференциального оператора второго порядка с разделенными граничными условиями в случае достаточно гладких (бесконечно дифференцируемых) коэффициентов q(x) и <р(х). В результате были вычислены регуляризованные следы рассматриваемого дифференциального оператора.

В работе [8] была решена обратная задача определения дифференциального оператора второго порядка с запаздывающим аргументом с разделенными граничными условиями общего вида по двум спектрам в случае аналитического потенциала q(x), если ip(x) = О при х ^ 0.

Мы предлагаем методику изучения спектральных свойств дифференциальных операторов порядка выше, чем второго, с запаздывающим аргументом, вида (1)-(2) с граничными условиями (3), в случае суммируемости коэффициентов (т. е. выполнения условий (4)) и начальной функции <р(х), удовлетворяющей условию <р(х) £ D2[—т;0]. Если выполнено условие г(х) = 0, р(х) = 0 Ух £ [0;7г], то наша методика будет верна даже в случае ip(x) £ Li[0] 7г].

В случае обычных дифференциальных операторов (типа операторов Штурма-Лиувилля произвольного четного порядка, без запаздывания аргумента), эта методика изложена автором в монографии [9, глава 5]. Пример изучения оператора четвертого порядка дан в работе [10].

Перейдем к нахождению асимптотики решений дифференциального уравнения (1) в случае выполнения условий суммируемости (4).

Пусть А = s6 (А — спектральный параметр), s = v^A — одна из шести ветвей корня, которую мы зафиксируем условием y/l = +1. Пусть Wk (к = 1, 2,..., 6) — различные корни шестой степени из единицы:

При этом легко доказать, что для чисел и)к (к = 1, 2,..., 6) из (6) справедливы следующие равенства:

} (к = 1, 2,..., 6);

1 + у/Зг

-w5 =--------------, w3 = -w6

W\ = —Wi = 1, W2

(6)

6

6

= m= 1,2,3,4,5; = m = 0, m = 6.

fc= l

fc= l

Методом вариации произвольных постоянных с учетом свойства (7) доказывается следующее утверждение.

Теорема 1. Решениеу(х, в) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерра:

0 0 у(х, S) = 22 Ск- eaWkSX - —^ -¿wk- eaWkSX • I e~aWkSt • F{t - r, s) • dtak, (8)

k= 1 a S k=1 q

где Ck (fc = 1, 2,..., 6) — произвольные постоянные, причем введено следующее обозначение:

F(x — г, s) = г(х) ■ у"(х — т, s) + р(х) ■ у'(х — т, s) + q(x) ■ у(х — т, s). (9)

При этом в силу свойств (4) справедливы следующие формулы:

6

y'(x,s) = 22Ck-awks-eaWkSX-к=1

0 / Х \

22wk-awks ■ eaWkSX ■ I [■■■] +<pi(x,s), (10)

6a5s5

k-l \0 / ak

где Lpi(x, s) = -^5 • E wk ■ eaWkSX ■ e~aWkSX ■ F(x -t,s) = • F(x - r, s) • E = 0

k=1 k=1 силу свойства (7) при m = 1;

y"(x, s) = 22 ck ■ (awks)2 • ea

0awksx

W/c • yUjUJfcO J ■ К

k= 1

0

X

~ (¿5 ' ^2Wk ' (aWfcS)2 ' eClWkSX ' I I ■ ■ ■ I -<P2(X>S)> (U)

k=l Vo / afc

где (p2{x,s) (= • E wk ■ awks ■ eaWkSX ■ e~aWkSX ■ F(x - r, s) =

k=1

6

F(x — r, s) ■ E wk = 0 в силу (7) при m = 2. k=1

Формулы (10)—(11) позволяют дать другое доказательство теоремы 1.

Дифференцируя формулу (11) несколько раз по переменной х, получаем:

{т)(х, s) = 22°k- (awks)m ■ eaWkSX-

V

к= 1

6

6a5s5

k-l \0 / ak

(11) 6

где tpm(x, s) = • E wk ■ (awks)m 1 • eaWkSX ■ e aWkSX ■ F(x -t,s) = 6.a6-™s6-m • F(x - r, s)

k=1

6

E = 0 в силу условия (7) при т = 3,4, 5. к=1

Продифференцировав еще раз формулу (12) при га, = 5, подставим получившееся выражение и формулы (8)—(12) в дифференциальное уравнение (1), при этом получим:

г/6-1 (x,s) + F(x — т, s) — А • а6 ■ у(х, s) Ск ■ (awks)6 • ё

aw^sx _

к= 1

0 I \ 0

1 • (a^fcs)6 • e“WfcS:c •(/•••] - • (awfcs)£

6a5s5 ' \ J ''' / 6a5s

k= 1 \ n / k= 1

чи / ak

0

gdwksx ' g—awksx

F(x -t,s) + F(x -t,s)-s6 -a6 -J2Ck- eaWkSX+

k=1

+s‘ - a'! - fsb - E - e“"‘“ •(/■■■) = E6V e“*‘“ - K“’*8)'-

Vo /„» *-■

0 / X \

- s6 • a6] + ^ • ¿wfc • e™ •(/•••) ' [sV - (^)6] +

1 6

k=1

+ F(x -r,s) - ■ F(x -t,s) ■ a5s5 • ги£ = 0

a s fc=i почти всюду на отрезке [0; 7г] (13)

в силу равенств (7) и свойства (6): w\ = 1 (к = 1, 2,..., 6).

Равенство (13) показывает, что функция y(x,s) из (8)—(12) действительно является решением дифференциального уравнения (1).

