Об исследовании дифференциального оператора с суммируемым потенциалом с разрывной весовой функцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. Ш 4 (2017). С. 74-86.

УДК 517.9

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С РАЗРЫВНОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ

С.И. МИТРОХИН

Аннотация. В работе предлагается новый подход к исследованию дифференциальных операторов с разрывной весовой функцией. Изучены спектральные свойства дифференциального оператора, заданного на конечном отрезке, с разделенными граничными условиями, с условиями «сопряжения» в точке разрыва весовой функции. Предполагается, что потенциал оператора является суммируемой функцией на отрезке задания оператора. При больших значениях спектрального параметра получена асимптотика фундаментальной системы решений соответствующего дифференциального уравнения. С помощью этой асимптотики изучены условия «сопряжения» рассматриваемого дифференциального оператора. Затем исследованы граничные условия изучаемого оператора. В результате получено уравнение на собственные значения оператора, которое представляет собой целую функцию. Исследована индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения, которая является правильным восьмиугольником. В различных секторах индикаторной диаграммы найдена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора.

Ключевые слова: спектральная теория дифференциальных операторов, спектральный параметр, суммируемый потенциал, разрывная весовая функция, индикаторная диаграмма, асимптотика собственных значений.

Mathematics Subject Classification: 34L05, 45С05

1. Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальный оператор

Цу(х)) = У(8)(х) + Я(х)у(х) - Хр(х)у(х),

заданный на отрезке [0; ж], где Л — спектральный параметр, с разделенными граничными условиями, причем потенциал д(х) является суммируемой функцией на отрезке [0; ж], а весовая функция р(х) является кусочно-постоянной с точкой разрыва Х\:

р(х) =

а8, а > 0, 0 ^ х < х\, b8, b > 0, Х\ < х ^ ж.

Более подробно: мы изучаем дифференциальный оператор, задаваемый дифференциальными уравнениями вида

(х) + Ч1(Х)У\(Х) = ^о8У\(х), 0 ^ х < х\, а > 0, (1)

у28\х) + д2(х)у2(х) = \Ь8у2(х), х\ < х ^ ж, Ь> 0, (2)

S.I. Mitrokhin, Study of differential operator with summable potential with discontinuous

weight function.

©Митрохин С.И. 2017 . Поступила 25 августа 2016 г.

с условиями «сопряжения» в точке разрыва Х\:

ит„п^ — г.тп,(т) I

yi(xi - 0) = у2(хг + 0), bmy\m>(xi - 0) = атуГ'(xi + 0), т = 1, 2,..., 7,

yi(xi - 0) = lim yi(x), y2(Xi +0)= lim y2(x) ,

X^X1,X<X1 X^X1,X>X1 I

с разделенными граничными условиями

У(Т1) (0) = У{Г2)(0) = ■ ■ ■ = У(Т7) (0) = yfl) to = 0, mi <т2 < ■ ■ ■ < т7; тр, ni £ {0,1,2,..., 7}, р = 1,2,..., 7,

(3)

(4)

при этом мы предполагаем, что функции д\(х) и (х) являются суммируемыми на отрезках [0; жх] и [х\; ж] соответственно:

qi £ Ь1[0; Х\] / qi(t)dt) = qi(x) рр Ух £ [0; ж1],

ж )х, (5)

q2 £ Li[xi; ж] / q2(t)dt) = q2(x) рр Ух £ [xi; ж].

\Jx1 /х

Дифференциальные операторы с разрывной весовой функцией (даже в случае непрерывного или гладкого потенциала) изучались не часто. Классической работой по этой тематике является работа [1], в которой для самосопряженного дифференциального оператора второго порядка была получена теорема равносходимости в точке разрыва коэффициентов.

Впрочем, даже случай непостоянной весовой функции изучен недостаточно полно, особенно для операторов порядка выше второго. В работе [2] для оператора Штурма—Лиувилля изучался вопрос о максимально возможной скорости роста нормированных собственных функций, если весовая функция непрерывна и положительна. Вопрос об оценке нормированных собственных функций оператора Штурма—Лиувилля с положительной весовой функцией изучался в работе [3]. Изучены ли эти вопросы для операторов четвертого, шестого и выше порядков, автору неизвестно.

Задачи изучения дифференциальных операторов с разрывными потенциалами (а также разрывной весовой функцией) возникают во многих задачах механики, физики и математики, например, в задачах о продольных колебаниях стержней или поперечных колебаниях балок, составленных из материалов различной плотности. Такого рода задачи приводят к необходимости исследования операторов с разрывными коэффициентами при прогнозировании землетрясений и цунами. Такого рода вопросы рассматривались автором в работах [4, 5].

