Određivanje optimalne arhitekture inercijalnog mernog bloka sa stanovišta pogodnosti detekcije otkaza senzora Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Dr Slobodan Janićijević,

pukovnik, dipl. inž. VP 9513, Beograd

ODREĐIVANJE OPTIMALNE ARHITEKTURE INERCIJALNOG MERNOG BLOKA SA STANOVI[TA POGODNOSTI DETEKCIJE OTKAZASENZORA

UDC: 629.7.052 : 527 : 681.586

Rezime:

U ovom clanku analiticki je ispitano 11 raznih rezervisanih arhitektura inercijalnog mernog bloka (IMB), sa stanovi{ta pogodnosti za detekciju senzora koji daju netacne para-metre ili su potpuno otkazali. Algoritam ispitivanja baziran je na jednacinama parnosti i teo-riji najmanjeg kvadrata gre{ke rezervisanih senzora.1 Odredena je optimalna arhitektura IMB sa stanovi{ta pogodnosti za detekciju otkaza senzora.

Kljucne reci: besplatformski inercijalni navigacijski sistem, inercijalni merni blok, rezervisana arhitektura senzora, detekcija otkaza, jednacineparnosti.

DETERMINING OPTIMUM INERTIAL MEASUREMENT UNIT ARCHITECTURE FROM THE VIEW-POINT OF SENSOR FAULT DETECTION

Summary:

This paper analytically analized 11 redundant architectures of the inertial measurement unit (IMU) from the view-point of detection capability of sensors which give inaccurate parameters or which failed completely. The test algorithm is based on parity equations and the least square error theory of redundant sensors. At the end of the paper an optimum architecture of the inertial measurement unit from the view-point of sensor fault detection capability was proposed.

Key words: Strapdown inertial navigation system, inertial measurement unit, redundant sensor architecture, fault detection, parityequations.

Uvod

U mnogim kriticnim i važnim vazduhoplovnim zadacima zahteva se velika pouzdanost rada kljucnih sistema vazduhoplova, među koje spada i inerci-

1 U teoriji mernih sistema do sada su primenjene slede-ce metode (algoritmi) za detekciju neispravnih senzora: adap-tivna metoda, sekvencijalna metoda na bazi Kalmanovog filtra, metoda praga, metoda kvadrata greske, Bajesova metoda, metoda maksimalne verodostojnosti, minimaksna metoda, metoda srednje vrednosti (bez praga), analiticka metoda i metoda na bazi teorije Markovca. Ucinak svake od nabrojanih metoda za-visi od arhitekture, odnosno tipa rezervisanja IMB.

jalni navigacijski sistem (INS), jer daje osnovne navigacijske parametre aviona (poziciju, brzinu, uglovnu brzinu, linear-no ubrzanje i dr.), i drugi uređaji, kao sto su: radar, autopilot, FLIR, itd.2 Glavni razlog relativno male pouzdanosti prvih

2 Prvi INS su bili platformskog tipa sa kardanskim ra-movima. Pojavom „suvih“, laserskih i fiberoptickih žiroskopa i brzih avionskih procesora u MIL standardu, algoritmi na bazi kvaterniona mogli su da se primene, tako da su se krajem se-damdesetih godina proslog veka pojavili prvi besplatformski INS (BINS) sa osnovnom osobinom da su im senzori (žirosko-pi i akcelerometri) cvrsto vezani za avion i usmereni u pravcu osa aviona.

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

147

BINS (oko stotinu casova) bio je mala pouzdanost njegovog kljucnog dela -IMB, koji se sastoji od senzora, žirosko-pa i akcelerometara.

Pouzdanost navigacijskih parameta-ra, koje su „potrosaci“ dobijali od BINS, u prvo vreme povećala se uvođenjem re-zervisanja citavog sistema BINS. Naime, dva ili tri BINS radila su u paralelnoj ve-zi, pri cemu je jedan - osnovni BINS stalno radio, a preostali su bili u rezervi (u radnoaktivnom stanju, stand by reži-mu ili su se ukljucivali ako osnovni BINS otkaže3). Međutim, ovaj nacin po-većanja pouzdanosti rada zahteva vise-struko veći prostor za ugradnju BINS u avionu, ima veću masu i cenu.

Napretkom tehnologije, već sredi-nom sedamdesetih godina XX veka, vo-deći proizvođaci BINS u svetu (Honeywell i Litton) sacinili su „klaster“4 inercijalnih senzora, koji su cinili jedan rezervisani sistem. Intenzivno su ispitiva-ne razne arhitekture IMB, tj. klasteri, na bazi rezervisanja senzora (simetricne, or-togonalne i koplanarne) primarno, radi veće pouzdanosti BINS, koja je u uskoj vezi sa boljom detekcijom neispravnih senzora u IMB, a sekundarno radi bolje tacnosti izracunavanja navigacijskih pa-rametara, manje mase i dimenzije IMB.