Вывод формул для асимптотики решения у(х, s) дифференциального уравнения (1) при | s | —> +оо (при больших значениях спектрального параметра Л) зависит от величины запаздывания т. Так как число т (запаздывание, г > 0) постоянно, то существует такое натуральное число fco + 1 (fcoGNU{0}), что выполняется неравенство

0 < т < 2т < ■ ■ ■ < ко ■ т ^ 7г < (ко + 1) • т. (14)

В зависимости от значения этого числа ко решения у(х, s) дифференциального уравнения (1)-(2) будут выписываться по-разному: там, где аргумент функции y(t — t,s) из (8)-(9) окажется меньше нуля, эту функцию следует заменить на у(0) • ip(t — г) в силу начального условия (2), а функции y'(t — т, s) и у"(t — т, s) нужно заменить на функции у(0) • ip'(t — т, s) и у(0) • ip"(t — т, s) соответственно в силу свойства (5).

Поэтому последовательно рассмотрим случаи ко = 0, ко = 1, ко = 2, ко ^ 3, ко £ N.

Рассмотрим первый случай: пусть т > тт (ко = 0).

В этом случае в формуле (8)-(9) аргументы функций y(t — т, s), y'(t — т, s) и y"(t — т, s) отрицательны (0 ^ X ^ 7Г в силу (1), 0 ^ t ^ X ^ 7Г, —т ^ t — Г^7Г — г < 0), поэтому эти функции нужно заменить, используя формулы (2) и (5):

6

aw^sx aw^sx

у(х, з) = ^2ск- е К - — • 2^ wk • е к= 1 к= 1

г (і) ■ е а'ШкЗІ ■ у( 0) • (р"(і - т) ■ (ІІагк +

+ / р(і) ■ Є а'ШкЗІ ■ у(0) • <р'(і - т) ■ (ііарк+

д(і) ■ є а'ШкЗІ ■ у(0) • ір(і - т)(ііадк

:і5)

Учитывая, что у(0) = Е Ск в силу формулы (8), подставим это значение у(0) в формулу

к= 1

(15), перегруппируем слагаемые и придем к выводу, что верно следующее утверждение.

Теорема 2. Общее решение у(х,в) дифференциального уравнения (1)-(2) в случае тЕ (7г; +оо) (к0 = 0 в формуле (14)), если выполнено условие суммируемости (4), находится в следующем явном виде:

у(х,в) = 22ск ■ ук(х,в)] У{т)(х,8) = ^2ск-у{™)(х,8), т= 1,2, 3,4, 5,

к= 1

к=1

причем фундамент,алъная система решений {ук(х, в)}1=1 представляется в виде

6

1

»(*,«) = Є***"-«ТгЕ

6а5з£

к± = 1

г{і) - - ч>"{і - т)

:іб)

<&гкі + J р(і) • е аШкіЗІ ■ <р'(Ь - т) ■ дгрк1 + о

+ І д(і) • е~а^зі • <р{і - т) • сІіякі

£=1,2,...,6;

:і7)

(т) ! ^ Ш (Ж,«)

(аз)т

гтг а'ииквх

УОъ • е

6а5з5

/¿1 = 1

чО / \0 / \0

А: = 1, 2,..., 6; га=1,2,3,4,5.

Які-

:і8)

Заметим также, что функции ук(х, в) (к = 1, 2,..., 6) из (16)—(18) удовлетворяют следующим начальным условиям:

Ы<М) = 1; у[т) (о, е)=ю Г- а’“, г,’“;

6 6

у(0,») = £6'*; г/(т){0.») = £&■ < • <Г. «»,

&=1 &=1 А: = 1, 2,..., 6; га=1,2,3,4,5.

:і9)

Подчеркнем еще раз, что в формулах (16)—(18) решения находятся в явном виде, в отличие от дифференциальных уравнений без запаздывания (см. [10], [9, глава 5]): там решения выписываются в виде асимптотических рядов без обрывания.

Рассмотрим теперь второй случай: т Е (|; тг\ (т. е. к0 = 1 в формуле (14)). В этом случае аргументы функции у(Ь — т, в), у'^ — т, в) и у"{Ь — т, в) в формуле (8)-(9) не всегда являются отрицательными, и формулы (2), (5) использовать для них пока что нельзя.

Для нахождения асимптотических решений в этом случае воспользуемся методом последовательных приближений Пикара: найдем у{Ь — т, в) из (8), у'^ — т, в) из (10), у"(Ь — т, в) из (11) и подставим их в формулу (8)-(9). При этом получим:

у(х,з) = 22С>

к ■ е

1

к= 1

6а5з5 1

• 22 тк, ■ еа^зх ■ / г(г)-е~а'Шк

/¿1 = 1

6

0

х

г) • (Иагк1 - —то е™*!“ / р(1) • е-“^-

6а5з5 1

/¿1=1

6

*>(*, Г) ■ ларк1 - ^ • £ «*, • • I ф) ■ е~*.*•

/¿1 = 1

Ф3(*,т) • ¿¿о,*,,,

(20)

где введены следующие обозначения:

Ф 1(1,т) = 22СкЛ^кз)2-еа^

~т) _

й=1

6а5з5

е

аюкз(г-т)

к=1

' \ / £— Г

ар к

адк-

(21)

Ф2(*, т) = 22 °к- (а™кз) • еа^~т)-

к= 1

6а5з5

22^-(^кз)-еа^~^ -ф(г,ту,

к=1

Ф3(«,т) = £С,

г)

й=1

6а5з5

Е

¿¡=1

■ е

.аюкЗ^-т)

Ф(г,т),

(22)

(І—Т \ /І—Т \ /І—Т

I"

0 / агк \ 0 / арк \ 0 / адк

і—т

= I ■,/а-т...,)-^гк+

О

і—т

О

і—т

Т

«(€)•«-”*<(23)

При этом в интегралах, входящих в формулы (20)—(23), имеем: 0 ^ х ^ 7Г,

О ^ ^ Ж ^ 7Г, 0 ^ ^ — т, поэтому 0^£^£ — т^7г — т, —т — т^7г — 2т<0

(так как сейчас рассматриваем случай ко = 1 в (14), т. е. | < т ^ 7г), т. е. получили: аргумент функции у(£ — г, в), г/(£ — т, в) и г/"(£ — г, в) в интегралах, входящих в формулы

(20)—(23), являются отрицательными, значит, к ним применимы начальные условия (2) и

6

(5), в которых у(0) = Е С\ в силу формулы (8).