В работе [6] изучен оператор дифференцирования (первого порядка) с разрывной весовой функцией (кусочно-постоянной). В работе [7, с. 201-205] был получен аналог теоремы Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами. В работе [8] изучены спектральные свойства краевой задачи для оператора второго порядка с разрывной (кусочно-постоянной) весовой функцией. В работе [9] были изучены операторы первого и второго порядка со знакопеременной весовой функцией (опять-таки, операторы порядка выше второго ни в одной из этих статей не рассматривались).

В работах [10, 11] гладкость потенциала была понижена и был предложен новый и актуальный метод для исследования оператора Штурма—Лиувилля с суммируемым потенциалом (весовая функция при этом была равна единице).

В работе [12] был предложен метод, отличный от метода работ [10, 11], для исследования спектральных свойств дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом, который подтверждал результаты работ [10, 11] для оператора второго порядка. В работе

[13] метод работы [12] перенесен на функционально-дифференциальные операторы, а в работе

[14] на оператор шестого порядка с суммируемым потенциалом с запаздывающим аргументом.

Задача исследования спектральных свойств операторов с негладкими коэффициентами остается актуальной до сих пор. В работах [15, 16] в качестве потенциала (для оператора второго порядка) рассматривалась ¿-функция.

В работе [17] автор изучил дифференциальный оператор второго порядка с суммируемым потенциалом и произвольной гладкой весовой функцией.

В работе [18, гл. 4] были исследованы дифференциальные операторы с разрывной весовой функцией: второго порядка с кусочно-постоянной весовой функцией и кусочно-гладким потенциалом, четвертого порядка с суммируемым потенциалом, четвертого порядка с кусочно-гладким потенциалом и кусочно-гладкой весовой функцией. Исследование дифференциального оператора (1)-(5) является продолжением исследования работы [18, гл. 4]. Необходимость условий «сопряжения» (3) следует из физических соображений (см. [19, гл. 1, с. 27, гл. 2, с. 147-152]).

По терминологии работы [20, гл. 2] граничные условия (4) являются нерегулярными, при этом мы одновременно изучаем целое семейство дифференциальных операторов (всего возможно 8 ■ 8 = 64 различных видов граничных условий (4) при изменении чисел т\, т,2,..., Шт и п\). Все получившиеся операторы этого семейства будут иметь аналогичные между собой спектральные свойства.

2. Асимптотика решений дифференциальных уравнений (1), (2) при больших значениях спектрального параметра А. Пусть Л = 88, 8 = 8А, причем для корректности дальнейших выкладок зафиксируем ту ветвь арифметического корня, для которой ^Т = +1. Обозначим через Wk различные корни восьмой степени из единицы:

= 1, = е ^г(к-1) (к = 1, 2,..., 8);

1 ш (2ж\ . . (2ж\ л/2 .л/2 , п

wi = 1, w2 = е 8 = cos I —— I + г sin — = — + г—~ = z = 0,

/ Ко у 2 2 (6)

4хг о бхг о V2 V2

W3 = е 8 = z = г, W4 = е 8 = z = ——+ г—,...; wk = zk-1, к = 1, 2,..., 8.

Числа wk (к = 1, 2,..., 8) из (6) делят единичную окружность на восемь равных частей. Для этих чисел справедливы соотношения:

8 8

^ wpk = 0, р = 1, 2,..., 7; ^ wpk ,р = 0, р = 8. (7)

k=i k=i

Методами работ [20, гл. 2, 21, гл. 1, 22, гл. 4] устанавливаются следующие утверждения. Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид: 88 yi(x,s) = ^2 Cikyik (x,s); ylT)(x,s) = YJ Ciuy^(x,s), т = 1,2,..., 7, (8)

k=i к=1

где Сii, С12,..., С18 — произвольные постоянные, причем для фундаментальной системы решений [yik(ж, s)}|=i справедливы асимптотические разложения и оценки при |s| ^ те:

А°, (г s) /р1 Im

Vit (х, s) = " - ^) + Ы1^) , к = 1, 2,..., 7, (9)

„Ц^ .) = (ааГ{^- - W + о(^)}, (10)

к = 1,2,..., 8, т = 1, 2,..., 7,

¡■X

А0к (x,s)= wieawisx qi(t)ea<yWk-Wl)stdtaki + Jo

rx

+W2eaW2SX qi(t)ea(-Wk-W2)stdtak2 + ■■■ + (11)

Jo

r x

+W8 eaW8SX qi(t)ea<yWk-W8)stdtak8, к = 1,2,..., 8, o

A?k (x, s) = ^ wnw™eaw"sx( г ...^ , к = 1,2,..., 8, m = 1,2,..., 7. (12)

n=i \ JO / akn

При выводе формул (9)^(12) используется метод вариации постоянных и соотношения (7).