U ovom clanku analizirano je 11 re-zervisanih arhitektura IMB sa stanovista pogodnosti za detekciju senzora koji daju netacne parametre ili su potpuno otkazali, tj. prestali sa radom. Algoritam izložen u

3 U kosmickim letelicama tipa Shuttle ugrađena su tri rezervisana BINS.

4 „Klaster“ sadrži nekoliko žiroskopa u jednom kućistu. Na primer, „klaster“ sa laserskim žiroskopima može da sadrži i

do 6 žiroskopa, dok je sa „suvim“ — DTG (dry tuned gyro) ži-roskopima napravljen „klaster“ sa dva žiroskopa, tj. TDOF (two degree of freedom) žiroskop.

clanku baziran je na jednacinama parnosti i teoriji najmanjeg kvadrata greske.

Jednačine i vektor parnosti

Iz teorije mernih sistema poznato je da se u slucaju n rezervisanih senzora može formirati n jednacina merenja, tj.:

m = Hx + s (1)

gde je:

m — vektor merenja (npr: mt — mereni pa-rametar iz i-tog senzora), x — trodimenzionalni vektor stanja (uglovna brzina ili linearno ubrzanje), npr. u pravcu ortogonalnih osa koordinatnog sistema avi-ona,

s — n-dimenzionalni vektor suma sa Gau-sovom raspodelom,

H — matrica merenja ili matrica geome-trije senzora. Rang matrice H jednak je dimenziji (obicno je 3) vektora x.

Kada se trodimenzionalni vektor x meri skupom od n rezervisanih senzora, koji daju na svom izlazu parametar mn bez suma, onda se može pokazati da je [1]:

Xlm1 + ^m2 + ... + hnmn = 0 (2)

gde je Яп skalar.

Kada merenje mn sadrži gresku sn, jednacina (2) glasi [1]:

A(mi _ S1) + ^2(m2—S2) + ... +

+ k(mn - Sn) = 0 (3)

ili A1m1 + A2m2 + ... + Anmn = n (4)

gde je n vektor „nedoslednosti“ ili gresa-ka pri merenju [1].

148

VOJNOTEHNICKI GLASNIK 2/2004.

Jednacina (4) naziva se jednacina par-nosti. Ukoliko se merenje n0 dimenzional-nog vektora obavlja sa n senzora (n > n0), n n!

onda postoji C4 =------1--jednacina par-

4!(n - 4)!

nosti, od kojih su q = n — n0 nezavisne.

Posto postoji q nezavisnih jednacina parnosti onda se vektor nedoslednosti n može izraziti preko q nezavisnih promen-ljivih px, p2,—, pq• Vektor p naziva se vektor parnosti a q dimenzionalni prostor parnosti.

S druge strane, vektor n može se izraziti preko mernog vektora m, tako da je:

П = vT„m (5)

gde je vTn unapred definisan n x 1 dimenzionalni vektor, cije pojedine komponen-te mogu imati vrednost nula.

Jednacina parnosti pn je linearna kombinacija izlaza mt iz senzora, i nezavi-sna je od stvarne vrednosti vektora x, tj.:

Pn = vlm (6)

Da bi se formirao vektor p, uvodi se matrica V, dimenzije q x n, ciji su redovi bilo koji q linearno nezavisni nula vekto-ri matrice HT. Tada je:

p = Vm (7)

Jedan od nacina za određivanje koe-ficijenata matrice V dat je u [1], gde koe-ficijenti matrice V treba da zadovolje sledeće uslove:

VH =0 VVT = I

VTV = I - H(HTH)-1HT = W Koeficijenti matrice V određuju se na osnovu sledećih jednacina [1]:

W

V2! = Wu, V = 0,j < i, V = VL, j = 2, n

V11

Vi2 = W11 -fv2, i = 2,...,q (8)

k=1

( i-1 ^

W, -T/kV

vl =-----■=-------,i=Х-л j=i+1, ..,n

и

Drugi nacin određivanja koeficije-nata vektora vn je prema broju к koefici-jenata vektora vn koji nemaju vrednost nula. Može se pokazati da ako tri senzora nisu koplanarna, onda mora biti к > 4, a ako su koplanarna к = 3. Ako su dva senzora kolinearna postoji jednacina parnosti kod koje je к =2. Za к < 4 može se uzeti da je ||vj|2= 1, odnosno zbir kva-drata apsolutnih vrednosti bilo kog reda n matrice Vjednak je jedan.

