CC BY
17УДК: 517.984.5 MSC2010: 35P05
ОПЕРАТОР РОТОР В ПРОСТРАНСТВЕ L2(G)
© Р. С. Сакс
ИМВЦ УНЦ РАН, ул.ЧЕрнышЕвского 112, Уфа 450077 e-mail: [email protected]
the curl operator in the L2(G) space.
Saks R. S.
Abstract.
Author studies properties of the curl and gradient of divergence operators in the L2(G) space, spectral decompositions, and boundary value problems for any bounded domain G with smooth boundary Г.
It turns out that the space L2(G) has orthogonal subspaces V0(G) and (G) such that the curl and gradient of divergence operators admit self-adjoint extensions.
Therefor, each of these operators has a complete system of eigenfunctions corresponding to non zero eigenvalues.
These results supplement Weil's well known theorem on a decomposition of L2(G) on orthogonal subspaces (G), V0(G) and (G) of finite dimension. It show that the space L2(G) has a bases consisting of eigenfunctions of the curl and gradient of divergence operators.
We investigate also the solvability of the boundary value problem rotu + Au = f in G, n ■ u|r = g, for A = 0 and (by Fourier method) in a ball G = B for all A.
Key words: the curl and gradient of divergence operators, L2(G) space, spectral decompositions, boundary value problem, the bounded domain G, smooth boundary Г.
Введение
Автор изучает операторы ротор и градиент дивергенции в пространстве L2(G), их спектральные разложения и краевые задачи для них в произвольной ограниченной области G с гладкой границей Г. Оказывается, что в пространстве L2(G) имеются ортогональные подпространства V0(G) и (G), в которых операторы ротор и градиент дивергенции имеют самосопряженные расширения,
A7(G) = (Vh, h e H:(G) : n-Vh|r = 0}, V0(G) = {u e L2(G) : divu = 0, nu|r = 0}.
Это означает, что существует оператор S : V0(G) —> V0(G) с областью определения W1 = (u e V0(G) : rotu e V0(G)}, который совпадает с rot на подпространстве W1 С H1(G) и является самосопряженным.
Аналогично, существует самосопряженный оператор N : (G) —> AY(G) , совпадающий с Vdiv на подпространстве A2 = {u G AY(G) : Vdivu G AY(G)}.
Следовательно, каждый из этих операторов имеет полную систему собственных функций, отвечающих ненулевым собственным значениям:
curlu± = ±Aju±, Aj G Л С R+, Vdivq¿ = щ G M С R+.
Вектор-функции a(x) G AY(G) и b(x) G V0(G). имеют спектральные разложения
a(x) = (a, qi^^ llqiM =1
пей
b(x) = £ [(b, u+)u+(x) + (b, u-)u-(x)], ||u±M = 1.
Xj ел
Эти результаты служат дополнением к известной Теореме Г. Вейля [7] о разложении L2(G) на ортогональные подпространства AY(G), V0(G) и BH(G), где
BH = {u G L2(G) : rotu = 0, divu = 0, n ■ u|r = 0} = Ker(rot) П Ker(Vdiv).
Любой вектор f(x) из L2(G) может быть представлен в виде суммы трех векторов a(x) G A7(G), b(x) G V0(G) и c(x) G Вя: f(x) = a(x) + b(x) + c(x).
Они показывают, что пространство L2 (G) имеет базис, состоящий из собственных функций ротора и градиента дивергенции.
Отметим, что Bh - конечномерное подпространство, его размерность -это род р(Г) границы Г, p(S) = 0 для сферы и р(т) = 1 для тора т.
В математической физике особо значимы области: тороидальная (токамак) и шар. В шаре B радиуса R собственные вектор-функции u± ротора (отвечающие собственным значениям ±pn,m/R) и собственные функции qK оператора градиент дивергенции (отвечающие собственным значениям (an,m/R)2) выражаются явными формулами [18]. Числа ±pn,m и an,m - нули функций фп и их производных ф'п: ^n(pm,n) = 0, ^n (an,m) = 0, где
í d \ n gin z
"0n(z) = (—z)n ( —— I -, к = (n,m, k), n > 0, m G N, |k| < n.
\zdz/ z
Эти формулы приведены в работе автора [18]. Профессор Г.Г.Исламов сообщил мне, что группа физиков использовала некоторые из них в новой теории протона.
Найдено необходимое и достаточное условия на функцию u G V0(B), при котором ее ряд Фурье сходится в норме пространства Соболева Hs (B), оно состоит в принадлежности u подпространству (B) С V0(B) (см. п.2.8 и [1, 5, 19, 20]). Аналогично для v G AY (B).
Исследована разрешимость в подпространствах L2(G) краевой задачи для системы rotu + Au = f при Л = 0 в G с граничным условием n ■ u|r = g.