Теорема 2. Общее решение дифференциального уравнения (2) имеет следующий вид:

8 8 у2(х, в ) = ^С2 ку2к (х, в); У(2п)(х, $) = ^С2к уз), т = 1,2,..., 7, к=1 к=1

где С2к (к = 1, 2,..., 8) — произвольные постоянные,

У 2к (х, 8) = еы"к3Х -

В0к(х, 8) /е11т ^

+ О

/ р\ 1т «|х\

У2к)(х, 8 )

■ткпеы"кЗХ

( Ъ8 )п 8а7 87

8

8 а7 в7 \ ¿14

+ о

к = 1, 2, . . . , 8,

Вп(х ч) /р!1т51х\

В7к (X, 8) 1 ^ ) , к = 1, 2,..., 8, т = 1, 2,..., 7,

= > -ыпе

п=1

В7к(х, «) = £

8

Вкк (х, *) = £

Ьтп зх

¡■Х

/ д2(*)еь'-^(Иькп, к = 1,2,...,8,

Х

в) = > ■ШпЫ1?^'1'"™

п=1 ^Х1

■ШпМПе~'пах I еь2'Шк-'Шп)з1(Иькп, к = 1,2,..., 8, т = 1,2,..., 7.

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

При выводе формул (8)—(17) мы требовали выполнения следующих начальных условий:

А°7к(0, ¿0 = 0; АПк(0, ¿0 = 0; У1к(0, в) = 1; у^ (0, в) = )п;

В07к(х1, 8) = 0; В?(х1, 8) = 0; У2к(хь в) = еЬ'к*Х1; (18)

у22к)(х1, з ) = ( ^ Г^е^^1; к = 1, 2,..., 8; т = 1, 2,..., 7.

3. Изучение условий «сопряжения» (3). Подставляя формулы (8) и (13) в условия «сопряжения» (3), получаем:

У1(х1 - 0) = у2(х1 +0) С2кУ2к(х1 + 0) = ^ С1кУ1к(х1 - 0);

к=1

к=1

8

8 (пп) ( + 0)

( )пу2п)(х1 - 0) = ( а,Ту^х +0) ^ £ С2к У2к ^п+0)

к=1

8

(19)

С1 к

У[(к) (х1 - 0)

(ав )п

к=1

, т = 1, 2, . . . , 7.

С21, С22, . . . , С28

С11, С12, . . . , С18 кая система имеет единственное решение:

Лк

С2 к =

Л( ) = 0 Л( )

к = 1, 2, . . . , 8,

(20)

Л( ) =

У21(х,8) 2( х, ) . . . У27(х,8) У28(х,8)

У21(х,в) У22 (х, *) У27(х,в) У28(х,8)

Ь 8 Ь8 . . Ь 8 Ъ8

У2i(х, 8) У22(х, в) y227)(х, Э) у28 (х,в )

(Ъ8)7 (Ь8)7 . . (И7 (Ь8)7

= 0.

(21)

х=Х1+0

Л( )

линейно-независимых решений {у2к(х, в)}|=1 дифференциального уравнения (2), поэтому он не

равен нулю ни в одной точке полуинтервала (Х\;ж]. Этот же факт можно вывести, исходя из начальных условий (18) и формул (14), (15):

А(*) =

е

Ьшхвхх

е

Ьш23X1

и)^1^1 ■ы2е1ш23х1

щ^Ыогзх! еЫи23Х1

7 рЬи1в Х1

■и]{ е

7рЬи2 вХ1

е

Ь'Ш7 в Х1

е

Угш8 в Х1

%ю7еь'Ш78Х1

и2еЬыгз Х1

теЬт8з Х1

Х1

7 рЬшт в Х1

Щ е

^ ^Ъ-ш^в Х1

(22)

= еЬ{'Ш1+'ш2+^^+'ш7+'ш6)зХ1 до = еОАо = Д0=0,

где

Л (ык - ) = 0,

к>п;к,п=1,2,...,8

1 1 . .1 1

•Ш2 .

А0 = . Му

7 и)[ ™2 . 7 . ,ш7

(23)

А0 — определитель Вандермонда чисел п)1,ю2,..., и)8.

В формуле (20) определители А к (к = 1, 2,..., 8) получаются го определителя А(з) из (21) заменой й-го столбца на столбец ^ Т,к=1 с\к У1к (х, з); Т,к=1 С1 к Щ ^а);...] Т,к=1 С^1^*/^ Например, А1 имеет следующий вид:

\CllVll + С12У12 +-----+ С\8У18}х=Х1-0

Х=Х1-0

А-!