Zamenom (2) u (5), jednacina (5) postaje:

P = vTnS (9)

gde je s sum sa Gausovom raspodelom:

N (0, a2In) (9a)

U slucaju da nema otkaza senzora, jednacina parnosti (9) ima sledeće stati-sticke parametre (srednju vrednost i vari-jansu):

E(p)=0; ap = vlvna2 (10)

U slucaju neispravnosti y'-tog senzo-ra, pretpostaviće se da će se izlaz mj po-većati za konstantnu vrednost Ц, tj.:

m, = hT:X + bs, (11)

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

149

tako da jednacina pamosti (9) ima sledeće statisticke parametre:

vektora parnosti pr, treba da zadovolji sle-deće uslove za detekciju otkaza senzora:

E(p) = Vjbj; = vTnvno2 (12)

Iz jednacine (6) vidi se da se na osnovu samo jedne jednacine parnosti može detektovati neispravan senzor, ali ne i da se izoluje. Dovoljan broj jednacina parnosti koje potpuno detektuju i izo-luju neispravan senzor zavisi od arhitek-ture IMB.

Za arhitekturu IMB, kod koje dve merne ose senzora nisu kolinearne, skup od tri jednacine parnosti je dovoljan da se detektuje otkaz prvog senzora. Broj koeficijenata cija vrednost nije nula jed-naka je ili veća od 4.

Za arhitekturu IMB kod koje su dve ili vise mernih osa senzora kolinearne, ili su tri ili vise mernih osa senzora kopla-narne, skup od tri jednacine parnosti nije dovoljan za detekciju i izolaciju otkaza prvog senzora.

0, p, Š n

1, p, > n

gde je:

qt - i-ta komponenta vektora qr,

T - prag odluke vezan za jednacinu par-nosti pz.

Koeficijenti matrice V odreduju se na osnovu jednacine (8). Ako svaka ko-lona matrice V sadrži najmanje jednu komponentu cija je vrednost razlicita od nule, onda je jednacina (13) pogodna za ispitivanje pogodnosti - kvaliteta razlici-tih arhitektura IMB, za pouzdano odredi-vanje neispravnog senzora.

Ako se pretpostavi da vektor greske s ima raspodelu po zakonitosti izraza (9a), može se pokazati da je: - u slucaju nepostojanja greske senzora (bj = 0), sta-tisticki parametri jednacine parnosti pr = Vs glase:

E(pr) = 0; < = VVTa2 (14)

Algoritmi

Algoritam sa minimalnim brojem jednacina parnosti

Da bi se neispravan senzor izolovao potrebno je formirati r x 1-dimenzionalni vektor jednacina parnosti pr, pri cemu je r < n - 3, gde je n maksimalan broj jed-nacina parnosti, tako da je:

pr = Vm (13)

Dakle, treba odrediti minimalan broj r jednacina parnosti pT na osnovu kojih se može detektovati neispravan senzor. Lo-gicki vektor qr, koji se može izvesti iz

a gustina verovatnoće je:

P(pr,0) = (2п П {r--yi\VVTa2 expj^--2pT (vvTо2) Pr

(15)

- u slucaju otkaza senzora m^ (bj Ф 0), statisticki parametri jednacine parnosti

pr = Vbj + Vs su:

E(pr) = Vjbj; apr = VVTa2 (16)

gde je Vj j-ta kolona matrice V.

150

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

Gustina verovatnoće je:

P(pr,b] ) = (2^-(r_3)/2\wTa2 exP f--2 (pr (Vfij fP <?)\Pr p VA')

(17)

Uvođenjem parametra-indeksa Jj koji predstavlja logaritamski odnos hipo-teza (16) i (17) dobija se da je:

Ji = In

P (r, j

P (Pr ,0)

(18)

U [2] je pokazano da se jednacina (18) može napisati i u obliku:

tacije mernih osa senzora u odnosu na merni vektor. Uocava se da je Fd1 funkci-ja matrice V koja je u vezi sa orijentaci-jom rezervisanih senzora u IMB i izbo-rom jednacina parnosti. Minimalan broj r jednacina parnosti izracunava se sabira-jući jednacinu (20) po j, tj.:

n n

vi =

Z J,=ZV1 Ю

l=i i=i

= Z trag (WT)

= trag (wTf Z(v,vT)

T

viv,

Ji = P'Vbi' - «УК У*-(P - °)(19>

Poređenje neće izgubiti na opstosti ako se jednacina (19) normalizuje za bj i o2. Tada Jj postaje mera kvaliteta pogod-nosti arhitekture IMB za detekciju i izo-laciju neispravnog senzora m, odnosno:

Ji = V1 PV'T )-1 Vj (20)

Posto svaka arhitektura IMB sadrži n rezervisanih senzora, formira se n x 1-dimenzionalni vektor:

JT=(J J Jn) (21)

