Matematicka analiza magnetskog polja Zemlje Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Sc Goran Prodanović,

kapetan

Vcgnogeografski institut, Beograd

MATEMATICKA ANALIZA MAGNETSKOG POLJA ZEMLJE

UDC: 537.67

Rezime:

Poznavanje matematičkih transformacija kojima se mo'e predstaviti intenzitet vektora magnetskogpolja Zemlje ima veoma veliki značaj. Defnisanjem koeficijenata transformacio-nih funkcija omogućava se predstavljanje raspodele vrednosti polja na odredenom prostoru. U ovom radu govori se o magnetskom polju Zemlje, Gausovoj metodi analize magnetskog polja Zemlje, kao i o upotrebi metode najmanjih kvadrata u resavanju sistema jednačina normalnih vrednosti magnetskog polja Zemlje.

Ključne reči: magnetsko polje Zemlje, Gausov metod analize magnetskog polja Zemlje, me-toda najmanjih kvadrata.

MATEMATICAL ANALYSIS OF GEOMAGNETIC FIELD

Summary:

Knowledge of mathematical transformation models that can present value of vector of geomagnetic field is very important. Defining coefficients of transformation functions provides presentation of disposition value of geomagnetic field on defined space. This article presents geomagnetic field, Gauss ’ method of analysis of geomagnetic field and using least square method to solve system of equations of normal values geomagnetic field.

Key words: Geomagnetic field, Gauss method of analysis of geomagnetic field, least square method.

Uvod

Radi prou~avanja geomagnetskih fenomena i re{avanja brojnih zadataka iz oblasti geomagnetizma, veoma je važno naći analiti~ki izraz koji izražava zavi-snost magnetskog polja od koordinata ta-~aka na povr{ini Zemlje. Radi nalaženja ovakvog izraza polazi se od pretpostavke da je Zemlja homogena namagnetisana sfera ili se, na osnovu merenih vrednosti elemenata magnetskog polja, dobijaju iz-razi koji ukazuju na raspodelu magneti-zacije unutar Zemlje, koja odgovara me-renom polju.

Mereno polje na povr{ini Zemlje može se predstaviti kao vektorska suma vi{e razli~itih magnetskih polja [6]:

T=T+Tm+Ta +Tex+sT (1)

gde je:

To - polje homogeno namagnetisane Zemlje, koje se može predstaviti i kao polje dipolnog magneta ~ije se sredi{te nalazi u centru Zemlje (dipolno polje),

Tm - polje izazvano nehomogenostima u dubljim delovima Zemlje (polje kontine-nata ili nedipolno polje),

88

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2006.

Ta - polje izazvano magnetizacijama u gornjim delovima Zemljine kore (anoma-lijsko polje),

Tex - polje koje je u uskoj vezi sa spolj-nim fenomenima, бТ - polje varijacija.

Glavnim magnetskim poljem naziva se vektorska suma dipolnog i nedipolnog polja.

T=T0+fm (2)

Normalnim magnetskim poljem naziva se vektorski zbir dipolnog, nedipol-nog i spoljnjeg polja:

T=To+Tm +Tex (3)

Kako je intenzitet spoljnjeg polja veoma mali u poređenju sa glavnim, ono se može zanemariti, te izraz dobija oblik:

T=To +Tm (4)

tako da se pri razmatranju glavno mag-netsko polje može smatrati kao normalno i obrnuto.

Anomalijsko polje (Ta) moguće je predstaviti kao zbir polja izazvanog ne-homogenostima u raspodeli magnetizaci-je u srednjim i dubljim delovima Zemljine kore (polje regionalnih anomalija) i polja izazvanog postojanjem magnetickih stena rudnih ležista i sl. koje se nalazi blizu Zemljine povrsine i ciji se uticaj manifestuje na relativno malim podrucji-ma (polje lokalnih anomalija).