Си + Си + ••• + ^ аз а,в а,в

Х=Х1-0

(7) (7)

п Ун I п У12 I

( а )7

( а )7

+ С18

(7) 1

а )7_

Х=Х1-0

У22 У 233 ... 28

У2 2 Ъв У2 з Ь в ... у2 8 Ьз

(7) У22 (Ьз)7 (7) У 23 (Ьз)7 . . . (7) У28 (Ьз)7

(24)

Х=Х1+0

Раскладывая определители Ак из (21)-(24) на сумму определителей по к-му столбцу (к = 1, 2,..., 8), получаем:

8

Ак = ^СщАкп, к = 1, 2,..., 8, (25)

п=1

УЬп У22 23 . . . У28

а1п = У\п а у2 2 Ъв у2 з Ь в .. у2 8 . Ъв

(7) У\п (аз )7 (7) У22 (Ьз)7 (7) У23 (Ьг)7 .. (7) У28 . (Ьв)7

Х=Х1±0

А

2 п =

У21 у1п У23 . . 28

у2 l Ъв У\п а у2 з Ь в .. у2 8 . Ъв

(7) У2г (Ьз)7 (7) У\ п (аз )7 (7) У2з (Ьг)7 ^ (7) У 28 . (Ь8)'

(26)

Х=Х1 ±0

У21 22 . . . 27 Уы

А8 п = У2 l Ъв У2 2 Ъв . У2 7 . Ъв У\ п а

(7) у2\ (Ьз)7 (7) У22 (Ьз)7 . (7) У 27 . (Ь*)7 (7) Уы а )7

Х=Х1±0

7

7

Для определителя До из (23) можно вычислить матрицу алгебраических миноров для элементов этого определителя:

(Д0тк) —

До11 До12 . . . Д017 До18

До21 До22 . . . До27 До28

До71 До72 . . . До77 До78

До81 До82 . . . До87 До88

1 _1 1 _1 . . .1 _1

До щ-2 ,2—1 _щ—2 _щ—1 щ—2 щ—1 .. _щ—2 .. . _щ— 1 . щ—2 щ—1 _щ—2

8

_щ—7 116 щ-7 , 116 _щ7 _щ—6 .. щ—7 .. . щ—6 . _щ—7 —6 щ7

(27)

Справедливость формулы (27) можно проверить разложением определителя До из (23) по строкам и по столбцам.

Используя формулы (9), (10), (14), (15) и (18), имеем:

Д

1п

0а'шГ1,з Х1

АопЫ, *) +п( М

8 а7 87 + ~\8и) Атп^ъ ^ ,п( 8 а7 87 + -1

8 а7 8 7

щпе

а-Шпв Х1 _

Ьш2$Х1

Ьш7вХ1

+ - Л4

Ьш2$Х1

Ы2ё

еЬш28 Х1

щ7е

ЬшгвХ1

щ8е

,2 еЪ-Ш73Х1 ,2 еЪш83Х1

8 а7 7

атп вХ1 1гш23Х1 ЬтзвХ1

А7п(х1,«) +

8и

еЬт23 Х1

,7еЬт7ЗХ1 ,7 еЬт8ЗХ1

(28)

— ( ) ^ГШТЗХ-1 (,Ь'Ш83Х1 ф _

—Ь т13 Х1

8 а7 7

~Фп7 + - ~Г7

1 1 . .1 1

Фп — ,2 . Щ . . ,7 . щ2 ,8 ,82

Щп 7 щ . . щ7 7 ,87

, Фп7 —

А7п (х1 А71 п( х1, ) ) 1 . ,2 . . .1 . ,7 1 ,8

А77п (х1 *) Щ . 7 . ,7 ,87

п — 1, 2,..., 8.

(29)

Используя формулы (7), (23), (27) и свойства определителей, из (28), (29) находим:

Д1п — Ф1п(Х1, в) _

ф1п7(хЪ 8) Ьт

1 Х1

+ - ~и , п — 1, 2,..., 8,

8а7 в 7 ~\в1

Ф1п(х1,8) — 0 (п — 2,3,..., 8); фи(хь8) — Дое(аШ1—Ьт1 )аХ1, Д 8

Ф1п7(х1,8) — кАк—:1(Х1,5), п — 1, 2,..., 8.

(30)

(31)

(32)

к=1

Для определителей Д2п, Дзп,..., Д8п из (26) аналогичным образом выводим следующие формулы:

Дтп — Фmп(х1, 8)

Фтп7(хЪ -Ьш.