Posto je: Z vjvT = VVT

l=i

n

sledi da je: Z J, = trag\lr\ = r (23)

i=i

Jednacina (23) pokazuje da se kod proizvoljne arhitekture IMB povećava pogodnost za detekciju neispravnih sen-zora ako se povećava broj jednacina par-nosti. Jednacina (23) takođe ukazuje da, ako je r< n, onda se maksimalna pogod-nost za detekciju neispravnog senzora dobija ako sve komponente vektora J imaju istu vrednost, tj.:

Uvodi se koeficijent Fdi, tako da je:

Fdi = min[Ji}> j = 1,2,-,n (22)

Parametar Fd1 predstavlja brojcani pokazatelj kvaliteta svakog skupa jednacina parnosti, koja zavisi od arhitekture (tipa rezervisanja) senzora IMB i orijen-

r

max Fd1 = — (24)

n

Algoritam sa n jednacina parnosti

Alternativni algoritam za formiranje skupa jednacina parnosti je ako se formi-ra jedna jednacina parnosti za svaki sen-

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

151

zor koji može otkazati. To znaci da treba formirati skup od n jednacina parnosti, jer IMB sadrži n senzora.

Može se pretpostaviti da se jednacina parnosti: p1 = V^m (25) koristiti za detekciju otkaza senzora m1, gde je ma-trica V-Щ data u obliku:

VT =[Vi V2 Vn] (26)

Koeficijente vektora V^n treba tako odabrati da je jednacina parnosti p1 sto osetljivija na merenje m1, a sto neosetlji-vija na merenja ostalih senzora. To se može ostvariti ako se uzme da je koefici-jent V11=1 i minimizira zbir kvadrata ostalih koeficijenata, tj.:

tako da se problem nalaženja minimuma svodi na resavanje linearnih jednacina:

( 21(

(n- 1)

Hn

V v

v НП-1

0

3x3 у

1(n-1)

Л

\

у

(0 \

n-1

v -hi у

(32)

gde je Л vektor Lagranžeovih množitelja. Resenje jednacine (32) je:

Vl(n-1) =-Hn-i (HT-iHn-1 )-1 hi (33)

cime su ujedno odredene i vrednosti koeficijenata v1(n4) matrice V.

Jednacina parnosti p1 tada glasi:

Pi =mi - h (HL ) 1 HT-imn-1 (34)

C = min^ vfk (27)

k =2

i uz uslov ortogonalnosti matrica H i vb, tj.:

HTV1n= 0 (28)

Ako se definise (n—1) - dimenzio-nalni vektor:

V1(n-1) = (i2 V13 V1n ) (29)

i 3 x (n—1) matricu:

H-i =[2 h3......hn ] (30)

gde je hj jedinicni vektor u pravcu merne ose j-tog senzora, jednacina (28) može se napisati u obliku:

gde je mL = (m2 m3 mn) (35)

Drugi clan desne strane jednacine (34) predstavlja procenu rn 1, na osnovu metode najmanjeg kvadrata, baziranu na (n—1) merenja, ali koja ne ukljucuju m1, tako da se jednacina (34) može napisati kao:

p1 = m1 - m 1 (36)

Algoritam za odredivanje koeficije-nata jednacine parnosti p1, odnosno koeficijenata matrice V1(n.1), može se koristiti i za odredivanje koeficijenata preostalih (n—1) jednacina parnosti. Jednacina (36) važi i za ostale jednacine parnosti.

Ako nema otkaza senzora statisticki parametri jednacina parnosti p1 dati su kao i u jednacini (10), tj.:

HnVi( n-1) + Vii = 0

(31) E(Pi) = 0; a P = vTnVin a2 (37)

152

VOJNOTEHNICKI GLASNIK 2/2004.

U slucaju otkaza važi jednacina (12), tj.:

tura IMB, najbolja je arhitektura koja za-dovoljava uslov:

E(pl) = vl]b];

T 2

Win*

(38)

Uvo|enjem parametra-indeksa koji predstavlja logaritamski odnos hipo-teza, (37) i (38) slicno jednacinama (18) i (19), može se dobiti da je:

J„- ('l\n) v (39)

odnosno:

Jf-Jn J 2 Jin ) (40)

Vektor JT naziva se merom kvalite-ta za jednacinu parnosti p. Posto se želi da pogodnost za detekciju, koja je vezana za jednacinu parnosti pi, bude visoka za otkaze vezane za merenje mt i-tog senzo-ra, a niska za otkaze ostalih senzora, uvo-di se brojcani pokazatelj kvaliteta:

F*2 --J> j * i (41)

maxJ:,

j m

Brojcani pokazatelj kvaliteta pogod-nosti za detekciju i izolaciju otkaza jedne arhitekture IMB pomoću skupa od n jednacina parnosti biće:

Fd2 -тп-

Jii

maxJj

j*i

(42)

Fnaj - max i mm

Jii

maxJ

>, j*m (43)

V j

Praktična primena algoritma na 11 arhitektura IMB

Vrednosti koeficijenta JT i brojca-nog pokazatelja kvaliteta Fd2 pogodnosti za detekciju neispravnih senzora izracu-naće se za nekoliko mogućih arhitektura IMB, gde senzori mogu biti jednoosni (SDOF) i dvoosni (TDOF), koristeći me-todu sa minimalnim brojem jednacina parnosti.