Ako se zanemari polje varijacija, a imajući u vidu definiciju normalnog polja, merena vrednost magnetskog polja Zemlje može se prikazati kao vektorski zbir normalnog i anomalijskog polja:

T=Tn +Ta (5)

Ako se, na osnovu magnetskih me-renja, u određenom slucaju želi odrediti samo lokalna anomalija, onda se pod normalnim poljem mora podrazumevati vektorski zbir normalnog polja (T) i polja regionalne anomalije. Ako se želi odrediti nedipolno polje, on da se pod poj-mom normalnog polja podrazumeva sa-mo dipolno polje. Na osnovu navedenog, pod pojmom normalnog polja može se smatrati polje razlicitih struktura, u zavi-snosti od toga kakav se deo anomalijskog polja želi izdvojiti iz merenih vrednosti magnetskog polja Zemlje.

Gausov metod analize magnetskog

polja Zemlje

Brojni problemi u geologiji, geode-ziji, astronomiji i drugim prirodnim nau-kama zahtevali su razvoj razlicitih mate-matickih modela i metoda za njihovo re-savanje. Proucavajući magnetsko polje Zemlje, Gaus je dosao do izraza za nor-malne vrednosti magnetskog polja. Kako unutar Zemlje postoje razlicito raspore-đene magnetizacije, nameće se potreba razvijanja složenih matematickih metoda. Kao takva, Gausova metoda sferne harmonijske analize ima neprocenjiv znacaj. U svojim proucavanjima magnetskog polja Zemlje, Gaus polazi od pret-postavke да je izvor polja unutar Zemlje i da takvo polje zadovoljava Laplasovu jednacinu [2]:

T =— grad U (6)

gde je U potencijal magnetskog polja.

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2006.

89

N

Ako se usvoji da Zemlja ima na-magnetisanje J, koje u bilo kojoj tacki na Zemljinoj povrsini ima proizvoljnu veli-cinu i pravac (slika), tada se magnetski potencijal U predstavlja kao zapreminski i izražava u obliku reda:

U=

It [

да n

I I r„.

n=l m=© f

p" cos ©

a" cosmA+b" sinmA

(7)

Pri n = 0 magnetski potencijal je If.

U =— I dm i predstavlja sumu svih ele-rJ

v

mentarnih magnetskih masa koja je u svakom telu jednaka nuli. Zato red (7) dobija oblik:

да 1 n

U=I T+TI [.

n=1 f m=0

pm cos ©

am cos mA+bnm sin mA

(8)

Ako se pocetak koordinatnog siste-ma (slika) prenese u centar i uvedu ozna-

ke amn = Rn+2 gm, bm = Rn+2 hnm, gde je R radijus sfere, dobija se:

да р n

U = I (-Г I[gnm cos(mA + hnm sin mA]

n=1 Г m=0

Pmn cos © (9)

Za tacku koja se nalazi na povrsini sfere r = R potencijal će biti:

Gausova analiza magnetskogpolja Zemlje

Magnetski potencijal koji se stvara na povrsini sfere, izazvan magnetskim masama koje su raspoređene unutar sfere, izražava se u obliku dvostruke sume sa beskonacnim brojem komponenti. Svaka komponenta predstavlja sfernu funkciju:

Pnm (cos ©)c°smm od ©, A (11)

sa konstantnim koeficijentima g^, h"

dok su © kolatituda i A longituda uglov-ne koordinate tacke na sferi.

Broj clanova tipa gm, h" može biti beskonacan, uz uslov da je m manje od n i da za m = 0, svi clanovi reda tipa h po-staju jednaki 0. Tada broj clanova N tipa gm, h" može da se izrazi relacijom:

U = rI I[gnm cos mA + hm sin mA]

n=1 m=0

pm cos © (io)

N = n (n + 2) (12)

Ako se izvrsi diferenciranje izraza (9) po osama koordinatnog sistema, cija je x osa orijentisana u ravni geografskog

90

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2006.

meridijana, z osa u pravcu vertikale, a y osa upravna na njih, dobiće se severna X, vertikalna Z i istocna Y komponenta, a preko njih i svi drugi elementi magnet-skog polja Zemlje:

X :