Методом Фурье при любых Л в шаре B исследована разрешимость краевой задачи: rotu + Au = f, n ■ u|s = 0.
В этой статье мы изучаем оператор ротор. Оператор градиент дивергенции будет рассмотрен в следующей работе автора. Краткое содержание этих работ опубликовано в ДАН [19, 20].
1. Ротор в ограниченной ОБЛАСТИ
1.1. Спектральная задача. Пусть G - ограниченная область в R3 с кусочно-гладкой границей Г, n- внешняя нормаль к Г. В частности, G может быть шаром B, |x| < R, с границей S.
З а д а ч а 1. Найти собственные значения A и собственные вектор-функции u(x) в L2(G) оператора ротор такие, что
rotu = Au в G, n ■ u|r = 0, (1)
где n ■ u - скалярное произведение векторов u и n.
К области определения MR оператора R задачи 1 отнесем все вектор-функции v(x) класса C2(G) П C(G), удовлетворяющие граничному условию и условию rot v e L2(G). Пространство основных вектор-функций D(G) содержится в MR и плотно в L2(G) [3].
1.2. О приложениях. Собственные функции задачи 1 имеют приложения: в гидродинамике, они называются полями Бельтрами [2], в небесной механике и в физике плазмы они называются бессиловыми полями (см. С. Чандрасекхар [9] и Д. Тэйлор [11], В.Козлов [4], а также [14]-[18]).
1.3. Краевая задача. Даны f и g, найти вектор-функцию u, такую что
rotu + Au = f(x), x e G, n ■ u|r = g. (2)
Эта задача не эллиптична [12]. Оператор rot + AI первого порядка не является эллиптическим, ранг его символической матрицы rot(i£) равен двум при всех £ e R3\0 и меньше трех. На многообразии без края при A = 0 он принадлежит классу Вайнберга и Грушина [10].
Оператор rot имеет левый и правый аннуляторы div и V: divrot u = 0 и rotVh = 0. Поэтому
1) на подпространстве A = {u = V h : h e H*(G)} в L2(G) оператор rotu + Au совпадает с алгебраическим оператором AV h, который отображает A на A при A = 0.
2) В общем случае из системы уравнений (2) при A = 0 вытекает, что Adivu = div f. Следовательно, u(x) является решением системы:
rot u + Au = f, Adiv u = div f. (3)
Эта система с краевым условием (2) принадлежит классу переопределенных эллиптических краевых задач, В.А.Солонников [6], то-есть
1) Расширенная система (3) эллиптична,
2) краевое условие в (2) "накрывает" оператор системы (3).
Первое условие сводится к тому, что однородная система линейных алгебраических уравнений:
rot(i£)w = 0, div(i£)w = 0, V£ = 0 (4)
c параметром £ e T'(G) имеет только тривиальное решение w = 0.
Второе условие означает, что однородная система линейных дифференциальных уравнений:
rot(iT + nd/dz) v = 0, div(iT + nd/dz)v = 0, Vt = 0, (5)
на полуоси z > 0 с краевым условием: n • v|z=0 = 0 и убыванием, v(y, т; z) ^ 0 при z ^ имеет только тривиальное решение.
Здесь т и n касательный и нормалльный векторы к Г в точке y e Г и |n| = 1. Доказательство этих утверждений не сложно, учитывая соотношение
rot rot v = — Av + Vdivv. (6)
Действительно, из уравнений (4) вытекает уравнение —A(i£)w = 0, которое распадается на три скалярных уравнения |£|2Wj = 0, где |£| = 0. Значит, w = 0. Из уравнений (5) получаем уравнение (—|т|2 + (d/dz)2)v = 0 с параметром |т| > 0. Его убывающее решение имеет вид: v = we-|T|z. Оно удовлетворяет уравнениям (5), если вектор-функция w есть решение линейных алгебраических уравнений:
ш х w = 0, ш' • w = 0,
где ш = гт — |т |n -вектор-столбец, а ш' - вектор-строка.
Легко убедиться, что векторное и скалярное произведения ш на ш равны нулю: ш х ш = 0, ш' • ш = 0. Ранг матрицы rot(i£) равен двум при £ = 0, поэтому w = сш, где с - постоянная, и других решений нет.
Граничное условие приводит нас к уравнению: |т|c = 0 при |т| > 0. Следовательно c = 0 и v = 0.
Итак, краевая задача (2), (3) является эллиптической.
Замечание. Это доказательство не использует топологию области G. Оно справедливо как для тороидальной области T так и для шара B.
Мы скажем, что при Л = 0 задача (2) является обобщенно эллиптической.