Arhitekture IMB sa SDOF senzorima

U slucaju arhitekture IMB u obliku pravilnog dodekaedra sa sest SDOF senzora, merne ose SDOF senzora su nor-malne na povrsine dodekaedra (slika 1). Merne ose senzora 1 i 4 su u ravni X—Y i pod uglom su od 58,28° u odnosu na +X osu. Merna osa senzora 3 je u ravni X-Z i pod uglom je od 31,72° u odnosu na +Y osu. Ugao izme|u mernih osa senzora 1 i 4, 2 i 5 i 3 i 6 iznosi 63,44°, odnosno a= 58,28° i /3= 31,72°. Transponovana matrica Hf tada ima vrednost:5

sin9 0 cos9 -sin9 0 cos9

Kao jednacina (22) i jednacina (42) je striktno funkcija matrice V, tj. orijentacije i rezervisanja arhitekture IMB. U slucaju uporedne analize arhitek-

HT

cos9 sin9 0 cos9 -sin9 0

0 cos9 sin9 0 cos9 -sin9

5 Arhitektura IMB predložena u [2].

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

153

gde je: 9 = ^arctg(2) = 31,71747°

sin0 = sin

5 -y/5 10

cos0 = cos.

5+/5

10

0,526, =0,851

0,52573 0 0,85065

-0,52573 0 0,85065

0,85065 0,52573 0

0,85065 -0,52573 0

0 0,85065 0,52573

0 0,85065 -0,52573

Sl. 1 — Arhitektura IMB sa SDOF senzorima u obliku pravilnog dodekaedra

Koristeći jednacinu (8) može se poka-zati da matrica V1 ima sledeću vrednost:

V-

'0,707-0,31623 -0,31623 -0,31623 -0,31623 -0,31623' 0 0,63246 0,19544 0,19544 -0,51167 0,51167 0 0 0,60150 -0,60150-0,37175 -0,37175

V=

'0,709 -0,317 -0,317 -0,317 -0,317 -0,317 0 0,63 Q196 0,196 -0,51 0,51

0 0 Q 603 -Q603 -0,373 -0,372

U slucaju orijentacije mernih osa IMB sa {est SDOF senzora u odnosu na povr{ine pravilnog dodekaedra, pri cemu su merne ose 1. i 2. senzora u ravni X-Z i pod uglom od 58,28° u odnosu na Z osu, merne ose 3. i 4. senzora u ravni X-Y i pod uglom 58,28° u odnosu na X-osu i merne ose 5. i 6. senzora u ravni Z-Y i pod uglom 58,28° u odnosu na Y osu, matrice H2 i V2 biće (slika 2):6

6 Ovu arhitekturu IMB predložili su J. Gilmore i R. McKern sa Masacusetskog instituta.

Sl. 2 — Druga varijanta arhitektura IMB u obliku pravilnog dodekaedra

Na slici 3 prikazan je pravilni oktae-dar u kojem komplementarne ose senzora (1 i 2, 3 i 4 i 5 i 6) cine ugao od 90°, jed-ne sa drugom, i simetricne su u odnosu na ose aviona. Senzori 1 i 2 nagnuti su 45° u odnosu na Z osu aviona, senzori 3 i 4 pomereni su za 45° u odnosu na X osu aviona, a senzori 5 i 6 pomereni su za 45° u odnosu na Y osu aviona. Ovi senzori su ujedno ortogonalni u odnosu na ivice oktaedra. Za ovaj slucaj matrice H3 i V3 imaju vrednosti:7

7 Arhitektura IMB predložena u [3].

154

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

V =

cos45° 0 cos45°

-cos45c 0 cos 45°

cos45° cos45° 0

cos45° -cos45 ° 0

0 cos 45 ° cos45°

0 cos 45 ° -cos45°

' 0,707 0 0,707 "

-0,707 0 0,707

0,707 0,707 0

0,707 -0,707 0

0 0,707 0,707

0 0,707 -0,707

"0,707 0 -0,354 -0,354 -0,354 0,354"

0 0,707 0,354 0,354 -0,354 0,354

00 0,499 -0,501 -0,501 -0,501

3

U slucaju ortogonalne arhitekture IMB sa tri SDOF senzora, kod koje su merne ose senzora medusobno ortogonalne i usmerene u pravcu osa aviona, matrice H4 i V4 imaju vrednost:

"1 0 0" "1 0 0"

H4 = 0 1 0 V4 = 0 1 0

0 0 1 0 0 1

U slucaju konusne arhitekture (slika 4) IMB sa cetiri SDOF senzora, sve merne ose senzora su u ravni konusa, pri ce-mu su merne ose SDOF senzora u pravcu avionskih osa i medusobno obrazuju ko-nus pod uglom od 54,75° = arccos

Г j_

o/3

matrice H5 i V5 imaju vrednost8:

Dato u [2].