Х1

'Ш

+ — 1Г , т,п — 1,2,...,8,

(33)

8 а7 87 уз1

Фтп(х1, в)—0 при т — п; Фтт(хъ 8) — Дое(^т-Ыт)зХ1, т — 1,2,..., 8, (34)

8

(35)

Фтп7(х1, в) — ^т кА^п 1(х1,«), т,п — 1,2,..., 8.

к=1

7 „а1ипЗХ1

Применяя формулы (11), (12), в формуле (35) имеем:

к— 1 paw.ps х\

8 8 / 8 / ,-хг \ \

Е <кАкп = 1 еа'рЗХ1( ■■■) =

к=1 к=1 ^р=1 У апр/

= ^ ■шреа'шРЗХ1 ( ( 1 .. Л ( ^ (^ = wmeаWm3X1 ( ( 1 .. Л ■ 8,

р=1 / апр\ ^^т / / ) апт

т,п = 1,2,..., 8.

Используя формулы (30)^(36), выпишем матрицу элементов (Дтп) (т, п = 1, 2,..., 8):

(Дтп \

С1 ' WlTll + ■ 1 8а7 з7 + С1 [0 ^ + 1 0 8а7з7 _ С1 [0 ^71 + 1 0 8 а7 з7 + С1 [0 ^ + 1 0 8а7з7 ]

(2 0 W2Tl2 0 8а7 з7 +..._ С2 W2T22 _ 8 а7 з7 ._ С2 0 W2T72 0 8 а7 з7 +..._ С2 0 W2T82 1 0 8а7з7

с7 [0 тТ17 + 1 0 8а7з7 +... С7 0 W7T27 8а7з7 +... С7 . W7T77 1 8а7 з7 +... С7 0 W7T87 "I 0 8а7з7 +...

С8 0 W8Tl8 8а7з7 +... С8 0 W8T28 0 8а7з7 . С8 0 W8T78 8а7з7 +... С8 . W8T88 1 1 8а7з7 +...

где введены следующие обозначения:

с = „(а'т— Ь'т)вХ1. гр = Ст, — & . гтп —

х

д1 (*) еа('т— ' )а*М,

(37)

т,п = 1,2,..., 8; " + ... " = " + О (

Получение формул (37) полностью заканчивает изучение условий «сопряжения» (3). 4. Изучение граничных условий (4). С помощью формул (8)^(10) и (18) первые семь из граничных условий (4) принимают следующий вид:

у{тт )(0) = 0(г = 1, 2,..., 7)

( аз )т

к=1

0 ^ Е С1кwm =0, г = 1,2,..., 7. (38)

к=1

Восьмое из граничных условий (4) с помощью формул (13), (20) и (25) преобразуется следующим образом:

^) е. ^ 0« ±С» = 0« £ ^ = 0«

2к ф8)п! -

(Ьз)п1

8 , 8

к=1

п )

к=1

8 у 8

8/8 ) / \ <* Е(Ес1пДкп) = 0 ^ЕМЕ Д

к=1 4 п=1 ' ( ) к=1 Чп=1

п1 = 0, 1, 2, . . . , 7.

Д( ) ( ) п

у{п )(ъ, В )

п к

п V, * ) \

(Ьз)п1 )

(39)

Система (38), (39) представляет собой однородную систему из восьми линейных уравнений с восемью неизвестными Сц,С12,... ,С18- Из теоремы Крамера мы делаем вывод, что такая система имеет ненулевые решения (^к=1 С8к = 0) только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Поэтому справедлива следующая теорема.

°

0

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора, (1)-(4) с условием (5) суммируемости потенциала представляется в виде

h(s ) =

wm wm wm . wm2 . . wm . wm wm1 wm2

wm7 b81 wm7 . Ь 82 . . wm . 87 wm7 88

(40)

8 (щЪ л

■ЧТ^ . Уои Ы, S)

к=1

(bs)

Раскладывая определитель h(s) из (4) по последней строке, имеем:

h(s) = b8\Ri - b82R2 + b83R3 - b84R4 +-----+ b8jRj - b88R8 = 0,

где Rn (n = 1, 2,..., 8) — алгебраические миноры к элементам последней строчки в h(s). Определители Rn легко вычисляются, используя формулы (6):

(41)

(42)

R8 = w m w m2 wm ... wm2 ... wm1 wm2 wm wm = 1 m 1 m2 m m2 6 m 6 m2 =

wm wm7 ... w 6m7 wm 1 m7 m7 g5m7 6 m7

det Wandermond's( zmi m2 , . . . , m7 )= г>к;г П к=1,2,.. (zm - zmk .,7 ) = W7 =

R = wm wm2 wm ... wm2 ... wm wm wm1 wm2 m m2 2 m 2 m2 . . . 6 m . . . 6 m2 7 m 7 m2

wm7 wm7 ... w m 7 wm7 m7 2 m7 . . . 6 m7 7 m7

(43)