1 dU

=-x

r d®

n

X[g m cos mX + hm sin mX~^

m=0

1 dU

d(pm cos ®)

d ®

Y =

= -I

r sin ® dX __

n

'ST\Lmgm cosmX - mhnm sinmX~j

m=0

pm cos® sin®

z = — = -Y

dr ±1

(13)

n

X[(n +1)gm cosmX+ (n + 1)h“ sinmX~^pm cos®

Resenjem sistema jednacina (13) normalno magnetsko polje jedne izabrane teritorije može se predstaviti izrazom [6]:

E (Дф, AX) = a1 + a2 Аф+ a3AX + a4 Аф2 + +a5AX2 + a6 AqAX (14)

gde je:

Б(Дф, AX) - vrednost normalnog mag-netskog polja na tacki cije su geografske koordinate,

ф1 i X1 - geografska dužina i sirina mesta, ф0 i X0 - geografska dužina i sirina tacke u odnosu na koju se svode merenja,

Дф = ф1 —ф0 - razlika geografskih sirina, AX = X1 —X0— razlika geografskih dužina, ai - koeficijenti.

Uobicajeno je da se razlike geografskih sirina i dužina racunaju u odnosu na koordinate geomagnetske opservatorije

koja se nalazi u sredini teritorije za koju se racunaju koeficijenti ai normalnog polja. Međutim, ukoliko se analizira lokal-no podrucje, onda se za nultu tacku mo-gu uzeti koordinate jedne od sredisnjih tacaka na kojoj je obavljeno merenje.

Na osnovu izraza (14) za svaku tacku se obrazuje jednacina, a resavanjem dobijenog sistema jednacina metodom najmanjih kvadrata dobijaju se normalne vrednosti magnetskog polja.

Metoda najmanjih kvadrata

Jedna od najcesće primenjivanih metoda u geologiji, geodeziji, astronomi-ji i drugim prirodnim naukama jeste me-toda najmanjih kvadrata ili metoda naj-manje sume kvadrata. Vođene su bes-krajne polemike da li je ovu metodu prvi primenio Gaus ili Ležandr.

Neka je izvrseno niz nezavisnih me-renja l1, l2,... ln. Verovatnoće da će se u tim merenjima pojaviti greske v1, v2,... vn izražavaju se izrazima [3]:

P(v1) = ~~h= e'14 V1 dv1 P(v2) = ~h^ e"hl V2 dv2

(15)

P(vn) =-^=е* dvn

Vn

gde je h velicina proporcionalna težini merenja p. Kako su ova merenja nezavi-sna, verovatnoća P da će se u datom nizu pojaviti bas greska vt, v2,... vn glasi:

P(v1, v2,... vn) = P(v1) P(v2) .. P(vn) (16)

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2006.

91

Ako se izraz (15) uvrsti u izraz (16) dobija se:

D/ ч h К ... h

Pv2,...vn)= n V n

e-hfv еМ*..£

(17)

Da bi ova verovatnoća bila maksi-malna, odnosno da bi L1? L2, ... Ln bile najverovatnije vrednosti, treba da bude:

h1 h2 ••• hn _-(h?vi + &2+... +кУп)

max

(18)

Da bi ovaj izraz bio maksimalan do-voljno je da bude:

Ako postoje merenja l1? l2,... ln, neka su L1? L2, ... Ln njihove najverovatnije vrednosti, a vb v2,... vn odstupanja. Najverovatnije vrednosti mogu se izraziti sledećim jednacinama [3]:

L1 = F1( x,y, ... ,u) = l1 + v1

L2 = F2( x,y, ... ,u) = l2 + v2 (23)

Ln = Fn( x,y> ... ,u) = ln + vn

Ako se za promenljive uzmu pribli-žne vrednosti dobijene na ma koji nacin, ali koje su bliske vrednostima x0, y0, ... , u0 biće:

hi2vi2 h2v2 ... кУ2 = min (19)

Velicina h je karakteristika svakog merenja ponaosob i proporcionalna je te-žini tog merenja p, pa se može pisati:

L{ = Fi(x0+dx, y0+dy,+ ... +, u0+du) (24)

Razvojem u red, zanemarujući ste-pene viseg reda od prvog, dobiće se:

Pi2vf P22v22 ... Piv2 = Z Pv2 = min (20)

gde su p1, p2,... pn težine merenja l1, l2,... ln. Ako su merenja istih težina tj. p1 = p2 = ... pn, onda će maksimalnu verovatnoću imati ona vrednost L za koju odstupanja:

v1 = L1 — l1

v2 = L2 — l2 (21)

v1 = L1 — l1 zadovoljavaju uslov:

vi2 + v22 + ..v2 = Z v2 = min (22)

Ova metoda se bez teskoća može primenjivati kada su jednacine date u li-nearnom obliku, a ukoliko nisu treba ih svesti na linearni oblik, sto je moguće ako je poznata bar približna vrednost ne-poznatih velicina.