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

155

Sl. 4 — Arhitektura IMB u obliku tetrade

H 5 =

V =

-1 1 -1

1 1 1 -1

s' 1 -1 -1

-1 -1 -1

1 -1 1 -1'

-1 1 -1 1

1 -1 1 -1

-1 1 -1 1

Za slucaj na slici 5, matrice H6 i V6 imaju vrednost9:

Sl. 5 — Druga varijanta arhitekture IMB u obliku tetrade

U slucaju konusne arhitekture IMB sa pet SDOF senzora, cije su merne ose razme{tene oko konusa, ciji je centralni ugao 109,5° (slika 6), matrice H7 i V7 imaju vrednost10:

H7

0,97204

-0,60075

0

0

-0,60075

0

-0,77653

0,47992

-0,47992

0,77653

-0,23482

-0,18997

0,87731

0,87731

-0,18997

H6

V6 =

1 0 V2 0 -1 -1 V= 0,63245 0,51167 0,19543 0,19543 0,51167'

V3 0 -V2 -1 0 0,37175 0,60150 -0,60150 -0,37175

' i _-V2 -1 1 0 -1' -1 U slucaju arhitekture IMB sa osam SDOF senzora, cije merne ose cine ugao

-1 1 -1 1 od 45° sa jednom od ivica osnove

1 -1 1 -1 oktaedra, matrice H8 i V8 imaju vrednost11:

-1 1 -1 Dato u [3]. 1 10 Konusna arhitektura IMB koju je predložila firma Hamilton Standard, Division of United Technologies. 11 Arhitekturu u obliku oktaedra prva je predložila, izra-dila i ispitala firma Teledyne Systems Comp.

156

VOJNOTEHNICKI GLASNIK 2/2004.

H =

0,70711 0,70711 0,40825 -0,40825 -0,70711 -0,70711 -0,40825 0, 40825

-0,40825

0,40825

0,70711

0,70711

0,40825

-0,40825

-0,70711

-0,70711

0,57735

-0,57735

0,57735

-0,57735

0,57735

-0,57735

0,57735

-0,57735

Sl. 6 — Konusna arhitektura IMB sa pet SDOF senzora

0,79057 0 -0,15811 0,43198 0,15811 0,31623 -0,15811 -0,158

0 0,79057 -0,11575 -0,15811 0,31623 0,15811 0,43198 -0,158

0 0 0,76590 0,06528 -0,08278 0,53507 0,19585 0,278

0 0 0 0,63964 -0,16322 -0,42451 0,58442 0,206

0 0 0 0 0,68301 -0,18301 -0,18301 0,693

Arhitekture IMB sa TDOF senzorima

vrednost skalamog proizvoda dva razlicita vektora spin osa senzora konstantna, tj.:

Razmatraju se sledeće arhitekture IMB: simetricna, ortogonalna i koplanarna.

Simetricna arhitektura IMB sa TDOF senzorima ima osobinu da je apsolutna

Sl. 7 — Simetricna arhitektura IMB sa TDOF senzorima

hs • h

K, 3i, j, i Ф j

(44)

gde je:

his - vektor i-te spin ose TDOF senzora, K - konstanta i za IMB sa TDOF senzorima usmerenih na stranice pravilnog poluoktaedra (slika 7) iznosi

K =1 a za IMB sa TDOF senzorima 2

usmerenih na stranice pravilnog

dodekaedra je K

1

Ж

U slucaju cetiri TDOF senzora, gde osam mernih osa i cetiri spin ose (normalne na stranice oktaedra) leže na povrsini konusa sa uglom arccos(-K), K je dato u (44):

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

157

л/э+Г -V3+T л/з-1 -л/з-1 -л/з-Г л/з-1 -л/з+Т л/з+Г

-f§ II ^/эЛ >/з+Т Тз+Г -л/з+Т 7з-Т -л/з-1 ^/з-Т л/з-1

2 2 2 2 2 2 2 2

"0,183 0,683 -0,683 -0,18з 0 0 0 0

Tada je: 0,5 -0,5 0 0 0,5 -0,5 0 0

0 0 0,5 -0,5 0 0 0,5 -0,5

U slucaju ortogonalne arhitekture IMB sa TDOF senzorima neke spin ose senzora moraju biti me|usobno normal-ne. Kod ortogonalne arhitekture IMB sa cetiri TDOF senzora, prikazanih na slici 8, tri spin ose h2s,h3s,h4s su melusobno ortogonalne, a cetvrta spin hls osa leži u ravni koja je definisana sa dve (h3s, h4 s) od preostale tri ose i pod uglom od 45° u odnosu na avionsku X-osu.