(44)

= zmizm2 (... )zmrR8 = zMrW7, М7 =

к=1

Шк,

числа тк (к = 1, 2,..., 7) определены граничными условиями (4). Аналогичным образом выводятся следующие формулы:

К2 = г2М7Шт, Rз = г3М7Шт,...; Rn = гпМ7Шт, п = 1,2,..., 8

(45)

Подставим формулы (43)-(45) в уравнение (42), поделим на = 0, получим следующее

уравнение

h(s) = ¿(-1)к-1Ъ8к z(k-l)M = 0,

(46)

к=1

величины Ъ8 к (к = 1, 2,..., 8) определены в (41), Арк заданы в (37), У^Щ}1 (к, в) выписываются, исходя из (14), (15).

Изучение асимптотики корней уравнения (46) тесно связано с изучением индикаторной диаграммы этого уравнения (см. [23, гл. 12]). Индикаторная диаграмма — выпуклая оболочка множества показателей экспонент, входящих в это уравнение. Применяя формулы (41), (14), (15), (37), уравнение (46) переписывается более подробно в следующем виде:

8 ('П1] / \ 8 (п\) / \

ы «Л ^ Л у2' ](к, 8) М ^ Л У2' ](к, 8) + +

к=1 к=1

У(2к )(Ъ, S) 7M7

А к7--

к=1

+z6 M ^ А,

к7 "(bs)ni z

( ) n

J2a„8 = 0.

к=1

(bs)

n

0

откуда выводим:

(т), ч 8

к^) = У2\ 11: £(- 1)к—у к—1)МтД1 к+

( )

к=1

+

( п ) 2

(Ъв)^

( п ) 7

(Ьв)^

У%%, 8) (Ьз)

( п ) 8

+£( - 1)к—^1)М7 Д2 к + ••• +

( ) к=1

( п ) 8

+Е( - 1)к—у к—1)М7 Д7к+

к=1

п

£(-1)к— ^^ 1)М Д8к = 0,

к=1

отсюда следует, что индикаторная диаграмма имеет следующий вид:

2) Я=ст1+Ъ(%-х^)

7) (48)

Индикаторная диаграмма, изображенная на рисунке (48) представляет собой правильный восьмиугольник. Корни уравнения (47) мшут располагаться только в восьми секторах бесконечно малого раствора, биссектрисы которых являются серединными перпендикулярами к сторонам этого восьмиугольника.

5. Асимптотика собственных значений в секторе 1) индикаторной диаграммы (48).

Применяя формулы (14), (15) и (37), перепишем уравнение (47) в следующем виде:

К 8 ) =

+

пх0Ь'13ж В71 (,К, в)

1 ~ 8Ь7в7

Ыи2этт В72 (к,

+о 4

^ в14

wпlebW2S7T

+

п1 7

w8±e

8 7 7

вп (*, *)

8 ъ787

От (Ж1, в) =

П 'Шт (

М7

Пт2 -

Wm

+г

2т7

Пт3 —

8 а7 7 ° Wm (

е(а'—ь')зХ1П1(х1,8)+ е(а'2—ь')з Х1П2(х1,8) + ••• + е(а'8—Ь'>Х1П8(х1, в) = 0,

Г -)

/ а1т /-

) а2т .

(49)

+ О

8и

+

8 а787 V 1° ..)ат + °С14)

7М7

Пт -

Wn

(

СХ1

+ <

814

8 а787\J° / а8т

Птт = 1, Птп = 0 (т = п); т,п = 1,2,..., 8

Из общей теории (см. [23, гл. 12]) нахождения корней квазимногочленов вида (49), (50) следует, что в секторе 1) надо оставить только те экспоненты, показатели которых лежат на отрезке [wiR;w2R] индикаторной диаграммы (48). Этот факт приводит к выводу о справедливости следующего утверждения.

Теорема 4. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора, (1)-(4) с условием (5) суммируемости потенциала в сект,ope 1) индикаторной диаграммы, (48) имеет следующий вид:

— \„,ni0Rwis

fi(s ) — [w^e

- zM7wn eRw2S

]-

1

8F

WV1

К f

aii

eRwlS _ Wl wm cRwisZM7

a7 1 \ .,0

l ".)

+

a21

+ В 71 (к, s) ^aw1—b wi )sxi _ WlwnizM7 £Rw2S f ^

b7 a7 2 \J0 '")

+

(51)

a22

+WrWnieRw2S

7 2

_ В72 (к, s) M7 Jaw2—bw2)

s xi

+ Q -лт =0.

a \J0 / a!2

При этом экспоненты вида exp( Rwms) (т = 3,4,..., 8) и интегралы вида (fo1 ...) aim, (fo1 ...) a2m,... ,т = 3, 4,..., 8, входящие в уравнение (49), (50), но не входящие в уравнение (51), в секторе 1) будут представлять собой бесконечно малые величины.