Li = Foi(. x0 , У0,+ ... +, u0) +

д F

d x

f д F ^

vd У J

dy + ... +

д F d u

du

dx +

(25)

Ako se prethodni izraz uvrsti u jedna-

cinu (23) i zameni F0i - li = fi;

д F

d x

= ai;

f д F ^

vd У j

= bi; ...

д F

д u

= ci, a za dx,dy,

... , du se stavi da su jednaki x, y, ... , u, dobiće se jednacine odstupanja u linear-nom obliku:

vj = axx + bly + ... +Cju + f v2 = a2x + b2y + ... +c2u + f2

(26)

vn = ax + bny + ... +cnu + fn

+

92

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2006.

gde su najverovatnije vrednosti odstupa-nja koje figurisu u uslovuУv2 = min.

Da bi se iz jednacina odstupanja izracu-nali x, y, ... , u, potrebno je date jednaci-ne svesti na sistem od n linearnih jednacina sa n nepoznatih. Uobicajeno je da se taj sistem linearnih jednacina zove nor-malne jednacine. Iz jednacina (26) suma kvadrata odstupanja У v2 biće [3]:

Parcijalnim izvođenjem po x, y,...u, dobija se:

дУ v2

—=—= 2x(a1a1 + a2 a2+...+ anan)+ dx

+2y(a1b1 + a2b2+...+ anbn)+ (30)

+........................+

+2n(a1c1 + a2c2+...+ ancn) +

+2(al/1 + a2/2+...+ anfn)

У v2 = (a^x +b1y+...+c1u+f1)2+

+(a2x +b2y+...+c2u+f2)2+ (27)

+.......................+

+(anx +bny+...+CnU+fn)2

Prethodna funkcija od n nepoznatih imaće minimum kada svi parcijalni izvo-di po nepoznatim budu jednaki nuli, sto znaci da će biti onoliko jednacina koliko i nepoznatih:

дУv2

dx

дУv2

dy

= 0 = 0

(28)

дУv2

du

= 0

Kako su jednacine odstupanja line-arne, to će i jednacine (28) biti linearne:

дУ v2

—=■—= 2a1(a1x +by+...+c1u+f1)+

dx

+2a2(a2x +b2y+...+c2u+f2)+ (29)

+.....................+

+2an(anx +bny+- + cnU+f„)

дУ v2

—=—= 2x(b1a1 + b2a2+...+ bnan)+

dy

+2y(b1b1 + b2b2+...+ bnbn)+ (31)

+.........................+

+2u(b1c1 + b2c2+...+ bncn) + +2(b1f1 + b2f2+...+ bnfn)

дУ v2

—=—= 2x(c1a1 + c2a2+...+ cnan)+ du

+2y(c1b1 + c2b2+...+ cnbn)+ (32)

+.........................+

+2u(c1c1 + c2c2+...+ cncn) +

+2(cf1 + c2/2+...+ cnfn)

Prethodni izrazi pisu se u sledećem obliku:

a1a1 + a2 a2+...+ anan = [aa] = У[аа] a1b1 + a2b2+...+ anbn = [ab] = У[аЬ] (33)

a1c1 + a2c2+...+ ancn = [ac] = У[ас]

Ako se gornji izraz zameni u jedna-cini (28) može se napisati:

[aa] x + [ab]y + ... + [ac] u + [af ] = 0

[ab] x + [bb] y + ... + [bc] u + [bf] = 0 (34)

[ac] x + [bc] y + ... + [cc] u + [cf] = 0

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2006.