Matrice H10 i V10 tada imaju sledeće vrednosti:

10

T

-1

0 1 0 0 1 0 0

\2

-1

0 0 1 0 0 0 1

V 2

1 0 0 0 1 0 1 0

0,707 0 -0,707 0 0 0 0 0

0,707 0 0 0 -0,707 0 0 0

0 0 0 0 0 -0,707 0 0,707

0 0 0 -0,707 0 0 0,707 0

0 0,707 0 0,5 0 0 0 0,5

Za ortogonalnu arhitekturu, kod ko-je su najmanje tri spin ose senzora me|u-sobno ortogonalne, potrebno je formirati najmanje pet jednacina parnosti, i to: dve za detekciju i izolaciju otkaza, tri koline-

arna senzora i tri za detekciju i izolaciju otkaza koplanarnih senzora.

Kod koplanarne arhitekture IMB sa cetiri TDOF senzora sve cetiri spin ose TDOF senzora moraju da leže u jednoj

158

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

ravni, a osam mernih osa je simetricno ugao konusa 90° (slika 9). Tada matrice razmešteno po površini konusa, ciji je H11 i V11 imaju vrednost:

hT

Vi

" 1 l 0 0 1 1 1 1 '

V2 V2 2 2 2 2

0 0 l i 1 1 1 1

^/2 2 2 2 2

l l 1 1 1 1 1 1

U/2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 V2 J

0,5 0,5 -0,5 -0,5 0 0 0 0

0,5 0,5 0 0 -0,5 -0,5 0 0

0,5 0,5 0 0 0 0 -0,5 -0,5

Uporedna analiza arhitektura inercijalnog mernog bloka

Primena algoritma sa n jednacina parnosti u izracunavanju koeficijenata

matrice V i koeficijenata JT i Fd2 na ar-hitekture IMB sa matricama H9, H10 i H11 prikazana je u tabelama 1, 2 i 3. U tabeli 1 prikazane su vrednosti za koeficijente J samo za jednacinu parnosti p8. I za jed-nacine parnosti p^ p7 (tabela 1) može se pokazati da je Fd2 3,3, jer su iste vred-

nosti koeficijenata J samo u izmenjenom redu.

Pošto je, prema (42), vrednost Fd2 najmanja za jednacinu parnosti p3 i iznosi 1,8 (tabela 2), ta vrednost predstavlja vrednost pokazatelja kvaliteta za ortogo-nalnu arhitekturu H7.

I za jednacine parnosti p1 ^ p7 može se pokazati da je Fd2=3,7, jer su iste vrednosti koeficijenata J (tabela 3), samo u izmenjenom redu.