к= 1

6

Подставляя выражение у(0) = ^2 Ск в формулу (20)-(23) и проведя необходимые вы-

к=1

числения и преобразования, приходим к выводу, что справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Общее решение у(х,э) дифференциального уравнения (1)-(2) в случае т Е (§;тг] (ко = 1 в (14)) находится в следующем явном виде:

6 6

у(х,в) = 22Ск ' 9к(х,8)] у{т)(х,8) = 22-9кП)(х>8)’ т= 1,2, 3,4, 5, (24)

к=1 &=1

причем для фундаментальной системы {дк(х, з)}|=1 справедливы следующие формулы: ук(х, в) = еаткЗХ - • Ф3к(х, 5, г) - —■ Ф4к(х, в, т) -

6а4 в4 оку ’ ’ ' 6а4 в4 ' 6а5з5

Ф5к(х, 5, г) + 36а888 ■ фвк(х, в, т) + 36 э э ' Фяк(х, 5, т) +

36а1°в10 ' ^ю^(ж,в,т), А: = 1, 2,..., 6, (25)

„.(т) і і

У _ т _ а,11)кзх _ ± . фт ( \ _ ± . фт /

(аз)т к 6а3з3 6а4з4

Ф^(Ж, 5, Г) + ] • ф^к(х, в, Т) + ] • 5, т) +

6а5 з5 ' 36а8з8 ' 36а9з9

36а1овю ' А: = 1,2,..., 6; т= 1,2, 3,4,5 (26)

где введены следующие обозначения:

Фзк(х, в, т) — • е а'а’к3‘ ■ 22 Шк! ■ еа'Шк18Х ■ I т(Ь) ■ еа(‘и’к-'и>к1№ . ^

/ ткк\_ 5

к\ = 1 ^

0

6

Фзл(я, т) = го2к ■ е-аУ}кЗТ ■ 22 ^1-^- еа'Шк1зх

к\=1

6 х

$Ак{х, 8, т) == гик ■ е а'шк8т . ги^ . еа'шк1зх _ ^ рф . еа(,^к-'шк1)«1 . ^ ^ .

гкк\

к± = 1

6

Ф?к(х, 3, т)='Шк- е~а^т • ^ • еа^х

к‘1 = 1

ркк\

6

Ф“(*-а’т) = е~т"‘"Т ■ £ «* • е““'*1" • / «((). е«<«»-»,).<. Л

&1 = 1 •/ ’

о

6

Ф5д,(а;, ,$,т) = е а'и’*'5т . ^

/с 1 = 1

д/с/сх

^8*(ж, 3,Т)=22 Ч ' е °Щ"!1вГ ' ( X! ' е“™"2^-&1 = 1 \&2 = 1

• [Д8(ж, 5, Г, </) + Р8(ж, 5, Г, <^) + д8(ж, 5, Г, ,

ж /*-г \

Д8(ж, 8, г/) = I г(г) • • I г(0 • е-“^ • </(£ - тК • дЦ

ж /¿-т \

Р8(я, 8, V) = (г(() • . I [ р(‘) ■ е-“‘.’£ • ./(С - т)<^ I • Л;

«И*-«. г)=£ < ' • 5] шк1 . шЦ ■ «•**»**.

&1 = 1 \&2 = 1

• [Л8(ж, 5, т, </) + Р8(ж, 5, т, у/) + д8(ж, 5, т, ¥?)]^ ;

к = 1,2,...,6, га=1,2,3,4,5;

^(ж, 5, г) = ^81 (ж, 5, г); ф™к{х, 5, г) = $£(ж, 5, т),

& = 1, 2,..., 6; га=1,2,3,4,5;

6 /6

^(ж, 3,т)=22 Ч • Е ^ • е“^ • [Дэ(ж, 5, Г, </) + &1 = 1 \&2 = 1

+ Р9(ж, 5, Г, </) + <3э(ж, 5, г, ¥?)] I ;

і—т

Щх, а, т. ,р") = І рй • є«**.-*»» • І І г(0 • • уУ({ - г)^ • Л;

Ж /І—Т \

Р9(.V,з,т<р') = /р(і) • »>•* • [р(0 • «—*.« •- т)<£ • Л;

к О ' £—т

<г»(х,*,ту) = у I у «да-є-""»«.*{-Т)<*1 •<#;

6 /6

*«(*,8.^) = Е< - е"“"'“*т- Е8-т-л+

&1 = 1 \&2 = 1

+ Р9(ж,3,Т, <//) +(5э(ж,5,Г, </?)]^ ; фдк(х,8,т) = ^91 (х,8,т)]

ФТк(х,8,т) = ф^{х,3,т)

6 /6

= £>*, • Є—*.*'• К]ад1-е“"‘»“.[Д1„(х,5,Т,/) +

&1 = 1 \&2 = 1

+ Рю(ж, 5, Т, <//) + <5ю(ж, 5, т, </?)]^ ; 'фю,к{х, 5, г) = -010,1 (я, 5, г);

Ж / І—Т \

д1„(1,5,т,/) = IФ).<*'*,. | уг(0-е—*■«•/({-г)«) -Л;

Ж / І—Т \

?»(*,»,Г,90 = /«(«)-е“‘->-”:ч)“' І Iр(0'е-“”‘.'?-,;,(С-гк) -Л;

Ж / І—Т \

<Ы*,*,Т,»>) = / 5(і)'е“(”'“-”’**”‘' / ?«) • ■ УК - т)<і£ I •<#;

О \ О

6 /6

5, г) = ^ ^ • е “^15Т • I ^ У)к2 ■ Ь)%-кі = 1 \к2 = 1

■ еаи>к^х • [Дю(ж, 5, Г, >/) + Рю(ж, 5, г, <р') + <3ю(ж, 5, Г, <£>)] ) ; ^щ/с(ж;5;г) = ^іо,і(х’3’т)’ к = 1,2,..., 6; т= 1,2, 3,4, 5.