93

sto predstavlja izraz za normalne jednacine.

Dalji postupak svodi se na racuna-nje nepoznatih velicina Gausovom me-todom eliminacije, pomoću determi-nanti i dr.

Navedeni postupci racunanja nepoznatih velicina su komplikovani, zahte-vaju mnogo vremena, pa je danas siroko rasprostranjen matricni postupak koji uprosćava proces racunanja i prilagodljiv je racunarskoj tehnici.

Jednacine odstupanja (26) mogu se predstaviti u matricnom obliku na sledeći nacin [1]:

gde je p matrica težina:

" Pi 0 0 0 0 0

0 P2 0 0 0 0

0 0 0 0 0

p = 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 Pn

Diferenciranjem izraza (37) i izjed-nacavanjem sa nulom dobija se:

dVpv+ V p dv = 0 (38)

Vi " " ai bi ■ ■■ ci x fi

V2 a2 b2 ■ ■ ■ c2 y f2

v a b ■ ■ ■ c u + f

(35)

ili kraće,

v= Ax + f

(36)

ili kada se transponuje prvi clan:

Vp dv+ Vp dv = 0 (39)

odnosno:

Vp dv = 0 (40)

Diferenciranjem jednacine (36) dobija se:

dv = A dx (41)

gde je:

A - matrica koeficijenata jednacina od-stupanja,

x - vektor traženih vrednosti, f - vektor slobodnih clanova, v - vektor popravaka.

Kako je uslov najmanjih kvadrata ^ pvv = min = ^ pv2 = min, to će u matricnom obliku glasiti:

i ako se ovaj izraz uvrsti u jednacinu (40) može se pisati:

VpA dx = 0 odnosno:

vpA = 0 (42)

ili transponovano:

vpv = min

(37) Avp = 0

(43)

94

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2006.

kada se izraz (26) uvrsti u prethodni do-biće se normalna jednacina u matricnom obliku:

A‘p(Ax + f) = 0 (44)

odnosno:

ApAx + Apf = 0 ili kraće:

Nx+n = 0 (45)

gde je:

N = AtpA - matrica koeflcijenata nor-malnih jednacina,

n = Atpf - vektor slobodnih clanova nor-malnih jednacina.

Iz jednacine (45) može se odrediti vektor traženih velicina po sledećoj for-muli:

x = —N^n (46)

Kada se izracunaju tražene velicine, može se pristupiti određivanju popravaka v po izrazu (36).

Kontrola racunanja izvodi se po sle-dećoj formuli:

vV = ff + nX (47)

Numerički primer

Treba izracunati normalne vrednosti deklinacija na tackama sa poznatim geo-grafskim koordinatama i magnetskom deklinacijom.

Koordinate tacke u odnosu na koju se svode vrednosti deklinacija su:

Ф = 44° 39' 04" к = 20° 44' 03"

Tabela 1

Koordinate tacaka sa vrednostima magnetske deklinacije

Tacka к Ф D

1. 20° 06' 20" 44° 57' 38" 02°15'30"

2. 20°11'43" 45° 03' 06" 02° 09'24"

3. 20° 09'37" 44° 55' 26" 02°15'12"

4. 20°14'55" 45° 01' 04" 02°15'06"

5. 20°14'24" 44° 57' 06" 02° 28' 18"

6. 20° 16' 47" 44° 55' 40" 02° 28' 36"

7. 20°14'21" 44° 52' 45" 02°22'18"

8. 20° 20'03" 44° 58' 21" 02° 14' 36"

9. 20°17'30" 44° 51' 29" 02°31'06"

10. 20°24'11" 44° 55' 37" 02°21'18"

Merenja su istih težina p1 = p2 = ... = pn = 1.