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

159

Vrednosti koeficijenata V i J za arhitekturu IMB H9

Tabela 1

Arhitektura H9 Koeficij enti matrice V

Jednacine parnosti, Pi

Pi 1 0 -0,2 0,1464 0,2 -0,4 -0,2 0,5464

P2 0 1 -0,5464 -0,2 -0,4 0,2 0,1464 -0,2

P3 -0,2 -0,5464 1 0 -0,2 0,1464 0,2 -0,4

P4 0,1464 -0,2 0 1 -0,5464 -0,2 -0,4 0,2

P5 0,2 -0,4 -0,2 -0,5464 1 0 -0,2 0,1464

P6 -0,4 0,2 0,1464 -0,2 0 1 -0,5464 -0,2

P7 -0,2 0,1464 0,2 -0,4 -0,2 -0,5464 1 0

Ps -0,5464 -0,2 -0,4 0,2 0,1464 -0,2 0 1

Jednacina Parnosti Fd2 Koeficijenti J

J, J, J3 J4 J, Jfi J7 Js

Ps 3,3 0,187 0,025 0,1 0,025 0,013 0,025 0 0,625

Tabela 2

Vrednosti koeficijenata V i J, za arhitekturu IMB H10

Arhitektura H,,

Jednacine

Koeficijenti matrice V

P1 1 0 0 0 -0,5 0 -0,5 0

P2 0 1 -0,3536 0,3536 0 0,3536 0 0,3536

P3 0 0,3536 1 0 0 -0,75 0 0,25

P4 0 0,3536 0 1 0 0,25 0 -0,75

P5 -0,5 0 0 0 1 0 -0,5 0

P6 0 0,4041 -0,7143 0,1523 0 1 0 0,142s

P7 -0,5 0 0 0 -0,5 0 1 0

Ps 0 0,4041 0,142s -0,7143 0 0,142s 0 1

Jednacina Parnosti Fd2 Koeficijenti J

J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 Js

P1 4,0 0,667 0 0 0 0,167 0 0,167 0

P2 s,0 0 0,667 0,0s3 0да 0 0,0s3 0 0,0s3

P3 1,s 0 0,071 0,57 0 0 0,32 0 0,036

P7 4,0 0,167 0 0 0 0,167 0 0,667 0

Ps 2,0 0 0,095 0,012 0,029s 0 0,012 0 0,05s3

Tabela Vrednosti koeficijenata V i J, za arhitekturu IMB H11

Arhitektura H11 Koeficijenti matrice V

Jednacine Parnosti, Pi

P1 1 0 -0,1667 -0,1667 -0,5202 0,Ш9 0,^69 -0,5202

P2 0 1 -0,1667 -0,1667 0,Ш9 -0,5202 -0,5202 0,^69

P3 -0,1667 -0,1667 1 0 -0,5202 0,^69 -0,5202 0,^69

P4 -0,1667 -0,1667 0 1 0,^69 -0,5202 0,^69 -0,5202

P5 -0,5202 0,Ш9 -0,5202 0,^69 1 0 -0,1667 -0,1667

P6 0,^69 -0,5202 0,Ш9 -0,5202 0 1 -0,1667 -0,1667

P7 0,^69 -0,5202 -0,5202 0,^69 -0,1667 -0,1667 1 0

Ps -0,5202 0,Ш9 0,Ш9 -0,5202 -0,1667 -0,1667 0 1

Jednacina Parnosti Fd2 Koeficijenti J

J1 J2 J3 J4 J< J6 J7 Js

Ps 3,7 0,162 0,021 0,021 0,162 0,017 0,017 0 0,6

160

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

Zaključak

U ovom clanku izložen je algoritam određivanja brojcanog pokazatelja kvali-teta proizvoljne arhitekture IMB, sa sta-novi{ta pogodnosti za detekciju i izolaci-ju neispravnog senzora IMB.

Na osnovu analize vrednosti brojca-nih pokazatelja arhitektura H1 + H11 IMB, koje su date u literaturi ili se nalaze u proizvodnim programima mnogih svet-

skih proizvođača INS, najbolja svojstva za primenu ima koplanarna arhitektura H11, ukoliko se koristi osam jednacina parnosti, a arhitekture H1 i H2 u slucaju da algoritam FDI koristi minimalan broj jednacina parnosti (tabela 4). Ortogonal-ne arhitekture su prihvatljive samo u slucaju korišćenja minimalnog broja jednacina parnosti. Predloženi algoritam može se primeniti pri analizi i drugog skupa proizvoljnih arhitektura IMB.

Tabela 4

Vrednosti pokazatelja kvaliteta arhitektura IMB sa stanovišta pogodnosti za detekciju neispravnih senzora

Arhitektura IMB Varijanta, matrica H Pokazatelj kvaliteta arhitekture, Fd2 Rang, Fnaj

6 SDOF, Hj 5,0 1

6 SDOF, H2 5,0 1

6 SDOF, H3 4,0 2

Sa SDOF 3 SDOF, H4 0 8

senzorima 4 SDOF, H5 1 7

4 SDOF, H6 1 7

5 SDOF, H7 1,52 6

8 SDOF, H8 3,36 4

Simetricna 4 TDOF, H9 3,3 4

Sa TDOF senzorima Ortogonalna 4 TDOF, H10 1,8 5

Koplanarna 4 TDOF, Hu 3,7 3

Literatura:

[1] Potter, E.; Suman, C.: Thresholdless redundancy management with arrays of skewed instruments, AGARD-224, Control Systems, 1977, 15-1 do 15-25.

[2] Daly, K.; Gai, E.; Harrison, J.: Generalized Likelihood Test for FDI in Redundant Sensor Configurations, J. Guidance and Control, Vol. 2, No. 1, Jan.-Feb. 1979.

[3] Gai, E.; Harrison, J.; Daly, K.: FDI Performance of Two Redundant Sensor Configurations, IEEE Transaction on AES, Vol. AES-15, №3, Nov. 1979.

[4] Satin, A.; Gates, R.: Evaluation of Parity Equations for Gyro Failure Detection and Isolation, AIAA J. Guidance and Control, Vol. 2, №1, Jan.-Feb. 1978.

[5] Mitrinović, D. S.; Mihajlović, D.; Vasić, P. M.: Linearna algebra, Polinomi, Analiticka geometrija, Građevinska knji-ga, Beograd, 1973.

[6] Бронштейн, И. X.; Семендяев, K. A.: Справочник no математике, Наука, Москва, 1986.

[7] Janićijević, S.: Model određivanja optimalne arhitekture inercijalnog mernog bloka, doktorska desertacija, VA, no-vembar 2003. godine.

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 2/2004.

161