Заметим также, что для фундаментальной системы {дк(х, з)}^=1 из (24)-(27) справедливы следующие начальные условия:

6

9*(0,з) = 1; &‘>{0,,)=тГ-<Г-Г; ,¡/(0,а) (= ^Ск,

к= 1

6

ум(0,5) (= ■ ат ■ Зт, к = 1,2,..., 6; то = 1,2, 3,4, 5. (28)

к=1

Рассмотрим теперь третий случай г € (|; |] (т. е. к0 = 2 в (14)).

В этом случае в формулу (20)-(23) надо подставить значения функций

у(£ — т, з), у'(£ — т, в) и у"(£ — т,в) из (8)—(11) соответственно ^например,

у"(£ - г, в) (= Е С*, • (ак^з)2 • еа'и’к8^~т) - • Е Мк • (аяи^)2 • еа/и^(?“г) •

&=1 &=1

, затем для функций у(9 — т, в), у'{9 — т, в)

■у"(в-т, з)-с19агк + ( /..Л + Г /•••)

V О / арД; V 0 / адА;_

и у/;(0 — т, в) воспользоваться начальными условиями (2) и (5):

6 6 У(0 ~ г, в) = 22Ск ' <Р(в ~ т)’ У(т\е ~т^) = 21Ск'~т^ т = 1)2.

&=1 &=1

(Заметим, что аргумент 9 — г в случае т Е (|; |] отрицателен: 0^ж^7г,0^^^ж^7г, —т ^ — т ^ х — т ^ 7Г — т; —г — — т^7г — 2т; —г ^ 9 — т ^ £ — 2т ^ 7Г — Зт < 0.)

Проделав необходимые вычисления, получаем следующий результат.

Теорема 4. Общее решение у(х,в) дифференциального уравнения (1) в случае т е (|; |] (ко = 2) имеет, следующий вид:

6 6

у(х,в) = 22Ск • Ых,в)', У{т)(х,э)22Ск ' т= 1, 2, 3, 4, 5, 6, (29)

к=1 &=1

причем при, | в | —>- +оо справедливы следующие аси,мпт,от,и,чески,е формулы:

1гк(х, в) = еаткЗХ - —• Ф3к(х, в, т) - • Ф4к(х, в, т)-

Ьа6в6 6а4з4

• Ф5к(х, в, Т) + • Ф6*:(ж, 5, Т) +

6а5з5 ' 36а6^

^ ^ / 11гП51 'X '

• Ф7к(х, в, т) + • Ф»к(х, в,т) + о[ 6 ) , (30)

Ъ (т) Гпг с) 1 1

? ; — 1Пт . р0Мк*х______. фш ( \_ф фт /

(«)"* * вЛ» ба4§4 Ф4^,т)

• Ф^(ж, 5, г) + ] ■ Ф^к(х, 8, т) + \ • Ф?к(х, 8, т) +

6 а585 36 а6в6 36а7з7

1 / |1т«|-ж

Ф8/Ц^^) + О

36а8з8 ' V I5!9

к= 1,2...,6; га = 1, 2, 3, 4, 5, (31)

при этом функции Фзк(х,8,г), Ф4к(х,8,т), Ф5к(х,8,т), Ф™к(х,8,т), Ф™к(х, 8, т), Ф™к(х,8,т) определены нами в формулах (27) теоремы 3, а для остальных коэффициентов разложений (30)-(31) справедливы следующие формулы

Ф6к(х, 8,т) = ь)1-е а'ШкЗТ ■ 22 Ч ' е

/¿1 = 1

3

22 ™к2 • еа^8Х-./¿2 = 1

І — Т

г(і) • е°. I / г(0 • е^-^ • ^ I • (іиккігкігк2

*Тк(х,8,т) =У)к-е

2 -ауокёт

£

/¿1 = 1

«4 • е~а^зт

22ь}к* 'Ч' ,&2 = 1

іи3кі • е-“^і5Т

/¿1 = 1

-&2 = 1

Ф/Й! (х, 5, г)

«4 • е~а^зт-

/¿1 = 1

. Ф7Й2(ж,5,г)

,&2 = 1

*»(*. 8. г) = «к • «—»"• • Е Ч '

/¿1 = 1

,&2 = 1

Ф/Й! (ж, 5, г)

/¿1 = 1

^]^2-<-е“^--Ф7Й2(ж,5,г)

.^2 = 1

І—Т

Фтк1(х,8,т) = / г(і) • еа^-^зі • / р(Є) • • <И • 6^,^;

. о

і—т

ф7к2(х,8,т) = І р(і) • • [ І г(0 • ^

' б

^ гуЛ2 •

ф8й(ж, в, г) = е-“ад^т - 22 ™кі- е~а'Шкі'

/¿1 = 1

Ф8А;! (Ж,5,Г)

,&2 = 1

6

Ю2кі • е-“^і5Т-

/¿1 = 1

22 ' е“ад"2'Ж • Ф8й2(ж,5,г)

,&2 = 1

+ тІ-е~ау,кат-

22 ^ • е~ат^зт ■

к\ = 1

.к-2 — 1

—а'ци}гзт

£

ги^ • е-“ад"1ет

^гуЛа • . Ф8йз(ж,5,г)

6

£«■*,• «Се“"’*“'-

/с 1 = 1

ФвА* (Ж, 5, т)

-&2 = 1

6

+ тк-е~а'ШкЗТ- 22™11-е~а'а’к13Т-

к\ = 1

22гик2 ■ ч • е“ад^ж • ^2 (ж> г)

,&2 = 1

+ т2к ■ е~ау,к8Т ■ 22'шк1-е-аУ,к'ат-

к± = 1

_^2 = 1

t—т

Ф8Й1(ж,5,г) = / г(*) • е“(^1-^2)^ . / д(£) . е«(^— ^ ^

. 0

' £—г

Ф8/с2(^,т) = I рЦ)-еа^к 1-^. |^у р(£) • ^ -^№2;

х / 4—г \

ф8*3(ж,в,т) = Iф) • еа^-^зг • (I ■ <игкк1ф1к2-

к = 1,2,..., 6; т= 1,2, 3,4, 5. (32)

В формулах (29)—(31) величины Фзд^Ж, 5, г), ... , ФбА:(ж, 5, г) И Ф^,(ж, 5, г),... , Ф^(ж, 5, г) важны для вычисления асимптотики собственных значений нужного порядка точности при вычислении первого регуляризованного следа дифференциальных операторов, связанных с дифференциальным уравнением (1)-(2).