1.4. Оператор задачи (2) в пространствах Соболева. Пусть вектор-функция u принадлежит пространству Hs+1(G), то-есть каждая ее компонента Uj Е Hs+1(G). Тогда компоненты rotu и divu принадлежат Hs(G), а вектор-функция f := rotu + Ли принадлежит пространству
Es(G) = {f Е Hs(G) : divf Е Hs(G), ||v||Es = (||v||H + ||divv||H)1/2.}
Далее g := Y(n • u) = n • u|r принадлежит пространству Hs+1/2(r). Следовательно, при Л = 0 задаче соответствует ограниченный оператор
Au = r0t u + Л u : HS+1(G) ^ ^ v (7)
n • u|r Hs+1/2(r) V 7
Согласно теории эллиптических краевых задач в ограниченной области G с гладкой границей Г Е C8+1, обобщенно эллиптический оператор (7) имеет левый парамет-рикс: то-есть ограниченный оператор AL такой, что ALA = I + T, где I - единичный, а T - вполне непрерывный операторы, и существует постоянная Cs > 0 такая, что выполняется оценка:
Cs||u||s+1 < ||rot u||s + |Л||div u|s + |Y(n • u)|s+1/2 + ||u|s, (8)
где ||u||s+1 норма u в Hs+1(G), |y(n • u)|s+1/2 - норма следа нормальной компоненты u на Г в Hs+1/2(r), s > 0 (см. [6, 12], а также [14]). Линейное пространство решений однородной задачи (2) обозначим через N. Итак, имеет место
Теорема 1. Оператор A в пространствах (7) имеет левый параметрикс. Его ядро N конечномерно и выполняется априорная оценка (8).
Из этой теоремы и оценки следует, что при Л = 0
a) число линейно независимых решений задачи 1 конечно,
b) любое (обобщенное) решение задачи бесконечно дифференцируемо вплоть до границы, если граница области бесконечно дифференцируема.
1.5. Оператор rot + Л1 в подпространствах L2 (G). Как мы уже отмечали, rotV h = 0 на подпространстве A и оператор rotu + Лu сводится к алгебраическому оператору ЛV h.
Ортогональное дополнение B к подпространству A в пространстве L2(G) определяется так
B = {u e L2(G) : У u •V hdx = 0, длялюбой h e H*(G)}. (9)
G
Из этого определения для функций u из H*(G) вытекает, что div u = 0 в G и n • u|r = 0.
В пространстве B выделим подпространство
BH = {u e B : J u • rot v d x = 0, длялюбой v e D(G)}. (10)
G
Кратко оно обозначается так
BH = {u e L2(G) : rot u = 0, div u = 0, n • u|r = 0}. (11)
Это пространство конечномерно. Его базис состоит из бесконечно дифференцируемых в G вектор-функций {hj}, j = 1,..., N, где N есть род р(Г) границы Г; p(S) = 0 для сферы и р(т) = 1 для тора т.
Ортогональное дополнение к Bh в B обозначим как
V0(G) = {u e L2(G) : div u = 0, n • u|r = 0, ||u^Vo = ||u||l2},
так что
B = Bh 0 V0(G), L2(G) = A 0 B.
В случае шара, пространство BH пусто и B = V0(G) [7]. Наконец, в V0(G) выделяется подпространство
W*(G) = {u e V0(G) : rot u e V0(G)}. (12)
В силу оценки (8) оно содержится H*(G) и плотно в V0(G), так как плотное в нем множество Cjf П V0(G) содержится в W*(G).
Оператору rot + AI : W*(G) ^ V0(G) соответствует краевая задача
rot u + Au = f, div u = 0 в G, n • u|r = n • rot u|r = 0. (13)
Оператор rot + AI является симметрическим, так как
J^(rot + AI)u • vdx =J u • (rot + AI)v dx (14)
GG
для любых функций u и v из W*(G). Это доказано в [14].
В гильбертовом пространстве V0(G) И. Гига и З. Иошида определили оператор S : V0(G) ^ V0(G), который совпадает с rot u при u e W:(G), и доказали, что
Оператор S является самосопряженным.
Область определения S, W1(G), содержится в H1(G) и плотна в V0(G), а область значений совпадает с V0(G). Спектр a(S) точечный и действительный. Оператор S имеет компактный обратный S-1 : V0(G) ^ W1(G). Оператор S замкнут и совпадает со своим сопряженным S*. Семейство собственных функций оператора S образует полный ортогональный базис в пространстве V0(G).
Согласно теории операторов в пространстве Гильберта , спектр самосопряженного оператора S точечный, а система его собственных вектор-функций ортогональна и полна в V0(G). Каждому собственному значению соответствует конечное число собственных вектор-функций.