Na osnovu podataka iz tabele jednacine popravaka imaju sledeći oblik:

Vj = a1 + 0,3094a2 - 0,6286a3 + 0,0958a4 + +0,3952a5 - 0,2477a6 + (-2,2583)

V2 = aj + 0,4006a2 - 0,5389a3 + 0,1604a4 + +0,2904a5 - 0,2159a6 + (-2,1567)

V3 = a1 + 0,2723a2 - 0,5739a3 + 0,0744a4 + +0,3293a5 - 0,1563a6 + (-2,2533)

V4 = a1 + 0,3667a2 - 0,4856a3 + 0,1344a4 + +0,2358a5 - 0,1781a6 + (-2,2517)

V5 = a1 + 0,3006a2 - 0,4942a3 + 0,0903a4 + +0,2442a5 - 0,1486a6 + (-2,4170)

V6 = a1 + 0,2767a2 - 0,4544a3 + 0,0765a4 + +0,2065a5 - 0,1257a6 + (-2,4767)

V7 = a1 + 0,2281a2 - 0,4950a3 + 0,0520a4 + +0,2450a5 - 0,1129a6 + (-2,3717)

VOJNOTEHNICKI GLASNIK 1/2006.

95

V8 — a1 + 0,4214a2 — 0,4000a3 + 0,1033a4 + +0,1600a5 - 0,1286a6 + (-2,2433)

V9 — a1 + 0,2069a2 - 0,4425a3 + 0,0428a4 + +0,1958a5 - 0,0916a6 + (-2,5183)

V10 — a1 + 0,2758a2 - 0,3311a3 + 0,0761a4 + +0,1096a5 - 0,0913a6 + (-2,3550)

(48)

Na osnovu jednacina popravaka do-bija se matrica A ciji su elementi kon-stante koje se nalaze ispred traženih veli-cina a1? a2, a3, a4, a5, a6. Elementi matrice traženih velicina x su:

" a" ' 1,3808 "

a2 -0,8327

a3 -6,2225

a4 -3,8074

a5 -8,2963

a6 _ -3,5589

(49)

Normalne vrednosti geomagnetske deklinacije na navedenim tackama prika-zane su u tabeli 2.

Zaključak

Matematicka analiza magnetskog polja izvodi se na osnovu postojećih re-zultata merenja elemenata i komponenti magnetskog polja Zemlje. Da bi se kori-stio Gausov metod analize, potrebno je, pored merenih velicina, izvrsiti i racuna-nja razlika geografskih sirina i dužina.

Ukoliko se želi analizirati polje re-gionalne anomalije, onda se razlike geo-grafskih sirina i dužina racunaju u odno-su na geomagnetsku opservatoriju koja se nalazi u sredistu teritorije ili ako se vr-si analiza polja lokalne anomalije, razlike geografskih sirina i dužina racunaju se u odnosu na neku od sredisnjih tacaka.

Formiranjem sistema jednacina, na osnovu izraza za normalne vrednosti magnetskog polja Zemlje, dobija se pola-zna osnova za primenu metoda najmanjih kvadrata. Matricnom interpretacijom ov-og metoda i primenom modela racuna-nja, u geodeziji poznatog kao posredno izravnanje, na vrlo efikasan nacin dolazi se do traženih vrednosti, odnosno do vrednosti normalnog ili anomalijskog de-la magnetskog polja Zemlje.

Tabela 2

Normalne vrednosti geomagnetske deklinacije

Tacka D Tacka D

1. 02° 16' 22" 6. 02° 25' 15"

2. 02° 08' 57" 7. 02° 26' 32"

3. 02° 15' 59" 8. 02° 20' 21"

4. 02° 15' 47" 9. 02° 30' 03"

5. 02° 21' 53" 10. 02° 20' 15"

Literatura:

[1] Mihailović, K.: Geodezija 2, Građevinska knjiga, Beograd, 1974.

[2] Mihajlović, S.: Spektralna analiza varijacija i magnetskih bura na geomagnetskoj opservatoriji Grocka, magistarski rad, Beograd, 1998.

[3] Muminagić, A.: Racun izravnanja, Beograd, 1965.

[4] Prodanović, G.: Znacaj magnetske deklinacije za orijentaci-ju ljudi i sredstava, specijalisticki rad, Beograd, 1998.

[5] Starcević, M., Đorđević, A.: Geoloski atlas Srbije, Beograd, 1996.

[6] Stefanović, D.: Geomagnetske metode istraživanja, Beograd, 1978.

96

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 1/2006.