Оценки остатков ряда в формулах (30)—(31) проводятся аналогично оценкам, проделанных в монографиях [11, глава 1] и [12, глава 1].

В формулах (30)—(31) величины О ) представляют собой сумму двукратных по-

вторных интегралов, не зависящих от функции </?(ж) ^например, Нх^х^з) = 36а989 • 1Ук ■

е а'шквт . ^2 и)к1 . е аюк1 к‘1 = 1

_ к2 = 1

£—т

(Й,

’ркк1дк\к2

0 \ 0

и т. д. ), и трехкратных повторных интегралов, зависящих от функции </?(ж) в

силу начальных условий (2) и (5) ^например, Н2(х, в) = — 216аэ^

1____# аи?&зт #

ЕЧ-

/с 1 = 1

ЕЧ-

аи?&2зт Е IVкз • еа'Шк^зх • I г (г) . еа{'шк2-'шкъ)81

,к3=1 О

4—г / 4—г

/ КО . еа('Ч]к1-'шк2)з^ . . е~аи)к1зв .

О V О

6

_ й2 = 1

е

1р"(6-т) ■<№

• сИ

г к2 к з г к 1 к 2 г к ± <рл

—\ 1*101

Итак, подведем промежуточные итоги. Асимптотика решений дифференциального уравнения (1)-(2) в случае г G (7г; +оо) (если ко = 0 в формуле (14)) полностью получена в формулах (16)—(19). В случае г G (§;7г] (ко = 1) асимптотика решений полностью получена в формулах (24)-(28). И, наконец, в случае т G (§; §] (ко = 2) асимптотика решений дифференциального уравнения (1)-(2) полностью получена в формулах (29)-(32).

Рассмотрим последний случай: т G (0; |] (т. е. fco ^ 3 в формуле (14)). В этом случае справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Общее решение дифференциального уравнения (1)-(2) в случае т G (0; |] (ко ^ 3, ко G N) имеет, следующий вид:

6 6

y(x,s) = 22Ск-Ук(х,8)', ytn)(x,s) = 22Ck-y<r)(x,s), т= 1,2,3,4,5, (33)

к=1 к=1

причем справедливы следующие формулы:

Ьк(х 8) = eaWkSX ~ — • Фп(х 8 г) ~ Ф|/' ':'Г-"Г| - <Ь ('Г-"Г| .

Ы’ } 6a3s3 Щк[х'8'т) 6a4s4 6a5s5

| Ф6k(x,S,r) , Ф7k(x,S,r) | Ф8k(x,S,r) , 0 i e\lms\'x'

36a6s6 36a7s7 36a8s8 1 V ls|9

y{m)(x,s) = л _ Ф^(ж,в,т) _ ФZ(x,s,t) _ Фgk(x,s,r)

(as)m k ' 6a3s3 6a4s4 6a5s5

, ^6fc(®,S,r) , Ф Тк(х,8,т) , , 0

36а6з6 36а7в7 36а8з8 “2 V |з|9

при этом функции Фгад.(ж,5,г), Ф™д,(ж,5,г) (при п = 3,4,5) определены нами в формулах (27) теоремы 3, функции Фпк(х,з,т), Ф™к(х,з,т) (п = 6,7,8) определены в формулах (32) теоремы 4, величина 0_х 2 ) формул (33)-(35) отличается от величи-

ны О ^е1|8|9 ) формул (29)—(31) следующим образом: двукратные повторные интегралы

типа Н^х^в), не зависящие от функции <р(х), остаются без изменений, а трехкратные повторные интегралы типа Н2(х,в), зависящие от функции <р(х), перепишутся теперь

Е < • е~а^т • ( Е шкз-

_к2 = 1 \&з=1

6

в следующем виде: H2,i(x,s) = -216^яэ • е aWkST • Е wh

^awk^sx I r(t) . ea{wk2~wk3)st.

/¿1 = 1

г-т (£-т

I г(0- / Г (в) . еа{’Шк-'Шк1)зв.

о у о

¿9^ ^ • дикк1Гк1к2Гк2к^ + Оз и т.д., причем величина О в случае

т Е (|; |] (/со = Зв(14)) будет представлять собой сумму всевозможных четырехкратных повторных интегралов типа Н2(х,в), зависящих от функции <р(х). Аналогично, величина

О ^е1|5|11 ^ в случае т £ (|;|] (&о = 4 в (14)) будет представлять собой сумму пятикратных

повторных интегралов типа Н2(х, в), зависящих от функции <р(х). Величина О ^е|5|злг ^ в

случае т Е д^гу] (к0 = N — 1 в формуле (14)) будет представлять собой сумму различных ]У-кратных повторных интегралов типа Н2(х, в), зависящих от <р(х).

Теоремы 2-5 позволяют полностью найти асимптотику решения у(х, з) дифференциального уравнения (1) с запаздывающим аргументом т, с начальными условиями (2) в случае выполнения условия (4) суммируемости коэффициентов г(х), р(х) к д(х).