Однородная сопряженная задача к (13) совпадает с однородной задачей (13) (f = 0). Так что N = N * и dimN < то. Отметим, то из соотношения
(rot + Л/)(rot - Л/)u = -A u + Vdiv u - Л2 u (15)
и определения пространства V0(G) собственные функции ротора u± Е C^(G), отвечающие собственным значениям ±Л = 0 является также собственными функциями оператора Лапласа:
- Au = ЛЧ u Е V0(G). (16)
Нормированные собственные функции ротора u± (||u±|| = 1 при Лj• Е Л С R) составляют полный ортонормальный базис в пространстве V0(G).
Спектральное разложение вектор-функции f Е V0(G) по этому базису имеет вид:
Sf = £ [(f, u+)u+ + (f, u-)u-], f Е V0(G). (17)
ел
При суммировании такого ряда его элементы нумеруются следуя правилу Лj < Лj+1 (см. [3] или п.2.4).
Кроме того, автор доказал, что имеет место
Теорема 2. Оператор rot + Л/ : W1(G) ^ V0(G) разрешим по Фредгольму. Его ядро N и коядро N * имеют конечную размерность и N * = N. Равенства
У f • v dx = 0 Vv Е N (18)
G
необходимы и достаточны для разрешимости задачи (13).
Если f Е V0(G) и Л = ±Лj, то решение уравнения rotu + Лu = f представляется в
виде ряда
^ (f, u+) + (f, u-) u ^[f-XZu+(x) + X^u-(x)], u e W1(G). (19)
л j ел 3 3
2. Построение собственных Функций ротора в шаре
Результаты этого параграфа подробно изложены в работе [18]. Здесь мы напомним этапы решения задачи и приведем основные формулы.
2.1. Сведение задачи 1 в шаре к спектральной задаче Дирихле. Обозначим через v(x) скалярное произведение векторов x и u.
Автор заметил, что в шаре B функция v(x) = x • u удовлетворяет уравнению —Av(x) = A2v(x), краевому условию v|S = 0, и условию v(0) = 0 в центре шара.
Тем самым, задача отыскания собственных функций ротора в шаре B (при ненулевых собственных значениях) приводится к задаче Дирихле для скалярного оператора Лапласа с условием v(0) = 0.
З а д а ч а 2. Найти собственные значения ß и собственные функции v(x) оператора Лапласа — A в шаре B такие, что
— Av = ßv в B, v|S = 0, v(0) = 0. (20)
К области определения ML оператора L задачи 2 отнесем, [3], все функции v(x) класса C2(B) ПC(B), удовлетворяющие условиям v|S = 0, v(0) = 0 и Av e L2(B). Имеет место утверждение
Любому решению (A, u) задачи 1 в шаре B при A = 0 соответствует решение (A2, x • u) задачи 2.
2.2. Собственные значения оператора определяются нулями функции
^n(z).
^(z) 42ZJn+1(z) = \jTz p^ pir(n + 1+ p +1) Ы .
Как показал Л. Эйлер (см. [3], §23, с. 356) функции Jn+1 (z) выражаются через элементарные и
*•(--) = (—z)^1) '(Т) ■ (21)
Откуда видно, что нули функций ^n(z) лежат на действительной оси и располагаются на ней симметрично относительно точки z = 0.
2.3. Решение спектральной задачи Дирихле-Лапласа. В сферических координатах (r, методом разделения переменных в [3], §26 доказано, что
собственные значения оператора задачи ^ в шаре В равны ХП т, где Хп,т = рп,тЯ-1, п > 0, т € N, а числа рп,т > 0 суть нули функций ^(г), соответствующие ХП т действительные собственные функции имеют вид:
^(г, 9, = Ск^п(Хп, тТ)УП: (9, (22)
где к = (п,т, к)- мультииндекс, п > 0, |к| < п, т € N ск-произвольные действительные постоянные, 0 <г < Я, 0 < 9 < п, 0 < ^ < 2п, У^ (9, <^)- действительные сферические функции.
Из ортогональности и полноты функций Бесселя в ¿2[(0,Я); г] и сферических функций в ¿2(51) вытекает, что функции при различных к = (п,т, к) ортогональны в Ь2(В). Система функций {г>к} полна в Ь2(В) [3]. Нормированная система образует в Ь2(В) ортонормированный базис.
2.4. Эквивалентное интегральное уравнение. С другой стороны, если f G C*(В) П C(B), то краевая задача
- Av = ^v + f(x), v|s = 0, v G C2(B) П C(B), (23)
эквивалентна [3], §29, интегральному уравнению
v(x) = y G(x,y)[p,v(y) + f(y)] dy, v G C(B), (24)
B
с симметричным слабо полярным ядром
G(xУ) = 4n|x - y| - 4п|жМ2- yR2|' (25)
Собственные значения и собственные функции оператора L совпадают с характеристическими числами и соответствующими собственными функциями ядра
G(x,y).