Поделим в уравнении (51) на eRw2Swn = 0, заметим, что = zni (из (6)), перепишем его в

w1

виде

fi(s) = [еR(w-w2)s - zM7zni]-

1

8F

+ ^^ + ^—Rw2^g3(Xl, к, S) a7 a7 b7 1

a11

gi(xi, s )=wi^J ...^ 92(xi, s )=W2Zn4 ( ...) -WiZ

0 ai2

eR(wi—w2)s — w2ZM7 zni

+ Q[ — I =0;

x

/0

a22

— HU 7M7 eR(wi —w2)S

x

0 ai2 0 a2i

g3(xi,K, s) — Bn(к, s)e(awi —bwi)sxi - zM7B'n2 (ж, s)¿aw2—bw2)sxi. Основное приближение уравнения (52) имеет вид:

рRw — w2)s = M7 ^ = р2nikp7 = 2mk

е — б б — е а 8 а 8 w й 71,осн — т-,/ \ ,

R(wi — w2)

R — axi + Ь(тт — xi), k — k + ^^ + ni, k G Z.

8 8

(52)

(53)

Поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(4) с условием (5) суммируемости потенциала в сект,ope 1) индикаторной диаграммы (48) имеет следующий вид:

-W4).

Sk,i

R(wi — w2)

k7

7 , M7 ni ,

, k — k + —7 + , k G Z. 88

(54)

Для доказательства теоремы 5 достаточно показать, что коэффициенты 6,7к,1 в формуле (54) вычисляются единственным образом и вывести явную формулу для их вычисления. Применяя формулу Маклорена, получаем:

R(wl -,ш2)-

R(w\—w2 ) s

exp

Sk,l

R( wi - w2)

k + ^ + q( J-

k7

'H

— M7 n

2-iïid7k i ^ ( 1 k7 ~\ки ^ — R7(wi -W2)71 f /1 s 7ki 2Vf ~k7\ 1+

(1+Q(è)).

a

Подставляя формулы (53)-(55) в уравнение (52), имеем:

хМтхп1 + г Мт гп1 2К

.&7к1 , 1 \ Мт п1

+ 0 ^ - хМтхп к7 ~\к14'

R7(w1 - w2)l

8• 27п7г3

х к7( 1 + °(к8)) 1

91(Х1, 8) §2(Х1, 8)

7

+

а

7

+

+^е~К'2°w—п1 д3(х1,ж, 8)

.к,1 ~\к14)

откуда находим, что

= К!(гУ1 - w2)7 _—м. —щ й7к'1 = 8 • 27к7%ъ2'К% * *

91(Х1,8) ^(Хъ 8 ) е Кш23 ^^ +-6^11 д3(Х1,*, ^

^к,1, осн

(56)

где кд,осн определена в (53). Из формул (11) следует, что

/ ГХ1 \ / РХ1 \ / РХ1 \ /-Х1

/ ... = / ... = ••• = / ... = <71(^11 (т = 1,2,..., 8).

/а11 / а22 / атт ->°

° а11

Поэтому имеем:

91(Х1,8)

(52),(55)

W1

(/ ^ )

г Мтх п1-

а11

-W2Z М?гп^£1...) = (Wl - W2)z Мтг п1(£ ... ^

а11

(57)

52(Х1, 8 )

к, 1 ,

W2Z п1х Мт г—Мт

г ■■■)

WlZ Мтг Мтг п1

а

а12

а21

к,1,

= гМ7гп1е %

хг 2~кг ъ/г - Мт

ГХ1

2к г к

_2хг

—е 8 е 8

-гМ7гп1етт2г I ^фвт

/° ^ ^Р^1 R(W1 -«*).

-Х1

а12-

Мт ^ 1 91(4) ехр ^ - R2жШу<Иа21

а ~ к 2к „

+ 8 - У*

М.

д1.

(58)

#з(Х1,К, «)

^к,1,оси

W2-гп1 2м

+

W2

(Г -)

\ -)Х1 / (

Wп I ... I е

\Ух1 / Ь11

(Л ) ,

К('1—'2)з_

+

Зк,1,<

£11 еЯ(''1 —'2)в е-Ь('1—'2)37Г - ^МтWlеЬ('1—'2)в7

'Х1 / Ь12 = -W2)z Мтгп1

и:-)

и:-)

+ 2ге8гМтгп1 д2(*) вт

Х1 / 611

2к ЬТТ ~ +^п1 - ~Е

/Х1

Х1 / 621J 2к&к К

ПТ* + 8+

к,1,

М д2.