В случае классического дифференциального оператора Штурма-Лиувилля второго порядка с суммируемым потенциалом асимптотика фундаментальной системы решений произвольного порядка точности впервые была вычислена в работах [13]—[14].

В случае функционально-дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля второго порядка с суммируемым потенциалом асимптотика фундаментальной системы решений была найдена автором в работе [15].

Перейдем к рассмотрению граничных условий (3). Начнем изучение со случая т > 7Г (к0 = 0).

Общее решение дифференциального уравнения (1)-(2) в случае т > тг найдено в теореме 2 и описывается формулами (16)—(18), при этом справедливы начальные условия (19).

Теорема 6. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(2) с граничными условиями (3) имеет, следующий вид:

/(*) =

V)?1 гор гор IV™1 гор го™1

IVГ2 У0р гор гор гор

гор ™р гор го?3 гоР

гор гор гор

гор ™Р чир гоГ гоР

у{Г1]Ы,8) У^1]Ы,8) Узгаі)(тт,«) у{Г1](1г, в) У(5П1)0Г, 8) у(6П1)0

= 0.

(36)

Доказательство. Из первых пяти условий, входящих в граничные условия (3), имеем

у{шп)(0) (3) 0 (Ц) ^ Ск . у("*»)((), 5) = о ^

к=1

6

^ -а™" =0, та = 1,2,3,4,5, (37)

к= 1

причем а > 0 из (1), и легко проверить, что число 5 = 0 (А = 0) собственным значением дифференциального оператора (1)—(2)—(3) не является, поэтому из (37) следует, что

¿^•<" = 0, гг =1,2, 3,4, 5. к= 1

Из шестого условия, входящего в граничные условия (3), имеем:

6

У{пі)(п,8) = 0 ^ 22Ск ' ¿П1)(7Г,в) = 0, таї Є {0,1,2, 3,4, 5}. (38)

к= 1

Система (37)-(38) представляет собой однородную систему шести линейных уравнений

С шестью неизвестными Сі, С2, • • • , С6. Она имеет ненулевые решения ( Е С| ф 0 I тогда

\й=1 /

и только тогда, когда ее определитель равен нулю. Определитель системы (37)-(38) и записан в формуле (36) теоремы 6. Поэтому теорема 6 доказана. I

Таким образом, для нахождения собственных значений \к (\к = к = 1,2,3,...) дифференциального оператора (1)—(2)—(3) необходимо научиться искать корни вк уравнения /(з) = 0 из (36). Искать асимптотику корней вк уравнения (36) будем с помощью методики, изложенной в монографии [16, глава 12].

Уравнение f(s) = 0 из (35) можно переписать в следующем виде, раскладывая определитель по шестой строке и умножая на (—1):

f(s) = ¿61 • yíni)(7T, s) - ¿62 • У2П1)(?Г> S) + ¿63 • ySrai)(vг, s)-

- ¿64 • yirai)(vr, s) + ¿65 • ytl]^Г, s) - ¿66 • Убга1)(тг, s) = 0, (39)

где ¿6fc (к = 1, 2,..., 6) — алгебраические миноры к элементам шестой строки.

Для вычисления определителей ¿6fc (к = 1,2,..., 6) введем обозначение

z = W2- Из равенства (6) имеем:

W\ = 1 = z°; w2 = z = є е , w3 = z~, u>4 = z“, w5

27Г і

e 6 ,

w6

z5.

Используя свойства определителей и формулы (40), находим:

и)™1 wT1 ■ . w

¿66 — W™2 w?2 ■ . w

wp wP . . w

т\

5

ГП2

5

т5

5

zmi ^2mi ^3mi ^4mi

zm2 ^,2m2 z‘irri2 ^4m,2

zm3 ^2шз ^Зтз ^4шз =

zm4 ^,2m4 ^,3m4 ^,4)714

zm5 z2vrib z3ms ^4t7i5

m3,z m,4 zm6 ) = п (zmfc

к>п к,п£{ 1,2,3,4,5}

«С • «C zmi z2mi z5mi

¿6i — <2 «Г • • ^6m2 = zm2 z2rri2 z5rri2

^2тб ti** • • ^бтБ zrrib z2ms z5ms

zM-¿

66,

(40)

(41)

(42)

где

М = ті + ГП2 + rri3 + ítt-4 + = £

к=1

(43)

Ц"1 «*«* • • ^6mi

¿62 — ги?12 «Г • • <2

w™6 • <5

(1

¿6)

і ^2mi z5mi ^,2mi z5mi z6mi

і z2rri2 z5rri2 — z2m2 z5rri2 z6m,2

і z2 m5 z5 m5 z2 m5 z5 m5 z6mB

?2М • ¿ее-

(44)

Аналогичным образом доказывается, что

¿63 = ^зм • ¿66; ¿64 = ^4М • ¿66; ¿65 = ^5М • ¿66; ¿66 = ^6М • ¿66 ф 0.

Используя формулы (41)—(45), уравнение (39) можно переписать в следующем виде: /М = -М '¡ее {¡/i“l)(’r.s) - ~м ■ У^'Ч*,*) + ~2М ■ Узт>(*,*)--;зм . *<«>(,,, s) + z‘M . ¿"■’('Г. .) - s“ • ».'"‘V. .)} = 0,

причем на zM ■ ¿66 можно поделить, так как zM ф 0, ¿ее ф 0.

45)

Подставляя в уравнение (46) формулы (17)-(18), получаем:

fis) = 1

ги?1 • eau’lS7T

J2M

„4M

U,ni . eaw3sn

w?1 • eaW6S7T

А”1 (К, S)'

6 a5s5

6a5s5 (-.»)