Согласно теории интегральных уравнений множество собственных значений оператора L не имеет конечных предельных точек; каждое собственное значение имеет конечную кратность. Всякая функция из = {v G C2(B) П C(B),v|S = 0, Av G L2(B)} разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям оператора L. Следовательно,
все собственные значения Л^ m = рП mR 2 оператора L можно перенумеровать в
- р2 °-2
порядке возрастания их величин
0 < Щ < Щ2 < ..., Щ ^ то, I ^ то, (26)
повторяя в этом ряде столько раз, какова его кратность (число Л^ т повторяется 2п +1 раз). Соответствующие собственные функции обозначим через "1, ""2,..., так что в ряде чисел (26) каждому собственному значению д соответствует собственная функция "¡(я),
^ "г = Д ", I = 1, 2,..., VI е , (27)
причем собственные функции "¡(я) выбираем вещественными и ортонормальными:
(l v ,vm) = & (v ,vm) = & $
/ (x) = £(/,V) Vl(x). (29)
1т (28)
Всякая функция f (ж) из разлагается в ряд Фурье по ортонормальной системе
те
(X) = "г) "¡(ж) г=1
Этот ряд сходится в ¿2 (В). Согласно теореме Гильберта-Шмидта ряд сходится регулярно на В (см.[3] §20.1).
Но множество плотно в ¿2(В). Откуда получаем доказательство полноты системы {""¡(ж)} в ¿2(В). Отметим, что (VI(ж)}-это система (1к(ж)} с выше определенным порядком нумерации элементов.
Ряд (29) (и другие аналогичные ряды) будем записывать в виде
f (х) = X X] X Уп'т'к) Уп'т'к (х) = X (f, 1к) ^к(х). (30)
п=0 т=1 к=-п к,п>0
Частичные суммы Бн(х) ряда (30) состоят из п, т и к, для которых 0 < рп,т < N.
2.5. Решение спектральной задачи 2 с условием 1К(0) = 0. Так как ^0(0) = 1, то функции {г>к} при к = (0,т, 0) удовлетворяют этому условию тогда и только тогда, когда С(0,т,0) = 0. Откуда следует, что
собственные значения дп,т задачи 2 равны ЛПпт, где Лп,т = рп,тЯ-1, а числа рп,т - нули функций ^п(г). Кратность значения Лпт равна 2п + 1. Собственные функции задачи, соответствующие значениям Лпт, имеют вид
1к(гД^) = ск^п(Лп,тг)У„к(0, к = (п,т,к), т,п е М, |к| < п. (31)
2.6. Решения задачи 1 строятся на основе решений задачи 2. Попутно мы доказываем [18] , что собственные значения ±Лп,т - это корни квадратные из собственных чисел задачи 2 и что
любому решению (д,1) задачи 2 при д > 0 соответствуют два и только два решения (^Д, и+) и (--^Д, и-) задачи 1 такие , что х ■ и+ = х ■ и- = V.
Ход рассуждений автора таков. Система rot u = Au, divu = 0 из четырех действительных уравнений в сферических координатах, где u = (ur, u, u^), записывается как система двух комплексных уравнений
(ör — iA) rw = r-1Hv, Kw = Av — ir-1ör(rv), (32)
относительно комплексной функции w = u^ + iue и действительной функции v = rur. Операторы H и K имеют вид:
Hv = (sin-10ö^ + ic^) v Kw = sin-10 (cfo sin в + iö^)w. (33)
При этом, если —Av = A2v, то уравнения (32) относительно w (при заданных v и A) является совместными.
Выбрав (ß,v), - фиксированное решение задачи 2, ненулевые решения задачи 1 находим так: функция ur определяется как дробь v/r. Положив A = ^Jß (или A = — ^/ß), подставим A, v в уравнения (32) и решаем их. Общее решение первого уравнения в (32) имеет вид
r
w = d(^,e)r-VAr + r-1 J" eiA(r-í)Hv(t,e,^)t-1 dt, (34)
о
где d есть произвольная функция от переменных ^ и в. Мы полагаем d = 0, так как решение ищем в классе ограниченных функций. Далее доказываем, что функция w удовлетворяет второму уравнению.
2.7. Формулы решений задачи. Подставив вместо A конкретные выражения ±An,m и vK из (31) в дробь v/r ив интеграл (34), а также d=0, получим явные формулы собственных функций задачи. Итак,
ненулевые собственные значения A±m задачи 1 равны ±An,m = ±(pn,m)/R, , где R-радиус шара, а числа pn,m - нули функций t^n(z) .Собственные функции u± задачи 1 в сферических координатах вычисляются по формулам:
u± = C±(±An,mr)-Vn(±An,mr)Ynfc(в, <р) ir + c±(±A±,mr)-1Re^n(±An,mr)](ReHi;fc ^ + /mHYrafc iö)+ (35)
c±(±An,mr)-1/m^n(±An,mr)](—ImHYk v + ReHYrafc ie).