(59)

х

°

Подставляя формулы (57)-(59) в (56), получаем:

<7к,1 =

R7(w1 - w2)í

8 • 28ж8

и: ■■■)

+

1 2ге^ 77

а11 а' Wl - W2

1

+Ц7

Из формул (6) находим:

хг

21 е 8

+

11

1 2г е~8 Ь7 w1 - w2

и:

2

(г-)

к е

+

1

2 % е 8

2%е 8

Wl -W2 1 - (е- ) в1п(:) 7.

Подставляя эту формулу в (60), находим:

<7к,1 =

R7(w1 - w2)

8 ■ 28ж8 "11 Г1

1 ГХ1 1 !■:

а7 ° 7 Х1

а7 в1п(:) У°

) э1п

2тта~ ж ж „

-ГТЫ+ 8 " 4М

М д1 +

+

11

Ь7 в1п( 8)

э1п

8 Х1

2ж Ь ~ ж ж 2Ьж2 к "^+8 + 4^

М,

2

к е Z,

(60)

(61)

к = к + + ^, М7 = Е тр, R = аХ1 + 6(ж - Х1). X X ' ^

Р=1

7 к,1

что завершает доказательство теоремы 5.

Если исследовать предельные переходы 6 — а или Х1 — ^и Х1 — ж, то формула (61) принимает вид

(Wl -W2)8

- I I/II, 1< I , I, ^ 11 - - I I И I ,181111 2 Л , I, +

<7к,1 =

8ж28

: 1 :

i ^ВшА

ж 2ж \ 8ш(2к*+- -—М7)<И д1

8

, к е Z.

(62)

Формула (62) была получена автором ранее в работе [24].

1

7

а

:

]

1

2

:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Математические заметки. 1977. Т. 22, №5. С. 698-723.

2. Гехтман М.М., Загиров Ю. М. О максимально возможной скорости роста нормированных собственных функций одного класса операторов типа Штурма—Лиувилля с непрерывной положительной весовой функцией // Функциональный анализ и его приложения. 1993. Т. 27, вып. 2. С. 85-86.

3. Гехтман М. \!.. Айгунов Г. А. К вопросу об оценке нормированных собственных функций оператора Штурма—Лиувилля с положительной весовой функцией на конечном отрезке // УМН. 1995. Т. 50, вып. 4(304). С. 157-158.

4. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, №3. С. 530-532.

5. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Доклады РАН. 1997. Т. 356, №1. С. 13-15.

6. Хромов А. П. Оператор дифференцирования с разрывной весовой функцией // Сб. научных трудов. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 88-91.

7. Купцов И. П. Об а,налоге теоремы Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами // Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. М.: Физматгиз, 1961. С. 201-205.

8. Мухтаров О.Ш., Кадакал М. Спектральные свойства, одной задачи типа, Штурма— Лиувилля с разрывным, весом // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, №4. С. 860875.

9. Гуревич А.П., Хромов А. П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией // Математические заметки. 1994. Т. 58, вып. 1. С. 3-15.

10. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка, собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма—Лиувилля на, отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 10. С. 1423-1426.

11. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка, собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма—Лиувилля на, отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Сер.: матем. 2000. Т. 64, №4. С. 47-108.

12. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым,и коэффициентами // Труды МИЛИ. 2010. Т. 270. С. 188-197.

13. Митрохин С. И. Спектральные свойства краевых задач, для, функционально-дифференциальных уравнений с интегрируемыми коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, №8. С. 1085-1093.

14. Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим, аргументом // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, №4. С. 95-115.

15. Савчук A.M. Регуляризованный след первого порядка, оператора Штурма—Лиувилля с 5-потенциалом, 11 УМН. 2000. Т. 55, вып. 6(336). С. 155-156.

16. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Операторы, Штурма—Лиувилля с сингулярными потенциалами ff Математические заметки. 1999. Т. 66, №6. С. 897-912.

17. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией // Вестник СамГУ. Естественнонауч. серия. 2008. №8(1/67). С. 172-187.

18. Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: Интуит, 2009. 264 с.

19. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

20. Наймарк H.A. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

21. Левитан Б.М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 672 с.

22. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. 352 с.

23. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

24. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора восьмого порядка, с суммируемым потенциалом с разрывной весовой функцией // Вторая международная конференция «Математическая физика и ее приложения». Материаллы Межд. конф. 2010. С. 233-235. Самара.

Сергей Иванович Митрохин, НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, Воробьевы горы, д. 1, 450008, г. Москва, Россия E-mail: mitrokhin- sergeySyandex. ru