6a5s5

— z

„М

wrn . eaw2S7r

AT(k,s) 6 a5s5

— z

’¿M

— z

5M

W>n . eaw48*

n i awQSTT

w6 • e

6a5s5

6a5s5

0, (47)

где введено обозначение

w

гг-i H-1 „aw/C1 sx

ki

*-

ki=l

r(t) • e-au^st • </(t - t) • (ft.rfcl +

+ J p(t) • e °“’fcisi • <//(i - r) • dipfel + 0

X

+ [ q(t) • e~au’kistip(t - r) ■ dtqkl

щ e {0,1, 2, 3,4, 5}. Из уравнения (47)-(48) следует, что

/<s) = ш - 6^ 'Ms) =0

где

(48)

(49)

(50)

(51)

/о (s) = 1 • ги?1 - zM • ги?1 + z2M • ги?1 - лзм • ги?1 + л4М • ги?1 - z5M • ги?1,

/5(s) = ^(тт, s) • [1 - + л2М - z3M + л4М - z5M].

Основное приближение уравнения (49) имеет вид

fois) = о, (52)

где fois) определено в формуле (50).

Индикаторная диаграмма (см. [16, глава 12]) уравнений (49) и (52) имеет следующий

(53)

Индикаторная диаграмма (53) представляет собой правильный 6-угольник с вершинами в точках к (к = 1,2,. ..,6), так как они делят единичную окружность на шесть равных

частей (тик = е^(А'_1), к = 1,2,...; = 1^.

Из [16, глава 12] следует, что собственные значения могут находиться только в заштрихованных секторах, изображенных на рисунке (53), бесконечно малого раствора, причем

биссектрисы этих секторов являются серединными перпендикулярами к сторонам этого шестиугольника.

Изучим подробнее шестой сектор. Из главы 12 монографии [16] следует, что корни функции /(з) из (36), (39), (46)—(51) асимптотически совпадают с корнями функции де(в), У которой мы оставляем в уравнении (49)—(51) экспоненты с показателями гВ\ = и)\ и = и>2 (только эти числа лежат на границе шестого сектора). Поэтому справедлив следующий факт: уравнение на собственные значения в шестом секторе имеет следующий вид:

д6(в) = [ги?1 • еа'Ш13П - ■ ю™1 ■ еат23Ж] - • [1 - гм] ■

W\ • ги?1 • eawisn I I ... I + w2 • w™1 • еа'Ш23Ж

ai

где мы воспользовались формулой (48) для А™1 {ж, s), причем

О, (54)

(=/ r(t) • e~awist • <p"(t - т) • dtri + / pit) • e~awist • <p’(t - t) • dtpi +

+ J g(t) • e-awist • <p(t - t) • dtqi = J Ф(t) • e~aWi8t • dtai,

о 0

Ф(і) = r(t) ■ <p"(t - t) +p(t) ■ <p'(t - t) + q(t) ■ <p(t - t), (55)

Ф(і) • e~aW2St ■ dt,

(56)

0 \0 /г2\° /p2'° 7 92

Основное приближение в уравнении дб(в) = 0 из (54) имеет следующий вид:

„ ,П1 ш М

go&is) = w™1 • eawisn - zM • wо1 • eaW2S7T = 0 ^ e“(wi-w2)^ = 2 га1 =

= e^r<M+n^ -ФФ- a(wi — W2)stt = 2ixik H—— • (M + ni) -ФФ-

6

О Skt6tOCli. = ———----•£, k = k+ M ^П1, k= 1,2,3,... (57)

a(wi — w 2) 6

Исходя из формулы (57), учитывая методику монографии [16, глава 12], приходим к выводу, что справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(2)-(3) в шестом секторе индикаторной диаграммы (53) имеет следующий вид:

2ik | 2i-d5k,6 ,^f1\ r_,iM + n i ,ссЛ

$k б — —/-------г Н-------------~~~ Н- U I ~— ) ч к — к 1 (58)

a(wi-w2) a{wl-w2)-k5 \kw J 6

причем

5

M(=] mk G {0,1,2,3,4,5}, k= 1,2,3,...

k=l

Доказательство. To, что асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1)—(2)—(3) (учитывая (53)) нужно искать в виде (58), следует из [16, глава 12] и [17]. В случае индикаторной диаграммы вида (53) не может быть разложения по дробным

к и не возникает эффекта “расщепления” “кратных в главном” собственных значений, который автор продемонстрировал в работе [18].

Поэтому для доказательства теоремы 7 нам необходимо найти в явном виде формулу для нахождения коэффициента (1^,6 из (58).

Используя формулы Тейлора и формулу (58) для 6, имеем:

е

а{ги-1 —102)37:

— е

а{ги\-ги2)'К-

а{ги\-ги2)'К-

2ЫЬк,6

1 . е^-(м+т) .

1 +

2жг(1.

к5

г (го-^ —Ю2

О [ J-,к10

Г59)

1 а(го 1 — ъи2) 8к, 6 21к

0 | _2_у р\__аъ{и)1-и)2)ъ

к6

’к, 6

25{5к5

21 А1-

Г60)

Ф(£) • е

• сИ

5А;,6

Ф(£) • е"

— 2гг«1 2

«1-го2 .

ах ,а2

$к,6

(¿¿р1р2 + О

ф(г) = г(*) • <р"(г - т) +р(г) ■ <р'(г - т) + д(*) • <р(г - т).

Подставляя формулы (58)—(61) в уравнение (54)—(56), получаем:

<1 • е^'(м+га1)

- ы2 ■ г

5 \5

где

27ггс?,

к5

5к,6 _ е 2|1.(м+щ)_

1 а (г<;1 — ги2) • * 6а5 25 • г5 • к5 • г

Вг(,г)+е(|т;)= 0-

1

1 + о(^)).[1-^

(61)

(62)

В2(тт) = «л • ги?1 • е^'(м+га1) •

I ^1

+ гу2 •

(63)

Р1

V 2

Коэффициент при /с0 в формуле (62)-(63) равен нулю: го™1 • е

. РтгЧм+га1) _ ^"1 .

1«! . еТ-М . е^р.щ _ . е 6

27гг \ ( 27тг

е 6

м

= 0, что подтверждает справедливость нахождения асимптотики собственных значений в виде (58).