где числа c± G R, m,n G N, |k| < n,K = (n, m, k), ir, ie, i^-репер,
r
^n(±An,m,r) = J e±^m(r-t)^n(±An,mí)í-1dí, (36)
о
HYnk (в,р) = (sin-1eö^ + iü )Ynfc (в,^), (37)
Не трудно доказать, что 1тФп(±рп,т) = 0.
2.8. Сходимость ряда Фурье по собственным функциям ротора в норме пространства Соболева И5(В), в > 1. Положим
(В ) = ^ е V0 П И5 (В): п ■ f= 0,..., п ■ = 0, ||f = ||н}.
Теорема 3. Для того, чтобы f е V0(B) разлагалась в ряд Фурье
f(х) = X (Р, Я+)Я+(Х) + (f, Ч-)я-(х)), ||я±|| = 1, (38)
к,П>0
по собственным вектор-функциям я±(х) ротора в шаре, сходящийся в норме пространства Соболева И5(В), необходимо и достаточно, чтобы f принадлежала V, (В).
Если f е VR(В), то сходится ряд
X (l(f, 4+ )|2 + l(f, Ч-|2)), Лк =(Рп,т)/Д (39)
К,П>0
и существует такая положительная постоянная С > 0, не зависящая от f, что
X ЛК5 (|Р, Я+)|2 + l(f, Я-|2)) < С||Н.(В). (40)
к
к,га>0
Если в > 2, то любая вектор-функция f из VR(В) разлагается в в ряд Фурье, сходящийся в пространстве С5-2 (В).
Следствие 1. Любая вектор-функция f из V0 П С^(В) разлагается в ряд Фурье (38), сходящийся в пространстве Сте(В).
При доказательстве этих утверждений мы следовали книге В.П.Михайлова [5].
2.9. Скалярное произведение функций f из B в базисе из собственных функций ротора. Оно имеет вид [18]:
(f,g)= X[(f,q+)(g,q+) + (f,q-)(g,q-)], f,geb. (41)
к,га>0
Если f и g принадлежат V^(B), то
(rotf,g) = (f,rotg) = X A*[(f,q+)(g,q+) - (f,q-)(g,q-)].
к,га>0
Значит, оператор rot является самосопряженными в пространсте B = V0(B).
3. Решение краевой задачи в шаре
3.1. Методом Фурье решается краевая задача. Пусть задана вектор-функция f(x) е L2(B). Найти вектор-функцию u(x) в H1(B) такую, что
rotu + Au = f в B, n ■ u|S = 0. (42)
3.2. Основные пространства. Через Es(B) (или Hdiv(B)) обозначают [13] следующие подпространства в L2(B):
Es(B) = {v е Hs(B) : divv е Hs(B), ||v||e« = (||v||H + ||divv||H)1/2},
где числа s > 0 целые. Они является полными пространствами Гильберта и
C°(B) С Es(B), Hs+1(B) С Es(B) С Hs(B). (43)
Очевидно, rot u + Au е Es(B), если u е Hs+1(B).
Как известно [5], для функций v из пространства H 1(B) определен оператор следа Y : H 1(B) ^ H 1/2(S), равный следу v на S для гладких функций из C 1(B): yv = v|S, причем ||yv||l2(s) < c|v|hi(b).
Аналогично, для вектор-функций u(x) из E0(B) определен [13] оператор следа нормальной компоненты Yn : E0(B) ^ H-1/2(S), равный сужению n ■ u на S для гладких функций из C 1(B): Yn u = n ■ u|S.
Для u е E0(B) и v е H 1(B) верна обобщенная формула Стокса:
(Yn u,yv) = (u, Vv) + (divu,v) (44)
где (Yn u,yv)- линейный функционал над пространством H1/2(S); yv е H1/2(S), а Yn u е H-1/2(S). Имеют место непрерывные вложения:
H1/2(S) С L2(S) С H-1/2(S) (45)
Определим еще пространства H^ (B) и E^ (B):
H1 (B) = {f е HZ(B) : n ■ f |s = 0}, l > 1 . (46)
EY(B) = {f е Es(B): n ■ f |s = 0}, s > 0, (47)
и пространство HYy (B), подпространство в HY (B):
HYy(B) = {f е HY(B) : n ■ rot f |s = 0}, l > 1. (48)
YY Y
Приведем решение задачи 3 при различных A.
3.3. Решение краевой задачи (42) при A = Spe (rot).