Приравнивая в (62)-(63) коэффициенты при к~5, имеем:

2хг

2тй5ка ■ е в

откуда следует, что справедлива формула

Ввиду формул (6) имеем:

IV1 — и>2

27Г г

1-е 6

е 6

е 6 — е 6

(-2г) • еТ ят ;

1 - г

м

1-е 6

'■-■м

е¥-м

=т.М --М £6 1У± — 0 6 11

(_2г).е^'М8ІП

7Г М

т

Б2(7г) = 1-1гаі-е^'м-е^'гаі

2ТГІ

Ф(І) • е • (ІІР1 + Є 6 •

2хг / 2гг^2 кі 2хг 7гг 2х д ж

е 6 / ф(£) . е »1-»2 • (ІІР2 = е 6 1 • е 6 • е 6 -

е 6 . е 6

— 2ікі (1У-]+и)2 . Ц)-| — го2 Ч

Ф(і) • е"1_"2 ' 2 2 ' ■ <іі,

V1

7гг —7тг

+е 6 • 6

•м

Ф(і) • е

— 2ікі ( гиі+ги2 ^1—^2

гої —хип

).

(Й,

Р2

где

2тгг ^ 7гг 7гг н

• е^'м • 2 •

VI

= І Ф(і) • е-^ • сое ( Ы + ^ -

Уі О

7Г

7гМ\ ,

її-— І'Лц.

так как = \/3 • г.

ҐШі+'Ш2 гиі— Ю2

ГМ)

:б7)

Подставляя формулы (65)-(67) в формулу (64), находим: = —12^32'(_Зг)5^™'5 (|)5

/ 7Г \

/ о Л —-М • (жМ\ ^Жї-т — —-М п I С \ 1

(—2г) • е 6 • эт (л^і) ■ е в П1 ■ е е • е е • 2 • М ... 1 —

— 27гг д / —27гг

е 6 • е 6 гаі

Т927Г • 8ІП (^Г

1 / 7ГМ\

Ы 6 =-----------• 81П ----

192тг V 6 /

6 6 /

VI)

Г 68)

где М = Е гай, Ф(і) = г(і) • </?"(£ - г) +р(і) • ^{Ь - г) +^(і) • </?(£ - т), т > 7г, А; = А; +

А: = 1,2,3*Т!..

Получение формулы (68) завершает доказательство теоремы 7. I

Заметим также, что в оставшихся секторах индикаторной диаграммы (53) асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)—(2)—(3) находится аналогичным образом, при этом справедливы следующие соотношения:

Формулы (58) и (68) позволяют найти асимптотику собственных функций дифференциального оператора (1)—(2)—(3) (в случае т > тг) аналогично тому, как это было сделано в работах [13]—[15].

Аналогично вышеизложенному можно найти асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1)—(2)—(3) и в случаях т Е (|;7г], т € (|; |] и т € (0;|].

При этом, ввиду формул (24)-(27) в случае т € (§;7г] и (29)-(32) в случае т € (|; |]

асимптотика собственных значений ищется в виде, отличном от формулы (58):

2гк 2г Г дзк,6 <¿№,6 . д5к,б . ^ / 1

8к,6 = —,--------^ ^~^ + -^ + -^ + 0 —

а(и>1 — и>2) а(и>1 — и>2) [_ к3 А:4 А:5 \&6

где к = к-\- м+га1; индикаторная диаграмма имеет при этом вид (53), и главные приближе-

ния асимптотик совпадают. В остальных секторах индикаторной диаграммы справедливы соотношения (69).

В завершение отметим, что аналогично, но с гораздо более сложными вычислениями, изучается спектр оператора (1)-(2) с граничными условиями

У("П)( 0) = у(™2)( 0) = у(™з)(0) = 0) = у(га1)(тг) = у(га2)(тг) = 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Каменский Г.А. Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом // Ученые записки МГУ: математика. 1954. Т. 165, № 7. С. 195-204.

2. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // УМН. 1949. Т. 4, № 5(33). С. 99-141.

3. Мышкис А.Д. О решениях линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка периодического типа с запаздывающим аргументом 11 Математический сборник. 1951. Т. 28(70), № 1. С. 15-54.

4. Норкин С.Б. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом 11 Ученые записки МГУ: математика. 1956. Т. 181, № 8. С. 59-72.

5. Эльсгольц Л.Э. Вариационные задачи с запаздывающим аргументом. Вестник МГУ. 1952, № 10. С. 57-62.

6. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. 356 с.

7. Пикула Милэнко. О регуляризованных следах дифференциального оператора типа Штурма— Лиувилля с запаздывающим аргументом 11 Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 25, № 1. С. 103-109.

8. Пикула Милэнко. Определение дифференциального оператора типа Штурма—Лиувилля с запаздывающим аргументом по двум спектрам // Математични весник. 1991. Т. 43. С. 159-171.

9. Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: ИНТУИТ, 2009. 364 с.

10. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами 11 Вестник Московского ун-та. Сер. 1: математика, механика. 2009, № 3. С. 14-17.

11. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 672 с.

12. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007. 384 с.

13. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма—Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом II Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 10. С. 1423-1426.

14. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма—Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом II Известия РАН. Сер.: математика. 2000. Т. 64, № 4. С. 47-108.

(70)

15. Митрохин С.И. Спектральные свойства краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 8. С. 1085-1093.

16. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 528 с.

17. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Белабасси Ю. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса // Доклады АН СССР. 1980. Т. 254, № 6. С. 1346-1348.

18. Митрохин С.И. О “расщеплении” кратных в главном собственных значений многоточечных краевых задач // Известия ВУЗов. Сер. математика. 1997. № 3(418). С. 38-43.

Сергей Иванович Митрохин,

НИВЦ МГУ им. Ломоносова,

Ленинские горы, д. 6,

141075, Москва, Россия

E-mail: mitrokhin-sergeyOyandex. ru