Теорема 4. Если Л = 0, ±Лп,т, п, т € N и ¥ Е Е^(В), то единственное решение задачи (42) дается суммой рядов и = и! + и2, где
тете n
Ul = А 1 X X X (f' 4n,m,fc) 4n,m,fc(x), (49)
n=0 m=1 fc=—n тете n
U2 + An,m)-1(f, q+,m,k) q+,m,fc (x)+ (50)
n=1 m=1 fc=—n
+ (A - An,m) (f, q-,m,fc) q-,m,fc(x)].
Решение задачи принадлежит пространству Соболева H^ (B).
Если f G A С L2(B), то u = A-1f отображает A на A.
Если f G B±A в L2(B), то u = u2 принадлежит W1(B) С H^7 (B).
Если же f G D(B), то ряды (49), (56) сходятся в любом из пространств Hs(B),
s > 1 и их сумма есть классическое решение задачи класса C).
3.4. Свойства операторов задачи. Доказана следующая
Лемма 1. Оператор rot + AI осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение пространств H^7 (B) и E^ (B), если A не принадлежит спектру ротора, то-есть A = 0, ±An,m.
3.5. Решение задачи (42) при A = 0.
Теорема 5. Если A = 0 и f G E0(B), то задача (42) разрешима в L2(B) тогда и только тогда, когда div f = 0. Однородная задача имеет бесконечное число линейно независимых решений (все пространство A):
n
и0 = X/ X/ X/ £п,т,к (х) , (51)
п=0 т=1 к=- п
где £п,т,к- произвольные постоянные, такие что и0 Е Ь2(В).
Общее решение неоднороной задачи имеет вид и0 + + , где
тете n
1
G±f = ± X Е X A-,m(f, q±±,m,fc) q±m,fc(x), G±f G H(B). (52)
n=1 m=1 fc=—n
0
Если ¥ € В = У0(В) и решение и ищется в В, то £п,т,к = 0, и0 = 0, и единственное решение задачи и = + принадлежит И(В).
Очевидно, что задача (42) разрешима по Фредгольму при А = ±Ап,т.
Мы не будем приводить аналогичных формул и доказательств этих утверждений.
4. Оператор rot + AI в пространстве B при BH = 0 Рассмотрим область G, у которой р(Г) > 0.
Согласно п.1.5 пространство B = BH Ф V0 и подпространство BH не пусто. Любая функция f (x) е B имеет разложение:
f = £(f, hi)hi(x) + £ [(f, u+)u+ (x) + (f, u-)u-(x)], ||hi| = ||u±|| = 1. (53)
i+)u+'
i=i л,' ел
Функции h, G C~(G) и rothj(x) = 0 в G. Если rotf (x) G L2(G), то
rotf(x) = £ Aj[(f, u+)u+(x) - (f, u-)u-(x)]. (54)
A ел.
4.1. Краевая задача. Пусть задана вектор-функция f(x) е B. Найти вектор-функцию u(x) в B такую, что
rot u + Au = f в G, n ■ u|r = 0. (55)
Теорема 6. Если A = 0, ±Aj, j е N и f е B, то единственное решение задачи (55) дается суммой рядов u = u1 + u2, где
ui = A-1 £(f, hn) hn(x), (56)
n=1
u2 = £ [(A + Aj)-1(f, q+) q+ + (A - Aj)-1(f, q-) q-] (57)
л, ел
Решение задачи принадлежит пространству Соболева H^(G) П B.
Если f G BH, то u = A-1f отображает BH на BH.
Если f G V0±BH в B, то u = u2 принадлежит W1 (G) С H^(G).
Если же f G C0^(G) П B, то ряд (57) сходится в любом из пространств Hs(G),
s > 1 и его сумма с (56) есть классическое решение задачи класса G^(G) П B.
Не трудно убедиться, что задача (55) разрешима по Фредгольму при A = ±Aj, j G N и при A = 0. Равенства (f, hn) = 0 при n = 1,...,p -условие разрешимости задачи при A = 0.
Повидимому в Proposition 1 статьи [14] имеется неточность.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Соболев, С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. — M.: Наука, 1974. — 810 с.
SOBOLEV, S.L. (1974) Introduction to the theory of cubature formulas Linear. Moscow: Nauka.
2. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — M.: Наука, 1970. — 288 с.
LADYZHENSKAYA, O.A. (1970) Mathematical principles of the viscous noncontractible fluids dymamics. Moscow: Nauka.
3. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988. — 512 с.
VLADIMIROV, V.S. (1971) Equations of Mathematical Physics. Marcel Dekker, New York.
4. Козлов, В.В. Общая теория вихрей. — Ижевск: Изд. Дом «Удмурдский университет», 1998. — 240 с.
KOZLOV, V.V. (1998) General Vortex Theory. Izhevsk: Udmurd. Univ..
5. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1975. — 392 c.
MIKHAILOV, V.P. (1978) Partial Differential Equations. Moscow: Mir.
6. Солонников, В.А. Переопределенные эллиптические задачи // Записки Научных Сем. ЛОМИ. — Ленинград, 1971. — Т.21. № 5. — C. 112-158.
SOLONNIKOV, V.A. (1971) Redefined elliptical problems. Notes of the Sci. seminar of LOMI. vol.21 (no. 5). p. 112-158.
7. WEIL, H. (1941) The method of orthogonal projection in potetial theory. Duke Math. vol.7. p. 411444.
8. Быховский, Э.Б., Смирнов, Н.В. Об ортогональном разложении пространства Ь2(0) и операторах векторного анализа / Труды МИАН им. В.А.Стеклова LIX. Матем. вопросы гидродинамики и магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости. — М.,Л.: Изд. АН СССР, 1960. — 5-36 c..
BYKHOVSKI, E.B., SMIRNOV, N.V. (1960) About orthogonal decomposition of Spaces L2(Q) and operators of the vector analysis. Proceeding of Steclov MI LIX. Mathematical questions of the hidrodymamics and magnit hydrodymamics for a viscous incompressible fluids. Moskow, Leningrad: Academy Sci. of USSR.
9. CHANDRASEKHAR, S. (1956) On force-free magnetic fields. Proc. Nat. Ac. Sci. vol. 42 (no. 1). p. 1-5.
10. Вайнберг, Б.Р., Грушин, В.В. О равномерно неэллиптических задачах I // Мат. Сб.. — 1967. — Т.72 (114) № 4.. — C. 602-636.
VAINBERG, B.R., GRUSHIN, V.V. (1967) Uniformly nonelliptic problems I. Math.USSR-Sb.. v.2(1). p. 111-133.
11. TAYLOR, J.B. (1967) Relaxation of toroidal plasma and generation of reverse magnetic fields. Phys. Rev. Letters. V. 33. p. 1139-1141.
12. Сакс, Р.С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений. — Новосибирск: НГУ, 1975. — 164 c.
SAKS, R.S. (1975) Boundary Value Problems for Elliptic Systems of Differential Equations. Novosibirsk: Gos. Univ..
13. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ . — М.: Мир, 1981. — 408 c.
TEMAM, R.I. (1979) Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis. North-Holland, Amsterdam.
14. GIGA, Y., YOSHIDA, Z. (1990) Remark on spectra of operator rot. Math. Z.. V. 204.. p. 235-245.
15. PICARD, R. (1996) On selfadjoint realization of curl and some its applications. Preprint : Technische Universitat Dresden: MATH-AN-02-96. Dresden, Marz. p. .
16. Сакс, Р.С. Глобальные решения уравнений Навье-Стокса в равномерно вращающемся пространстве // Теоретическая и математическая физика. — 2010. — Т. 162, № 2.. — C. 196-215. SAKS, R.S. (2010) Global solutions of the Navier-Stokes equations in uniformly rotating space. Theor. Math.Phys. vol.162 (no.2). p. 163-178.
17. Сакс, Р.С. Задача Коши для уравнений Навье-Стокса, метод Фурье // Уфимский математический журнал. — 2011. — Т. 3, № 1.. — C. 53-79.
SAKS, R.S. (2011) Cauchy Problem for the Navier-Stokes equations, Fourier method. Ufim. Math. Zh. vol.3 (no.1). p. 53-79.
18. Сакс, Р.С. Решение спектральных задач для операторов ротора и Стокса // Уфимский математический журнал. — 2013. — Т. 5, № 2.. — C. 63-81.
SAKS, R.S. (2013) Solution of Spectal Problems for the curl and Stokes operators. Ufim. Math. Zh. vol.5 (no.2). p. 63-81.
19. Сакс, Р.С. Ортогональные подпространства пространства L2(G) и самосопряженные расширения операторов ротора и градиента дивергенциии // Доклады Акад. Наук. — 2015. — Т. 462, № 3.. — C. 278-282.
SAKS, R.S. (2015) Orthogonal Subspaces of the Space L2(G) and Self-Adjoint Extentions of the Curl and Gradient-of - Divergence Operators. Doklady Math. vol.91 (no.3). p. 313-317.
20. Сакс, Р.С. Оператор градиент дивергенции в L2(G) // Доклады Акад. Наук. — 2015. — Т. 462, № 5.. — C. 61-65.
SAKS, R.S. (2015) The Gradient-of-Divergence Operator in the Space L2(G). Doklady Math. vol.91 (no.3). p. 31-35.
Статья поступила в редакцию 26.05.2015
